Skkn một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

MỤC LỤC
PHẦN I

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

PHẦN II
Chương 1
Chương 2
Chương 3
I
II
PHẦN III

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
MỘT SỐ GIẢI PHÁP
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I
2. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 5
Trang 5
Trang 5
Trang 9
Trang 11

KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1

KẾT LUẬN

2

KIẾN NGHỊ

3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Lê Thanh Xuân

Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 2

Trang 3

1 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường

Trang 15
Trang 16
Trang 17


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt chẽ
và logic. Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến thức cơ
bản về toán học phổ thông. Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng
và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em bị bế tắc
không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán. Một mặt, do các em thiếu kỹ năng về
phương pháp trình bày. Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp giải, hoặc đã
nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng phương pháp giải phù
hợp.
Trong chương trình môn Toán Giải tích lớp 12, mảng kiến thức về tích phân chiếm
một vị trí quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp, ĐH-CĐ, TCCN. Mặc dù,
sách giáo khoa giải tích 12(Cơ bản) đã nêu ra hai phương pháp giải là: phương pháp đổi biến
số và phương pháp tính tích phân từng phần, nhưng không nêu rõ các bước để thực hiện
phương pháp, cũng như phân loại dạng toán để áp dụng đối với từng phương pháp (đặc biệt
là phương pháp đổi biến số). Do đó, khi đứng trước một bài toán tích phân học sinh thường
hay lúng túng, không phân được dạng để áp dụng phương pháp, hoặc nếu phân được dạng
thì cũng không biết bắt đầu như thế nào, đặc biệt là đối với đa số học sinh có học lực trung

bình và yếu như ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ.
Nhằm nâng cao kỹ năng nhận dạng, cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân
cho học sinh, tôi đã chọn đề tài: “ MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC NHẬN DẠNG
BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT ” nhằm nêu ra một số kỹ năng nhận dạng
bài tập tích phân và hướng giải quyết những bài toán tích phân đó, qua đó giúp cho học sinh
Lê Thanh Xuân

2 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

với học lực đa số trung bình và yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ có một số kỹ năng
tối thiểu để giải các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT nói riêng và các kỳ
thi tuyển sinh nói chung.
2. Mục đích của đề tài:
Mục đích của đề tài này người viết muốn nêu ra một cách nhìn nhận, một số kỹ năng
trong việc giải các bài toán tích phân, nhằm giúp cho học sinh có được những kỹ năng cơ
bản để nhận dạng cũng như vận dụng phương pháp giải phù hợp khi đối diện với một bài
toán tích phân.
3. Đối tượng và phạm vi của đề tài:
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là một số dạng bài tập về tích phân trong
sách Giải Tích lớp 12-Cơ bản và một số bài toán tích phân trong các đề kiểm tra học kỳ II
của Sở Giáo dục và Đào tạo , cũng như các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp
THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng
dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong các năm học.
5. Thời gian nghiên cứu:
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT A Lưới từ năm
2007 đến nay.

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận:
Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kỹ năng
sống riêng. Kỹ năng của con người không phải sinh ra là đã có mà được hình thành từ môi
trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người.
Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài
trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và khái quát
hoá.
Kỹ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kỹ xảo, những thủ thuật
trong quá trình giải toán. Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với
những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh những thủ thuật đó là một điều thật
sự cần thiết cho người học toán.
Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học sinh
có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo
dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công việc cụ thể sẽ
vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học những
Lê Thanh Xuân

3 THPT Nguyễn Trường Tộ

Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính
kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp... của một sự vật, hiện tượng.
2. Cơ sở thực tiễn:
Nhiệm vụ trọng tâm trong mỗi năm học của trường THPT Nguyễn Trường Tộ là
nhằm nâng cao tỷ lệ thi đỗ tốt nghiệp trung học phổ thông, mà môn Toán là một trong những
môn thi bắt buộc trong sáu môn thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định hàng năm, trong đó
tích phân là một trong những mảng kiến thức hầu như phải có trong các đề thi Tốt nghiệp
THPT của Bộ GD-ĐT. Do đó, việc hình thành cho học sinh kỹ năng nhận dạng, chọn cách
giải phù hợp khi đứng trước một bài toán tích phân thực sự là một điều cần thiết và thiết
thực cho học sinh mà đặc biệt là học sinh dân tộc tiểu số với học lực đa số là trung bình và
yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ.

Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh trường THPT Nguyễn Trường Tộ đa số là người dân tộc thiểu số nên nhận
thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về tích phân đa số học
sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, hướng giải. Bên cạnh đó, sách giáo khoa
Giải tích 12-Cơ bản- Trang 108 trong phần “ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ”, ở phần
“ phương pháp đổi biến số ” sau khi đưa ra định lý:
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Giả sử hàm số
x = µ (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho
µ (α ) = a, µ ( β ) = b và a ≤ µ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ] .
Khi đó:
b

∫

a

β

f ( x)dx = ∫ f ( µ (t )) µ ' (t ) dt
α

1

sách giáo khoa đưa ra một ví dụ áp dụng là: “ Ví dụ 5: Tính

1

∫1+ x

2

dx , và được giải bằng

0

π
π
< t < ”.
2
2
Sau định lý và ví dụ trên sách giáo khoa lại đưa ra chú ý:

cách đặt x = tan t , −

Lê Thanh Xuân

4 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

“ Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Để tính

b

∫ f ( x)dx , đôi khi ta chọn hàm số
a

u = u (x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [ a; b] , u (x) có đạo hàm liên tục và u ( x) ∈ [α ; β ] .

Giả sử có thể viết:

f ( x ) = g (u ( x))u ' ( x) , x ∈ [ a; b ] , với g(u) liên tục trên đoạn [α ; β ] .

Khi đó, ta có:

b

u (b )

a

u(a)

∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du

”.

Sau phần chú ý trên, sách giáo khoa lại đưa ra hai ví dụ áp dụng, là: “ Ví dụ 6: Tính
π
2

1

∫ sin x cos xdx , và được giải bằng cách đặt u = sin x ; Ví dụ 7: Tính ∫
2

0

0

x

(1 + x )

2 3

dx , và được

giải bằng cách đặt u = 1 + x 2 ”.
Rõ ràng sách giáo khoa đã nêu ra hai phương pháp đổi biến số trong tính tích phân là
đổi biến số bằng cách đặt x = µ (t ) và đổi biến số bằng cách đặt u = µ (x) . Tuy nhiên, qua
thực tế nhiều năm giảng dạy các lớp 12 ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ, với học lực của

học sinh chủ yếu là trung bình và yếu thì riêng việc tiếp thu, hiểu định lý và chú ý trên đã là
quá khó chứ chưa nói đến việc áp dụng chúng để giải toán. Hơn nữa, sách giáo khoa cũng
không nêu ra các bước để thực hiện phương pháp đổi biến số một cách rõ ràng để học sinh
vận dụng, cũng như phân loại dạng toán để khi nào thì áp dụng phương pháp đổi biến số và
đổi sang biến mới thì đặt như thế nào. Bởi vậy, dù học sinh có nắm rõ các bước để thực hiện
phương pháp đổi biến số, nhìn được bài toán tích phân đã cho là sử dụng phương pháp đổi
biến số, thì đổi biến bằng cách đặt như thế nào, tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng và thiếu
tự tin.
Đối với “ phương pháp tính tích phân từng phần ”, sách giáo khoa đã đưa ra định lý
để làm cơ sở cho việc xây dựng công thức. Tuy nhiên về phân loại dạng toán để sử dụng
phương pháp tính tích phân từng phần thì phải sử dụng bảng tổng hợp các dạng toán tính
nguyên hàm từng phần ở Hoạt động 8 – Sách giao khoa - Cơ bản - Trang 100, nhưng bảng
tổng hợp ở phần này cũng chưa đầy đủ về phương pháp và dạng toán. Bởi vậy chúng ta cũng
cần phải bổ sung để học sinh có một cách nhìn tổng quát, đầy đủ về phương pháp và dạng
toán, từ đó học sinh có một cách nhìn tổng thể nhằm giúp cho học sinh sử dụng phương
pháp tích phân từng phần một cách chính xác và hiệu quả.

CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế tôi mạnh dạn xây dựng
những phương pháp, đưa ra một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và
hướng giải quyết những bài tập đó, qua đó giúp cho học sinh hình thành được những kỹ
năng, cách nhìn nhận để từ đó có hướng giải quyết khi đứng trước một bài toán tích phân một mảng kiến thức quan trọng thường được ra trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, cũng như
các kỳ thi tuyển sinh ĐH-CĐ và TCCN.
Lê Thanh Xuân

5 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

I. Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến số loại I ( đặt u = µ (x) ):
a) Phương pháp:
b

∫ f ( x)dx

Giả sử cần tính:

a

Bước 1: Đặt u = µ ( x) ⇒ du = µ ' ( x)dx
 x = a ⇒ u = µ (a)
Bước 2: Đổi cận : 
 x = b ⇒ u = µ (b)
Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx = g (u )du
b

µ (b )

µ (b )

a

(a)

µ (a)

∫ f ( x)dx = µ ∫ g (u)du = G(u )

Lúc đó:

= G ( µ (b)) − G ( µ (a ))

b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số
loại I:
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng
Cách giải:

Thông thường ta đặt u = Q(x)
3

Ví dụ 1: Tính

P( x)
(Q( x ))α

∫
0

x2

(1 + x )

3
2

dx

( Bài tập 3a – Giải Tích 12 – Cơ bản – Trang 113)
Bài giải:
Đặt u = 1 + x ⇒ du = dx
x = 0 ⇒ u = 1
x = 3 ⇒ u = 4

Đổi cận: 
Biểu thị:

x2
3

(1 + x ) 2

3

Do đó:

∫
0

x2

(1 − u ) 2 du

dx =

u
4

dx = ∫
3

(1 + x ) 2

1

3
2

(1 − u ) 2 du = 4 
u

3
2

∫ 
1

1

u

3
2

−2

u
u

3
2

+


u2 
du
3 

u2 
4

1
1
1
1
3
−
−
 −3


2 
5
= ∫  u 2 − 2u 2 + u 2 du =  − 2u 2 − 4u 2 + u 2  =
3 
3
1



1
4

3

∫

Vậy

0

x2

(1 + x )

3
2

dx =

5
3.

* Dạng 2: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng P( x).( Q( x) ) α
Cách giải: Thông thường ta đặt u = Q(x)
1

Ví dụ 2: Tính

∫x

2

(1 − x 3 ) 4 dx

0

( Đề thi TN THPT – Năm 2008)
Lê Thanh Xuân

6 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Bài giải:

1
3

3
2
2
Đặt u = 1 − x ⇒ du = −3x dx ⇒ x dx = − du

x = 0 ⇒ u = 1
x = 1 ⇒ u = 0

Đổi cận: 

1
3

2
3 4
4
Biểu thị: x (1 − x ) dx = − u du
1

0

1

1
1
1
Do đó: ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ u 4 du = ∫ u 4 du = u 5
31
30
15
0
2

1

∫x

Vậy

2

1

=

3 4

(1 − x 3 ) 4 dx =

0

0

1
15

1
.
15

* Dạng 3: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác.
b

∫ f (sin x). cos x.dx → đặt u = sin x

Cách giải: Nếu gặp :

a

b

∫ f (cos x).sin x.dx → đặt u = cos x
a

b

1

∫ f (tan x). cos

2

a

b

x

1

∫ f (cot x). sin

2

a

x

dx → đặt u = tan x
dx → đặt u = cot x

( f (u ) : là biểu thức biểu diễn theo u )
π
6

Ví dụ 3: Tính I = cos x dx
∫
0

1 + sin x

( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2008-2009 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
π
6

