Tạo hứng thú học toán lớp 10 trung học phổ thông thông qua vận dụng các bài tập liên quan đến môn học khác và các bài toán thực tế

MỤC LỤC

1


A. MỞ

ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến
bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Unesco đã
đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để
cùng chung sống, học để khẳng định mình (Learning to know, Learning to do,
Learning to live together and learning to be). Chính vì thế vai trị của các bài
tốn có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội dung thực tế trong dạy
học tốn là khơng thể khơng đề cập đến.

Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, tốn học thúc
đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hố trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Tốn học có vai
trị quan trọng như vậy khơng phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực
tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Tốn học có
nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học
là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên,
một số ngành khoa học ln cần tốn học phát triển trước và tốn học là cơng
cụ để lĩnh vực đó phát triển .
Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật

và sản xuất đòi hỏi con người lao động phải có hiểu biết có kỹ năng và ý thức
vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể để mang
lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó sự nghiệp giáo dục – đào tạo
trong thời kì đổi mới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho
HS tiềm năng trí tuệ, tự duy sáng tạo, năng lực tìm tịi chiếm lĩnh trí thức, năng
lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Để đáp ứng với sự
phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ
khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con
2


người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được
những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục

tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học tốn ở
trường THPT phải ln gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Nội dung chương trình tốn lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí
chuyển tiếp và hồn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội
dung thực tiễn vào dạy học.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ
tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học tốn ở kỹ năng vận
dụng tư duy tri thức trong nội bộ mơn tốn là chủ yếu cịn kĩ năng vận dụng
tri thức trong tốn học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được
chú ý đúng mức và thường xuyên.
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất cịn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ thơng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng
và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng
phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý
thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm

cho tốn học khơng trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận
dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống
và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo
dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì
vậy tơi chọn đề tài: “Tạo hứng thú học tốn lớp 10-Trung học phổ thơng
thơng qua vận dụng các bài tập liên quan đến môn học khác và các bài tốn
thực tế ”
2.Mục

đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn
tăng cường vận dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học mơn toán
10 -THPT.
3


-Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện
về mối liên hệ giữa tốn học với các mơn học khác và thực tiễn, các bài toán
thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở THPT. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học
đi đơi với hành”.
- Biết vận dụng tốn vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác.

-Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học mơn tốn ở trường
THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những nghiệm vụ nghiên cứu
của đề tài là:
a/ Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng và tính liên thơng của

tốn học.
b/ Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội
dung chương trình tốn 10 THPT.
c/Tìm hiểu thực tiễn dạy học mơn tốn 10 và vấn đề tăng cường vận
dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào
giảng dạy.
d/ Đề xuất biện pháp thiết kế, tổ chức dạy học, tiến hành trong giờ học
đối với mơn tốn ở trường THPT,tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chun ngành lí luận và phương pháp
giảng dạy mơn tốn đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
a/Nghiên cứu lý luận.
b/ Điều tra quan sát thực
tiễn .
c/ Thực nghiệm sư phạm.
5.Nội dung nghiên cứu.
A.Phần mở đầu.
B. Nội dung: Vận dụng các bài tập liên quan đến vào môn học khác hoặc
các bài toán thực tế vào giải toán.
4


`1. Phương pháp chung sử dụng toán học giải các bài tập của bộ mơn
khác hoặc có nội dung thực tiễn.
2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tiễn trong
dạy học một số chương đại số 10 nâng cao – THPT
2.1. Chương1: Mệnh đề - Tập hợp
2.2. Chương 2: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai
2.3. Chương 3: Phương trình và hệ phương trình.
2.4 Chương 4:Bất đẳng thức và bất phương trình

2.5.Chương 5:Thống kê
C.Thực nghiệm sư phạm
D.Kết luận và kiến nghị.
E.Tài liệu tham khảo

5


B.NỘI DUNG
VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN MÔN HỌC KHÁC
HOẶC CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ VÀO GIẢI TỐN.

