Skkn phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giáo dục vấn đề đổi mới, cải cách nhằm nâng cao chất lượng
dạy và học là một vấn đề được rất nhiều người quan tâm. Bản thân tôi là
một giáo viên dạy bộ môn toán Trung học phổ thông. Qua những năm công
tác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi được
phân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh và giáo viên vừa học
vừa nghiên cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương pháp giảng dạy sao cho
học sinh tiếp thu bài học nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất.
Với đặc thù của bộ môn, tôi nhận thấy rằng việc học tập và nghiên
cứu theo các chuyên đề tạo điều kiện rất thuận lợi cho học sinh tiếp thu
kiến thức sâu sắc, nắm vấn đề logic và phân dạng bài tập. Tuy nhiên, việc
sử dụng các chuyên đề hiện nay còn gặp rất nhiều khó khăn như: Các
chuyên đề còn thiếu nhiều, chất lượng các chuyên đề chưa đáp ứng được
yêu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyên đề rất ít.
Trong quá trình thực hiện còn có nhiều khó khăn cũng như thuận lợi
vậy tôi mạnh dạn đưa ra ý kiến để đồng nghiệp tham khảo và góp ý.
II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp hình thành cho học sinh kỹ năng ứng dụng giải bài tập về “phương
trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” trong
các bài tập ôn thi học sinh giỏi và ôn thi quốc gia dành cho bậc Trung học
phổ thông.
- Giáo viên tham gia dạy luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi làm
căn cứ nghiên cứu.
III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông
không chuyên” và các đề tài liên quan.
- Khách thể: Học sinh Trung học phổ thông không chuyên toán.

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
1


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

IV-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Trao đổi với giáo viên cùng chuyên môn để tìm ra hướng nghiên cứu và
tiếp cận đề tài có hiệu quả nhất.
- Tìm hiểu thực trạng và khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh về
chuyên đề này.
- Rút ra bài học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của
giáo viên.
V-GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên đề tài chỉ nghiên cứu một vấn
đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không
chuyên” trong số rất nhiều vấn đề của toán học.

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
2


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

B. NỘI DUNG
I-

THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ VÀ ĐIỀU KIỆN HỌC TẬP

CỦA HỌC SINH

1. Thực trạng chung:
Học sinh Trung học phổ thông không chuyên khi tiếp cận kiến thức
chuyên nội dung kiến thức khá trừu tượng nên việc tiếp thu kiến thức
còn nhiều khó khăn. Bên cạnh đó thời gian dành cho ôn luyện khá ít,
việc học tập nghiên cứu ở nhà còn hạn chế. Vì vậy, để các em học tập,
ôn luyện có hiệu quả thì bên cạnh sách giáo khoa mà các em có sẵn thì
hệ thống các chuyên đề mà giáo viên chuẩn bị là rất cần thiết.
2. Chuẩn bị thực hiện đề tài:
- Thông qua thực tiễn giảng dạy.
- Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
II-

CƠ SƠ LÝ LUẬN

1. Khái niệm:
Lí thuyết “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ
thông không chuyên” là một phần lí thuyết được giảng dạy trong
trường phổ thông thuộc chương trình cơ bản, chương trình nâng cao và
chuyên ban của môn toán.
2. Ý nghĩa của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng dành cho học
sinh Trung học phổ thông:
Chuyên đề này và một số chuyên đề khác như: "phương trình hàm",
"lí thuyết đồng dư trong số học", "bất đẳng thức", "giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất", "hệ phương trình", “phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”… của cùng tác giả là trợ thủ đắc lực cho việc ôn luyện thi đại
học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán Trung học phổ thông dành
cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban.
Việc sử dụng các chuyên đề nói chung, chuyên đề “phương trình vô
tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa

3


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

vào việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán
Trung học phổ thông đặc biệt có hiệu quả với học sinh không chuyên.
Vì lí do học sinh không chuyên thời gian ôn luyện ngắn, thời gian học
chương trình không chuyên kéo dài nên học sinh không đủ thời gian học
ôn cả chương trình nâng cao.
Nhìn về góc độ phương pháp ngoài việc thể hiện tính cụ thể, trừu
tượng các chuyên đề toán còn góp phần giúp cho học sinh không học
theo chương trình chuyên ban tiếp cận với việc ôn luyện thi đại học và
luyện thi học sinh giỏi dễ dàng hơn khi sử dụng chúng đúng lúc, đúng
cách, xen kẽ vào quá trình học chính khoá, để cập nhật, mở rộng kiến
thức toán học, để giải quết vấn đề dạy học khám phá,…
Tóm lại các chuyên đề toán học nói chung chuyên đề “phương trình vô
tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng có
ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học.
3. Nguyên tắc sử dụng chuyên đề toán học:
- Sử dụng đúng lúc, đúng nội dung và phương pháp dạy học đảm bảo học
sinh ôn luyện tiếp cận được, đảm bảo không phân tán tư tưởng của học
sinh khi tiến hành các hoạt động học tập tiếp theo.
- Tránh sử dụng nhiều loại chuyên đề cùng một lần.
- Sử dụng đủ cường độ: nguyên tắc này chủ yếu đề cập nội dung và
phương pháp dạy học sao cho thích hợp với trình độ tiếp thu và lứa tuổi
của học sinh.

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
4

Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình

 x ∈ D (*)
A = B ⇔ A= B≥0⇔ 
A = B

Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của A ≥ 0 hay
B≥0

Dạng 2: Phương trình

B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

Dạng 3: Phương trình
A ≥ 0

A + B = C ⇔ B ≥ 0
(chuyển về dạng 2)

 A + B + 2 AB = C

+)
+)

3

A + 3 B = 3 C ⇒ A + B + 3 3 A.B

(

3

)

A+ 3 B =C

và ta sử dụng phép thế : 3 A + 3 B = C ta được phương trình :
A + B + 3 3 A.B.C = C

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2
Giải:
Điều kiện x ≥ 0
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
1 + ( x + 3) ( 3 x + 1) = x + 2 x ( 2 x + 1) , để giải phương trình này dĩ nhiên là
không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3x + 1 − 2 x + 2 = 4 x − x + 3

Bình phương hai vế ta có : 6 x 2 + 8 x + 2 = 4 x 2 + 12 x ⇔ x = 1
Thử lại x=1 thỏa mãn

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3

Giải:
Điều kiện : x ≥ −1
Bình phương 2 vế phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :

x3 + 1
. x + 3 = x 2 − x + 1. x + 1 , từ nhận xét này ta có lời
x+3

giải như sau :
(2) ⇔

x3 + 1
− x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
5


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

x = 1− 3
x3 + 1

= x2 − x − 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ 
Bình phương 2 vế ta được:
x+3
 x = 1 + 3

Thử lại : x = 1 − 3, x = 1 + 3

l nghiệm

Bài 1: Giải phương trình:
a) x 2 − 1 = x − 1
b) x − 2 x + 3 = 0
c) x 2 + x + 1 = 1
e) 3x − 2 + x − 1 = 3

f) 3 + x − 2 − x = 1
g) x + 9 = 5 − 2 x + 4
h) 3x + 4 − 2 x + 1 = x + 3
i) ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x 2 + 3 x − 2 = 2m + x − x 2
Bài 3: Cho phương trình: x 2 − 1 − x = m
-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình: 2 x 2 + mx − 3 = x − m
-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
2. PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy

phương trình luôn đưa về được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải
phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh A ( x ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều
kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A ( x ) = 0 vô
nghiệm
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :

3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4

Giải:
2
2
Ta nhận thấy : ( 3x − 5 x + 1) − ( 3x − 3x − 3) = −2 ( x − 2 ) v

(x

2

− 2 ) − ( x 2 − 3x + 4 ) = 3 ( x − 2 )

Ta có thể trục căn thức 2 vế :
−2 x + 4

3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1)

=

3x − 6
x − 2 + x 2 − 3x + 4
2

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Ví dụ 2. Giải phương trình sau : x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
6


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :
x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

5
3

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có
thể phân tích về dạng
( x − 2 ) A ( x ) = 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
x2 − 4

x 2 + 12 − 4 = 3 x − 6 + x 2 + 5 − 3 ⇔

x 2 + 12 + 4

x2 − 4

= 3( x − 2) +

x2 + 5 + 3



x+2
x +1
⇔ ( x − 2) 
−
− 3÷= 0 ⇔ x = 2
2
x2 + 5 + 3 
 x + 12 + 4
x+2
x+2
5
−
− 3 < 0, ∀x >
Dễ dàng chứng minh được :
3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3

Ví dụ 3. Giải phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 2
Giải :Đk x ≥ 3 2
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
3

