Cách giải các phương trình cơ bản danh cho học sinh lớp 8 12

Cách Giải Các Phương Trình Cơ Bản
Để đáp ứng nhu cầu tự học tập và rèn luyện của các em học sinh, giúp các em tiếp cận gần hơn với
các kì thi lớn Thầy đã biên tập một cách hệ thống về chuyên đề “Giải Phương Trình” – một trong những
chuyên đề quan trọng có mặt khắp các chuyên đề khác của tốn học. Các em hồn tồn có thể tự học một
cách dễ dàng, kể cả học sinh THCS muốn nâng cao trình độ tư duy tốn học. Kiến thức được hệ thống từ dễ
đến khó. Hãy chuẩn bị Nghị Lực - Sức Lực và một chút Trí lực cho hành trình khám phá tri thức trong tài
liệu này nhé ! Good luck !
P/s. Kiến tha lâu đầy tổ, người khắc khổ ắt thành cơng!
Thầy Minh Phúc
I.

Phương trình bậc 1.
Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng ax + b = 0 trong đó a ≠ 0
Phương trình này ln có một nghiệm là x = −

b
a

Ví dụ1: Giải phương trình
a) 3 x + 1 = 0

b) 3 x − 4 = 0

c) 3 − 2 x = 0

Các em cần xác định các hằng số a và b một cách chính xác trước khi giải
 Ở câu a) ta có a = 3;b = 1 vậy ta sẽ có lời giải như sau
3x + 1 = 0 ⇔ x = −

1
3

 Ở câu b) ta có a = 3;b = −4 vậy ta sẽ có lời giải như sau
3x − 4 = 0 ⇔ x =

4
3

 Ở câu c) ta có a = −2;b = 3 ( Lưu ý a là hằng số được viết trước biến số x ) vậy ta sẽ có lời giải
như sau
3 − 2x = 0 ⇔ x =

II.

3
2

Phương trình bậc hai
2
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax + bx + c = 0 ; ( a ≠ 0 )

Để giải phương trình này các em xác định rõ các hệ số a;b;c sau đó xem rơi vào trường hợp nào
dưới đây và ta sẽ giải theo đúng trường hợp đó.
• TH1: Nếu ta có a + b + c = 0 thì ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là 1 và

c
a

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 1

• TH2: Nếu ta có a − b + c = 0 thì ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là −1 và −

c
a

• TH3: Nếu khơng rơi vào hai trường hợp trên thì ta sẽ tính biệt thức Delta ∆ = b 2 − 4ac
Khi đó có thể có 3 trường hợp có thể xảy ra
 Nếu ∆ < 0 thì pt ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm
 Nếu ∆ = 0 thì pt ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm là x = −

b
2a

 Nếu ∆ > 0 thì pt ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm được tính bởi cơng thức sau
x1 =

−b − ∆
2a

& x2 =

−b + ∆
2a

Ví Dụ 2: Giải các phương trình sau
a) 2 x 2 + 3 x − 5 = 0

b) x 2 + 3x + 2 = 0

c) x 2 + x + 1 = 0

d) x 2 + 2 x + 1 = 0

e) x 2 + x − 1 = 0

f) 99 x 2 + x − 100 = 0

Trước tiên các em cần xác định các hệ số a;b;c trong phương trình
 Trong bài a) ta có a = 2;b = 3;c = −5 , ta dễ thấy rằng a + b + c = 0 nên pt có hai nghiệm là 1 và

c
.
a

Do đó ta có bài giải như sau
x =1
2 x + 3x − 5 = 0 ⇔ 
x = 5

2
2

 Trong bài b) ta có a = 1;b = 3;c = 2 , ta dễ thấy rằng a + b + c = 0 nên pt có hai nghiệm là −1 và −

c
a

. Do đó ta có bài giải như sau
 x = −1
x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ 

 x = −2

 Trong bài c) ta có a = 1;b = 1;c = 1 , ta tính biệt thức ∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4.1.1 = −3 ⇒ ∆ < 0 . Do đó
phương trình x 2 + x + 1 = 0 vơ nghiệm.
 Trong bài d) ta có a = 1;b = 2;c = 1 , ta tính biệt thức ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4.1.1 = 0 . Do đó pt có một
nghiệm duy nhất x = −

b
. Ta có lời giải sau
2a
x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 2


