Skkn phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Bất phương trình mũ và bất phương trình logrit là những dạng toán quan trọng
trong chương trình toán học phổ thông. Đây là dạng toán cơ bản thường xuất hiện
trong các đề thi, đặc biệt là đề thi tốt nghiệp và các đề thi vào các trường cao đẳng, đại
học. Trong khi đó do thời gian có hạn nên sách giáo khoa mới chỉ dừng lại ở các bài
tập cơ bản, mặc dù sách giáo khoa có sự phân loại dạng bài tập và phương pháp giải
song số lượng bài tập tự rèn luyện còn rất ít và chưa phong phú. Vì vậy, để giúp học
sinh có kỉ năng và đỡ lúng túng khi gặp những bài toán về bất phương trình mũ và bất
phương trình logarit, tôi đã lựa chọn đưa ra một số bài tập đã được phân loại cùng với
các phương pháp giải các loại bài tập này. Chính vì lý do đó tôi đã chọn đề tài
“Phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit ”.
Thông qua hệ thống bài tập đã được phân lọai cùng với phương pháp giải các bài
tập đó, thì nhiệm vụ của đề tài chỉ mong sẽ góp phần giúp học sinh hình thành, cũng
cố và rèn luyện kỉ năng làm việc với bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
2.

Phạm vi và mục đích của đề tài.

Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng rất phong phú
song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp
xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp cùng phương pháp giải. Thông qua hệ thống bài
tập đã được phân loại cùng phương pháp giải các dạng bài tập đó, thì nhiệm vụ của đề
tài chỉ mong góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng làm
việc với bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
3.

Đối tượng áp dụng và phương pháp tiến hành

Nội dung đề tài chủ yếu tập trung cho học sinh 12 của trường. Để học sinh nắm
kỹ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, trong các tiết học chính

khóa giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm chắc phần cơ sở lý thuyết liên quan, nắm
được các phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.

PHẦN II. NỘI DUNG
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

1


A.

Cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài

I. Lũy thừa:
1. Với a , b ∈ ¡ *+ ; m, n ∈ ¡ ta có
• ( a m ) = a mn

• ( a.b ) = a n .bn

am
• n = a m−n
a

• a x > 0; ∀ x ∈ R

n

• a m .a n = a m +n
n

n
a a
• ÷ = n
 b b

n

2. Với a > 0; m, n ∈ ¢; n > 1 , ta có:
1

• an = n a

m

• a n = n am

•

n

 a khi n = 2k + 1
an = 
;k ∈ ¢
 a khi n = 2k

3. Với a ≠ 0; n ∈ ¥ ta có:
−1
•a =

• a0 = 1

1
a

-n
• a =

1
an

4. Với a > 0 và m, n ∈ ¡ ta có:
• Khi a > 1 thì : a m < a n ⇔ m < n
• Khi 0 < a < 1 thì : a m < a n ⇔ m > n
II. Lôgarit:
1. Với a , b > 0; a ≠ 1 ta có
• log a b = c ⇔ a c = b
 a, b > 1
• log a b > 0 ⇔ 
0 < a, b < 1
2. Với a , b > 0; a ≠ 1 ta có
• log a 1 = 0

• log a a = 1

• a log a b =b

• log a a α = α

3. Với a , b, c > 0; a ≠ 1 ta có:
• log a ( b.c) = log a b + log a c • log a

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

b
= log a b − log a c
c

• log a bα = α log a b
2


• log aα b =

1
log a b
α

n m
• log a b =

m
log a b
n

m
• log a n b =

m
log a b
n

4. Với a , b, c > 0; a, b ≠ 1 ta có:
• log a b.logb c = log a c

log a b =

•

1
logb a

log a c =

•

log b c
log b a

5. Với a , b, c > 0; a ≠ 1 ta có:
• Khi a > 1 thì : log a b > log a c ⇔ b > c .
• Khi 0 < a < 1 thì : log a b > log a c ⇔ b < c .
6. Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân, kí hiệu: log10 a = log a = lg a .
Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên, kí hiệu: log e a = ln a .
III. Đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit:

(e )

x '

= ex

•

(a )

1
x

•

( loga x )

(a )

= u '.a u .ln a •

- Với ∀x ta có:

•

- Với ∀x > 0 ta có:

• ( ln x ) =
'

