Skkn kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện

Mục lục
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài: ..........................................................................................2
2. Mục đích của đề tài:.......................................................................................3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................................3
4. Phương pháp nghiên cứu: ..............................................................................3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.......................................................3
NỘI DUNG ................................................................................................................5
1. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................5
2. Kỹ thuật vẽ hình và ứng dụng .......................................................................7
2.1.

Phương pháp vẽ hình chóp .........................................................................8

2.2.

Phương pháp vẽ hình lăng trụ ..................................................................17

3. Bài tập ............................................................................................................21
3.1.

Hình chóp ...................................................................................................21

3.2.

Hình lăng trụ ..............................................................................................22

3.3.

Một số bài toán thi đại học – cao đẳng ....................................................23

KẾT LUẬN ..............................................................................................................28
TÀI LIỆU THAM KHẢO. .....................................................................................30


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Sáng tạo trong học tập không phải là quá trình tự phát mà là quá trình có sự hướng
dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh vào các tình huống hiện
tại nhằm khám phá lại những tri thức di sản văn hóa của loài người. Để làm được điều
đó, bên cạnh việc cung cấp nguồn tri thức cho học sinh, giáo viên còn phải tổ chức
các hoạt động dạy – học sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập là mục tiêu của dạy học
trong mọi thời đại. Vì vậy, bên cạnh việc ứng dụng khoa học công nghệ vào các bài
giảng, người giáo viên cần phải giúp các em học sinh hình thành những kỹ năng cơ
bản, những tư duy và giúp cho học sinh thấy được tính ứng dụng của môn học trong
thực tế.
Hình học nói chung, hình học không gian nói riêng là ngành toán học có nhiều
mối liên hệ với thực tế nhưng lại yêu cầu cao về trí nhớ cũng như rèn luyện tư duy
trừu tượng, mối quan hệ logic liên thuộc và nhiều đối tượng bị che khuất khi biểu
diễn trong không gian 2 chiều luôn làm nản lòng nhiều thế hệ học sinh. Do vậy, giúp
học sinh tư duy tốt cũng như giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, làm cho
học sinh “bớt sợ” môn hình học không gian hơn, yêu thích môn học này hơn luôn là
niềm trăn trở của nhiều thế hệ giáo viên.
Trong các bài toán hình học không gian nói chung, các bài toán về tính khoảng
cách, tính thể tích của khối đa diện hay nói cách khác là những bài toán chứa đựng
yếu tố xác định đường vuông góc luôn là bài toán khó đối với học sinh THPT, vẽ
đúng và chính xác hình sẽ giúp cho khả năng làm được bài trên 80%.
Trước yêu cầu thực tiễn như vậy, qua thời gian giảng dạy môn toán, tôi mạnh dạn

chia sẽ cùng quý thầy cô đồng nghiệp, cùng các em học sinh yêu toán kỹ thuật vẽ
hình trong môn hình học không gian của mình.

Trang 2


2. Mục đích của đề tài:

Với những lý do trên, nhằm chia sẻ và trao đổi kinh nghiệm trong học tập cũng
như giảng dạy bộ môn toán, đề tài: “Kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích
khối đa diện” ra đời nhằm góp phần vào việc nâng cao chất lượng bộ môn toán nói
chung cũng như góp phần vào phong trào học tập, nghiên cứu môn hình học không
gian của các em học sinh ngày càng có chất lượng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Với mục đích như trên, đề tài tập trung vào phân tích bài toán và đưa ra kỹ thuật
vẽ hình đặc biệt chú trọng đến yếu tố đường cao của khối đa diện nhằm giúp học sinh
xác định hướng giải bài toán bởi đường cao là yếu tố then chốt để tính thể tích khối
đa diện. Trong khuôn khổ đề tài, tôi chỉ tập vào việc phân tích và vẽ hình ban đầu cho
một số dạng toán cụ thể chứ không đi sâu vào việc kỹ thuật trình bày cách giải một
bài toán cụ thể.
Đề tài có thể áp dụng cho học sinh lớp 11, nhưng chủ yếu là các em học sinh lớp
12 ôn thi tốt nghiệp và chuẩn bị dự thi vào các trường đại học, cao đẳng.
4. Phương pháp nghiên cứu:

Dựa trên tài liệu sưu tầm được và những bài toán do bản thân sáng tác, đề tài tổng
hợp lại các vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với thực tiễn trong vấn
đề giảng dạy Toán tại trường THPT.
Một phần quan trọng của đề tài là sưu tầm, phân loại và hệ thống lại những bài
toán về hình học không gian ở chương trình phổ thông trung học, trong đó một số bài

toán là đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng một số năm.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.

Do đó, đề tài mang tính thực tiễn, khoa học, đảm bảo tính sư phạm và phần nào
đóng góp vào thực tiễn dạy và học Toán ở bậc phổ thông.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót và suy
nghĩ chủ quan, tác giả mong nhận được nhiều đóng góp, ý kiến từ phía quý thầy cô
giáo, các em học sinh nhằm làm cho đề tài hoàn thiện hơn, đề cập được những khía
Trang 3


cạnh hay hơn mà đề tài chưa thực hiện được. Tác giả cũng sẽ tiếp tục nghiên cứu và
bổ sung thường xuyên để đề tài ngày càng được cập nhật, làm tài liệu hữu ích hơn
đối với quý thầy cô giảng dạy môn Toán và các em học sinh.

Trang 4


NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết

Ở mục này, tôi chỉ nêu vắn tắt và không chứng minh một số khái niệm cũng như tính
chất cần thiết sử dụng khi vẽ hình.
Định nghĩa 1:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90o.
Định nghĩa 2:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với
mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).
Định lý 1:

Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là nó
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng mặt phẳng ấy.
Tính chất 1:
 Cho hai đường thằng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
này thì vuông góc với đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
với nhau.
Tính chất 2:
 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này
thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.
Tính chất 3:

Trang 5


 Cho đường thẳng a và mặt phẳng (β) song song với nhau. Nếu đường thẳng b
vuông góc với mp(β) thì b vuông góc với đường thẳng a.
 Nếu đường thẳng a không chứa trong mp(β) cùng vuông góc với đường thẳng
b thì a // (β).
Tính chất 4:
 Tồn tại duy nhất một mặt phẳng (β) đi qua điểm A cho trước và vuông góc với
đường thẳng d cho trước.
 Tồn tại duy nhất đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và vuông góc với
mp(β) cho trước.
Định nghĩa 3:
 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của
AB đồng thời vuông góc với đoạn thẳng AB. Do đó, mỗi điểm thuộc mặt phẳng
trung trực đều cách đều hai đầu đoạn thẳng.



Trục của tam giác (trục đường tròn ngoại tiếp tam giác) là đường thẳng đi
qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, vuông góc với các cạnh của tam
giác và các cách đều các đỉnh của tam giác.

Định lý 2: (Định lý về ba đường vuông góc).
Cho mp(β), đường thẳng b chứa trong (β) và đường thẳng a không vuông góc
với (β). Khi đó, b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b vuông góc với hình chiếu
a’ của a trên (β)
Tính chất 5:
 Nếu mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (β) thì mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β).
 Nếu hai mp(α) và (β) vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng (α) vuông góc với giao tuyến của (α) và (β) đều vuông góc
với (β).
 Nếu (α) và (β) vuông góc với nhau và A là điểm thuộc (α) thì đường thẳng đi
qua A và vuông góc với (β) sẽ nằm trong (α).