Mơn tốn có liên hệ chặt chẽ với khoa học tốn học, toán học đang phát
triển như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ
và đời sống. Toán học phản ánh ở trong nhà trường phổ thông là nền tảng cơ
bản được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư
tưởng để tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề
hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của
xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh khẳng định rằng mọi học sinh có
sức học bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hố phổ thơng, trong đó
có học vấn tốn học phổ thơng.
Các lĩnh vực khác nhau trong chương trình tốn THPT khơng tách rời
nhau mà trái lại, thường đan kết với nhau. Nội dung chương trình đại số lớp
10 là rất cơ bản và cần thiết giúp học sinh tiếp cận được kiến thức của THPT
do bộ giáo dục và đào tạo ban hành theo chương trình phân ban.
Sau đây là nội dung vắn tắt giới thiệu chương trình tốn trung học phổ
thơng ở lớp 10 phần đại số nâng cao.
Chương I. Mệnh đề- Tập hợp

Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai
Chương III. Phương trình - Hệ phươngtrình
Chương IV. Bất đẳng thức - Bất phương trình
Chương V. Thống kê
Chương VI. Góc lượng giác và cơng thức lượng giác
1. Phương pháp chung sử dụng toán học giải các bài tập của bộ mơn
khác hoặc có nội dung thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về
phương pháp dạy học: Đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Kết quả của lời giải phải đáp
6


ứng do nhu cầu thực tế đặt ra.
Ta đã biết rằng khơng có một thuật giải tổng qt để giải mọi bài toán, ngay
cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp
khơng có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú
xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người.
Do vậy càng khơng thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực
tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tịi,

phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya
về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp

với những đặc thù riêng của bài tốn thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp
chung để giải bài tốn có nội dung thực tiễn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Tốn học hố bài tốn, chuyển bài
tốn với những ngơn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán
với ngơn ngữ tốn học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con số,…

Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các
biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình tốn học…

Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài tốn
có nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của
người học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức tốn học.
Bước 2: Tìm cách giải cho bài tốn đã được thiết lập. Tìm tịi, phát hiện
cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi cái phải tìm hay
phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã
biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp
riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử
dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình
7


tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán , thường là một
kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất… Do thực tiễn đặt ra.
Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của
kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tịi

sáng tạo học sinh.
Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải bài tốn có nội dung thực tiễn
như đã nêu trên và cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen

ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp tốn học vào những tình huống
cụ thể khác nhau ( trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống…)
2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tiễn
trong dạy học một số chương đại số 10 nâng cao - THPT
2.1. Chương1: Mệnh đề - Tập hợp
a. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương I: mệnh đề - tập hợp.
Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định
sai.Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng
định sai gọi là một mệnh đề sai.
+Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ
định của P và được kí hiệu là P .
+ Mệnh đề chứa biến, cho mệnh đề chứa biến P(x) với x ∈ X . Mệnh đề
phủ định của mệnh đề '' x ∈ X , P ( x ) '' là '' x ∈ X , P ( x ) ''
+Định lí những mệnh đề đúng , được phát biểu dưới dạng
'' x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) '' trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X
là một mệnh đề nào đó.
Phép CM định lí thường sử dụng phép CM trực tiếp hay phép CM
bằng phản chứng.
Mệnh đề '' x ∈ X , Q ( x ) ⇒ P ( x ) '' đúng được gọi là định lí đảo. Định
lí thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lí '' x ∈ X , Q ( x ) ⇔ P ( x ) ''
+ Tập hợp; tập con; hai tập hợp bằng nhau kí hiệu là A=B.
+Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B
8


+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là
A ∩ B = { x ∈ X / x ∈ A và x ∈ B}
+ Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là
A \ B = { x ∈ X / x ∈ A và x ∉ B}

Ta gọi a − a là sai số tuyệt đối của số gần đúng a, kí hiệu là ∆ a .
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a ,
kí hiệu là δ a . Ta có δ a =