π
6

b

1
Phân tích: I = cos x dx =
∫0 1 + sin x
∫0 1 + sin x cos xdx ( Dạng: ∫a f (sin x). cos x.dx )
Đặt u = 1 + sin x ⇒ du = cos xdx
( Lẽ ra đặt u = sin x nhưng ta đặt u = 1 + sin x để mẫu số theo biến u được gọn hơn)

x = 0 ⇒ u = 1

Đổi cận:  π
3
 x = 6 ⇒ u = 2
cos x
1
dx = du
Biểu thị:
1 + sin x
u
π
6

3
2

Do đó: I = cos x dx = 1 du = ln u
∫
∫
0

Lê Thanh Xuân

1 + sin x

1

u

3
2

= ln
1

3
2

7 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
π
6

Vậy I = cos x dx = ln 3 .
∫
0

π
3

Ví dụ 4: Tính

∫
π cos

1 + sin x

2

dx
2

x. tan x

4

( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2005-2006 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
π
3

∫ cos

Phân tích:

π
4

π
3

dx
2

x. tan x

1
1
.
dx (Dạng: ∫ f (tan x).
.dx )
2
cos 2 x
tan x cos x
a

=∫
π
4

Đặt u = tan x ⇒ du =

b

1

1
dx
cos 2 x

π

 x = 4 ⇒ u = 1
Đổi cận: 
x = π ⇒ u = 3


3

Biểu thị:

dx
cos 2 x, tan x

π
3

Do đó:

∫
π cos

=

x. tan x

−

u
3

dx
2

1

−

1
2

du = u du
1
2

= ∫ u du = 2u
1

4

π
3

∫
π cos

Vậy

dx
2

x. tan x

(

3

1
2

(

)

= 2 4 3 −1
1

)

= 2 4 3 −1 .

4

* Dạng 4 : Hàm số dưới dấu tích phân chứa ln x
b

Cách giải:

Nếu gặp:

1

∫ f (ln x). x dx → đặt u = ln x
a

( f (ln x) : là biểu thức chứa ln x )
π

Ví dụ 5: Tính

e3

cos(ln x)
dx
x
1

∫

( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2006-2007 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
π

π

e3

e3

Phân tích: cos(ln x) dx = cos(ln x). 1 dx
∫1 x
∫1
x

b

( Dạng

a

1
x

Đặt u = ln x ⇒ du = dx
Lê Thanh Xuân

1

∫ f (ln x). x dx )

8 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
x = 1 ⇒ u = 0

π
Đổi cận: 
π
3
x = e ⇒ u =
3

cos(ln x)
dx = cos udu
Biểu thị:

x
π
3

π
3

π
e3

cos(ln x)
3
dx = ∫ cos udu = sin u =
x
2
1
0
0

Do đó:

∫

π

Vậy

e3

cos(ln x)

3
dx =
x
2
1

∫

* Dạng 5: Hàm số dưới dấu tích phân chứa

n

f ( x)

Cách giải: Chúng ta có thể đặt u = n f ( x)
( Để đơn giản, sau khi đặt u = n f ( x) ta nên nâng lũy thừa bậc n hai vế trước khi lấy
vi phân )
2

Ví dụ 6: Tính J = ∫

2 xdx
x2 +1

1

( Đề thi TN THPT – Năm 2007)
Bài giải:
Đặt u = x 2 + 1 ⇒ u 2 = x 2 + 1 ⇒ 2udu = 2 xdx ⇒ xdx = udu
 x = 1 ⇒ u = 2

 x = 2 ⇒ u = 5
2 xdx
2udu
=
= 2du
Biểu thị:
2
u
x +1

Đổi cận: 

2

Do đó:

∫

x2 +1

1

2

Vậy

∫

2 xdx
x2 +1

1

ln 5

Ví dụ 7: Tính I =

∫

ln 2

(e

x

)

e −1

∫ 2du = 2u

=

2

(

=2 5− 2

+1 ex

x

5

5

2 xdx

(

=2 5− 2

)

