Sáng kiến kinh nghiệm về phân loại bài tập tính thể tích khối tròn xoay

Cộng ho x hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập-tự do-hạnh phúc

o0o

đề tài
Phân loại bài toán
tính thể tích khối tròn xoay

I. sơ yếu lí lịch
ã Họ và tên:
Nguyễn Đông Bắc
ã Sinh ngày:
31/10/1980
ã Năm vào nghành:
09/2007
ã Ngày vào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh:
22/12/1998
ã Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trờng THPT Vạn Xuân
ã Trình độ:
Cử nhân Toán
ã Hệ đào tạo:
Chính quy
ã Bộ môn giảng dạy:
Toán
ã Ngoại ngữ:
Anh


Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Trang 2

II. Nội dung đề ti:
1. Tên đề tài:
Phân loại bài toán
tính thể tích khối tròn xoay

2. Lý do chọn đề tài:
Tính thể tích vật thể nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng là một ứng
dụng quan trọng của tích phân, dạng toán này thờng xuyên xuất hiện trong các
đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trờng cao đẳng và đại học. Thời
lợng cho phần này theo phân phối chơng trình là 2 tiÕt, víi thêi gian Ýt nh− vËy
céng víi h×nh dạng trừu tợng của khối tròn xoay- một đối tợng của hình học
không gian, học sinh thờng bị lúng túng, mất định hớng và thiếu tự tin vào bản
thân khi làm bài tập dạng này. Việc phân loại bài toán và đa ra phơng pháp
giải phù hợp đối với từng trờng hợp sẽ giúp học sinh định hớng trong quá trình
giải bài tập, vì lí do đó tôi quyết định thực hiện đề tài.
3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
Đề tài này đợc áp dụng trong phạm vi các lớp 12C2-Trờng THPT Vạn Xuân
với đối tợng là các em học sinh có học lực trung bình. Thực hiện trong năm học
2008-2009, vào các giờ luyện tập và tự chọn, sau khi các em đà học xong bài
Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học của chơng III- Giải tích 12 Ban
Cơ bản.
III. Quá trình thực hiện đề ti:
1. Khảo sát tình hình thực tế:
ở đầu năm trong chơng trình Hình học 12 các các em đà đợc trang bị các
kiến thức tơng đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra
chúng, trong chơng trình Giải tích 12 ở học kì II các em đà đợc trang bị các
kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. Đó là
cơ sở vững chắc để tiến hành thực hiện đề tài này.

2. Số liệu điều tra trớc khi thực hiện đề tài:
Sau khi dạy xong bài Đ3. ứng dụng của tích phân trong hình học của chơng
III- Giải tích 12 Ban Cơ bản, trớc khi dạy thư nghiƯm néi dung s¸ng kiÕn cho
häc sinh cđa líp 12C2, tôi đà ra bài tập về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị
trớc trong thời gian 1 tuần. Với bài tập sau:
Bài tập:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đờng sau quanh trục Ox.
a) y = e x ; y = 0 ; x = 0; x = 2 .
b) y = x 2 ; y =

x

c) x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x .
Kết quả thống kê đợc nh sau:

Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Trang 3

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Kết quả
Số HS giải đúng

Số HS giải sai

Số HS không có lời
giải

Câu a)

20 (54%)

7 (19%)

10 (27%)

Câu b)

17 (46%)

9 (24,3%)

11 (29,7%)

Câu c)

2 (5,4%)

8 (29,6%)

26 (70%)

Câu

Từ kết quả thu đợc ta thấy mặc dù bài toán tơng đối dễ nhng học sinh vẫn
cha nắm đợc kĩ năng giải. Việc thực hiện đề tài là cần thiết.
3. Các biện pháp thực hiện:

A. Yêu cầu đối với học sinh:
- Nắm vững khái niệm mặt tròn xoay, khối tròn xoay và các khái niệm liên
quan.
- Nắm vững các phơng pháp tính tích phân.
- Nắm vững bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các phép biến đổi đồ thị,
và đồ thị của các hàm số đặc biệt.
B. Nội dung đề tài:
Phần I: Nhắc lại các kiến thức đà học trong chơng trình lớp 12 và các kiến thức
liên quan.
1. Cách tính thĨ tÝch vËt thĨ bÊt k×:
B−íc 1: Chän trơc Ox dọc theo chiều dài vật thể.
Bớc 2: Xác định chiều dài vật thể trên trục Ox ta đợc đoạn [a; b].
Bớc 3: Cắt vật thể bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại vị trí
x [a; b] tìm quy luật biến đổi của diện tích thiÕt diƯn S(x).
b

B−íc 4: KÕt ln c«ng thøc tÝnh thĨ tÝch vËt thĨ lµ: V = ∫ S( x ).dx
a

2. Các phép biến đổi đồ thị:
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C).
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đợc đồ thÞ (C1): y = − f ( x ) .
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đợc đồ thị (C2): y = f ( x ) .
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Trang 4