=



x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 +


2

3

( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 )
x3 − 2 + 5

Ta chứng minh :
<

x+3

1+
3

(x

2

− 1) + 2 x − 1 + 4
2

3




2
3 x2 − 1

(
) + 2 3 x2 − 1 + 4 
x+3

= 1+

2

(

x+3
3

)

2

x −1 +1 + 3
2

<2

x 2 + 3x + 9
x3 − 2 + 5

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
3.1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa f ( x) và f ( x) khi đó đặt t = f ( x) (với điều kiện
tối thiểu là t ≥ 0 . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết

phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa f ( x) , g ( x) và f ( x). g ( x) = k (với k là hằng
k
t
-Nếu bài toán có chứa f ( x) ± g ( x) ; f ( x).g ( x) và f ( x) + g ( x) = k khi đó
t2 − k
có thể đặt: t = f ( x) ± g ( x) suy ra f ( x).g ( x) =
2

số) khi đó có thể đặt : t =

f ( x) , khi đó g ( x) =

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
7


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

-Nếu bài toán có chứa

a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t với −

x = a cos t với 0 ≤ t ≤ π

-Nếu bài toán có chứa
x=

x 2 − a 2 thì đặt x =

a
π 
với t ∈ [ 0; π ] \  
cos t
2

-Nếu bài toán có chứa

π
π
≤ t ≤ hoặc
2
2

a
 π π
với t ∈  − ;  \ { 0} hoặc
sin t
 2 2

 π π
x 2 + a 2 ta có thể đặt x = a .tan t với t ∈  − ; ÷
 2 2

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
8


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Bài 1: Giải phương trình:
a)
b)
c)
d)

f) 2 x 2 + 5 x + 2 − 2 2 x 2 + 5 x − 6 = 1
g) x 2 + 3x + 2 − 2 2 x 2 + 6 x + 2 = − 2
h) x 2 + x 2 + 11 = 31
i) ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3x

x + x 2 + 2 x + 8 = 12 − 2 x
2

2 x 2 − 5 2 x 2 + 3 x + 9 = −3 x − 3
x 2 − 4 x + 6 = 2 x 2 − 8 x + 12
3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2

e) ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
Bài 2: Giải phương trình:
a) x 3 +

(1− x )

2 3

d) 64 x 6 − 112 x 4 + 56 x 2 − 7 = 2 1 − x 2

= x 2 ( 1 − x2 )

b)

3
1+ 1− x  ( 1− x) −


c)

1 − x − 2x 1 − x2 − 2 x2 + 1 = 0

2

x

e) x +

( 1 + x )  = 2 + 1 − x 2


x2 − 1

3

=

35
12

f) ( x − 3) ( x + 1) + 4 ( x − 3 )

x +1
= −3
x−3

1
1
+
=m
2
x
1− x
2
-Giải phương trình với m = 2 +
3

Bài 3: Cho phương trình:

-Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 4: Cho phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − m = 0
-Giải phương trình với m = 9
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
-Từ những phương trình tích

(

2x + 3 − x

)(

)

(

)(

)

x +1 −1

x +1 − x + 2 = 0 ,

2x + 3 − x + 2 = 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm
thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương
trình tích mà ta xuất phát.
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp
giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

(

)

2
2
2

Bài 1. Giải phương trình : x + 3 − x + 2 x = 1 + 2 x + 2

t = 3

2
Giải: t = x 2 + 2 , ta có : t − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔ 
t = x −1



Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
9


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Bài 2. Giải phương trình : ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1
Giải:
Đặt : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2

Khi đó phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + 1 ⇔ x + 1 − ( x + 1) t = 0
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn
2

2

t = 2
x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ t 2 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ 
t = x − 1

(

)(

)

Từ một phương trình đơn giản : 1 − x − 2 1 + x 1 − x − 2 + 1 + x = 0 ,
khai triển ra ta sẽ được pt sau
Bài 3. Giải phương trình sau : 4 x + 1 − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x 2
Giải:
Nhận xét : đặt t = 1 − x , pttt: 4 1 + x = 3 x + 2t + t 1 + x (1)

(

)

(

)

2
Ta rt x = 1 − t 2 thay vo thì được pt: 3t − 2 + 1 + x t + 4 1 + x − 1 = 0
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

(

∆ = 2 + 1+ x

)

2

− 48

(

)

x + 1 − 1 không có dạng bình phương .