∆a
a

b.Các ví dụ và các bài tập có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí
thuyết và bài tập.
Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp phần đại số lớp 10 cung cấp cho học
sinh kiến thức mở đầu về lơ gíc tốn và tập hợp. Các khái niệm và các phép toán
về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ
ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và
chứng minh trong tốn học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với
việc học tập hợp mơn tốn. Để giúp học sinh hiểu biết thêm giáo viên có thể gợi
mở bằng cách dẫn dắt lịch sử về kiến thức mệnh đề lơgíc và lí thuyết tập hợp từ
đó sáng lập ra mơn lý thuyết tập hợp. Ghê–c Can–to sinh ngày 3 – 3 – 1845
tại Xanh Pe-téc–bua trong một gia đình có bố là một thương gia, mẹ là một nghệ
sĩ, tài năng và lịng say mê tốn học của ơng hình thành rất sớm. Sau khi tốt
nghiệp phổ thơng một cách xuất sắc, ơng ơm hồi bão đi sâu vào tốn học. Bố
của ơng muốn ơng trở thành một kĩ sư vì nghề này kiếm được nhiều tiền hơn.
Nhưng ơng đã quyết tâm học sâu về tốn và cuối cùng ơng đã thuyết phục được
cha bằng lịng cho ông theo học ngành toán, ông đã viết thư cho cha đại ý như
sau: “Con rất sung sướng vì cha đã đồng ý cho con theo đuổi hoài bão của con ,
tâm hồn con, cơ thể con sống theo hoài bão ấy”. Ông bảo vệ luận án tiến sĩ tại
trường đại học Béc–lin vào năm 1867. Từ năm 1869 đến 1905, ơng dạy ở trường
đại học Ha–lơ (Halle). Ơng là người sáng lập lên lý thuyết tập hợp. Ngay sau khi
ra đời, lí thuyết tập hợp đã là cơ sở cho một cuộc cách mạng trong viết sách và
giảng dạy tốn. Những cơng trình tốn học của
9

ông đã để lại những dấu ấn sâu sắc cho các thế hệ các nhà toán học lớp sau. Năm
1925, Hin – be (Đ. Hilbest), nhà toán học lỗi lạc của thế kỉ XX đã viết: “Tơi đã
tìm thấy trong các cơng trình của ơng vẻ đẹp của hoa và trí tuệ. Tơi nghĩ rằng đó
là đỉnh cao của hoạt động trí tuệ của con người”. Từ năm 40 tuổi, tuy có những
thời kỳ đau ốm phải nằm viện nhưng ông vẫn không ngừng sáng tạo. Một trong
những công trình quan trọng của ơng đã được hồn thành trong khoảng thời gian
giữa hai cơn đau. Ông mất ngày 6–1–1918 tại bệnh viện ở Ha–lơ, thọ 73 tuổi.

Tiếp đó, để học sinh hiểu thêm khái niệm mệnh đề ta có thể đưa thêm
nhiều ví dụ hoặc yêu cầu học sinh đưa ra các ví dụ thực tế về mệnh đề.
*Ứng dụng trong dạy lí thuyết
Chẳng hạn:
1. “Pari là thủ đơ của nước Pháp” là mệnh đề đúng.
2. “Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề sai.
3. “20 là số chẵn” là mệnh đề đúng.
4. “15 lớn hơn 30” là mệnh đề sai.
Các câu sau:
5.“Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?”.
5. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nội?”.
6. “Tất cả hãy anh dũng tiến lên” đều không phải là mệnh đề.
*Phép tốn trên mệnh đề.

+Phép phủ định.
Ví Dụ 1: Nếu C = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ định
C có thể diễn đạt như sau: “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ”.

Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định C sẽ sai
(hoặc đúng).

+Phép kéo theo.
Mệnh đề kéo theo thường được diễn tả dưới hình thức khác, chẳng
hạn: “a suy ra b”.“Nếu a thì b”. “Có b khi có a”.
Ví Dụ 2.a: “Nếu dây tóc bóng đèn có dịng điện chạy qua thì bóng đèn
10


sáng”.
Ví Dụ 2.b: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu
Âu” là mệnh đề đúng, vì ở đây hai mệnh đề a = “mặt trời quay quanh trái
đất” và b = “Việt Nam nằm ở Châu Âu” đều sai.
Mệnh đề kéo theo a b, người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội
dung của hai mệnh đề a, b, không phân biệt trường hợp a có phải là ngun
nhân của b hay khơng mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của chúng.
Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như sau:
“ Bao giờ bánh đúc có xương,
Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”.
Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”.

