Tichphantrongcacdethi DH

Tích phân trong các đề thi ĐH

A. LUYỆN TẬP TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Biến đổi, áp dụng công thức :
1

∫

Tính các tích phân sau: 1)

3

dx
2) ∫
x(x + 1)
1

(3 − 2 x) dx

−1
1

1 − 2x
∫0 (1 + x) 2 dx

π

π

4

2

π
4

1

2

2

3) ∫ x( x + 1) dx 4) cos(2 x − π )dx 5)
∫
2

0

4

0

π

2

2

6) ∫ sin 2 x cos 4 xdx 7) ∫ (sin x + cos x)dx 8) ∫ | 1 − x | dx 9) ∫ sin 2 x. cos 3 xdx 10)
−π

ln 3 3 x

3

2

2

−2

0

4

64

2

e −1
x+ x
dx
∫0 e x dx 11) ∫0 3 x 12) ∫0 x 2 − 2x − 3

5

13) ∫
2

0

π
4

dx
x+2 − x−2

14)

∫ ( 2 cot

2

π
6

x + 5 ) dx

2. Đổi biến :
3

Tính các tích phân sau: 1) ∫
0

π

1

1

3
2
x
1
3
4 5
dx 2) ∫ 1 − x 2 dx 3)
x
(
1
+
x
)
dx
5) ∫ x 3 1 + x 2 dx
dx 4) ∫
∫
x +1
1 + sin x
0
0
0
0

π

1

1 x
4

2
x2
e (1 + x)dx
ln 2 x
e x
1 − cos x
dx
dx
dx
6) ∫
7) ∫
8)
9)
10)
x
dx
∫
∫
3
∫
1 + xe
x
(1 + x)
x
0
0
1 + cos x
1
1
0

e

π

sin  − x ÷
4
 dx
13) ∫
π

π
+ x÷
− sin 
2
4


π
3

π
2

∫ ( tan x − cot x ) dx

π
−
6

14)

π
3

∫ cos

4

15)

xdx

0

π
4

π
2

∫

11) sin 2 x cos 2 xdx 12)
0

tan x
dx
2
x

∫ cos
0

3. Tích phân từng phần :
Tính các tích phân sau :
1

1)

∫ x.e dx
x

0

π
2

e

π
4

π
4

π

x
2) x .cos xdx 3) ∫ ln xdx 4) x sin 2 xdx 5)
dx 6) ∫ x sin x cos xdx

2
∫0
∫
∫
0
cos
x
1
0
0

π

2

e

7) ∫ e cos xdx 8) ∫ x ln(1 + x)dx
x

0

0

4. Ứng dụng tích phân :
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C ) : y = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) (C ) : y = x 2 − 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3).
c) y = ln x, y = 0, x = 2
d) y = x 2 − 4 x + 6, y = − x 2 − 2 x + 6

e) y = sin x, y = cos x, x =

π
π
, x=
4
2

Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh trục Ox:
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
c) y = x , x = 4
HCT GV THPT Hoài Ân-Bình Định

π
4

1
b) y = x3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
3
d) y = x 2 , y = x
Trang 1


Tích phân trong các đề thi ĐH

B. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2016
3

2
Bài 1. (THPTQG 2016) I = ∫ 3x( x + x + 16 )dx

ĐS : 88

0

1

x
Bài 2. (THPTQG 2015) : I = ∫ ( x − 3)e dx

ĐS : 4-3e

0

2

x 2 + 3x + 1
dx
x2 + x

Bài 3. (ĐH B2014) : I = ∫
1

Bài 4. (ĐH D2014) :

ĐS : I = 1 + ln 3

π

4

I = ∫ ( x + 1) sin 2 xdx

ĐS : I =

3
4

ĐS : I =

5
3
ln 2 −
2
2

ĐS : I =

2 2 −1
3

0

2

x2 −1
ln x dx
x2

Bài 5. (ĐH A2013) : I = ∫
1
1

2
Bài 6. (ĐH B2013) : I = ∫ x 2 − x dx
0

1

( x + 1) 2
dx
2
x
+
1
0

Bài 7. (ĐH D2013) : I = ∫

ĐS : I = 1 + ln 2

3

1 + ln( x + 1)
dx
x2
1

Bài 8. (ĐH A2012) : I = ∫

1

Bài 9. (ĐH B2012) : I = ∫
0

Bài 10. (ĐH D2012) :

I=

ĐS : I =

x3
dx.
x 4 + 3x 2 + 2

3
ĐS : I = l n 3 − ln 2
2

π/ 4

π2 1
+
ĐS : I =
32 4

∫

x(1 + sin 2x)dx

0

π
4

Bài 11. (ĐH A2011) : I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx
x sin x + cos x

0

Bài 12. (ĐH B2011) :

