Các công thức toán lớp 11_ Phương trình lựơng giác

CHUYÊN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Một số công thức lượng giác cần nhớ

1
1
2
;1
+
cot
x
=
.
cos 2 x
sin 2 x
sin x
cos x
1
;cot x =
; tan x =
2) tanx =
.
cos x
sin x
cot x
2
2
2
1) sin x + cos x = 1;1 + tan x =

3) Công thức cộng:

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb
cos(a ± b) = cos a cos b msin a sin b

4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x
5) Công thức hạ bậc:

cos 2 x =

1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
;sin 2 x =
2
2

6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x;
7) Công thức biểu diễn theo tanx:

cos3x = 4cos3x – 3cosx.

2 tan x
1 − tan 2 x
2 tan x
.
sin 2 x =
;cos 2 x =
; tan 2 x =

2
2
1 + tan x
1 + tan x
1 − tan 2 x

8) Công thức biến đổi tích thành tổng:

1
( cos(a − b) + cos(a + b) )
2
1
sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) )
2
1
sin a cos b = ( sin(a − b) + sin(a + b) )
2
cos a cos b =

9) Công thức biến đổi tổng thành tích:

x+ y
x− y
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2cos
sin

2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
sin x + sin y = 2sin

­ 1 ­


B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1. Phương trình bậc hai.
Bài 1.
Giải các phương trình sau:
1) 2cosx - 2 = 0
2) 3 tanx – 3 = 0
3) 3cot2x + 3 = 0
4) 2 sin3x – 1 = 0
5) 2 cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:

1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
2) cos2x + sinx + 1 = 0
3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
5) cos2x + 3cosx + 4 = 0
6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0
7
7) 2sin2x – cosx + = 0
8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0
2
9) 2sin2x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0
3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3
4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2 ) = 0
3
= 3cot x + 3
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0
7)
2
sin x
2
2
4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x
8)
=0
cos x
cos x(cos x + 2sin x) + 3sin x(sin x + 2)

9)
= 1.
sin 2 x − 1
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2
2) sinx - 3 cosx = 1
3) 3 sin3x + cos3x = 1
4) sin4x + 3 cos4x = 2
5) 5cos2x – 12cos2x = 13
6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phương trình:
1) 3 cos3 x + sin 3 x = 2
2) 3sin 3 x − 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x
3) cos7 x cos5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x sin 5 x
4) cos7 x − 3 sin 7 x = − 2
5) 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2 x
Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0
3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +

2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.

5
.
2

5π
π
2

2 3π
4) 3sin (3π − x ) + 2sin(
+ x ) cos( + x ) −5sin (
+ x) = 0 .
2
2
2
1
1
5) a) 3 sin x + cos x =
;
b) 4sin x + 6 cos x =
.
cos x
cos x
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0
7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0
9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10) sin 2 x - 4 3sinxcosx + 5cos 2 x = 5 .
­ 2 ­


Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) (2 + 2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

Bài 2. Giải các phương trình:
1) 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
3) cos x +

2
.
2

1
1
10
+ sin x +
= .
cos x
sin x 3

4) sin3x + cos3x =

2
.
2

5) sinx – cosx + 7sin2x = 1.
6) (1 + 2)(sin x − cos x) + 2sin x cos x = 1 + 2 .
π
7) sin 2 x + 2 sin( x − ) = 1 .
4
8) sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 .
9) 1 + tgx = 2 2 sinx.

10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.

­ 3 ­


C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1
2

1)

sin3x =

2)

cos2x = -

3)

tan(x + 60o) = - 3

4)



cot  − 5 x  =

5)

sin2x = sin  3x + 
4

6)

π
7

11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
2
2



12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
13) sin3x = cos4x

1
3

14) tan3x.tanx = 1

π

π

π


tan  2 x +  = tan  − 3x 
3

6




7)

cos(3x + 20o) = sin(40o - x)

8)

tan  x +  = - cot  2 x − 
4
3




π





15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o)
16)