+ Phép tương đương
Ví Dụ 3.a: “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt
trời”

là mệnh đề đúng.
Ví Dụ 3.b: “12 giờ trưa hơm nay Vinh có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu

vào giờ đó anh ấy đang ở thành phố Hồ Chí Minh”

là mệnh đề sai

Ta có thể mở rộng thêm cho các phép tốn về mệnh đề đối với các học
sinh khá giỏi thông qua các ví dụ thực tiễn:
+Phép hội
Ví Dụ 4.a:
“Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng
không phải là thủ đô”

là hội của hai mệnh đề:

a = “Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước”.
Và b = “Thành phố Hồ Chí Minh khơng phải là thủ đơ”.
Ở đây G(a) = 1. G(b) = 1 nên G ( a ∨ b ) = 1.

11


Ví Dụ 4.b: “Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa”.
* Chú ý: Đơi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng khơng có nghĩa là
mệnh đề hội.
Ví Dụ 4.c: “Hãy đạt tất cả 20 điểm 9 và 10”.
+ Phép tuyển.
Ví Dụ 5.a: “Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4” là tuyển của hai mệnh đề:
a = “Tháng 12 có 31 ngày”.
và b = “2 + 2 = 4” ở đây G ( a ∧ b ) = 1.
Ví Dụ 5.b: “20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3” là mệnh đề sai.
*Áp dụng mệnh đề - tập hợp vào phần bài tập
Ứng dụng mệnh đề lôgich trong kỹ thuật.
dưới đây ta nghiên cứu một số ứng dụng của lơgích mệnh đề trong kỹ
thuật lắp ráp các mạng điện và các thiết bị đồ dùng trong cuộc sống.

Ví dụ 1: Hãy mơ tả ngun lý lơgích của sơ đồ mạng điện điều khiển
một ngọn đèn từ hai nơi.
Trước khi đi vào lời giải của bài toán trên ta xét mối quan hệ giữa hoạt
động của các mạch điện và lôgich mệnh đề.
Mỗi mạnh điện a ta có thể xem như một mệnh đề ( dùng ký hiệu là a ) .
Ta qui ước khi mạch điện a có dịng điện chạy qua thì mệnh đề a có giá trị
chân lí bằng 1 và ngược lại khi khơng có dịng điện chạy qua thì mệnh đề a có
giá trị chân lí bằng 0 như vậy:
- Phép phủ định có thể được mơ tả bởi mạng điện trong hình H 1 ( trong
đó IBM là mạng a và I BM là mạch điện a ; công tắc IB khi đóng thì tiếp
xúc tại B; cịn khi mở thì tiếp xúc tại B ).

12


- Phép hội có thể được mơ tả bởi mạng điện mắc nối tiếp trong H 3 (ở đây
ABCD là mạch điện a, còn DMNP là mạch điện b).
- Phép tuyển có thể được mơ tả bởi mạng điện mắc song song trong H 2 (ở
đây ABCI là mạch a, còn AMNI là mạch b).

Mạng điện điều kiển một ngọn đèn bằng hai công tắc phải đảm bảo yêu
cầu sau đây:
- Khi công tắc của mạch a và mạch b cùng đóng hoặc cùng mở thì đèn
sáng.
- Khi một trong hai cơng tắc đóng cịn cơng tắc thứ hai mở thì đèn tắt.
Nếu ký hiệu c là mạng điện điều khiển ngọn đèn bằng hai cơng tắc thì ta có

bảng sau:

A

1
1
0
0

B
1
0
1
0

C
1
0
0
1

Nhìn bảng chân lí trên ta thấy mệnh đề C là mệnh đề ( a ∨ b )
Sơ đồ của mạng c được mô tả trong H 4 (ở đây ABO là mạng a, OCI là
− −

−

− −

−

mạng b; A BO là mạng a và OC I là mạch b ).