Trang 6


 Nếu hai mặt phẳng (α) và (beta) vuông góc với nhau và cùng vuông góc với
() thì giao tuyến của (α) và (β) cũng vuông góc với ().
Định nghĩa 3:
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa 4:
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Định nghĩa 5:
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng

nhau.
Tính chất 6:
 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và
đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy.
 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và
các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
Định nghĩa 6:
Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.
2. Kỹ thuật vẽ hình và ứng dụng
Trong khuôn khổ khai thác yếu tố, tính chất của hình vẽ để vẽ hình nhằm phục
vụ cho việc chứng minh một tính chất hay tính thể tích. Do đó, tôi không đi sâu
vào việc trình bày lời giải chi tiết cho một bài toán cụ thể mà chỉ đi phân tích cách
vẽ hình và xác định các bước vẽ hình cho bài toán. Đặc biệt, chuyên đề muốn đề
cập đến một số hình vẽ thường gặp trong chương trình toán THPT nhằm giúp các
em học sinh định hướng khi vẽ hình và giúp tư duy tốt hơn trong việc làm toán.
Hình học không gian gắn liền với phát triển trí nhớ và tư duy trừu tượng, việc
mô tả các đối tượng nhìn thấy hay bị che khuất, hình dung quỹ đạo chuyển động
Trang 7


của đối tượng điểm, đường thẳng,… là những yếu tố có ảnh hưởng quan trọng đến
việc học tập môn hình học. Trong các bước giải một bài toán hình học không gian
thì công đoạn vẽ hình và quan sát hình đóng vai trò quyết định đến việc giải hay
không giải được bài toán đó. Do vậy, hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh là
yếu tố rất quan trọng để các em học tốt môn hình học không gian.
Đối với bước vẽ hình, tùy theo bài toán nhưng thường là thực hiện theo quy
tắc sau: đối tượng cong vẽ trước, phẳng vẽ sau; lớn vẽ trước, nhỏ vẽ sau.
Đối với bước quan sát hình, ta thực hiện theo quy tắc:
a) Hướng trực diện: Mục đích xác định đường và mặt gần hay xa, nhìn thấy hay bị che khuất.
b) Hướng thẳng đứng: Mục đính xác định các yếu tố nằm phía trên và phía dưới.

c) Hướng ngang: Mục đích xác định các yếu tố bên trái và bên phải.
d) Điền các yếu tố: Độ dài, góc.
Trong bước quan sát hình, ta nên thực hiện:
a) Xoay hình: Theo yêu cầu của bài toán, những yếu tố cần xét quan sát chưa rõ hay bị
che khuất.
Qui tắc: Xoay đáy (đối với hình chóp, lăng trụ), đặt nằm ngang (đối với lăng trụ, hình trụ).
b) Tách hình: Vẽ riêng ra ngoài một phần của hình khi chỉ cần xét trong hình đó.
Qui tắc: Phẳng hóa (nếu cần tính toán), đồng dạng (nếu quan sát hướng)

Và để thuận tiện cho việc giảng dạy của giáo viên thì ngoài các công cụ vẽ
hình truyền thống như: phấn màu, thước,… người giáo viên nên tận dụng ứng
dụng khoa học công nghệ vào dạy học, ví dụ như sử dụng phần mềm Cabri 3D,
The Geometer’s Sketchpad,… Những công cụ trên giúp người giáo viên dễ dàng,
thuận tiện trong việc mô tả cũng như thiết kế bài giảng.
Sau đây là cách vẽ hai loại đa diện thường gặp trong chương trình toán THPT.
2.1. Phương pháp vẽ hình chóp
Đối với hình chóp, trong khuôn khổ của chuyên đề này, tôi xin trình bày một
số dạng vẽ hình cơ bản có ảnh hưởng đến những bài toán tính thể tích của học sinh
lớp 12 thông qua các bài từ dễ đến khó, có phân tích đặc điểm mỗi hình và chia làm
hai loại thường gặp: hình chóp có đáy là tam giác và hình chóp có đáy là tứ giác.
a) Quy tắc: thực hiện lần lượt các bước sau

Trang 8


1. Vẽ đáy phẳng, vẽ đáy không gian.
2. Xác định chân đường cao, vẽ đường cao.
3. Chọn đỉnh, nối các cạnh bên.
4. Quan sát, xác định nét khuất, nét thấy.
b) Lưu ý:

Đối với giáo viên: Nên sử dụng phần mềm vẽ hình Cabri 3D hoặc Sketchpad để mô
tả nhằm:


Xoay hình cho học sinh quan sát dưới những góc nhìn khác nhau, từ đó hình thành
cách quan sát và dự đoán cách vẽ hình cho các em.