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

(

) (
2

1− x ,

1+ x

Cụ thể như sau : 3x = − ( 1 − x ) + 2 ( 1 + x ) thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình:

)

2

4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 ( 4 − x 2 ) + 16 ( 2 − x ) = 9 x 2 + 16

Ta đặt : t = 2 ( 4 − x 2 ) ≥ 0 . Ta được: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0

2
2
2
Ta phải tách 9 x = α 2 ( 4 − x ) + ( 9 + 2α ) x − 8α làm sao cho ∆ t có dạng
chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt
được mục đích.
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) (4 x − 1) x 3 + 1 = 2 x 3 + 2 x + 1
b) x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x

c) x 2 − 1 = 2 x x 2 + 2 x
d) x 2 + 4 x = ( x + 2) x 2 − 2 x + 4
3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) và tìm mối quan hệ giữa
α ( x ) và β ( x ) từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
10


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

u = m a − f ( x )

trình: a − f ( x ) + b + f ( x ) = c ta có thể đặt: 
từ đó suy ra

v = m b + f ( x )
u m + v m = a + b
m
m
u + v = a + b . Khi đó ta có hệ 
u + v = c
m

m

Ví dụ: Giải phương trình: x 3 + 1 = 2 3 2 x − 1
Đặt y = 3 2 x − 1 ⇔ y3 + 1 = 2 x
Phương trình trở thành

 x = y
x = y = 1


3
 x 3 + 1 = 2 y
 x 3 + 1 = 2 y
 x + 1 = 2 y
 x = y = −1 + 5
⇔ 3
⇔
⇔
 3

3
2

2

2
 y + 1 = 2 x
 x − y = −2( x − y )
  x + xy + y + 2 = 0(vn)

−1 − 5
  x 3 + 1 = 2 y


 x = y =
2

Vậy phương trình có 3 nghiệm
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 3 2 − x = 1 − x − 1
b) 3 9 − x = 2 − x − 1
c) x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
d = ac + α
ax + b = c(dx + e) 2 + α x + β với 
e = bc + β
Cách giải: Đặt: dy + e = ax + b khi đó phương trình được chuyển thành
hệ:
2
dy + e = ax + b
( dy + e ) = ax + b
⇔
->giải


2
2
dy
+
e
=
c
(
dx
+
e
)
+
α
x
+
β
c ( dy + e ) = −α x + dy + e − β


Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi
phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc
chọn α ; β thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :
n
( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ là chọn được.
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
d = ac + α
3
3

ax + b = c ( dx + e ) + α x + β với 
e = bc + β
Cách giải: Đặt dy + e = 3 ax + b khi đó phương trình được chuyển thành
hệ:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
11


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
3
 dy + e = 3 ax + b
( dy + e ) = ax + b
⇔

3
3
dy
+
e
=
c
dx
+
e
+
α
x
+
β
(

)
c ( dx + e ) = −α x + dy + e − β


c ( dy + e ) 3 = acx + bc
⇔
3
c( dx + e) = ( ac − d ) x + dy + bc

Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) x + 1 = x 2 + 4 x + 5
b) 3x + 1 = −4 x 2 + 13x − 5
c) x 3 + 2 = 3 3 3x − 2
d)

4x + 9
= 7 x2 + 7 x
28

g) x 3 + 1 = 2 3 2 x − 1

i) 4 x 2 − 13x + 5 + 3x + 1 = 0
j) 4 x 2 − 13x + 5 + 3x + 1 = 0

x>0

(

)

15
30 x 2 − 4 x ) = 2004 30060 x + 1 + 1
(
2
3
f) 3x − 5 = 8 x3 − 36 x 2 + 53 − 25

e)

)

(

3
3
3
3
h) x 35 − x x + 35 − x = 30

3

k)
l)

3

81x − 8 = x3 − 2 x 2 +

4
x−2

3

6 x + 1 = 8 x3 − 4 x − 1

3. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá
quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = k
Bước 2: Xét hàm số y = f ( x)
Bước 3: Nhận xét:
• Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k do đó x0 là nghiệm
• Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm
• Với x < x0 ⇔ f ( x) < f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm
• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = g ( x)
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f ( x) và g(x) có những tính chất trái
ngược nhau và xác định x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 )
Bước 3: Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f (u ) = f (v)
Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó f (u ) = f (v) ⇔ u = v

(

)

(

)

2
2
Ví dụ 1: Giải phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x + 4 x + 4 + 3 x 2 + 9 x + 3 = 0