- Với u = u ( x ) ta có:

•

- Với u = u ( x ) và u > 0 ta có:

• ( ln u ) =

u '

'

x '

u'
u

= a x .ln a

•

'

=

(e )

1
x.ln a

u '

= u '.eu

( loga u )

'

=

u'
u.ln a

B. Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit
I. Bất phương trình mũ:
1. Bất phương trình mũ cơ bản
x
x
x
x
có dạng: a > b ( hay a ≥ b; a < b; a ≤ b ) với a > 0; a ≠ 1

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử
dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế
đều dương) theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất
phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận
ngay về tập nghiệm) từ đó ta có các trường hợp sau:
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

3


1. Nếu b > 0 và a > 1 thì
• a ≥ b ⇔ x ≥ log a b

• a x > b ⇔ x > log a b ;

• a x < b ⇔ x < log a b

• a x ≤ b ⇔ x ≤ log a b

2. Nếu b > 0 và 0 < a < 1
• a x > b ⇔ x < log a b

• a x ≥ b ⇔ x ≤ log a b

• a x < b ⇔ x > log a b

• a x ≤ b ⇔ x ≥ log a b

3. Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình a x > b; a x ≥ b đều đúng với ∀x ∈ ¡ . Vậy
tập nghiện là ¡
4. Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình a x < b; a x ≤ b đều vô nghiệm
Chú ý: Cách giải trên có thể mở rộng với các dạng bất phương trình
a f ( x ) > b hay a f ( x ) ≥ b; a f ( x ) < b; a f ( x ) ≤ b với a > 0; a ≠ 1

(

)

Ví dụ: Giải các bất phương trình
a. 2 x > 3 ⇔ x > log2 3
2 x −1
b. 4 ≥ 1 ⇔ 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1
2

x

1
c.  ÷ ≤ 27 ⇔ x ≥ log1/ 3 27 ⇔ x ≥ −3
3
d. 2 x

2

−3 x

<

1
1
⇔ x 2 − 3 x < log2 ⇔ x 2 − 3 x < −2
4
4
⇔ x 2 − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2

2. Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản
a. Đưa về cùng cơ số:

f x
g x
a ( ) > a ( ) ; ( a > 0, a ≠ 1)

Để giải bất phương trình này ta thường áp dụng tính chất
- Với a > 1 thì: a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )

- Với 0 < a <1 thì: a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x )
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

4


Ví dụ: Giải phương trình
a/

2

2 x +3 x −4 > 4 x −1

Phân tích: Để ý rằng cơ số 4 = 2 2 , nên ta sẽ biến đổi đưa về cùng cơ số 2 và áp
dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, để ta đưa về bất phương trình đại số.
Từ đó ta có lời giải sau.
Giải:
Đk của bpt x ∈ ¡
Ta có

2

2 x +3 x −4 > 4 x −1 ⇔ 2 x

2

> 22 x −2 ⇔ x 2 + 3 x − 4 > 2 x − 2

+3 x −4

x > 1
⇔ x2 + x − 2 > 0 ⇔ 
 x < −2
Vậy bpt có tập nghiệm S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 1; +∞ ) .

(

b/ 2 + 3

)

3 x +1

(

≤ 2− 3

)

5 x +8

(

)(

)

(

) (

Phân tích: Ta nhận thấy 2 + 3 2 − 3 = 1 ⇒ 2 − 3 = 2 + 3

)

−1

.

Như vậy ta sẽ biến đổi phương trình đưa về cùng cơ số 2 + 3 .
Giải:
Đk của bpt x ∈ ¡

(

Ta có bpt 2 + 3

)

3 x +1

(

≤ 2+ 3

)

−5 x −8

⇔ 3 x + 1 ≤ −5 x − 8 ⇔ x ≤

−9
8

9

Vậy bpt có tập nghiệm S =  −∞; − 
8

Nhận xét: Dạng tổng quát của lớp các bất phương trình có dạng

(

)

f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
a ( ) > a ( ) a ( ) ≥ a ( ) ; a ( ) < a ( ) ; a ( ) ≤ a ( ) với a > 0, a ≠ 1

Đưa về cùng cơ số là phương pháp rất hay dùng khi giải bất phương trình mũ và
bất phương trình logarit. Nó thường được dùng kết hợp với các phương pháp khác mà
ta sẽ nêu dưới đây.
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

5


b. Đặt ẩn phụ:
Mục đích của việc đặt ẩn phụ là đưa về bất phương trình mới đơn giản hơn.
• Đặt t bằng hàm số mũ , với điều kiện t > 0 .
• Thế t vào bpt đã cho, ta được bpt đại số theo t , giải bất phương trình tìm t .
• Giải bpt mũ cơ bản tìm x .