2
2
 Trong bài e) ta có a = 1;b = 1;c = −1 , ta tính biệt thức ∆ = b − 4ac = 1 − 4.1.( −1) = 5 ⇒ ∆ > 0 . Do đó

phương trình x 2 + x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 =

−b − ∆
2a

& x2 =

−b + ∆
2a

Ta có lời giải sau


−1 − 5
x =
2
x2 + x − 1 = 0 ⇔ 

−1 + 5
x =

2

III.

Phương trình bậc 3

3
2
Là phương trình có dạng sau ax + bx + cx + d = 0 ; ( a ≠ 0 )

Để giải phương trình này các em cần nhẩm được một nghiệm của phương trình ( Để làm điều này các
em có thể dùng máy tính !) sau đó ta sẽ sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích thành nhân tử.
Ta giả sử đã nhẩm được một nghiệm là x0 . Ta viết lại các hệ số a;b;c;d theo thứ tự như sau

b

c

d

Hệ số

được
viết
lại

Tính

Tính

Tính

a

m

n

p=0

a

x0

Chú ý ta ln có

Ta được ax 2 + mx + n

được p = 0
Sau khi đã tính tốn được các hệ số m;n ta sẽ viết lại phương trình như sau
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 3

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ ( x − x0 ) ( ax 2 + mx + n ) = 0

Đến đây ta hoàn tồn có thể giải tiếp bằng cách giải phương trình bậc hai đã được học ở trên !
Ví dụ 3: Giải phương trình sau x3 − 2 x 2 + 5 x − 4 = 0
Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 1 . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với
a = 1;b = −2;c = 5;d = −4

1

5

−4

Hệ số
được
viết
lại

1

−2
Tính

Tính

Tính

1

−1

4

0

1.1 + ( −2 ) = −1

1.( −1) + 5 = 4

1. 4 + ( − 4 ) = 0

Ta được x 2 − x + 4
Do đó ta có lời giải như sau
x3 − 2 x 2 + 5x − 4 = 0

⇔ ( x − 1) ( x 2 − x + 4 ) = 0
x −1 = 0
⇔ 2
x − x + 4 = 0


( vơ n )
0

⇔ x =1

Ví dụ 4: Giải phương trình sau x3 + 2 x 2 − x − 2 = 0
Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = −1 . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với
a = 1;b = 2;c = −1;d = −2

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 4


1

−1

−2

Hệ số
được
viết
lại

−1

2
Tính

Tính

Tính

1

1

−2

0

( −1) .1 + 2 = 1

( −1) .1 + ( −1) = −2

( −1) .( −2 ) + ( −2 ) = 0

Ta được x 2 + x − 2
Do đó ta có lời giải như sau
x3 + 2 x 2 − x − 2 = 0

⇔ ( x + 1) ( x 2 + x − 2 ) = 0
x +1 = 0
⇔ 2
x + x − 2 = 0
 x = −1
⇔ x =1

 x = −2


Ví dụ 5: Giải các phương trình sau
a) x3 − 3x 2 − x + 6 = 0

Hd: Ta biến đổi về thành

( x − 2 ) ( x 2 − x − 3) = 0

b) x3 − 2 x 2 − 4 x + 5

Hd: Ta biến đổi về thành

( x − 1) ( x 2 − x − 5) = 0

c) x3 + 2 x 2 − 3x − 4 = 0

Hd: Ta biến đổi về thành

( x + 1) ( x 2 + x − 4 ) = 0

Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 3 các em phải sử dụng cơng thức Cardano !
IV.