13

Qua ví dụ 1 gợi động cơ cho học sinh nhận thấy nguyên lý hoạt động
điều khiển của một ngọn đèn từ hai nơi gắn trong cuộc sống hàng ngày là
những dụng cụ gì? Ví dụ như đèn cầu thang ,…
Ví dụ 2:Quan sát một chiếc đèn hiệu, người ta tổ hợp ánh sáng sau đây:
-Đèn

xanh và đèn đỏ không bao giờ cùng chiếu sáng và chỉ một trong hai

đèn chiếu sáng.
-Đèn vàng chiếu sáng và đèn đỏ cùng đèn xanh đều không sáng.
Bạn hãy mô tả mối liên hệ trạng thái đóng, mở của các cơng tắc ba bóng
đèn trên.
Giải:
Ta kí hiệu X= “ Đèn xanh chiếu sáng ”
Tương tự D= “ Đèn đỏ sáng ”
Và
V= “ Đèn vàng chiếu sáng”
Kết quả quan sát có thể được mơ tả như sau:
Từ (1) ta suy ra
Từ (2) ta suy ra

Từ (4) ta suy ra

( 1)
( 2)

X ⇒D
V ⇒D∧ X

( 3) D ⇒ X
( 4) D ∨ X ⇒ V
( 5) V ⇒ X
( 6) V ⇒ D

( 7)

X⇒V

và

( 8)

D ⇒V

X ⇒ D ∧V

T ừ các kết quả trên ta suy ra D ⇒ X ∧ V
V ⇒ X ∧V

Vậy:
-Khi công tắc đèn xanh đóng thì hai cơng tắc đèn đỏ và đèn vàng đều mở.
- Khi công tắc đèn đỏ đóng thì hai cơng tắc đèn xanh và đèn vàng đều mở.
- Khi cơng tắc đèn vàng đóng thì hai công tắc đèn đỏ và đèn xanh đều
mở. Hay: khi một cơng tắc đèn đóng thì hai cơng tắc đèn còn lại đều mở.

14

+Sử dụng biểu đồ ven đề giải bài toán tập hợp.
Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được
tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết
quả của một đợt điều tra cơ bản cho biết.
Có 912 người nói tiếng dân tộc;
Có 653 người nói tiếng kinh;
Có 435 người nói được cả hai thư tiếng.
Hỏi bn làng có bao nhiêu cư dân?
Giải:
Ta vẽ hai hình trịn. Hình A kí hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình
B kí hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn
A bất kỳ là n(A).

A

435
912

B
653

Như vậy:
n(A) = 912; n(B) = 653; n ( A ∩ B ) =435.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và
n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể
làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n ( A ∩ B ) và

15

được: n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B )
Thay các giá trị này của n(A); n(B); n ( A ∩ B ) ta được
n ( A ∪ B ) = 912 + 653 – 435 =1130.

Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người.
Từ bài tốn trên cơng thức (1) đúng với mọi tập hợp A,B bất kỳ.
Bài 2:
Một nhóm du khách đi du lịch nước ngồi trong đó gồm có:
- 28 người biết tiếng Anh;
- 13 người biết tiếng Pháp;
- 10 người biết tiếng Đức;
- 8 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp;
- 6 người biết tiếng Anh và tiếng Đức;
- 5 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức;
- 2 người biết tất cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức.
Và đặc biệt trong đoàn có 41 người khơng biết một thứ tiếng nào trong
ba thứ tiếng ấy,
Hỏi đồn du khách có bao nhiêu người?
Giải:
Ta kí hiệu nhóm du khách biết tiếng Anh là A;
Biết Pháp là B;
Biết tiếng Đức là C.
Theo giả thiết: n(A) = 28; n(B) = 13; n(C) = 10; n ( A ∩ B ) =8;
16


n ( A ∩ C ) =6; n ( B ∩ C ) =5; n ( A ∩ B ∩ C ) =2.