(

⇔ ( 2 x + 1) 2 +

( 2 x + 1)

2

)

(

+ 3 = ( −3 x ) 2 +

( −3 x )

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
12

2

)

+ 3 ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( −3 x )


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

)

(

2
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t + 3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x = −

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m .
Giải: Xét hàm số y = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1
Miền xác định: D= R .
y' =

2x +1
2 x + x +1
2

−

2x −1
2 x2 − x +1

y ' = 0 ⇔ (2 x − 1) x 2 + x + 1 = (2 x + 1) x 2 − x + 1
(2 x − 1)(2 x + 1) > 0
⇔

2
2
2
2
(2 x − 1) ( x + x + 1) = (2 x + 1) ( x − x + 1)

Hàm số đồng biến
lim y = lim

x →−∞

x →−∞

2x
x + x + 1 − x2 − x + 1
2

= −1

lim y = 1.

x →+∞

+ BBT
x
y’
y

-∞

+∞
+
1

-1
Vậy phương trình có nghiệm khi -1Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Giải
- Đặt t = x + 1; t ≥ 0 . Phương trình trở thành:
2t = t 2 − 1 + m ⇔ m = −t 2 + 2t + 1
- XÐt hµm sè y = −t 2 + 2t + 1; t ≥ 0; y’ = −2t + 2

t
y’
y

0
+

1
0
2

+∞
-

1
-∞
Theo yêu cầu bài toán đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
y = −t 2 + 2t + 1; t ≥ 0 . Do đó m ≤ 2

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
13

1
5


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
x2 − 4x + 5 = m + 4x − x2 .

Giải
2
- Đặt t = f ( x ) = x − 4 x + 5; f '( x ) =

BBT:
x
f’(x)
f(x)

0
-

x −2
x2 − 4x + 5

; f '( x ) = 0 ⇔ x = 2 .

2
0

5

+∞
+
+∞

1
2
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành m = t + t − 5 ⇔ t + t − 5 − m = 0 ( 1) .
- Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm t1, t2 thì t1+ t2 =-1. Do đó (1) có nhiều
nhất 1 nghiệm t ≥ 1.
- Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi phương trình (1) có
nghiệm t ∈ (1; 5) .
- Xét hàm số g(t)=t2+t-5. Ta đi tìm m để phương trình g(t)=m có đúng 1
nghiệm t ∈ (1; 5) .
f ’ ( t ) = 2t + 1 > 0 với t ∈ (1; 5) . Ta có BBT sau:
t
1
5
g’(t)
+
g(t)
5

-3
Từ BBT suy ra -3Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 .

Giải
- Điều kiện -1≤x≤1. Đặt t = 1 + x 2 − 1 − x 2 .
- Ta có
1 + x 2 ≥ 1 − x 2 ⇒ t ≥ 0; t = 0 ⇔ x = 0
t 2 = 2 − 2 1 − x 4 ≤ 2 ⇒ t ≤ 2; t = 2 ⇔ x = ±1
- Tập giá trị của t là  0; 2  (t liên tục trên [-1;1]). Phương trình đã cho trở

thành:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
14


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên
m(t + 2) = −t 2 + t + 2 ⇔

−t 2 + t + 2
= m(*)
t+2

−t 2 + t + 2
;0 ≤ t ≤ 2. Ta có f(t) liên tục trên  0; 2  . Phương trình
t+2
f (t ) ≤ m ≤ max f (t )
đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm t thuộc  0; 2  ⇔ min
 0; 2 
0; 2 



- Xét f (t ) =

.
f '(t ) =

−t 2 − 4t
≤ 0, ∀t ∈ 0; 2  . .
(t + 2)2

Suy ra f (t) nghịch biến trên 0; 2 
Suy ra min f (t ) = f ( 2) = 2 − 1;ma x f (t ) = f (0) = 1
0; 2 



0; 2 



Vậy 2 − 1 ≤ m ≤ 1.
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m có nghiệm.
Giải:Đặt t = f ( x ) = 3 + x + 6 − x với x ∈ [−3;6] thì t ' = f '( x ) =
x
f’(x)
f(x)

-3
║
|

+

3/2
0

-

3 2

3

6
║
|

6− x − 3+ x
2 (6 − x )(3 + x )

+∞

3

t2 − 9
t2
9
= m ⇔ − +t+ = m
Vậy t ∈ [3;3 2] . Phương trình (1) trở thành t −
2
2
2