Phương trình bậc 4
Ta có thể giải pt bậc 4 bằng sơ đồ Hoocne như trên nếu nhẩm được nghiệm.

1. Phương trình trùng phương
Là phương trình có dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 ; a ≠ 0
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 5


Để giải phương trình này ta đặt t = x 2 với điều kiện t > 0 khi đó pt trở thành phương trình sau
at 2 + bt + c = 0 , ta giải pt bậc hai này theo t sau đó giải x .

Ví dụ 6: Giải phương trình sau x 4 − 3 x 2 + 2 = 0
Đặt t = x 2 ;

t > 0 ta được phương trình sau
 x2 = 1

 x = ±1
t = 1
t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ 
⇔ 2
⇔
t = 2
x = ± 2
x = 2

2. Phương trình đối xứng
Là phương trình có dạng ax 4 + bx3 + cx 2 + bx + a = 0
1
x

Để giải phương trình này ta chia hai vế cho x 2 và đặt t = x + , ta được một phương trình bậc hai
theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải x .
Ví dụ 7: Giải phương trình sau x 4 + 2 x3 − 6 x 2 + 2 x + 1 = 0
Giải: Ta thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x 2 ta được
x 4 + 2 x3 − 6 x 2 + 2 x + 1 = 0
2 1
⇔ x2 + 2 x − 6 + + 2 = 0
x x
1  
1

⇔  x 2 + 2 ÷+ 2  x + ÷− 6 = 0
x  
x

2

1
1


⇔  x + ÷ − 2 + 2  x + ÷− 6 = 0
x
x


2

1
1


⇔  x + ÷ + 2  x + ÷− 8 = 0
x
x


1
x

Đặt t = x + ;

| t | ≥ 2 ta có phương trình sau
t = 2
t 2 + 2t − 8 = 0 ⇔ 
 t = −4

 x = −2 + 3

1
x

2
 t = −4 ⇔ x + = −4 ⇔ x + 4 x + 1 = 0; ( x ≠ 0 ) ⇔ 

 x = −2 − 3


1
x

 t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0; ( x ≠ 0 ) ⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm .
Chú ý khi đặt t = x +

1
ta ln có điều kiện | t |≥ 2
x

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 6


a) x 4 + 3x3 − 8 x 2 + 3x + 1 = 0

Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 1;

−5 + 21 −5 − 21
;
2
2

b) 2 x 4 + 3 x3 − 10 x 2 + 3x + 2 = 0

Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 1;

−7 + 33 −7 − 33
;
4
4

3. Phương trình tựa đối xứng
Là phương trình có dạng ax 4 + bx3 + cx 2 − bx + a = 0
1
x

Để giải phương trình này ta chia hai vế cho x 2 và đặt t = x − , ta được một phương trình bậc hai
theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải x .
Ví dụ 9: Giải phương trình sau x 4 + 2 x3 − 6 x 2 − 2 x + 1 = 0
Giải: Ta thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x 2 ta được
x 4 + 2 x3 − 6 x 2 − 2 x + 1 = 0
2 1
⇔ x2 + 2 x − 6 − + 2 = 0
x x
1  
1


⇔  x 2 + 2 ÷+ 2  x − ÷− 6 = 0
x  
x

2

1
1


⇔  x − ÷ + 2 + 2  x − ÷− 6 = 0
x
x


2

1
1


⇔  x − ÷ + 2  x − ÷− 4 = 0
x
x



Đặt t = x −

1

ta có phương trình sau
x
 t = −1 + 5
t 2 + 2t − 4 = 0 ⇔ 
 t = −1 − 5



−1 + 5 + 10 − 2 5
x =
1
2
2
 t = −1 + 5 ⇔ x − = −1 + 5 ⇔ x + 1 − 5 x − 1 = 0; ( x ≠ 0 ) ⇔ 

x
 x = −1 + 5 − 10 − 2 5


2

(

)