π
3

1 + x sin x
dx
2
c
os
x
0

4

Bài 13. (ĐH D2011) : I = ∫
0
1

Bài 14. (ĐH A2010) : I = ∫

0
e

Bài 15. (ĐH B2010) : I = ∫
1
e

ĐS : I =

 2 π
π

+ l n 
+
1

÷÷
÷
4
 2  4 

ĐS : I = 3 +

I =∫

4x −1
dx
2x +1 + 2

ĐS : I =

2π
+ln 2− 3
3

(

1 1 1 + 2e
ĐS : I = + l n
3 2
3

ln x
dx
x(ln x + 2) 2

1
3
ĐS : I = − + l n
3
2

π
2

e2
ĐS : I = − 1
2

3

∫ (cos x − 1) cos x.dx
2

ĐS : I =

8 π
−
15 4

ĐS : I =

1
27
(3 + ln )
4
16

0
3

3 + ln x
dx
2
1 ( x + 1)

Bài 18. (ĐH B2009) : I = ∫

)

34

3
+ 10l n  ÷
3
5

x 2 + e x + 2 x2e x
dx
2e x + 1

3
Bài 16. (ĐH D2010) : I = ∫ (2 x − ) ln xdx
x
1

Bài 17. (ĐH A2009) : I =

2
2
+ l n 3 − ln 2
3
3

3

dx
e −1
1

Bài 19. (ĐH D2009) : I = ∫

x

HCT GV THPT Hoài Ân-Bình Định

2
ĐS : I = ln(e + e + 1) − 2

Trang 2


Tích phân trong các đề thi ĐH
π
6

4
Bài 20. (ĐH A2008) : I = ∫ tan x dx .

cos2 x

0

π
sin( x − )dx
Bài 21. (ĐH B2008) : I =
∫0 sin2 x + 2(1 + s 4inx + cos x)dx .
π
4

ĐS : I =

1
10
ln(2 + 3) −
2
9 3

ĐS : I =

4−3 2
4

ĐS : I =

3 − 2 ln 2
16

2

ln x
dx
3
x
1

Bài 22. (ĐH D2008) : I = ∫

e
−1
2
Bài 23. (ĐH B2007) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . y = x ln x , y = 0 , x = e . Tính thể

π (5e3 − 2)
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. ĐS : V =
27
e
4
5e − 1
3
2
Bài 24. (ĐH D2007) : I = ∫ x ln xdx
ĐS : I =
32
1
22 (ĐH A2007) : Tính d.tích h.phẳng g.hạn bởi các đường: y = (e + 1) x , y = (1 + e x ) x . ĐS : S =

π
2

Bài 25. (ĐH A2006) :

sin 2 x

I=∫

cos x + 4sin x
2

0

ln 5

Bài 26. (ĐH B2006) :

∫e

I=

ln 3

x

2

dx

dx
.
+ 2e − x − 3

ĐS :

1

0

Bài 28. (ĐH A2005) :

I=∫

sin 2 x + sin x
1 + 3cos x

0

2
3

I = ln

3
2

ĐS : I = 5 − 3e
4

Bài 27. (ĐH D2006) : I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx.
π
2

ĐS :

I=

dx
ĐS :

I=

2

34

27

π
2

Bài 29. (ĐH B2005) :

sin 2 x cos x
dx.
1 + cos x
0

I=∫
π
2

Bài 30. (ĐH D2005) : I = ∫ (esinx + cos x ) cos xdx.

ĐS :

I = 2 ln 2 − 1

ĐS : I = e +

0

2

x
x −1

1 1+

π
−1
4

Bài 31. (ĐH A2004) : I = ∫

ĐS : I = 11 − 4 ln 2
3

e
Bài 32. (ĐH B2004) : I = ∫ 1 + 3ln x ln x dx.

ĐS : I = 116
135

x

0

3

Bài 33. (ĐH D2004) : I = ∫ ln( x 2 − x)dx.

ĐS : I = 3ln 3 − 2

2

2 3

Bài 34. (ĐH A2003) : I =

∫

5

dx
x x +4
2

π
4

2
Bài 35. (ĐH B2003) : I = ∫ 1 − 2sin x dx
0

1 + sin 2 x

HCT GV THPT Hoài Ân-Bình Định

ĐS : I =

1 5
ln
4 3

ĐS : I =

1
ln 2
2
Trang 3


Tích phân trong các đề thi ĐH
2

Bài 36. (ĐH D2003) : I = ∫ x 2 − x dx

ĐS : I = 1

0

37.(ĐH A2002) : Tính d.tích h.phẳng g.hạn bởi các đường : y = |x2-4x+3|; y = x + 3
38.(ĐH B2002) : Tính d.tích h.phẳng g.hạn bởi các đường : y = 4 −

x2
x2
; y=
4 2
4

ĐS S =
ĐS

109
6

S = 2π +

4
3

Hết

HCT GV THPT Hoài Ân-Bình Định

Trang 4