Thuận lợi trong việc chỉnh sửa những yếu tố nét khuất.
Đối với học sinh: Các em nên vẽ nháp hình theo cách sau bằng bút chì:

1. Vẽ đáy phẳng trên tờ giấy, đặt tờ giấy trên mặt bàn học.
2. Lấy thước đặt vuông góc với mặt bàn để mô tả đường cao.
3. Quan sát các phía, tưởng tượng các cạnh bên.
4. Chọn hướng vẽ hình, vẽ vào giấy.

Để làm công đoạn này cho tốt, học sinh cần có đầy đủ các dụng cụ vẽ hình: thước,
bút chì, tẩy,…
Ví dụ 1:

Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b,
OC = c. Tính thể tích của khối chóp OABC.

Phân tích:
Không khó khăn để ta nhận ra tam giác OBC vuông tại O và OA vuông góc với
(OBC) tại O. Đây là ví dụ đơn giản nhất để dựng đường cao của hình chóp.
Vẽ hình:
o Dựng tam giác OBC (vuông tại O)
o Dựng đường thẳng Δ qua O và vuông góc (OAB), trên Δ lấy A sao cho góc nhìn dễ

và nối A với B, C.
o Xác định các nét khuất.

Trang 9


A

A

O

A

O

B

O

B

B

C
C

C

H - 1.1

Ví dụ 2:

H - 1.3

H - 1.2

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC).

a. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH  SC.
b. Giả sử SC  x, BC  y, SC  z . Tính theo x, y, z thể tích khối chóp S.ABC.

Phân tích:
SA vuông góc với mp(ABC) nên hình chiếu của S là A.
Vẽ hình:
o Vẽ đáy là tam giác ABC.
o Qua A, dựng đường thẳng Δ vuông góc với (ABC). (H – 2.1)
o Chọn trên Δ điểm S sao cho: góc nhìn hình rộng, ít nét khuất. Và nối S với các đỉnh
B,C (H – 2.2).
o Chuyển AC thành nét khuất (H – 2.3).
S

S

C

A

S

A

C

B

B

H-2.1

H-2.2

A

C

B
H- 2.3

Trang 10


Lưu ý:

Lúc đoạn thẳng AC chuyển từ trạng thái nhìn thấy nét liền thành không nhìn
thấy (nét khuất). Vì vậy, nên yêu cầu học sinh phác thảo trên giấy nháp hoặc
vẽ bằng bút chì để có thể chuyển về nét khuất bằng cách tẩy đi vẽ lại.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, B  600 . Lấy H trên AC sao

cho AH=2HC và lấy SH=

a 3
vuông góc với (ABC). Tính tỷ lệ thể
6

tích giữa hai khối chóp S.HIC và S.ABC biết rằng I là trung điểm
BC.

Phân tích:
Vì H thuộc cạnh AC và SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SH là đường
cao của hình chóp.
Vẽ hình:
o Vẽ đáy ABC, lấy H thuộc AC sao cho AH = 2HC.
o Dựng đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC).
o Chọn S thuộc Δ sao cho SH=

a 3
. (H – 3.1)
6

o Nối S với các đỉnh và xác định nét khuất. (H – 3.2 và H – 3.3)
o Quay hình để góc nhìn rộng nhất.
S

S

C

H

S

A
C

A

H

B
H - 3.1

C

A

H

B
H - 3.2

B
H - 3.3

Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có AOB  AOC  COB   , OA  OB  OC  l
a) Tính α để diện tích xung quanh của tứ diện OABC lớn nhất.
Trang 11

b) Tính α để thể tích tứ diện OABC lớn nhất.

Phân tích:
Các mặt bên của tứ diện đều là tam giác cân và bằng nhau, do đó đáy của hình
chóp O.ABC là tam giác đều. Suy ra hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên hình
chiếu của O xuống mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC đồng
thời là trọng tâm của tam giác.