Ví dụ : Giải bất phương trình
a/ 4 x − 3.2 x + 2 ≥ 0
Phân tích : Ta nhận thấy 4 x = 2 2 x = ( 2 x ) , do đó ta sẽ chuyển việc giải bất
2

phương trình đã cho về việc giải bất phương trình có dạng đơn giản hơn nhờ phép đặt
ẩn phụ.
Giải .
Đk của bpt x ∈ ¡
2 x
x
x 2
x
4 x − 3.2 x + 2 ≥ 0 ⇔ (2 ) − 3.2 + 2 ≥ 0 ⇔ (2 ) − 3.2 + 2 ≥ 0
0 < t ≤ 1
x
2
(1) . Đặt t = 2 ( t > 0 ) . Ta được bpt t − 3t + 2 ≥ 0 ⇔ 
.
t ≥ 2

Ta biến đổi pt

Với t ≤ 1 ⇒ 2 x ≤ 1 ⇔ 2 x ≤ 20 ⇔ x ≤ 0 .
Với t ≥ 2 ⇒ 2 x ≥ 2 ⇔ 2 x ≥ 21 ⇔ x ≥ 1
Vậy tập nghiệm bpt là S = ( −∞;0] ∪ [ 1; +∞ ) .
Nhận xét : Bất phương trình trên thuộc lớp các bất phương trình có dạng tổng
2 f ( x)
+ β a f ( x ) + γ > 0; ( ≥, <, ≤ ) trong đó α , β , γ , a ∈ R, a > 0 . Để giải bất
quát là : α a

phương trình này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt t = a f ( x ) ; t > 0 rồi đưa về bất phương trình bậc hai.
b/ 2 x + 21− x − 3 < 0

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

6


x −x
−x
Phân tích : Ta nhận thấy 2 .2 = 1 ⇒ 2 =

1
. Vậy đối với bất phương trình
2x

này ta sẽ thực hiện phép biến đổi nhân hai vế với 2 x ta được bất phương trình dạng ở
ví dụ a, hoặc đặt ẩn phụ t = 2 x ; t > 0 rồi biến đổi ta được bất phương trình bậc hai ẩn t.
Giải .

Đk của bpt x ∈ ¡
21
−3< 0
2x
⇔ 2 x.2 x + 2 − 3.2 x < 0 ⇔ (2 x ) 2 − 3.2 x + 2 < 0 (1) .

Biến đổi pt 2 x + 21− x − 3 < 0 ⇔ 2 x +

• Đặt t = 2 x ; t > 0 .

bpt (1) ⇔ t 2 − 3t + 2 < 0 ⇔ 1 < t < 2

.

Với 1 < t < 2 ⇔ 1 < 2 x < 2 ⇔ 0 < x < 1 .
Vậy tập nghiệm bpt là S = ( 0;1) .
f ( x)
f ( x)
Nhận xét : Dạng tổng quát của dạng bpt trên là α a + β b + γ > 0; ( ≥, <, ≤ )

trong đó α , β , γ , a, b ∈ R; a, b > 0 và a.b = 1 . Để giải bất phương trình dạng này, ta
thường biến đổi nó về một bất phương trình bậc hai với a f ( x ) (hoặc b f ( x ) ) bằng cách
nhân cả hai vế với a f ( x ) (hoặc b f ( x ) ). Với a f ( x ) > 0 (hoặc b f ( x ) > 0 ) nên ta được bpt
mới tương đương cùng chiều.
c/ 2

(

)

2 +1

x −1

+3

(

)

2 −1

Phân tích : Ta nhận thấy

x −1

(

−7 > 0 .