Sơ đồ ven:
B

13
8
2
5
6
C
10

Trước hết ta tìm số du khách biết ít nhất một trong ba thứ tiếng, tức là tìm
n( A ∪ B ∪ C )

Ta sử dụng sơ đồ Ven để tìm số này
Tính tổng n(A) + n(B) +n(C)
Trong tổng này, mỗi một trong các phần tử của A giao B, B giao C, C giao
A đượ tính làm hai lần, nên trong tổng n(A) + n(B) +n(C) ta phải trừ đi tổng
n ( A ∩ B ) + n ( B ∩ C ) + n ( C ∩ A)
Tiếp đó ta cần làm rõ xem biểu thức:
n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) − n ( A ∩ B ) − n ( B ∩ C ) − n ( C ∩ A ) Chứa bao nhiêu lần số
n ( A ∩ B ∩ C ) rõ ràng nó chứa ba lần với dấu + ( trong mỗi số hạng n(A) ,

n(B),n(C) ) và chứa b lần với dấu – ( trong mỗi số hạng
n ( A ∩ B ) ; n ( B ∩ C ) ; n ( C ∩ A ) Do đó để khơng bỏ sót các du khách là các
phần tử thuộc tập hợp ( A ∩ B ∩ C ) , ta cần thêm số hạng n ( A ∩ B ∩ C ) vào
tổng trên và có
n ( A ∪ B ∪ C ) = n ( A) + n ( B ) + n ( C ) − n ( A ∩ B ) − n ( B ∩ C ) − n ( C ∩ A) + n ( A ∩ B ∩ C )
Từ đó suy ra : n ( A ∪ B ∪ C ) = 28+13+10-8-6-5+2=34

17

Vậy tổng số du kháchcủa đoàn du lịch là34+41=75 du khách.
Nhận thấy:
+Công thức (2) đúng với bất kỳ ba tập hợp A,B,C nào.
+Từ công thức (1) và (2), ta cũng mở rộng khai triển cho trường hợp
tổng quát với một số hữu hạn các tập hợp A1,A2,A3,…,An, và có:

n ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...An ) = n ( A1 ) + n ( A2 ) + n ( A3 ) + ... + n ( An ) −

n ( A1 ∩ A2 ) − n ( A1 ∩ A3 ) − ... − n ( An−1 ∩ An )
+ n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + n ( A1 ∩ A2 ∩ A4 ) + ... + ( − 1) n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...An )
k

Công thức (3) được gọi là công thức liên hệ giữa giao và hợp .
Đặc biệt khi k chẵn thì số hạng cuối cùng trong vế phải của công thức (3)
mang dấu – (như trong trường hợp công thức (1) và khi k là số lẻ thì số hạng
này mang dấu + (như trong trường hợp cơng thức (2)).
Những bài tốn có nội dung thực tế ,những hoạt động cụ thể ứng dụng toán
học vào thực tiễn luôn đem lại sự hướng thú cho học sinh. Qua hoạt động đó các
em dễ dàng khắc sâu kiến thức. Ta có thể cho học sinh tự làm một số bài toán
khác tương tự.

* Số gần đúng và sai số.
Số gần đúng và sai số là những khái niệm cơ bản của các ngành tốn học
ứng dụng. Vì nói chung trong đo đạc, tính tốn ta nhận được các số liệu gặp
trong thực tế là những số gần đúng. Ví dụ: Khi đọc các thơng tin sau em hiểu
đó là số đúng hay gần đúng. “ Bán kính đường xích đạo của trái đất là 6378
km, khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là 148600000 km.”
Qua đó học sinh nhận thấy được các số liệu trong đo đạc, tính tốn
thường chỉ là số gần đúng . Số gần đúng có sai số tuyệt đối càng nhỏ càng
biểu thị chính xác kết quả.

Ví dụ 1(SGK đại số10 trang 21): các nhà thiên văn tính được thời gian
để Trái Đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày ± ¼ ngày. Cịn bạn

Nam tính đi từ nhà đến trường là 30 phút ± 1 phút.
Trong hai phép đo trên phép đo nào chính xác hơn ?
18