(2).
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t ∈ [3;3 2] 
đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= −
Ta có y’=-t+1 nên có
t
1
3
y’
+0
|
y
3

t2
9
+ t + với t ∈ [3;3 2] .
2
2

3 2

-

|

3 2−

9
2

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4 + x 2 + x = m( x 2 + 1)2 (1).
Giải:
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
15


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Phương trình đã cho tương đương
4( x 3 + x 2 + x )
4 x ( x 2 + 1) + 4 x 2
2x
2x 2
=m⇔
= 4 m ⇔ 2.
+(
) = 4m
2 2
2 2
2
(1 + x )
(1 + x )
1+ x
1 + x2
2x
Đặt t=
; t ∈ [-1;1].
1 + x2

Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m.
(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t ∈ [-1;1]
Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t ∈ [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t ∈ [-1;1].
t
-1
1
f’
0
+
|
f
3
-1
1
4

3
4

Từ BBT -1≤4m≤3 ⇔ − ≤ m ≤ .
Bài tập: Giải phương trình:
3
2
4x − 1 + 4x2 − 1 = 1, x − 1 = − x − 4x + 5 , x − 1 = 3 + x − x ,
x = 1 − 2 x + 2 x 2 − x3 , x − 1 + x + 2 = 3 , 2 x − 1 + x 2 + 3 = 4 − x

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
16

Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

C. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa
Bất cứ một vấn đề khoa học nào, khi đưa ra cũng cần có thời gian
kiểm nghiệm. Nhưng với việc sử dụng chuyên đề “phương trình vô tỷ
dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” vào ôn luyện
thi đại học và luyện thi học sinh giỏi toán Trung học phổ thông là hết
sức cần thiết. Tuy nhiên tôi vẫn đưa vấn đề này ra trao đổi cùng mọi
người để trong thời gian tới việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học
sinh giỏi toán được tốt hơn.
2. Hiệu quả
Qua thực tế giảng dạy và ôn tập cho học sinh thi đại học các năm như sau:
Năm 2013 có áp dụng các chuyên đề
Số học sinh tham
gia ôn thi
69

Điểm dưới 5,0

Điểm từ 5,0 đến
7,0
(27)39,1%

(31)44,9,%

Điểm trên 7,0
(11)16,0%

Năm 2014 có áp dụng các chuyên đề

Số học sinh tham
gia ôn thi
69

Điểm dưới 5,0

Điểm từ 5,0 đến
7,0
(27)37,3%

(31)47,8%

Điểm trên 7,0
(11)16,0%

Năm 2015 có áp dụng các chuyên đề
Số học sinh tham
gia ôn thi
69

Điểm dưới 5,0
(31)47,8%

Điểm từ 5,0 đến
7,0
(27)37,3%

3. Kiến nghị
Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
17

Điểm trên 7,0
(11)16,0%


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Để nâng cao chất lượng và hiệu quả trong luyện thi quốc gia, luyện
thi học sinh giỏi tôi xin kiến nghị như sau:
- Đối với học sinh học theo chương trình cơ bản cần tăng cường số
tiết tự chọn.
- Cần có kế hoạch lâu dài về việc ôn luyện.
Trên đây là ý kiến của tôi với kinh nghiệm thực tế, có tham khảo ý kiến
của nhiều đồng nghiệp có kinh nghiệm và tham khảo một số tài liệu
chuyên môn. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện không thể tránh được
những sai sót. Rất mong ý kiến đóng góp của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
18


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Bộ sách giáo khoa 10, 12 ( nhà xuất bản giáo dục ).
2- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông môn
Toán (Vụ Trung học phổ thông Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo).
3- Bộ đề ôn thi đại học (Nhà xuất bản giáo dục)
4- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học phổ thông

(Phan Huy Khải).
5- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi (Nguyễn Văn Mậu)
6- Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình (Lê Hoành Phò)
7- Tài liêu bồi dưỡng giáo viên hè (Nguyễn Tự Cường-Đại học Quy
Nhơn)

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
19


Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

MỤC LỤC
STT

NỘI DUNG

TRANG

1.

A. Đặt vấn đề

1

2.

B. Nội dung

3

I. Thực trạng về trình độ và điều kiện học tập của học sinh

3

II. Cơ sở lý luận

3

3.

III. Nội dung và phương pháp thực hiện

5

4.

C. Kết luận

16

Tài liệu tham khảo

18

Người thực hiện: Ths. NguyÔn TÊn Hßa
20