)(

2 +1

thuộc lớp bất phương trình dạng

)

2 − 1 = 1 . Do đó bất phương trình đã cho

α a f ( x ) + β b f ( x ) + γ > 0; ( ≥, <, ≤ )

trong đó

α , β , γ , a, b ∈ R; a, b > 0 và a.b = 1 . Vậy để giải bpt đã cho, ta biến đổi nó về bpt bậc
hai đối với

(

)

2 +1

x−1

bằng cách nhân hai vế với

(

)

2 +1

x−1

. Ta có lời giải sau :

Giải .
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

7


Đk của bpt x ∈ ¡
Ta có 2

(

2 +1

)

x −1

Đặt t =

(

)

x −1

2 +1


 1
t
<

Với  2 ⇔ 



t > 3


(
(

+3

(

)

2 −1

x −1

−7 > 0 ⇔ 2

(

)

2 +1

2( x −1)

+ 3−7

(

)

2 +1

x −1

>0

1

0
<
t
<
; t > 0 . Ta có bpt 2t − 7t + 3 > 0 ⇔ 
2

t > 3
2

)
2 + 1)
2 +1

1
 x < 1 − log
2⇔
x −1

 x > 1 + log
>3
x −1

<

(

Vậy bpt có tập nghiệm S = −∞;1 − log

2 +1

2 +1
2 +1

) (

2
3

2 ∪ 1 + log

2 +1

3; +∞

)

d/ 3.4 x − 2.6 x ≤ 9 x
Phân tích : Ta có bpt 3.4 x − 2.6 x ≤ 9 x ⇔ 3.22 x − 2.6 x − 32 x ≤ 0 . Ta nhận thấy

2.3 = 6. Do đó khi chia hai vế của bất phương trình cho 9 x thì ta được một bất
x
2
phương trình bậc hai đối với  ÷ .
 3
Giải
Đk của bất phương trình x ∈ ¡
x

x

4x
6x 9 x
4
6
Chia hai vế bpt cho 9 . Ta có: 3. x − 2. x ≤ x ⇔ 3.  ÷ − 2.  ÷ ≤ 1
9
9
9
9
9
x

x

x

2

x

x
x
  2 2 
  2 x 
 22 
2
2
2
⇔ 3.  2 ÷ − 2.  ÷ ≤ 1 ⇔ 3.   ÷ ÷ − 2.  ÷ ≤ 1 ⇔ 3.   ÷ ÷ − 2.  ÷ ≤ 1
 3  ÷
 3  ÷
 3
 3
 3
3 




x

2
Đặt t =  ÷ , đk t > 0 . BPT (1)
 3
1
⇔ 3.t 2 − 2.t ≤ 1 ⇔ 3.t 2 − 2.t − 1 ≤ 0 ⇔ − ≤ t ≤ 1 với t > 0 suy ra 0 < t ≤ 1
3
x

x

0

2
2
2 2
< 1)
Với t ≤ 1 ⇔  ÷ ≤ 1 ⇔  ÷ ≤  ÷ ⇔ x ≥ 0 ,( vì cơ số
3
 3
 3  3
Vậy bpt có tập nghiệm S = [ 0; +∞ )
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

8


Nhận

xét:

Dạng

α a 2 f ( x ) + β b 2 f ( x ) + γ ( ab )

tổng

f ( x)

quát

của

lớp

bài

toán

trên

có

dạng

> 0; ( ≥, <, ≤ ) trong đó α , β , γ , a , b ∈ R; a , b > 0 và a , b ≠ 1 .

Để giải các bất phương trình dạng này, người ta thường biến đổi nó về bpt bậc hai đối
f ( x)

a
với  ÷
b

f ( x)

b
(hoặc  ÷
a

) bằng cách chia hai vế cho b 2 f ( x ) hoặc ( a 2 f ( x ) ).

c. Lôgarit hóa 2 vế:
f ( x)
> b g ( x ) ⇔ f ( x ) > ( log a b ) . g ( x )
- Với a > 1 thì a
f ( x)
> b g ( x ) ⇔ f ( x ) < ( loga b ) . g ( x )
- Với 0 < a < 1 thì a

Dùng trong trường hợp 2 vế bất phương trình là tích của nhiều lũy thừa và là một
số dương. Cơ số của lôgarit được chọn là cơ số của lũy thừa có số mũ phức tạp nhất .
2

Ví dụ : Giải bpt : 3x.2 x ≥ 1 .
Phân tích: Ta nhận thấy trong bất phương trình có tích của hai lũy thừa với cơ số
khác nhau và không biểu diễn được qua cùng một cơ số.
Giải
Đk của bpt x ∈ ¡
Lấy logarit cơ số 3 hai vế , ta được :
2