2

)

dx

( Đề thi TN THPT – Năm 2006)
Bài giải:
Đặt u = e x − 1 ⇒ u 2 = e x − 1 ⇒ 2udu = e x dx ⇒ e x dx = 2udu
 x = ln 2 ⇒ u = 2
 x = ln 5 ⇒ u = 5

Đổi cận: 

Lê Thanh Xuân

9 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

(e

Biểu thị:
ln 5

∫

Do đó:

ex −1

(e

x

∫

Vậy

(e

x

)

(u
5

+1 ex

)

+1 ex

e +1
x

ln 2

dx =

2

(

)

+1+1
2udu = 2 u 2 + 2 du
u

(

)

5

)

1

dx = ∫ 2 u + 2 du = 2 u 3 + 2u  = 50
3
2
ex +1
2

ln 2
ln 5

)

+1 ex

x

2

dx = 50

2) Đổi biến số loại II ( đặt x = µ (t ) )
a) Phương pháp:
b

Giả sử cần tính:

∫ f ( x)dx
a

Bước 1: Đặt x = µ (t ) ⇒ dx = µ ' (t )dt
 x = a ⇒ µ (t ) = a ⇒ t = α
Bước 2: Đổi cận : 
 x = b ⇒ µ (t ) = b ⇒ t = β
Bước 3: Biểu thị : f ( x) dx = g (t )dt
b

Lúc đó:

β

∫ f ( x)dx = α∫ g (t )dt = G(t )
a

β

= G ( β ) − G (α )
α

b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số
loại II:
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a 2 − x 2 (a > 0)
Cách giải: Ta có thể đặt x = a sin t ( hoặc x = a cos t )
( Vì hàm số y = sin t có hàm số ngược trên đoạn [ − π / 2; π / 2] nên ta chỉ xét biến số t
trên đoạn [ − π / 2; π / 2] , và hàm số y = cos t ta chỉ xét t ∈ [ 0; π ] )

1

Ví dụ 8: Tính

∫

1 − x 2 dx

0

( Bài tập 3b/ – Sách giáo khoa – Trang 113)
π
π
Bài giải:
Đặt x = sin t ( với − ≤ t ≤ ) ⇒ dx = cos tdt
2
2
 x = 0 ⇒ sin t = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận: 
π
 x = 1 ⇒ sin t = 1 ⇒ t = 2

Biểu thị: 1 − x 2 dx = 1 − sin 2 t cos tdt = cos 2 t cos tdt = cos t cos tdt
Do đó:

1

∫
0

π
2

π
2

0

0

π
1 − x 2 dx = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 2 tdt ( Vì 0 ≤ t ≤ 2 ⇒ cos t ≥ 0 )
π
2

π

2
1 + cos 2t
1
1
π
=∫
dt = (t + sin 2t ) =
2
2
2
4
0

0

Lê Thanh Xuân

10 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
1

Vậy

∫

1 − x 2 dx =

0

π
4

* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a 2 + x 2 (a > 0)
Cách giải: Ta có thể đặt x = a tan t ( hoặc x = a cot t )

 π π
( Vì các hàm số y = tan t và y = cot t có hàm ngược trên khoảng  − ;  nên ta chỉ


 π π

; )
 2 2

2 2

xét biến số t trên là khoảng  −
2

Ví dụ 9: Tính

dx

∫4+ x

2

0

Bài giải:

π
2
 π
dt
 − < t <  ⇒ dx =
2
cos 2 t
 2
 x = 0 ⇒ 2 tan t = 0 ⇒ t = 0


Đổi cận: 
π
 x = 1 ⇒ 2 tan t = 2 ⇒ t = 4
dx
1
2
1
2
1
=
.
.dt = . cos 2 t.
dt = dt
Biểu thị:
2
2
2
2
4
2
4+ x
4 + 4 tan t cos t
cos t

Đặt x = 2 tan t

π
4

π

dx
1
1 4 π
Do đó:
=
dt
=
2
∫0 4 + x ∫0 2 2 t 0 = 8
2

2

Vậy

dx

∫4+ x
0

2

=

π
8

3) Một số lưu ý về phương pháp đổi biến số:
Các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ,