Vẽ hình:
o Dựng đáy ABC là tam giác.
o Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao của ba đường
trung trực. (H – 4.1)
o Qua H, kẻ đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC). Chọn điểm O thuộc Δ sao
cho hình vẽ dễ quan sát nhất, nối O với A, B, C. (H – 4.2)
o Xác định các nét khuất của hình. (H – 4.3)
O

O

O

C

A

C

A
H

Ví dụ 5:

H

H
M

N

H - 4.1

C

A

M

N

B

H - 4.2

B

M

N

H - 4.3

B

Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b,
OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh
trùng với O, ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC còn đỉnh đối
diện với O nằm trên mp(ABC).

Phân tích:
o Giả sử khối lập phương cần dựng là OA’HB’.C’GEF. Khi đó H phải thuộc đường
cao của tam giác OAB và E là thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (HAO) và
(BAC).
o HA’ = HB’ = HE.

Trang 12


Vẽ hình:

o Dựng hình chóp O.ABC (theo ví dụ 1) (H – 5.1)
o Dựng mặt phẳng (α) chứa OC và vuông góc với AB, gọi d, d’ lần lượt là giao
tuyến của (α) với các mặt phẳng (OAB) và (BAC). Trên d lấy H sao cho
khoảng cách từ H đến OA, OB và d’ bằng nhau. (H – 5.2)
o Bây giờ ta có thể xác định các điểm còn lại là C’, G, F và xác định các nét
khuất. (H – 5.3)

C
C

C

C'

F

G
E

E

O
B

O

O
B'
A'

B

H

B'
A'

B

H

A
H - 5.1

A

A
H - 5.2

H - 5.3

Ví dụ 6: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các
cạnh bên tạo với đáy góc 60o. Tính thể tích khối chóp đó.

Phân tích:
o Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
o ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm.

Vẽ hình:
o Vẽ trung tuyến AM và BN của tam giác ABC, xác định trọng tâm O. Kẻ đường
thẳng Δ đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). (H – 6.1)
o Lấy S thuộc Δ và nối với A, B, C. (H – 6.2)
o Xác định các nét khuất. (H – 6.3)

Trang 13


S

S

A

A

A
N

C

O

N

N

C

O

C

O

M

M

M

B

B

B
H - 6.1

H - 6.3

H - 6.2

Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a,
các mặt bên tạo với đáy góc 60o. Tính thể tích khối chóp đó.

Phân tích:
o Giả sử H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABC), theo định lý ba đường
vuông góc thì HA’  SA’, HB’  SB’, HC’  SC’ với A’, B’ C’ lần lượt là
hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, AB.
o Mặt khác, các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên ΔSHA’ = Δ SHB’
= ΔSHC’ nên HA’ = HB’ = HC’. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.

Vẽ hình:
S

A

C

S

A

B'

A
C

H

C

H
H
A'

C'
A'

B

B

H - 7.1

H - 7.2

B

H - 7.3

o Xác định tâm H của đường tròn nội tiếp Δ ABC (giao của 3 đường phân giác
trong). (H – 7.1)

Trang 14


o Kẻ đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC), xác định hình chiếu A’ của
H trên BC, trên Δ chọn S sao cho SA ' H  60o . (H – 7.2)
o Nối S với A, B, C và xác định nét khuất. (H – 7.3)
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với (ABC), SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A của
các tam giác ΔSAB, ΔSAD xuống các cạnh đáy tương ứng SB, SD.
a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABD.
b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AHK).

Phân tích:
Rõ ràng đề cho SA là đường cao của hình chóp. Việc vẽ hình không khó khắn.