2

2

3x.2 x ≥ 1 ⇔ log 3 (3x.2 x ) ≥ log 3 1 ⇔ log 3 (3x.2 x ) ≥ 0
x ≥ 0
⇔ log 3 3 + log 3 2 ≥ 0 ⇔ x + x log 3 2 ≥ 0 ⇔ 
1

 x ≤ log 2
3

x2

x

2

2

Ví dụ : Giải bpt : 49.2 x < 16.7 x
Giải
Đk của bpt x ∈ ¡
2

2

Ta có 49.2 x < 16.7 x ⇔ 2 x −4 < 7 x −2
Lấy logarit cơ số 2 hai vế , ta được :
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

9


2

2 x −4 < 7 x −2 ⇔ log 2 2 x

2

−4

< log 2 7 x −2 ⇔ x 2 − 4 < ( x − 2 ) .log 2 7

⇔ x 2 − x.log 2 7 + 2log 2 7 − 4 < 0 ⇔ −2 + log 2 7 < x < 2
Vậy tập nghiệm bpt S = ( −2 + log 2 7;2 )
Nhận xét: Bất phương trình trên thuộc lớp các bất phương trình dạng

α .a f ( x ) > β .b g ( x ) ; ( ≥, <, ≤ ) trong đó α , β , a, b > 0 và a, b ≠ 1 . Để giải bất phương trình
dạng này , người ta thường sử dụng phép biến đổi lấy logarit cơ số a hoặc b.
Lôgarit hóa là phương pháp khá thông dụng trong việc giải bất phương trình mũ.
Khi lôgarit hóa, ta cần khéo chọn cơ số để lời giải được gọn hơn.
II. Bất phương trình lôgarit:
1. Bất phương trình logarit cơ bản
có dạng: log a x > b ( hay log a x ≥ b;log a x < b;log a x ≤ b ) với a > 0; a ≠ 1
1. Nếu a > 1 thì
• log a x > b ⇔ x > a b ;

• log a x ≥ b ⇔ x ≥ a b

• log a x < b ⇔ 0 < x < a b

• log a x ≤ b ⇔ 0 < x ≤ a b

2. Nếu 0 < a < 1 thì
• log a x > b ⇔ 0 < x < a b ;

• log a x ≥ b ⇔ 0 < x ≤ a b

• log a x < b ⇔ x > a b

• log a x ≤ b ⇔ x ≥ a b

Chú ý:
- Khi giải bất phương logarit cũng như phương trình ta cần chú ý đến điều kiện
của bất phương trình.
- Phương pháp giải trên có thể mở rộng cho các dạng bất phương trình
log a f ( x ) > b ( hay log a f ( x ) ≥ b;log a f ( x ) < b;log a f ( x ) ≤ b ) với a > 0; a ≠ 1 .
Ví dụ: Giải các bpt
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

10


a. log 2 x > 3 ⇔ x > 8 ⇒ S = ( 8; +∞ )
4 − 2 x > 0
x<2

−2 ⇔ 
⇒ S = [ 0;2 )
b. log 1 ( 4 − 2 x ) ≥ −2 ⇔ 

1
x≥0
4
−
2
x
≤




÷
2
2

2. Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản
a. Đưa về cùng cơ số: với a > 0; a ≠ 1 : log a f ( x ) > log a g ( x )
Để giải bpt này ta áp dụng tính chất
- Với a > 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )
- Với 0 < a < 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x )
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau
a/ log 2 x − log 1 x + log8 x <
4

Phân tích: Ta nhận thấy

11
6

1
= 2 −2 ;8 = 23 . Vì thế, có thể quy đồng cơ số các hàm
4

logarit có mặt trong các bất phương trình. Hơn nữa sau khi quy đồng cơ số, dựa vào
tính chất hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình. Với nhận xét
đó, ta có lời giải sau:
Giải.
Đk của bpt x > 0 .