TCCN thường được giải bằng phương pháp đổi biến số loại I nhiều hơn phương pháp đổi
biến số loại II. Tuy nhiên, khi đứng trước một bài toán tích phân nhiều khi chúng ta khó
phân biệt phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại nào. Vì vậy, khi đối diện với một bài
toán tích phân mà chúng ta đã xác định được bài toán đó thuộc một trong các dạng phải sử
dụng phương pháp đổi biến số, thì trước tiên chúng ta nên bắt đầu từ phương pháp đổi biến
số loại I, và nếu với phương pháp này chúng ta gặp khó khăn ở bước 3, nghĩa là việc biểu thị
biểu thức dưới dấu tích phân f ( x) dx theo g (u )du không thuận lợi thì chúng ta nghĩ ngay
đến phương pháp đổi biến số loại II.
1

Chẳng hạn, như Ví dụ 8: Tính

∫

1 − x 2 dx , nếu chúng ta nhận định rằng vì hàm số

0

dưới dấu tích phân có chứa

n

f ( x) là

1 − x 2 , nên sử dụng phương pháp đổi biến số loại I

bằng cách đặt u = 1 − x 2 , thì từ đó ta có:
u = 1 − x 2 ⇒ u 2 = 1 − x 2 ⇒ 2udu = −2 xdx ⇒ xdx = −udu

Lê Thanh Xuân

11 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Nhưng, như chúng ta thấy hàm số dưới dấu tích phân chỉ có dx , nếu thêm xdx vào biểu thức
dưới dấu tích phân thì phải có phép chia cho x , nghĩa là biểu thức dưới dấu tích phân sẽ trở
1− x2
xdx , và khi đó chúng ta sẽ gặp khó khăn vì hai nhẽ:
x
i) Vì tích phân được lấy từ 0 đến 1 nên có chứa x = 0 , do đó phép chia không hợp lệ.
ii) Theo cách đặt ở trên thì chúng ta có thể biểu thị được x 2 = 1 − u 2 , nếu chúng ta biểu
thị x theo u thì lại xuất hiện dấu căn mới.

thành:

Vì vậy, bài toán này không phù hợp với phương pháp đổi biến số loại I nên chúng ta
phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại II.
II. Phương pháp tính tích phân từng phần:
1) Công thức:
Nếu u = u (x ) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b]
thì:
b

b

b

∫ u( x)v' ( x)dx = (u ( x)v( x)) − ∫ u' ( x)v( x)dx
a

a

( hay

b

b

a

a

∫ udv = uv

a

b

− ∫ vdu )
a

2) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp tích phân từng
phần:
b

* Dạng 1: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x) cos xdx
a

( P(x) là đa thức của x )
u = P ( x)
du = P ' ( x) dx
⇒
dv = cos xdx v = sin x

Cách giải: Đặt 
π

Ví dụ 10: Tính ∫ x(1 + cos x)dx
0

( Đề thi TN THPT – Năm 2009)
Bài giải:
π

π

0

0

π

π

0

0

+ ∫ x cos xdx =

π2
+I
2

Ta có: ∫ x(1 + cos x)dx = ∫ ( x + x cos x)dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx
=

2 π

x
2

0

π

0

π

Ta tính I = ∫ x cos xdx
0

u = x
du = dx
⇒
Đặt: 

dv = cos xdx v = sin x
π

π

π

π

Khi đó: I = x sin x 0 − ∫ sin xdx = x sin x 0 + cos x 0 = −2
0

Lê Thanh Xuân

12 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
π

Vậy ∫ x(1 + cos x)dx =
0

π2
−2
2
b

* Dạng 2: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x) sin xdx

a

( P(x) là đa thức của x )
u = P ( x)
du = P ' ( x )dx
⇒
Cách giải: Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x
π
2