3 - 2sin2x = 0

π



17) 2cos  +  - 3 = 0
3 4
x



π




 2x

− 20o  +
 3


18) 3tan 

9) sin(2x - 10o) =

1
với -120o < x < 90o
2

10) cos(2x + 1) =

2
với - π < x < π
2

3 =0

19) 2sinx - 2 sin2x = 0
20) 8cos3x - 1 = 0

Bài 2. Giải các phương trình:
1) sin2x =

1
2

11) sin2x + sin22x = sin23x

π

12) sin  x −  2cos x + 2 tan2x = 0
4

3
13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 0
2
14) sinx + sin2x + sin3x = 0
15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x +

(

2) cos23x = 1
3) sin4x + cos4x =
4)
5)
6)
cos2x
7)
8)
9)

1
2

sinx + cosx = 1
cosx.cos3x = cos5x.cos7x
cos2x.cos5x = cos7x
sin3x.cos7x = sin13x.cos17x
sin4x.sin3x = cosx
1 + 2cosx + cos2x = 0

10) cosx + cos2x + cos3x = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0

17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x

19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
1
20) cosx - cos2x + cos3x =
2
2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0

­ 4 ­

)


π

π

3) tan  + 2 x  + 2cot  + 2 x  - 3 = 0
6

6

2
+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0
sin 2 2x
5) cot2x - 4cotx + 3 = 0
3
7) sin22x - 2cos2x + = 0
4
4
2
9) tan x + 4tan x + 3 = 0

1
11)
+ 3cot2x = 5
2
cos x
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5

4)

6) cos22x + sin2x + 1 = 0
8) 4cos2x - 2( 3 - 1)cosx +

3 =0

10) cos2x + 9cosx + 5 = 0

2) 2sin2x - 2cos2x =

2

π
π 3 2


3) 2sin  x +  + sin  x −  =
4
4



2
2
=3
4) 3cos x + 4sinx +
3cos x + 4sinx - 6
5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0
6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 6. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0
9) 2sin2x +

2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
4) cos3x + sin3x = 1
6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0
8) sin2x +

2 sin(x - 45o) = 1

3 | sinx + cosx| + 8 = 0

10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) +
Bài 7. Giải các phương trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0
3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1

2 =0

2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0

4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0
5) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4
6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1
7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0
8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3
Bài 8. Giải các phương trình
1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0
2) tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0
3
3) cos2x + 9cosx + 5 = 0
4) sin22x - 2cos2x + = 0
4
1
5) 2cos6x + tan3x = 1
6)
+ 3cot2x = 5
2
cos x
­ 5 ­


Bài 9. Giải các phương trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
π

π
6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + )
4
4
2
7) (1 + tan )(1 + sin2x) = 1
2π
π
8) tan(
- x) + tan( - x) + tan2x = 0
3
3
Bài 10. Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
1
1π
1 - cotx
+
cos(x - ) =
3)
1 + cosx
4
2(1 + cotx)
2
4) 1 - (2 +

2 )sinx =

−2 2

1 + cot 2 x

1 - cosx
1 - sinx
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x
Bài 10. Giải các phương trình
sin2x
1) sinx + cosx -1=0
3
2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0
3) tanx + tan2x = tan3x
1 + cosx
sinx
=
x
4)
1 - cosx
cos
2
5) tan2x =

­ 6 ­


D. MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Giải các phương trình

1)
(1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x
2)
tan2x - tanxtan3x = 2
3)
5 - 3sin 2 x - 4cosx = 1 - 2cosx
4)
cos3xtan5x = sin7x
5)
tanx + cotx = 4
sin 2 x
6)
+ 2cosx = 0
1 + sinx
2
7)
2tanx + cotx = 3 +
sin2x
8)
tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9)
2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
cot 2 x - tan 2 x
= 16(1 + cos4x)
10)
cos2x
1
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
16
2

12) cos10x + cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
1
13) sin2xcosx = + cos3xsinx
4
14) sin6x + cos6x = cos4x
7
π
π
15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
8
3
6
sinxcot5x
=1
16)
cos9x
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
1
1
18) 2sin3x = 2cos3x +
sinx
cosx
2
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x =
4
4
4
sin x + cos x
1
= (tanx + cotx)