−1 − 5 + 10 + 2 5
x =
1
2

2
 t = −1 − 5 ⇔ x − = −1 − 5 ⇔ x + 1 + 5 x − 1 = 0; ( x ≠ 0 ) ⇔ 

x
 x = −1 − 5 − 10 + 2 5


2

(

)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .
Chú ý khi đặt t = x −

1
ta khơng có điều kiện cho t .
x

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 7


Ví dụ 10: Giải các phương trình sau
a) x 4 − 2 x 2 − 5 x 2 + 2 x + 1 = 0

Đ/s:

−1 + 5 −1 − 5 3 + 13 3 − 13
;

;
;
2
2
2
2

b) 3 x 4 − 2 x 2 − 7 x 2 + 2 x + 3 = 0

Đ/s:

1 + 5 1 − 5 −1 + 37 −1 − 37
;
;
;
2
2
6
6

4. Phương trình bậc hai tam thức
Là phương trình có dạng ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) + e = 0 ;

a +b = c+d

2
2
Ta biến đổi tương đương thành ( x + ( a+b ) x+ab ) ( x + ( c + d ) x + cd ) + e = 0
2
2

Sau đó đặt t = x + ( a + b ) x = x + ( c + d ) x

Ta được pt bậc hai theo t sau đó giải t rồi giải x
Ví dụ 11: Giải pt sau ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) − 1 = 0
Các em chú ý ta có 1 + 4 = 2 + 3 Do đó ta biến đổi pt tương đương như sau

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) − 1 = 0

⇔ ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 5) − 1 = 0

Đặt t = x 2 + 5 x ta được pt sau

( t + 4 ) ( t + 5) − 1 = 0
⇔ t 2 + 9t + 19 = 0
 −9 + 15
t =
2
⇔
 −9 − 15
t =

2

−5 + 7 + 2 15
x =
−9 + 15
−9 + 15
2
⇔ x2 + 5x =
⇔

 t=

2
2
 x = −5 − 7 + 2 15


2

 t=

−9 − 15
−9 − 15
pt vô nghiệm
⇔ x2 + 5x =
2
2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = −5 + 7 + 2 15 & x = −5 − 7 + 2 15
2

2

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau
a) x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) − 7 = 0

Đ/s:

−3 − 5 + 8 2
−3 + 5 + 8 2

&
2
2

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 8


b) ( x + 1) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) − 7 = 0

−3 − 10 + 2 37
−3 + 10 + 2 37
&
2
2

Đ/s:

5. Phương trình ẩn trùng phương
Là phương trình có dạng ( x + a ) + ( x + b ) = c
4

4

Để giải phương trình này ta đặt t = x +

a+b
sau đó khai triển và rút gọn được pt trùng phương
2

Ví dụ 13: Giải phương trình sau ( x + 3) + ( x − 1) = 33

4

4

Giải: Đặt t = x + 1 ta có phương trình sau

( t + 2)

+ ( t − 2 ) = 33

4

4

⇔ 2t 4 + 48t 2 − 1 = 0
 2 −24 + 17 2
t =
2
⇔
 2 −24 − 17 2
t =

2
⇔ t2 =

−24 + 17 2
2

⇔t=±

−24 + 17 2
2

⇒x=±

−24 + 17 2
−1
2

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau
a) ( x + 1) + ( x − 3) = 40

Đ/s:

1 − −12 + 2 37 & 1 + −12 + 2 37

b) ( x + 5 ) + ( x − 1) = 200

Đ/s:

−2 − −27 + 2 187 & − 2 + −27 + 2 187

c) ( x − 3) + ( x − 1) = 45

Đ/s:

4 − −12 + 2 122
4 + −12 + 2 122
&
2

2

4

4

4

4

4

4

Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 4 các em phải tham khảo cách giải của Ferrari –
một học trò của Cardano !