Ta có bpt: log 2 x − log 1 x + log8 x <
4

11
1
1
11
⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x <
6
2
3
6

11
11
11
 1 1
 1 + + ÷log 2 x < ⇔ log 2 x < ⇔ log 2 x < 1 ⇔ x < 2 .
6
6
6
 2 3
Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S = ( 0;2 )
b/ log 3 x − 2log 1 ( x + 6 ) ≥ 3
9

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

11

Phân tích: Ta nhận thấy

1
= 3−2 . Vì thế, có thể quy đồng cơ số các hàm logarit
9

có mặt trong các bất phương trình. Hơn nữa sau khi quy đồng cơ số, dựa vào tính chất
hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình. Với nhận xét đó, ta có
lời giải sau:
Giải.
x > 0
x > 0
⇔
⇔ x > 0.
Đk 
x + 6 > 0
 x > −6
Ta có log 3 x − 2log 1 ( x + 6 ) ≥ 3 ⇔ log 3 x + log 3 ( x + 6 ) ≥ 3 ⇔ log 3 x ( x + 6 ) ≥ 3
9

x ≥ 3
⇔ x ( x + 6 ) ≥ 27 ⇔ x 2 + 6 x − 27 ≥ 0 ⇔ 
 x ≤ −9
So sánh điều kiện suy ra nghiệm bpt x ≥ 3
Nhận xét: Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của bất
phương trình trước khi biến đổi. Nhiều học sinh hay mắc sai lầm là quên điều kiện dẫn
đến lấy nghiệm sai.
c.

log 1 ( 3x − 5) > log 1 ( x + 1)
5

5

Phân tích: Ta nhận thấy đây là bpt dạng só sánh 2 logarit có cùng cơ số

1
< 1.
5

Khi đó ta có lời giải sau
Giải
3x − 5 > 0
5
⇔x>
Đk 
3
x +1 > 0
Ta có

log 1 ( 3 x − 5) > log 1 ( x + 1) ⇔ 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3
5

5

5 
Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S =  ;3 ÷
3 

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

12


d.

log 2 ( x + 5 ) + log 1 ( 3 − x ) ≤ 0
2

Ta nhận thấy

1
= 2 −1 . Vì thế, có thể biến đổi bất phương trình đưa về cùng cơ số
2

và dựa vào tính chất hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình
và đưa về dạng đơn giản. Với nhận xét đó, ta có lời giải sau:
Giải
x + 5 > 0
⇔ −5 < x < 3
Đk 
3 − x > 0
Ta có
log 2 ( x + 5 ) + log 1 ( 3 − x ) ≤ 0 ⇔ log 2 ( x + 5) ≤ log 2 ( 3 − x )
2

⇔ x + 5 ≤ 3 − x ⇔ x ≤ −1
Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S = ( −5; −1]
b. Đặt ẩn phụ : Ta thường sử dùng phương pháp này đối với những bất phương

trình chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích hoặc thương.
Ví dụ : Giải bất phương trình
a/ log 22 x − 5log2 x + 6 > 0
Phân tích: Ta nhận thấy bpt chứa hàm log 2 x bậc hai, nên khi đặt log 2 x = t ta
sẽ được một bpt bậc hai theo t. Từ nhận xét đó ta có lời giải sau:
Giải.
Đk x > 0 . Đặt t = log 2 x .
log x > 3
t > 3
x > 8
2
⇔ 2
⇔
Ta được bpt t − 5t + 6 > 0 ⇔ 
t < 2
x < 4
log 2 x < 2
Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S = ( 0;4 ) ∪ ( 8; +∞ )
b/ ( 1 + log 2 x ) ( 2 − log 4 x ) > 3
Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

13


Phân tích: Ta nhận thấy hai nhân tử vế trái có chứa hàm log 2 x bậc nhất, nên khi
khai triển sẽ xuất hiện dạng bất phương trình bậc hai đối với log 2 x . Từ nhận xét đó ta
có lời giải sau:
Giải.
Đk x > 0 . Đặt t = log 2 x .
t < 1

1 

2
Ta được bpt ( 1 + t )  2 − t ÷ > 3 ⇔ t − 3t + 2 > 0 ⇔ 
2 

t > 2
 log x < 1
x < 2
⇔ 2
⇔
x > 4
 log 2 x > 2
So sánh với điều kiện. Vậy bpt có tập nghiệm S = ( 0;2 ) ∪ ( 4; +∞ )
c. Mũ hóa
x
Ví dụ: Giải bất phương trình: log 3 ( 3 − 8) ≤ 2 − x

