thptquocgia123 YTuongBatDangThucNhanVoiMotBieuThucLeNgocNghia

Ý TƯỞNG
BẤT
ĐẲNG
THỨC
Nhân với một biểu thức.
Lê Ngọc Nghĩa – Y16 YDS


-Y
16
YD
S

Lê Ngọc Nghĩa- Y16 Đại học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh

0.1

LỜI MỞ ĐẦU.

Trong các phương pháp và ý tưởng giải bất đẳng thức thì ý tưởng nhân 2 vế của một bất đẳng thức với tổng của
các mẫu thức có vẻ như vẫn không được khai thác nhiều, sau đây mình xin trình bày qua một vài bài toán sử
dụng ý tưởng này. Mình đã cố gắng đưa ra những ví dụ tiêu biểu nhất mình gặp trong quá trình học tập và sưu
tầm được để cho các bạn thấy được lợi ích của ý tưởng này.
Mình xin nói thêm là không chỉ dừng lại với việc nhân tổng các mẫu thức mà ta có thể nhân với biểu thức đơn
giản nhất chứa cả 3 mẫu thức, hoặc khó hơn là nhân với một biểu thức bất kì nào đó.
Tài liệu còn đơn giản và ngôn từ có thể không chính xác nên mong các thầy cô và các bạn học sinh góp ý giúp
mình.
Như mình đã đề cập ở trên thì nội dung của chuyên mục này xoay quanh việc nhân 2 vế của bất đẳng thức
với tổng các mẫu thức của các phân thức. Mục đích của việc này là sẽ tạo được một bất đẳng thức mới với bậc
cao hơn, một số bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn, hoặc có thể sẽ phức tạp hơn nhưng lại có nhiều mối quan hệ
để ta để triển khai ý tưởng hơn. Đối với một số bài toán thì việc nhân vào sẽ là vô nghĩa, nhưng hãy đi đến các

ví dụ và các bạn sẽ tự mình tìm hiểu được khi nào thì ta nên sử dụng ý tưởng này.
Chúng ta cùng đi vào bài toán nhé!

VẤN ĐỀ

Ng
hĩa

0.2

Bài toán 1. Cho x; y; z là 3 số thực dương thỏa mãn x C y C z D 1. Chứng minh rằng:
4
4
4
1
1
1
C
C
Ä C C C9
xCy
yCz
zCx
x
y
z

Lời giải.
Trước tiên ta phải thuần nhất bất đẳng thức bằng cách thay 1 D x C y C z.
Bất đẳng thức tương đương với:

ọc

4
4
1
1
1
9
4
C
C
Ä C C C
xCy
yCz
zCx
x
y
z
xCyCz

Ng

Đến đây thì giả thiết x C y C z D 1 không cần thiết nữa .
Với tư duy "Nhân tổng các mẫu thức" thì mình sẽ nhân với x C y C z ở cả 2 vế của bất đẳng thức. Bất đẳng
thức tương đương với:
Â
Ã
Â
Ã

4
4
4
1
1
1
9
.x C y C z/ Ä
.x C y C z/
C
C
C C C
xCy
yCz
zCx
x
y
z
xCyCz
Â
à Â
Ã
4x
4y
4z
x
y
y
z
z

xÁ
C
C
,
C
C
Ä
C
C
C
yCz
zCx
xCy
y
x
z
y
x
z

1

Lê

Bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng bởi vì nó tương đương với bất đẳng thức sau:
z.x y/2
x.y z/2
y.z x/2
C
C

xy .x C y/ yz .y C z/ zx .z C x/

0
Lê Ngọc Nghĩa


-Y
16
YD
S

Lê Ngọc Nghĩa

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x D y D z D :
3
Bình luận. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng nhiều cách khác. Mình xin trình bày thêm
một cách nữa đó là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engle như sau.
1
4
1
ta có:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc C
a
b
aCb
à X
X Âx

4x
x
C
y
z
yCz
Bài toán 2. Cho a; b; c là 3 số thực dương thỏa mãn a C b C c D 3. Chứng minh rằng:
a2
C
2a C 4 b 2

a2

b2
C
2b C 4 c 2

c2
2c C 4

3

Ng
hĩa

Lời giải.
Với tư duy "nhân tổng các mẫu thức" thì ta sẽ nhân với tổng các mẫu thức vào cả 2 vế của bất đẳng thức.
Nhận xét: a2 2a C 4 C b 2 2b C 4 C c 2 2c C 4 9
Nhân cả 2 vế với của bất đẳng thức với a2 2a C 4 C b 2 2b C 4 C c 2 2c C 4 rồi rút gọn ta có:
b 2 c 2 C a2 2c 2a C 8

c 2 a2 C b 2 2a 2b C 8
a2 b 2 C c 2 2b 2c C 8
C
C
a2 2a C 4
b 2 2b C 4
c 2 2c C 4