Ví dụ 2:Dân sốViệt nam hiện tại vào khoảng 83.106 người (83 triệu
người). Ở đây , k=6 nên độ chính xác của số gần đúng này là 1/2.106 =500000.
Do đó ta biết được dân số Việt Nam trong khoảng 82,5 triệu người đến 83,5
triệu người.
Ví dụ 3:
Một cái sân hình chữ nhật với chiều rộng là x=2,56m ± 0,01m
và chiều dài là y= 4,2 m ± 0,01m. Chứng minh rằng chu vi p của sân là
p=13,52m ± 0,04m.
Giải:
Giả sử x= 2,56 +u, y= 4,2 +v là giá trị đúng của chiều rộng và chiều dài
của sân. Ta có p=2(x+y)=2(2,56+4,2)+2(u+v) =13,52+2(u+v)
Theo giả thiết −0,01 ≤ u ≤ 0,01 và − 0,01 ≤ v ≤ 0,01 ⇒ −0,04 ≤ 2(u + v) ≤ 0,04
Vì vậy

p = 13,52m ± 0,04m

Ta có thể đưa thêm các ví dụ thực tiễn để học sinh có thể thấy liên hệ thực
tiễn của toán học.

2.2. Chương2: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai
a.Tóm tắt kiến thức cơ bản chương II
+Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a khác 0 , tập xác định R

Khi a >0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R.
Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R.
Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, có hệ số góc a.
+ Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 +bx +c trong đó a,b.c là các hằng số khác 0.
∆ 
 b
Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh I  − ; − ÷ nhận đường
 2a 4a 
thẳng x=-b/2a làm trục đối xứng, và bề lõm quay lên trên khi a>0, xuống dưới khi
a<0.
b 

Khi a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; − ÷ ; đồng biến trên
2a 

∆
 b

khoảng  − ; +∞ ÷ và có giá trị nhỏ nhất là −
khi x=-b/2a.
4a
 2a

 b

Khi a<0, hàm số nghịch biến trên khoảng  − ; +∞ ÷ ; đồng biến trên
 2a

19

b 
∆

khoảng  −∞; − ÷ và có giá trị lớn nhất là −
khi x=-b/2a
2a 
4a

b. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí

thuyết và bài tập.
*Ứng dụng trong lí thuyết
+ Hàm số bậc nhất.
Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có
quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm
hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó
trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện
tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số. Sau khi học dạy hàm số

y = ax. Hàm số thấy được áp dụng trong cuộc sống như:
-Nhiệt độ T ( C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ).
- Khối lượng m (m) của một thanh kim loại đồng chất có khối lượng
riêng là d tỉ lệ thuận với thể tích .
V (cm3) theo cơng thức: m = dv.
+ Trong vật lí: S = v.t

S: Quãng đưịng.
v: Vận tốc trung bình.
t: Thời gian.

Q = I.t

Q: Nhiệt lượng.
I: Cường độ dịng điện.
t: Thời gian.

+ Trong hố học: M = 29d

M: Phân tử g của chất khí.
d: Tỉ khối của chất khí đối với chất khí.

m = n.M

m: Khối lượng của một chất.
n: Số mol.
M: Khối lượng của mol phương trình của
chất đó. v…v…

+ Trong cuộc sống: T = n.G G: giá tiền một đồ vật.
n: Số lượng đồ vật.
20


T: Số tiền phải trả.
Số lượng công việc làm được = năng xuất x số thời gian làm
việc…
* Vị trí và tầm quan trọng của hàm số.
Ở đây nói về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm vì hàm số chỉ
là trường hợp đặc biệt của khái niệm này.

Theo các nhà tốn học, Khui–sin thì khơng có khái niệm nào khác có
thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp
và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể
thể hiện được ở trong nó nhiều nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại
như khái niệm tương quan hàm. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận động,
và sự vận động chỉ ra trong mối tương quan nhất định với khái niệm hàm,
người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi của nó chứ khơng phải
trong trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách
rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện
rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó. Chính vì vậy mà khái niệm hàm
là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm
trong chương trình mơn tốn ở nhà trường THPT. Tồn bộ việc dạy học
tốn ở nhà trường THPT đều xoay quanh khái niệm này. Bắt đầu bậc THPT
ở lớp 10 có kiến thức về hàm số bậc nhất và tiếp đó nghiên cứu hàm số bậc
hai tương quan.
Chú trọng qua các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn cuộc sống và gắn
bó với các mơn học khác. Chẳng hạn có nhiều câu hỏi, bài tập liên quan đến
luật giao thông, liên quan đến kinh tế…

Ví dụ 1: Thơng qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và
21


xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng ABBANK, ta có bảng

dưới đây vì lãi xuất giữ tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND
được áp dụng từ ngày 30/6/2008.