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức trong logarit là một hàm mũ với cùng cơ số
của logarit. Do đó từ định nghĩa logarit ta có được 3log3 ( 3 −8) ≤ 32− x ⇔ 3x − 8 ≤ 32− x ,
x

phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa. Từ đó ta có lời giải sau:
Giải.
Đk 3x − 8 > 0 ⇔ x > log 3 8
Theo định nghĩa, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

(

log 3 3x −8

3

)

≤ 32− x ⇔ 3x − 8 ≤ 32− x ⇔ 32 x − 8.3x − 9 ≤ 0

x
Đặt t = 3 ( t > 0 ) , ta có bpt bậc hai t 2 − 8t − 9 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 9

với t > 0 ⇒ 0 < t ≤ 9 ⇒ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2
Kết hợp với đk. Vậy tập nghiệm của bpt S = ( log 3 8;2]

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

14


Nhận xét: Phương trình đã cho thuộc lớp phương trình có dang tổng quát
log a f ( x ) > g ( x ) ; ( ≥, <, ≤ ) trong đó a > 0; a ≠ 1 , f ( x ) là một đa thức hoặc là một
hàm số mũ. Theo định nghĩa ta có
g( x)
+ log a f ( x ) > g ( x ) ⇔ f ( x ) > a
với a > 1 .
g( x )
+ log a f ( x ) > g ( x ) ⇔ f ( x ) < a
với 0 < a < 1

C.

Bài tập cơ bản tự luyện

(GV hướng dẫn: Dựa vào các phương pháp giải qua các ví dụ trên, học sinh áp
dụng giải trên lớp các bài tập ơ bản trong các tiết bài tập tự chọn, các bài tập nâng
cao giáo viên hướng dẫn hs về nhà làm)
1/.Giải các bất phương trình
1
.0,2 −3 x > 25x .
x
0,04
2

a)

Đáp số : 0 < x <

5
2

b) 32 x − 2.3x − 15 < 0

Đáp số : x < log35

c) 5x −1 + 53− x − 26 ≥ 0

Đáp số : x ≥ 3 ∨ x ≤ 1

d) 3.4 x − 2.10 x − 25 x = 0

Đáp số : x ≥ 0

2/.Giải các bất phương trình
a)

(

) (

2− 3 +

Hướng dẫn:

b)

)

x

(

10 − 3

)

Hướng dẫn:

(

c) 7 + 4 3

)

x

(

2+ 3 < 4 .

)(

Đáp số : -2 < x < 2

)

2 − 3 . 2 + 3 = 1 , đặt t =

x −1
x +2

(

(

>

)

10 + 3

)(

x
x +1

10 − 3

(

x −2
x +1

.

(

2− 3

) thì (
x

)

x

2+ 3 =

Đáp số : −

1
t

5
5
2
2

)

10 + 3 = 1

≤ 2− 3

)

x2
x +1

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

Đáp số : S = [ −2;0] \ { −1}

15


Hướng dẫn: 7 + 4 3 = (2 + 3) 2 và (2 + 3).(2 − 3) = 1
d. 52
e.

x

+5<5

1
3

2

x +5 x −6

>

x +1

+5

Đáp số 0 < x < 1

x

1
3

Đáp số: -2 < x < 10

x +2

3/. Giải các bất phương trình
a) 1 25x > 0,2 2 x −1.625x

Đáp số : x > 1
Đáp số : x ≠

2

b) 0,14 x −2 x −2 < 0,12 x −3

Đáp số : x ≥ log 20

c) 3.7 2 x + 37.140 x ≤ 26.202 x
d) 107 x −1 + 6.101−7 x − 5 < 0
e) 2 2 x

2

−6 x +3

+ 6x

2

−3 x +1

≥ 32 x

7

Đáp số :

2

−6 x +3

1
2

3
2

log 2 + 1
log 3 + 1
7
7

Đáp số :

3− 5
3+ 5
≤x≤
2
2

4/.Giải các bất phương trình
a) log 4 { 2log 3 [ 1 + log 2 (1 + 3log 2 x ) ] } < 1
2
b) log 2 ( x − 1) > log 1 ( x − 1)
2

c) log x +1 (3 x + 5) < 3

 x > −1
ĐK: 
x ≠ 0

1
d) log 10 + x − 1 ≥ log3 − log( x − 1) ĐK: x > 1
2

Đáp số : x < 285
Đáp số : x >

1+ 5
2

Đáp số : x > 1

Đáp số :