6

Mà theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
b2 C c2

2c C 8

2b

Tương tự:

c 2 C a2

2c

2a C 8

a2 C b 2

2a

2b C 8

ọc

Nên ta có:

LHS

1
.b C c/2
2

X a2 a2
2 .a2

2a C 13
D
2a C 4/

2 .b C c/ C 8 D
1 2
b
2
1 2
c
2

1 2
a
2

2a C 13

2b C 13
2c C 13

a2 X
9a2
C
2
2 .a2 2a C 4/

P

Ng

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

a2
Nên:

a2
C
2a C 4 b 2

LHS

b2
C
2b C 4 c 2

c2
2c C 4

P

.a C b C c/2
9
P
DP 2
2
a
2 a C 12
a C6

Â
Ã
Â
Ã
1 X 2
9
1 X 2
81
a CP 2
D
a C6C P 2
2
a C6
2
a C6

3

A G

6

Lê

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi a D b D c D 1.
Y16

2


-Y
16
YD
S

Lê Ngọc Nghĩa- Y16 Đại học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh

Bình luận. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng nhiều cách khác. Mình xin trình bày thêm
về phương pháp dồn biến bằng Dirichle như sau.
Ta nhận thấy trong 3 số .a 1/ ; .b 1/ ; .c 1/ phải 2 số cùng dấu nên giả sử .a 1/ .b 1/
0 ta có:
.a 1/ .b 1/ 0 , ab a C b 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
a2

a2
C
2a C 4 b 2

.a C b/2

.a C b/2

b2
2b C 4

2

.a C b/

Đến đây ta chỉ cần chứng minh
tương đương với.

c2
c2

2 .a C b/ C 8

6c C 9
C 2
2c C 7
c
.c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1/2 c 2

.a C b/

2ab

c2
2c C 4

2

4 .a C b/ C 10

D

c2
c2

6c C 9
2c C 7

1. Bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng vì nó

4c C 8

0

Bài toán 3. Cho a; b; c là 3 số thực dương thỏa mãn a C b C c D 1. Chứng minh rằng:
2

Ng
hĩa

b2 C c
c2 C a
a2 C b
C
C
bCc
cCa
aCb

Lời giải.
Với tư duy thuần ta có thể thay 1 D a C b C c để tạo bất đẳng thức thuần nhất.
Bất đẳng thức tương đương với:
a2 C b .a C b C c/ b 2 C c .a C b C c/ c 2 C a .a C b C c/
C
C
bCc
cCa
aCb

2 .a C b C c/

a .a C b/ b .b C c/ c .c C a/
.a C b C c/
C
C
bCc

cCa
aCb
Với tư duy "Nhân tổng các mẫu thức" thì ta sẽ nhân với a C b C c vào cả 2 vế của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức tương đương với:
Ä
a .a C b/ b .b C c/ c .c C a/
.a C b C c/
.a C b C c/2
C
C
bCc
cCa
aCb

ọc

,

a2 .a C b/ b 2 .b C c/ c 2 .c C a/
C
C
ab C bc C ca
bCc
cCa
aCb
Đến đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để làm đơn giản đi bất đẳng thức
,

a2 .a C b/2
b 2 .b C c/2

c 2 .c C a/2
C
C
.a C b/ .b C c/ .b C c/ .c C a/ .a C b/ .c C a/

Ng
VT D

2

a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca
a2 C b 2 C c 2 C 3 .ab C bc C ca/

Vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức:

3

Lê

2

a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca
a2 C b 2 C c 2 C 3 .ab C bc C ca/

ab C bc C ca
Lê Ngọc Nghĩa


-Y
16

YD
S

Lê Ngọc Nghĩa

Đặt: a2 C b 2 C c 2 D x; ab C bc C ca D y; x
.x C y/2
x C 3y

y ta cần chứng minh rằng.
y , x 2 C xy

Hoàn toàn đúng với cách đặt.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

2y 2

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi a D b D c D :
3
Bình luận. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng nhiều cách khác. Mình xin trình bày thêm
một cách nữa đơn giản hơn nhưng cần biết một số bất đẳng thức phụ.
Sau khi thuần nhất và rút gọn thì ta cần chứng minh.
a .a C b/ b .b C c/ c .c C a/
C
C
bCc
cCa
aCb
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

.a C b C c/

a2 .a C b/2
b 2 .b C c/2
c 2 .c C a/2
VT D
C
C
a .a C b/ .b C c/ b .b C c/ .c C a/ c .c C a/ .a C b/
2

Ta sử dụng bất đẳng thức phụ sau:

Ng
hĩa

a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca
.ab C bc C ca/ .a C b C c/ C .ab 2 C bc 2 C ca2 /

2

a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca
)
.ab C bc C ca/ .a C b C c/ C .ab 2 C bc 2 C ca2 /
Nên ta chỉ cần chứng minh.