Vẽ hình:
S

S

B
A

D

A

C
H - 8.1

D

B

C
H - 8.2

A

D

B

C
H - 8.3

o Vẽ đáy ABCD, qua A vẽ đường thẳng Δ vuông góc với (ABCD). (H – 8.1)
o Chọn S thuộc Δ thỏa SA = 2a, nối S với B, C, D. (H – 8.2)
o Xác định nét khuất. (H – 8.3)
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc
với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng AB  a,

SB ' 2
 .
SB 3

a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp: S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Trang 15


Phân tích:
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên chân đường cao hạ từ S là tâm đường
tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Vẽ hình:
o Xác định tâm O của hình vuông ABCD, kẻ đường thẳng Δ qua O và vuông
góc với (ABCD). (H – 9.1)
o Chọn S thuộc Δ sao cho hình có góc nhìn rộng, ít nét khuất.
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành diện tích bằng 3,

góc giữa hai đường chéo là 600. Các cạnh bên hình chóp nghiêng đều
với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp.
Phân tích:
Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD). Vì các cạnh SA, SB, SC, SD
cùng tạo với đáy góc 450 nên HA = HB = HC = HD hay ABCD là hình chữ nhật và
SH là trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Vẽ hình:
o Vẽ đáy ABCD và xác định tâm O của hình chữ nhật ABCD. Qua O kẻ đường
thẳng Δ vuông góc với (ABCD). (H – 10.1)
o Chọn S thuộc Δ sao cho SAH  450 . (H – 10.2)
o Nối S với các đỉnh và xác định nét khuất.
S

B

B

A

B

A

O
C

H - 10.1

A

O

O
D

S

D

H - 10.2

C

D

H - 10.3

C

Trang 16


2.2. Phương pháp vẽ hình lăng trụ
Đối với hình lăng trụ, ta cũng thực hiện theo các bước sau:
1. Vẽ đáy dưới.
2. Xác định hình chiếu vuông góc của 1 đỉnh đáy trên lên đáy dưới.
3. Kẻ đường thẳng vuông góc tại hình chiếu vuông góc đó.
4. Chọn 1 đỉnh của đáy trên, nối cạnh bên thứ nhất và các cạnh còn lại.
5. Xác định nét khuất.

Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, A’A = 2a, BC = 6a.
Lấy điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD
a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Đây là hình lăng trụ đặc biệt và dễ vẽ nhất, chiều cao của lăng trụ

Phân tích:

cũng chính là cạnh bên của hình hộp.
Vẽ hình:
o Vẽ đáy ABCD, dựng đường thẳng Δ qua A và vuông góc với đáy. (H – 11.1)
o Trên đường thẳng Δ lấy A’ sao cho A’A = a. (H – 11.2)
o Xác định các đỉnh còn lại và nét khuất. (H – 11.3)

A'

A'

B'

C'

D'

A

B
B

A

C

D
H - 11.1

C

D
H - 11.2

B

A

C

D
H - 11.3

Trang 17


Ví dụ 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. E, F lần lượt là trung điểm
của B’C’ và C’D’.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mp(AEF) và hình lập phương.
b. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương do mp(AEF) cắt ra.
Phân tích:
o Bước đầu, không khó khăn để học sinh dựng được hình lập phương.
o Tuy nhiên, khi dựng thiết diện, nếu học sinh chọn không tốt góc nhìn thì hình
sẽ bị rối và có nhiều đường chồng lấn lên nhau dẫn đến khó quan sát. Do vậy,
đối với bài tập này giáo viên cần chuẩn bị phấn màu hoặc tốt hơn là máy chiếu
và vẽ hình bằng phần mềm (Cabri 3D hoặc Sketchpad) nhằm giúp học sinh
quan sát hình tốt hơn.
Vẽ hình:
o Dựng hình lập phương.
o Dựng mặt phẳng (AEF).
o Dựng thiết diện.
A

B

P

B

C

C
A'

A'

D'

D

D

B

C
A'

A

A

D

D'

D'

N

Q
F

F
B'
B'

C'

B'

E

E
C'

C'

H - 12.1
H - 12.2

M

H - 12.3

Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi AM
là trung tuyến của tam giác ABC, I là trung điểm AM. Biết rằng A’I vuông
0

góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy góc 30 .
Tính tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và thể tích khối cầu
ngoại tiếp tứ diện A’ABC.