Trước khi đi vào giải một số dạng phương trình khác các em hãy xem lại các hằng đẳng thức sau
để tiện lợi hơn trong q trình giải tốn !
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 9


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

( a + b ) = a 2 + 2ab + b2
2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )
3
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
3
( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
2

( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
2
9. ( a − b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2bc + 2ca
3
10 . ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
5
11. ( a + b + c ) = a 5 + b5 + c 5 + 5 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca )
2

8.

12.

V.

( a + b)

5

= a 5 + b5 + 5ab ( a + b ) ( a 2 + b 2 + ab )

Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
1. Phương trình có dạng A = B
Để giải phương trình này các em bình phương hai vế và thêm điều kiện B ≥ 0
 A2 = B 2
A =B⇔
B ≥ 0

Ví dụ 13: Giải phương trình sau

x+2 =2

Các em để ý ta đã thấy B = 4 > 0 do đó ta khơng cần đặt điều kiện cho B nữa
Ta có lời giải như sau
x = 0
2
x + 2 = 2 ⇔ ( x + 2 ) = 22 ⇔ x 2 + 4 x = 0 ⇔ 
 x = −4

Ví dụ 14: Giải phương trình sau

x 2 + 3x − 1 = 2 x + 1

Lần này ta cần phải có điều kiện cho B , do đó khi giải được nghiệm các em phải thay vào điều
kiện B ≥ 0 nếu thỏa mãn thì nhận, nếu khơng thỏa mãn thì loại ! Ta có lời giải như sau
x 2 + 3x − 1 = 2 x + 1
⇔ ( x 2 + 3 x − 1) = ( 2 x + 1) ; 2 x + 1 ≥ 0
2

2

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 10


⇔ ( x 2 + 3 x − 1) − ( 2 x + 1) = 0
2

⇔

(( x

2

2

+ 3 x − 1) − ( 2 x + 1)

)(( x

2

⇔ ( x2 + x − 2) ( x2 + 5x ) = 0

)

+ 3 x − 1) + ( 2 x + 1) = 0

( tm )

x =1
 x = −2
x + x − 2 = 0
⇔ 2
⇔
x = 0
 x + 5x = 0

 x = −5

( ktm )
( tm )
( ktm )

2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0 & 1 .
Chú ý ở dòng số 3 sang dòng số 4 ta sử dụng hằng đẳng thức số 3 các em nhé !
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau
2
2
a) x − 4 x + 1 = 2 x − 3

Đ/s:

−2 − 2 2 &

2
2

b) x − 5 x + 1 = 2 x − 3 x + 2

Đ/s:

−1 ;

4− 7
3

2 + 10
3
4+ 7
3

&

2. Phương trình dạng A = B
Để giải phương trình này các em bình phương hai vế mà không cần thêm điều kiện nào cả !
A = B ⇔ A2 = B 2
x 2 + 3x − 1 = 2 x + 1

Ví dụ 16: Giải phương trình sau
Ta có lời giải như sau

x 2 + 3x − 1 = 2 x + 1
⇔ ( x 2 + 3 x − 1) = ( 2 x + 1)
2

2

⇔ ( x 2 + 3 x − 1) − ( 2 x + 1) = 0
2

⇔

(( x

2

+ 3 x − 1) − ( 2 x + 1)

2

)(( x

⇔ ( x2 + x − 2) ( x2 + 5x ) = 0

2

)

+ 3 x − 1) + ( 2 x + 1) = 0

x =1
 x = −2
 x2 + x − 2 = 0
⇔ 2
⇔
x = 0
 x + 5x = 0


 x = −5

Vậy phương trình có 4 nghiệm là 0; 1; − 2; − 5 .
Chú ý rằng ta không cần phải loại nghiệm như đã làm ở ví dụ 14.

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 11


Ví dụ 17: Giải các phương trình sau
2
2
a) x − 3x + 1 = 2 x + 3x + 3

−3 − 7 & − 3 + 7

2
b) x − 3x + 1 = x + 3

Đ/s:

2+ 6 & 2− 6

2
c) x − x + 1 = x + 2

VI.