2

3 a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca

.a2 C b 2 C c 2 C 3ab C 3bc C 3ca/ .a C b C c/

2

3 a2 C b 2 C c 2 C ab C bc C ca
.a2 C b 2 C c 2 C 3ab C 3bc C 3ca/ .a C b C c/

aCbCc

ọc

Bất đẳng thức trên hoàn toàn chứng minh được bằng phương pháp đặt ẩn phụ mình đã dùng ở trên.
Bài toán 4. Cho a; b; c là 3 số thực dương . Chứng minh rằng:

Ng

a4
b4
c4
C
C
b3 C c3
c 3 C a3
a3 C b 3

aCbCc
2

Lê

Lời giải.
Với tư duy "Nhân tổng các mẫu thức" thì ta sẽ nhân với 2 a3 C b 3 C c 3 , như thế thì ta sẽ được một bất đẳng
thức gọn hơn là chỉ nhân với a3 C b 3 C c 3
Bất đẳng thức tương đương với:
Â
Ã
a4
b4
c4
3
3
3
.a C b C c/ a3 C b 3 C c 3
2 a Cb Cc
C 3
C 3
b3 C c3
c C a3
a C b3
Y16

4


-Y
16
YD
S

Lê Ngọc Nghĩa- Y16 Đại học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh

2b 7
2c 7
2a7
C
C
C a4 C b 4 C c 4
b3 C c3
c 3 C a3
a3 C b 3
Mà theo bất đẳng thức Schur thì.
,

a4 C b 4 C c 4 C abc .a C b C c/

ab a2 C b 2 C bc b 2 C c 2 C ca c 2 C a2

ab a2 C b 2 C bc b 2 C c 2 C ca c 2 C a2

2a7
2b 7
2c 7
C
C
abc .a C b C c/.
b3 C c3
c 3 C a3
a3 C b 3
Điều này hoàn toàn có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

Nên ta chỉ cần chứng minh được

2a7
2b 7
2c 7
C 3
C 3
b3 C c3
c C a3
a C b3

2

2 a4 C b 4 C c 4
ab .a2 C b 2 / C bc .b 2 C c 2 / C ca .c 2 C a2 /
a4 C b 4 C c 4

a2 b 2 C b 2 c 2 C c 2 a2
abc .a C b C c/

X .a

b/2 a2 C ab C b 2 a3 C b 3 C c 3 C ab .a C b/
.b 3 C c 3 / .c 3 C a3 /

Bất đẳng thức luôn luôn đúng.

0.3

Ng
hĩa

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi a D b D c.
Bình luận. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng nhiều cách khác. Mình xin giới thiệu lời
giải bằng phương pháp SOS.
Bất đẳng thức trên tương đương với:

TỔNG KẾT

0

0.4

ọc

Như vậy đối với những bất đẳng thức mà tổng các mẫu thức đơn giản thì việc thực hiện ý tưởng thường sẽ hiệu
quả hơn đối với những bất đẳng thức có mẫu khá phức tạp. Chú ý là ta nên sử dụng ý tưởng khi mà sau khi thực
hiện ý tưởng thì ta có thể thu gọn được những ẩn "rơi ra" nhờ giả thiết. Hơn nữa, sau khi thực hiện ý tưởng ta
có thể thu được một bất đẳng thức mạnh hơn giống như ví dụ 2 mà mình đã trình bày.

LỜI CHÀO VÀ LỜI CHÚC

0.5

Ng

NẾU CÓ THỜI GIAN RẢNH RỖI THÌ MÌNH XIN HẸN CÁC BẠN Ở NHỮNG CHUYÊN MỤC KHÁC.
CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG!

LIÊN HỆ

5

Lê

Mọi thắc mắc và ý kiến đóng góp xin các bạn liên hệ vào đường link facebook dưới đây:
Le Ngoc Nghia .

Lê Ngọc Nghĩa


-Y
16
YD
S

Lê Ngọc Nghĩa

GÓC NHẢM NHÍ

Lê

Ng

ọc

Ng
hĩa

0.6

Y16

6