Trang 18


Phân tích:
o Đề cho chân đường cao của hình lăng trụ là I.
o Đáy lăng trụ là tam giác đều ABC nên (IMA)  (ABC). Góc giữa cạnh bên và
mặt đáy là góc A ' AI  A ' AM  300 .

Vẽ hình:
o Vẽ tam giác đáy ABC, xác định chân đường cao I là trung điểm của đoạn IM.
o Dựng đường thẳng Δ qua I và vuông góc (ABC), chọn điểm A’ thuộc Δ sao
cho A ' AI  300 . (H – 13.1)
o Sử dụng tính chất song song để xác định các đỉnh còn lại. (H – 13.2)
o Xác định nét khuất. (H – 13.3)
C'

B'

C'

B'

A'
A'
A'

M

B

C
B

I

M

C

M

C

I

I

A
H - 13.1

B

A
H - 13.2

H - 13.3

A

Ví dụ 14: (Khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc

giữa đường thẳng BB’ và đáy là 600, tam giác ABC vuông tại C và
góc A bằng 600. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC)
là trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC
theo a.
Phân tích:
o Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) là trọng tâm tam giác ABC.
o Góc giữa BB’ và (ABC) là B ' BG  600 .

Trang 19


Vẽ hình:
o Dựng đáy ABC có G là trọng tâm tam giác.
o Qua G dựng đường thẳng Δ vuông góc với (ABC), trên Δ lấy B’ sao cho
B ' BG  600 . (h – 14.1)

o Sử dụng tính chất các cạnh song song để xác định đỉnh A’, C’. (H – 14.2)
o Nối các điểm và xác định nét khuất. (H – 14.3)
B'

B'

B'

C'

C'

A'
A'

C

C

B

B
G

B

M

H - 14.1

G

A
H - 14.2

M

G

A

M

A
H - 14.3

Ví dụ 15: (Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng

2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC= a 3 và hình chiếu
vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích khối
chóp A’ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng (AA’) và
(B’C’).
Phân tích:
o Hình chiếu vuông góc của A’ là trung điểm M của cạnh BC.
o Tam giác ABC vuông tại A nên A’M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.

Vẽ hình:
o Dựng tam giác ABC và đường thẳng Δ đi qua trung điểm M của BC đồng thời
vuông góc với mp(ABC).
o Chọn A’ thuộc Δ sao cho góc nhìn rộng.
o Sử dụng tính chất song song của cạnh lăng trụ để xác định B’, C’.
o Xác định nét khuất.

Trang 20


A'

A'

A'

B'

C'

A

B
M

B'

C'

A

C

H - 15.1

B

M

A

C

H - 15.2

B

M

C

H - 15.3

3. Bài tập
3.1. Hình chóp

Bài tập 1.

Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC,

qua M kẻ các đường thẳng song song với AD, BD, CD cắt các mặt
(CBD), (ACD), (ABD) lần lượt tại A1, B1, C1. Tính tỷ số :
MA1 MB1 MC1
.


AD BD CD

Bài tập 2.

Cho tứ diện ABCD. Lấy M nằm trong tứ diện, các đường

thẳng AM, BM, CM, DM cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)
lần lượt tại A1,B1,C1,D1. Chứng minh rằng:

AM BM CM DM
không



AA1 BB1 CC1 DD1

phụ thuộc vị trí M.
Bài tập 3.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, BC =

a, A   . Các cạnh bên hình chóp nghiêng đều với đáy góc . Tính thể
tích khối chóp đã cho.
Bài tập 4.

Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 5a, BC = 6a, các mặt

bên hình chóp nghiêng đều với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp.
Bài tập 5.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A

và D, tam giác SAD đều cạnh 2a, BC = 3a. Các mặt bên hình chóp
nghiêng đều với đáy. Tính thể tích khối chóp.

Trang 21


Bài tập 6.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB

= 2a, ACB  900 , các tam giác SAC và SBD đều cạnh a 3 . Tính thể tích
khối chóp.
Bài tập 7.