Kì hạn (số tháng)

1

Lãi xuất (% tháng)

2

3

6

12

15

18.0 18.15 18.30 18.35 18.40 17.90

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi xuất % theo tháng ( kí hiệu là
y) là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng).
Ví dụ 2: Biểu đồ sau (hình 3) biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5 năm
của một trang trại. Coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số biểu thị
sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai vào thời gian x. Qua biểu đồ, hãy:

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu;
b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng;
c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó.
7
6
5
4
3

2
1
0

1998

1999

2000

2001 2002

Sản lượng vịt
Sản lượng gà
Sản lượng ngan lai

22


Trả lời:
a) Tập xác định của cả ba hàm số y = f (x), y = g(x) và y = h(x) là :
D = {1998; 1999; 2000; 2001; 2002}.
b) f(2002) = 620000 (con); g(1999) = 380000 (con); h(2000) = 100000
(con). Năm 2002 sản lượng của trang trại là 620000 con vịt, năm 1999 sản
lượng là 380000 con gà; năm 2000 trang trại có sản lượng là 100000 con ngan
lai.
c) h(2002) – h(1999) = 210000 – 30000 = 180000 ( con). Sản lượng ngan
lai của trang trại năm 2002 tăng 180000 con so với năm 1999.
+ Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai
trong đời sống thực tế, đó là đường parabol.

Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của
đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng
cảnh bắn pháo hoa muôn màu, mn sắc. Nhiều cơng trình kiến trúc cũng được
tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vịm nhà, cổng ra vào… Điều đó khơng
chỉ đảm bảo tính bền vững mà cịn tạo nên những vẻ đẹp của cơng trình.
*Ứng dụng trong bài tập

+ Hàm số bậc nhất
Bài tập 1: Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet.
- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000 đồng.
- Hình thức B: Thuê bao hàng tháng 35000 đồng và số giờ truy cập
khơng hạn chế.
- Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45000 đồng và mỗi giờ truy cập
phải trả 500 đồng.
a, Em hãy cho biết hình thức nào thì phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy


cập hàng ngày trong tháng (30 ngày). Lần lượt là 1,5h; 10h; 12h.
b, Hãy viết p1(x), p2(x), p3(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng
theo mỗi hình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập Internet.
Hướng dẫn
a/ Hãy điền vào bảng sau:
Số giờ truy cập hàng tháng 45h

300h

360h

Số tiền phải trả
Hình thức A

Hình thức B
Hình thức C
b/ - Hình thức A là: p1(x) = 2000.x đồng
- Hình thức B là: p2(x) = 350000 đồng
- Hình thức C là: p3(x) = 500.x + 45000 đồng
Bài tập 2: Một hãng taxi qui định giá thuê xe đi mỗi kilơmét là 6 nghìn
đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một hành
khách thuê taxi đi quãng đường x kilơmét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong

đó, y là một hàm số của x với ∀ x ≥ 0
a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và
khoảng (10;0)
b) Tính f(8), f(10) và f(18).
Gợi ý:
a) Khi 0 ≤ x ≤ 10 tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền
(0 ≤ x ≤ 10)
6 x
phải trả là: f ( x ) = 
 2,5 x + 3 (x>10)

Từ cơng thức trên ta có:

f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80.


+Hàm số bậc hai
Bài tốn bóng đá:
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi
xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng
với toạ độ 0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng

được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả
bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau
khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần
đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng ( tính chính xác đến hàng phần
nghìn).
c) Sau bao lần thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác
đến háng phần trăm)?
Gợi ý:
a) Giả sử h = f(t) = at2 + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và
c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m,
nghĩa là: f(0) = c= 1,2.
Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên:
f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.
Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa
là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.
Thu gọn cái hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.
 a + b = 7,3
a = −4,9
⇒ 

2a + b = 2,4
 b = 12, 2
Vậy hàm số cần tìm là:f(t) = -4,9t2 + 12,2t + 1,2
b) Vì a<0 nên độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh
parabol, cụ thể là: y = −

∆ ' −43,09
=

a
−4,9