20)
sin 2 x
2
21) 1 + tanx = 2 2 sinx
22) cosx - sinx = 2 cos3x
23)
3 sin 2 x - 2cos 2 x = 2 2 + 2cos2x
24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
π
26) 2sin(3x + ) = 1 + 8sin2xcos 2 2x
4

­ 7 ­


Bài 2. Giải các phương trình
x
x 5
1) sin4   + cos4   =
3
3 8
3
3
2) 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
(1 - cosx) 2 + (1 + cosx) 2
1 + sinx
- tan 2 xsinx =
+ tan 2 x

4)
4(1 - sinx)
2
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
7
6) cos6x + sin6x =
16
Bài 3. Giải các phương trình
cos 2 x + 3cot2x + sin4x
4sin 2 2x + 6sin 2 x - 9 - 3cos2x
=2
=0
1)
2)
cot 2 x - cos2x
cosx
cosx(2sinx + 3 2) - 2cos 2 x - 1
3)
4) sin4x = tanx
=1
1 + sin2x
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0
6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
3
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =
8) 2 + cos2x + 5sinx = 0
2
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)
10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
Bài 4. Giải phương trình lượng giác

3
1) cosx + 3 sinx = 3 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 +
cosx + 3sinx + 1
4sin33x
3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x
4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1)
5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2
6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x
7) 3 sin2x + cos2x = 2
8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 +
cos2x
9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
2
1) sin3x sin2x = 2sinxcos2x
3
1
2) sin22x + cos28x = cos10x
2
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
x
3x
x
3x
1
4) cosxcos cos
- sinxsin sin
=
2
2

2
2
2
5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x
­ 8 ­


cos x
= 1 + sin x
1 − sin x
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
x
x
13) cos4 - sin4 = sin2x
2
2
2
14) 3 - 4cos x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
3
16) sin2x + sin22x + sin23x =
2
3
3
17) cos x + sin x = sinx - cosx

18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phương trình
sin3x - sinx
1)
= cos2x + sin2x
với 0 < x < 2π
1 - cos2x
5π
7π
π
2) sin(2x +
) - 3cos(x ) = 1 + 2sinx
với < x < 3π
2
2
2
2π
6π
3) cos7x - 3 sin7x = - 2
với

5
7
Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x
cosx + 2sinx + 3
2) y =
trong khoảng ( -π ; π)
2cosx - sinx + 4
π
3) y = 4sin2x + 2sin(2x + )
4
1
4) y = sinx - cos2x +
2
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới).
cos3x + sin3x 

1) A_02. Giải phương trình: 5  sin x +
 = cos2x + 3
1 + 2sin2x 

2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
cos2x
1
3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 =
+ sin2x - sin2x
1 + tanx
2
x π

x
4) D_03. Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 0
2 4
2
5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx
11)

­ 9 ­


6) A_05. Giải phương trình:

cos23xcos2x - cos2x = 0
π
π
3
7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0
4
4
2
8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; π) của phương trình:
x
3π
4sin2 - 3 cos2x = 1 + 2cos2(x )
2
4
π
9) A_05_dự bị 2. Giải pt:
2 2 cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0
4

sin x
3π
10) D_05_dự bị 1. Giải pt:
tan(
- x) +
=2
1 + cos x
2
11) D_05_dự bị 2. Giải pt:
sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
2+3 2
12) A_06_dự bị 1. Giải pt:
cos3xcos3x - sin3xsin3x =
8
3
2
13) A_06_dự bị 2. Giải pt:
4sin x + 4sin x + 3sin2x + 6cosx = 0
14) B_06_dự bị 1. Giải pt:
(2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0
15) B_06_dự bị 2. Giải pt:
cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1. Giải pt:
cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06. Giải pt:
cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
18) A_07. Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07. Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
x
x

21) D_07. Giải phương trình: (sin2 + cos2 )2 + 3 cosx = 2
2
2
π
22) CĐ_07. Giải phương trình:
2sin2( - 2x) + 3 cos4x = 4cos2x - 1
4
1
1
 7π

+
= 4sin 
- x
3π 
23) A_08. Giải phương trình:
sinx

 4

sin  x 
2 

24) B_08. Giải phương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx
25) D_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) CĐ_08. Giải pt:
sin3x - 3 cos3x = 2sin2x

­ 10  ­