Ví dụ 11: Tính I = (1 + x) sin xdx
∫
0

( Bài tập 4a/ – Sách giáo khoa – Trang 113)
Bài giải:
u = 1 + x
du = dx
⇒
dv = sin xdx v = − cos x

Đặt: 
Khiđó:

I = − (1 + x) cos x

π
2
0

π
2

π

π

+ ∫ cos xdx = − (1 + x) cos x 02 + sin x 02 = 2
0

π
2

Vậy (1 + x) sin xdx = 2
∫
0

b

x
* Dạng 3: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x)e dx
a

( P(x) là đa thức của x )
u = P ( x)
du = P' ( x)dx
⇒
Cách giải: Đặt 


x
x
dv = e dx v = e
1

x
Ví dụ 12: Tính I = ∫ (4 x + 1)e dx
0

( Đề thi TN THPT – Năm 2008 – Lần 2)
Bài giải:
u = 4 x + 1

du = 4dx
⇒

x
x
dv = e dx v = e

Đặt: 

Khi đó: I = (4 x + 1)e

x 1
0

1

1

1

0

0

+ ∫ 4e x dx = (4 x + 1)e x + 4e x
0

1

x
Vậy I = ∫ (4 x + 1)e dx = 9e − 5
0

Lê Thanh Xuân

13 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường

= 9e − 5


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết
b

* Dạng 4: Nếu tích phân cần tính có dạng ∫ P( x) ln xdx
a

( P(x) là đa thức của x , P(x) có thể bằng 1 )
1

u = ln x
du = dx
⇒
x
Cách giải: Đặt 
dv = P( x) dx v là một nguyên hàm của P(x)

1

Ví dụ 13: Tính K = ∫ 2 x ln xdx
0

( Đề thi TN THPT – Năm 2007 )
Bài giải:
1

u = ln x
du = dx
⇒
x
Đặt: 
dv = 2 xdx v = x 2

3

3

3
3
1
x2
Khi đó: K = x ln x 1 − ∫ x dx = x 2 ln x 1 − ∫ xdx = x 2 ln x 1 −
x
2
1
1
= 9 ln 3 − 4
2

3

3

2

1

1

Vậy K = ∫ 2 x ln xdx = 9 ln 3 − 4
0

3) Một số lưu ý về phương pháp tính tích phân từng phần:
b

Ngoài các bài toán tích phân có dạng:

b

b

∫ P( x) cos xdx , ∫ P( x) sin xdx , ∫ P( x)e
a

a

x

dx ,

a

b

∫ P( x) ln xdx

thì chúng ta phải sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần như đã nêu ở

a

trên, thì những bài toán tích phân có dạng sau:
b

∫ P ( x )e
a

ax + b

b

b

a

a

∫ P( x) cos(ax + b).dx , ∫ P( x) sin(ax + b).dx ,

b

dx ,

∫ P( x) ln(ax + b).dx

cũng được giải bằng phương pháp tích phân từng phần với

a

cách đặt u và dv hoàn toàn tương tự.

Lê Thanh Xuân

14 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1) Kết luận:
Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những kỹ năng nhất định. Đó là những
kỹ năng đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó. Phát hiện được những
kỹ năng tiềm tàng trong một dạng toán là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh
dạng toán đó và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hoá mục đích
dạy học dạng toán đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt kết quả hay
không và đạt được đến mức độ nào.
Không có kỹ năng nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá
trình dạy học. Cùng một dạng toán đó, nhưng có bài lại phù hợp với kỹ năng này nhưng bài
toán khác lại phù hợp với kỹ năng khác. Và hiển nhiên chúng ta không thể áp dụng cứng
nhắc mỗi dạng toán với một kỹ năng nhất định mà còn phụ thuộc rất nhiều vào từng bài toán
cụ thể, phụ thuộc vào sự nhận thức, sự tiếp thu của từng đối tượng học sinh.
Tích phân là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng
và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng kiến thức tương đối khó,
đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi chỉ dừng lại ở mức độ là áp dụng cho học sinh có học lực đa số là trung
bình và yếu như ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ. Vì vậy, việc phân loại dạng toán trong
hai phương pháp là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần có thể
chưa được tổng quát và đầy đủ. Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng với mức độ nhận thức còn yếu
như học sinh của trường THPT Nguyễn Trường Tộ thì những kỹ năng nhận dạng như trên là
vừa sức đối với học sinh và cũng mang lại cho học sinh những thủ thuật tương đối đầy đủ để
Lê Thanh Xuân