Cho hình chóp đều S.ABCD, M là trung điểm SD, N trên

DA kéo dài về phía A sao cho AN = AD, P trên DC kéo dài về phía C
sao cho CP = CD. Gọi E là giao điểm của MN với SA, F là giao điểm
của MP với SC.
a. Tính các tỷ số

ME MF
.
,
MN MP

b. Chứng minh rằng EF//AC//NP.
c. Giả sử tam giác MNP đều cạnh a, tính thể tích của hình chóp đã cho.
Bài tập 8.

Cho hình nón có đáy là đường tròn tâm O, đường kính AB,

đỉnh hình nón là S. Biết rằng tam giác SAB đều và mặt cầu ngoại tiếp

hình nón có bán kính R. Tính thể tích khối nón theo R.
Bài tập 9.

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA = SB

= SC = a 9 , AB = 2a, BC = a. Tính:
a. Thể tích khối chóp S.ABC.
b. Khoảng cách từ trung điểm O của cạnh AC đến mặt phẳng (SBC).
3.2. Hình lăng trụ
Bài tập 10.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại

A, AC = a, góc ACB  600 . Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc
300. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài tập 11.

Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a và điểm

K thuộc cạnh CC sao cho CK =

2
a . Mặt phẳng () đi qua A, K và song song
3

với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai
khối đa diện đó.
Bài tập 12.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác

đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (A'BC). Tính tan và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
Trang 22


Bài tập 13.
AA' =

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,

a 3
và BAD  600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D'
2

và A'B'. Chứng minh AC'  (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Bài tập 14.

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.

M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BM và B1C.
Bài tập 15.

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông,

AB = AC = a, AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1.
Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích
của tứ diện MA1BC1.
Bài tập 16.

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 =

2a 5 và BAC  1200 . Gọi M là trung điểm CC1. Chứng minh MB  MA1 và

tính khoảng cách d từ A đến (A1BM).
Bài tập 17.
AA' =

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,

a 3
và BAD  600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D'
2

và A'B'. Chứng minh AC'  (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

3.3. Một số bài toán thi đại học – cao đẳng
Bài tập 18.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB

= a, BC= a 3 ; hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm I của AC, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy là  (0 <  <
900). Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng (AB)
và (SC).
Bài tập 19.

(Khối A - 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có

cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh SB,SC. Tính
theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với
mặt phẳng (SBC).

Trang 23


Bài tập 20.

(Khối B - 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với

SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC.
Chứng minh rằng: SC  (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Bài tập 21.

(Khối B - 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  (0 <  < 900).
Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo . Tính thể
tích hình chóp theo a và 
Bài tập 22.

(Khối B - 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA,
M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: MN
vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
(MN) và (AC).
Bài tập 23.

(Khối D - 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy

ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính thể tích khối chóp
A.BCNM.
Bài tập 24.

(Khối A - 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là H thuộc
cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa
hai đường (SA) và (BC).
Bài tập 25.

(Khối D - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt
đáy là H thuộc AC và AC=4.AH. Gọi CM là đường cao tam giác SAC.
Chứng minh rằng: M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC.
Bài tập 26.

(Khối D - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

thang vuông tại A và B, BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA= a 2 và
vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng
Trang 24

minh rằng: tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng
(SCD).
Bài tập 27.

(Khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình chữ nhật với AB = a, AD= a 2 , SA = a và vuông góc với đáy. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích khối ANIB.
Bài tập 28.

(Khối A - 07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh
rằng: AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Bài tập 29.

(Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD.
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy, tính thể tích
khối chóp theo a.
Bài tập 30.

(Khối A - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD;

H là giao của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và SH
= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng (DM) và (SC) theo a.
Bài tập 31.

(Khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB= a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc
với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a
thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
(SM) và (DN).
Bài tập 32.

(Khối D - 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

ABC là tam giác vuông , AB = BC = a, cạnh bên AA’= a 2 . Gọi M là

Trang 25