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

3. Đồ thị của một số hàm số đặc biệt:
Đồ thị hàm số mũ

Đồ thị hàm logarit

Đồ thị hàm luỹ thừa

Đồ thị hàm y = x n (n N )

Phần II: Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay.
Bình luận: Để tạo ra khối tròn xoay ta phải quay một hình phẳng quanh một
trục nào đó, trong chơng trình cơ bản ta chỉ xét khối tròn xoay quay quanh trục
Ox. Do vậy, ta sẽ phân loại bài toán theo đặc điểm của hình phẳng và vị trí của
hình phẳng so với trục Ox.
1. Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về một phía của trục Ox khi
quay quanh Ox.
Dạng 1: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi một đờng cong và
trục Ox.
⎧y = f ( x)
⎪
S : ⎨Ox ( y = 0)
⎪
⎩ x = a; x = b

Ng−êi thùc hiƯn: Ngun Đông Bắc.


Trang 5

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Nằm phía trên trục Ox

Nằm phía dới trục Ox

b

C«ng thøc tÝnh:

Vox = π.∫ [ f ( x )] .dx
2

a

Ví dụ:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau khi
quay quanh Ox:
b) y = x 2 − 2.x − 3; y=0.
c) y = x.e x ; y=0; x=1.
a) y = x ; Ox; x=1; x=4.
Bài giải:
a)
Nhận xét: Đây là một bài toán đúng dạng đang xét do vậy ta có thể áp dụng ngay
công thức mà không phải vẽ hình.
Lời giải:
Công thức tÝnh diƯn tÝch lµ:
4

Vox = π ∫ ( x )2 .dx
1

Thể tích khối tròn xoay là:
Vox =

15
(đvtt)
2

b)
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Trang 6

Nhận xét: Trục Ox có phơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nhng cha cho
các cận lấy tích phân x=a; x=b, ta tìm nó bằng cách giải phơng trình tơng
giao.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
y = x 2 − 2.x − 3 víi trơc Ox lµ
nghiƯm cđa phơng trình:
x = 1
x 2 2.x 3 = 0 ⇔ ⎢
⎣x = 3

C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch:
3

Vox = π ∫ ( x 2 − 2 x − 3)2 .dx
1

Thể tích vật thể là:
Vox =

832
(đvtt)
15

c)
Nhận xét: Trục Ox có phơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nhng cha đủ
cận lấy tích phân và đồ thị của nó ta cha biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại bằng
cách giải phơng trình tơng giao.
Lời giải:
Hoành độ giao ®iĨm cđa y = x.e x
víi trơc Ox lµ nghiƯm của phơng
trình:
x.e x = 0 x = 0

Công thức tÝnh thÓ tÝch:
1

1

0

0

Vox = π ∫ ( x .e x )2 .dx = π ∫ x 2 .e2 x .dx

⇒Sö dụng phơng pháp tích phân
từng phần ta có thể tích vật thể là:
Vox =

e2 1
(đvtt)
4

Dạng 2: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi từ hai đờng cong
trở lên.
Cách giải:
Bớc 1: Vẽ hình và xác định hoành độ các giao điểm.
Bớc 2: Phân chia hình phẳng thành các phần giới hạn bởi một đờng cong và
trục Ox.
Bớc 3: Xác định công thức tính thể tích và kết luận.
Ví dụ:
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Trang 7

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau khi
quay quanh Ox:
a) y = x 2 ; y=2-x, Ox.
b) y = x 2 2.x 3; y=0.
Bài giải:
a) Hoành độ giao điểm của

( P) : y = x 2 và (d): y=2-x là nghiệm
của phơng trình:
x=1
x 2 =2-x
x =1
x=-2 (loại)

Ta có: S=S1+S2 V=V1+V2
Công thøc tÝnh thÓ tÝch:
1

2

0

1

Vox = π ∫ ( x 2 )2 .dx + π ∫ (2 − x )2 .dx

ThÓ tích của vật thể là:
Vox =

8
(đvtt)
15

b) Hoành độ giao điểm của
(H) : y =

3

và (d): y=7-2x là
x

nghiệm của phơng tr×nh:
⎡ x=3
3
=7-2x ⇔ ⎢ 1
⎢ x=
x
⎢ 2
⎣

Ta cã: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2
⇒ C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch:
2

⎛3⎞
Vox = π∫ (7 − 2 x ) .dx − π∫ ⎜ ⎟ .dx
1
1 x
3

3

2

2

2

Thể tích của vật thể là:
Vox =

185
(đvtt)
2

2. Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về hai phía cđa trơc Ox khi quay
quanh Ox.
VÝ dơ 1: TÝnh thĨ tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox: y = sin x; Ox; x=0; x=2.
Bài giải:
Ta có: S=S1+S2 V=V1+V2 Công thức tính thể tích là:


2

Vox = (sin x )2 .dx + π ∫ ( sin x ) .dx
2

0

2π

=π (sin x )2 .dx
0

Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Trang 8

Thể tích của vật thể là: Vox = 2 (đvtt)
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng giới hạn bởi 1 đờng cong và trục Ox,
hình phẳng này có một phần nằm trên và một phần nằm phía dới trục Ox, và ta
thấy rằng công thức thiết lập ở phần I vẫn còn đúng.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox: x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x .
Bài giải:
Hoành độ giao điểm của (C) : x 2 + y 2 = 8 vµ (P): y 2 =2x là nghiệm của phơng
trình:
x2 = 4
x = 2
x 2 + (2 x )2 = 8 ⇔ ⎢ 2
⇔⎢
⇔ x=2
x = −2 (lo¹i)
⎣ x = −2 (lo¹i)
⎣

Ta cã: do tÝnh đối xứng của (C) và (P) khối tròn xoay quay bởi S là khối tròn
xoay quay bởi S1S2 V=V1+V2

M OA : y= 8-x 2 vµ AB : y= 2x
Ng−êi thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.

Trang 9

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Công thức tính thể tích là:
2

Vox = π∫
0

(

) .dx + π ∫ (
8

2

2x

8 − x2

2

2

) .dx
2

8

=π ∫ 2 x.dx + π ∫ ( 8 − x 2 ) .dx
0

⇒ ThĨ tÝch cđa vËt thĨ lµ: Vox =

2

16 8 28
(đvtt)
3

Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần đối xứng nhau qua trục Ox,
khối tròn xoay tạo thành có đợc bằng cách quay một phÇn quanh trơc Ox.
VÝ dơ 3: TÝnh thĨ tÝch khèi tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các ®−êng
sau khi quay quanh Ox: y = 3 − x; y = −1; x = 1; x = 3 ; y 2 = 2 x .
Bài giải:
S gồm 2 phần S1 nằm phía trên và S2 nằm phía dới Ox. Đối xứng của đờng
y = 1 qua trục Ox là ®−êng y = 1 vµ ®èi xøng cđa S2 qua Ox là S '2 khối tròn
xoay tạo thành là khối tròn xoay quay bởi S1 S '2 V=V1+V2
Hoành ®é giao ®iĨm cđa y = 1 vµ y=3-x lµ nghiệm của phơng trình:
3 x =1 x = 2

Công thøc tÝnh thĨ tÝch lµ:
2

3

1

2

Vox = π ∫ (3 − x )2 .dx + π ∫ dx

⇒ ThĨ tÝch cđa vật thể là: Vox =

10
(đvtt)
3

Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần phần S1 nằm phía trên và S2
nằm phía dới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Trang 10

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

lấy đối xứng S2 lên phía trên đợc S '2 và kết luận khối tròn xoay tạo thành do
hình phẳng S1 S '2 quay quanh Ox và đa bài toán về dạng quen thuộc.
3. Các bài tập tơng tự
Bài 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox:
a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2
b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4
c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2
d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2
e) y = xex; y = 0; x = 0; x = 1
f) y= x .lnx; y = 0; x =1; x = e

4
g) y = x ; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = – x + 3, Ox
j) y = x2 ,y = 2 – x, Oy
i) y = x2, y = 2 – x, Ox
3
l) y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2
k) y = x , y = – 2x + 7
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox:
a) y = 3x – x2; y = 0
b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1
4
e) y = 2x ; y = – x +3; y = 0
d) y = x ; y = – x + 5
g) y = x2; y = 2 – x; y = 0 (phÇn n»m ngồi y = x2)
h) y = x2; y = 10 – 3x; y = 1 (phần nằm ngoi y = x2)
IV. Kết quả so sánh đối chứng:
Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành cho
học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài tơng tự kết quả thu đợc nh sau:
Số HS giải thành thạo
34

Số HS không giải thành thạo
3

92%

8%

Qua bảng số liệu thu đợc ta thấy đề tài đà có tác dụng định hớng cho học

sinh trong quá trình giải bài toán tính thể tích khối tròn xoay. Các em không còn
lúng túng khi phải xác định công thức tính thể tích mà đà có nhìn nhận bài toán
đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài đà cho kết quả tốt đối với học sinh lớp đợc
lựa chọn.
V. Các kiến nghị sau khi thực hiện đề ti:
Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến
thức tơng đối đơn giản, t duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các
học sinh từ trung bình, hiệu quả của đề tài tơng đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô
dạy khối 12 cố gắng dành một tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này.

Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.


Trang 11

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay.

Các tài liệu tham khảo chính:
01. SGK Hình học 12
02. SGK Giải tích 12
03. Tuyển tập các phơng pháp tính tích phân- Trần Phơng.

Hoài Đức, tháng 05 năm 2009
Ngời thực hiện:

Nguyễn Đông Bắc.

VI. đánh giá của hội đồng thẩm định:

Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.