15 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

giải các bài toán tích phân trong một kỳ thi mà tầm quan trọng của nó chỉ dừng lại ở mức độ
đánh giá về kỹ năng vận dụng kiến thức với mức độ cơ bản như kỳ thi tốt nghiệp THPT.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 12, được
học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ và cũng đã nâng cao khả năng giải toán
tích phân cho học sinh. Ngoài ra, các em còn hứng thú học tập hơn và ở những lớp có hướng
dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cũng đã có kỹ năng giải các bài tập tốt hơn.
Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh
hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán như đã nêu ra trong sáng kiến kinh
nghiệm này , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm học

Lớp

Tổng số

2009-2010
2010-2011
2011-2012

12a1
12a1
12a3

38
38
39

Điểm 8 trở lên
Số

Tỷ lệ
lượng
15
39%
17
45%
7
18%

Điểm từ 5 đến 7
Điểm dưới 5
Số
Số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
19
50%
4
11%
14
37%
7
18%
22
56%
10
26%

( Ở đây các lớp 12a1 là các lớp chọn của trường THPT Nguyễn Trường Tộ, còn lớp
12a3 là lớp có học lực đa số là trung bình – yếu nên với kết quả thực nghiệm như trên
đối với lớp 12a3 có thể nói rằng sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại kết quả đáng
khích lệ )
Như vậy tôi nhận thấy các kỹ năng đã mang lại hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy
phần phương pháp tính tích giáo viên cần chỉ rõ các các bước trong mỗi phương pháp và
cách nhận dạng đối với mỗi phương pháp để học sinh tiếp thu bài được tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế.
Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp
để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn.
2) Một số kiến nghị:
* Đối với tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Trường Tộ:
- Cần phát động, động viên các thành viên trong tổ tăng cường nghiên cứu khoa học,
sáng tạo đồ dùng dạy học, nghiên cứu ứng dụng các phần mêm dạy học để kích thích sự say
mê học tập của học sinh về môn toán nói riêng mà các môn học khác nói chung.
- Cần có những buổi để thảo luận về những chuyên đề, những kinh nghiệm trong
công tác giảng dạy.
* Đối với trường THPT Nguyễn Trường Tộ:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo hay để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn
nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu
phát triển chuyên đề.

-----------------------------------Hết---------------------------------Lê Thanh Xuân

16 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường

Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Cơ Bản - NXB Giáo Dục - 2008.
2. Sách giáo viên Giải tích 12-Cơ Bản - NXB Giáo Dục - 2008.
3. Các phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, tích phân và số phức – Phan Huy Khải – NXB
Giáo Dục – Năm 2009..
4. Một số đề thi tốt nghiệp THPT của Bộ GD – ĐT.

Lê Thanh Xuân

17 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

Ý KIẾN CỦA TỔ TOÁN-TIN.
* Ưu điểm:
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

* Khuyết điểm:

.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

Đức Cơ , ngày tháng năm 2011
Tổ trưởng tổ toán – tin - CN
( Ký, ghi rõ họ tên)

Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TRƯỜNG THPT
NGUYỄN TRƯỜNG TỘ.
* Nhận xét SKKN:
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Lê Thanh Xuân

18 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường


Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

.................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.......................................................................................................

* Kính đề nghị hội đồng duyệt SKKN của Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai xem xét
và công nhận.

Đức Cơ, ngày
tháng
năm 2011
Chủ tịch hội đồng duyệt sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Nguyễn Trường Tộ.
( Ký, ghi rõ họ tên)

Lê Thanh Xuân

19 THPT Nguyễn Trường Tộ
Trường