Hướng dẫn: pt ⇔ log 10 + x + log x − 1 = log 3 + log10
5/. Giải các bất phương trình
a) log 7

x−2
<0
x−3

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

Đáp số : x < 2

16


2
b) log 1 ( x + x + 1) > 0
2

log 2 x − 3l ogx + 3
<1
c)
log x − 1

Đáp số : -1 < x < 0

Đáp số : 0 < x < 10

Hướng dẫn: Đặt t = logx
x
d) log 4 (3 − 1).log 1
4

3x − 1 3
≤
16
4

Đáp số : x ∈ ( 0;1] ∪ [ 2; +∞ )

Hướng dẫn: ĐK: x >0, đặt t = log 4 (3x − 1) , bpt trở thành: t(t - 2) ≤

e) log 2 x 64 + log x 16 ≥ 3
2

3
4

1
1
<
x
≤
3
2
Đáp số :  2


1 < x ≤ 4

x > 0

Hướng dẫn: ĐK: 
1 . Đưa về log2x và đặt t = log2x
x ≠ 1; x ≠


2

f.

log 21/ 2 x + 4log 2 x < 2 ( 4 − log16 x 4 )

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

Đáp số : 0 < x < 4

17


PHẦN III. KẾT LUẬN
1. Giải pháp mới.
Dạng toán giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit là dạng toán
cơ bản. Nhưng lượng bài tập rất đa dạng nhiều khi làm học sinh bị rối, nếu không nắm
được kĩ năng thực hành cũng như phương pháp giải, đặc biệt đối với học sinh yếu thì
không dễ chút nào . Đề tài này rất nhiều giáo viên đã viết trước nhưng với tôi lựa chọn
theo một hướng mới là đưa ra phương pháp, phân tích định hướng cách giải cùng với
hệ thống ví dụ, bài tập đơn giản phù hợp với đặc thù học sinh của trường. Vì thế học
sinh cơ bản nắm được và biết áp dụng.
2. Quá trình ứng dụng
Thông qua quá trình giảng dạy học sinh khối 12 của trường và ôn luyện cho đối
tượng học sinh giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy: Học sinh có khả
năng nhìn nhận đúng đắn và hiểu rõ bản chất của bài toán trong quá trình giải bài tập.
Giúp học sinh tự tin khi phân tích để lựa chọn phương pháp hay, ngắn gọn cho các
dạng toán đó. Hình thành được tư duy logic, kỹ năng giải các bài toán bất phương trình
mũ và bất phương trình logarit.
3. Kết luận chung
Việc tìm ra một lời giải đúng, ngắn gọn và độc đáo là một việc không dễ. Giáo
viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là
phân tích cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán. Từ đó học sinh có
thể vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải.

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra được trong quá trình
giảng dạy về việc giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên tài liệu
còn sơ sài, không tránh khỏi sai sót rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp để tài liệu
được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đak Đoa, ngày 20 tháng 6 năm 2016
Giáo viên thực hiện

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

18


Lê Duy Huấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Giải tích 12 (cơ bản); nhà xuất bản giáo dục.
2. Bài tập giải tích 12 (cơ bản); nhà xuất bản giáo dục.
3. Giải tích 12 (nâng cao); nhà xuất bản giáo dục
4. Bài tập giải tích 12 (nâng cao); nhà xuất bản giáo dục
5. Phương pháp giải toán đại số; nhà xuất bản đại học sư phạm.
6. Hướng dẫn ôn tập kì thi trung học phổ thông quốc gia.

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

19

MỤC LỤC

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài . ……...…………………………………...1
2. Phạm vi và mục đích của đề tài ...………………………......1
3. Đối tượng áp dụng và phương pháp tiến hành……………....1
PHẦN II. NỘI DUNG
A. Cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu .……..........2
B. Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit…………..3
I. Bất phương trình mũ…………………………………..…...3
II. Bất phương trình logarit………………………………..…10
C. Bài tập cơ bản tự luyện……………………………………..15
PHẦN III. KẾT LUẬN...……………………………………...18
Tài liệu tham khảo .……………………………………………19
Mục lục ………………………………………………………..20

Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong

20