Đ/s:

Đ/s:

1+ 2 & 1− 2

Phương trình chứa căn cơ bản
1. Phương trình dạng

A=B

Để giải phương trình này ta cần bình phương hai vế và đặt điều kiện B ≥ 0
A = B ⇔ A = B2 ; B ≥ 0
2x +1 = x −1

Ví dụ 18: Giải phương trình sau

Các em cần phải có điều kiện x − 1 ≥ 0 , ta có lời giải như sau
2x +1 = x −1
⇔ 2 x + 1 = ( x − 1) ; x − 1 ≥ 0
2

⇔ 2x + 1 = x2 − 2x + 1 ; x −1 ≥ 0
⇔ x2 − 4x = 0
x = 0
⇔
x = 4

( ktm )
( tm )

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 4

Ví dụ 19: Giải phương trình sau

x 2 − 3x + 4 = x − 1

Các em cần phải có điều kiện x − 1 ≥ 0 , ta có lời giải như sau
x 2 − 3x + 4 = x − 1
⇔ x 2 − 3 x + 4 = ( x − 1) ; x − 1 ≥ 0
2

⇔ x 2 − 3x + 4 = x 2 − 2 x + 1
⇔ −x + 3 = 0
⇔ x=3

( tm )

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 3
Ví dụ 20: Giải các phương trình sau
3
5

a)

x2 − x + 1 = x + 2

Đ/s:

−

b)

x 2 − 3x + 1 = 2 x + 3

Đ/s:

−15 + 129
6

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 12


c) 2 x 2 − 3 x + 1 = x + 3
2. Phương trình dạng

Đ/s:

9 + 113 9 − 113
&
2
2

A= B

Để giải phương trình này các em bình phương hai vế , làm mất căn thức và phải có một trong hai
điều kiện là A ≥ 0 hoặc B ≥ 0 . Cụ thể ta có
A = B ⇔ A = B; A ≥ 0

Hoặc có thể là
A = B ⇔ A = B; B ≥ 0

Cách nào dễ hơn ta sẽ dùng cách đó !

Ví dụ 21: Giải phương trình sau

3x 2 + x − 1 = x + 1

Ta thấy x + 1 đơn giản hơn 3 x 2 + x − 1 nên ta sẽ đặt điều kiện x + 1 ≥ 0 . Ta có lời giải sau
3x 2 + x − 1 = x + 1
⇔ 3 x 2 + x − 1 = x + 1;

x +1 ≥ 0

2
Vậy phương trình có hai nghiệm. ⇔ 3 x = 2

Ví dụ 22: Giải các phương trình
sau
a)
Đ/s:

x − 2x − 7 = x + 2
2

3+3 5
3−3 5
&
2
2

⇔ x2 =

2

3


x =
⇔

x = −


2
3
2
3

( tm )
( tm )

b) 2 x 2 − x − 7 = 3 x + 2

Đ/s:

2 − 22
2 + 22
&
2
2

c)

Đ/s:

−1 − 19
−1 + 19
&
2
2

2 x 2 − 3x − 7 = 2 − 5 x

3. Phương trình dạng

A= B

Để giải phương trình này các em bình phương hai vế mà khơng cần thêm điều kiện nào cả !
A = B ⇔ A = B2

Ví dụ 23: Giải phương trình sau

x 2 − 3x + 1 = 2 − 2 x

Ta có lời giải như sau

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 13


x 2 − 3x + 1 = 2 − x
⇔ x 2 − 3x + 1 = ( 2 − x )

2

⇔ x 2 − 3x + 1 = 4 − 4 x + x 2
⇔ x−3= 0
⇔ x=3

Vậy 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho !
Ví dụ 23: Giải các phương trình sau
a) 2 x 2 − 3 x − 7 = 2 − x

Đ/s:

−1 + 3 5
−1 − 3 5
&
2
2

b) 2 x 2 − x − 3 = 5 − 3 x

Đ/s:

29 + 57
29 − 57
&
14
14

Đ/s:

19 + 137
19 − 137

&
14
14

c)

2 x2 − x − 3 = 5 − 2x

4. Phương trình chứa nhiều căn thức
x+5 + 5− x = 4

Ví dụ 24: Giải phương trình sau

Để giải các bài toán kiểu này các em cần phải nghĩ đến việc làm mất căn thức, do đó ta sẽ bình
phương đến khi nào hết căn thì mọi thứ coi như tốt đẹp rồi !
Ta chú ý rằng lúc này hai vế ln khơng âm, từ đó tạo điều kiện cho ta bình phương hai vế. Nói là
làm, chúng ta bắt đầu nhé !
x+5 + 5− x = 4
⇔

(

x+5 + 5− x

)

2

= 42

⇔ ( x + 5 ) + 2 x + 5 5 − x + ( 5 − x ) = 16
⇔ 2 x+5 5− x = 6
⇔ x+5 5− x = 3

Sau khi đã đến đây mọi thứ đã có vẻ dễ hơn nhiều. Nhưng các em thường sẽ bị sai sót ở bước
này ! Thứ nhất không được viết gọn lại thành

( x + 5 ) ( 5 − x ) mà phải để nguyên

x+5 5− x .

Thứ hai nếu muốn bình phương hai vế thì phải có điều kiện cho các biểu thức trong căn lớn hơn
hoặc bằng 0 ! Ta tiếp tục như sau

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 14


⇔

(

x+5 5− x

)

2

= 32 ; ( x + 5 ≥; 5 − x ≥ 0 )

⇔ ( x + 5) ( 5 − x ) = 9

⇔ 25 − x 2 = 9
⇔ x 2 = 16
 x = 4 ( tm )
⇔
 x = −4 ( tm )

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 4 & − 4 .
Ví dụ 25: Giải các phương trình sau
7
4

a) 3x + 1 + 2 − x = 3

Đ/s:

1&

b) 3x + 5 + 2 + x = 2

Đ/s:

5 − 2 14
2
31
16

c)

x+5 + 2+ x = 2

Đ/s:

−

d)

x + 5 + 2 + x = x +1

Đ/s:

−8 − 2 13
3

e)

x + 2 + 3+ x = x −3

Đ/s:

−2 − 2 31
3

h)

x + 10 − 3 + x = 4 x − 23

Đ/s:

6

Đ/s:

−

k) 3x + 4 − 1 + 2 x = x + 3

1
2

l)
f)

x + 2 + 3 + 2x = x + 3 + 2x +1

Đ/s:

−14 − 3 38
8

g) x + 2 + 2 + 2 x = x + 5 + 2 x + 1

Đ/s:

12 − 4 26
17

k*)
VII.

3x + 1 − 4 + x = 1

Đ/s:

?

x + x + 1 = x2 + x

Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ
Các phương trình vơ tỉ thường phức tạp, khác hồn tồn với các dạng cơ bản đã giới thiệu ở
trên. Do đó, một trong những cơng việc quan trọng nhất cần làm đầu tiên là tìm tập xác định,
hoặc điều kiện của phương trình đó !

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 15


1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2,3,4.
Các phương trình được cho thường có dạng phức tạp, để giảm độ phức tạp của bài toán ta thường
đặt ẩn phụ một cách phù hợp. Dưới đây là một số trường hợp đặt ẩn phụ thường gặp !
Ví dụ 26: Giải phương trình ( x + 4 ) ( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
Ta phân tích bài tốn
Để ý rằng khi khai triển tích ( x + 4 ) ( x + 1) ta được x 2 + 5 x + 4 , có cái gì đó giống như như biểu
thức trong căn. Ta sẽ biến đổi cho nó giống hồn toàn như sau

( x + 4 ) ( x + 1) − 3

x2 + 5x + 2 = 6

⇔ x2 + 5x + 2 − 3 x2 + 5x + 2 − 4 = 0

Như vậy là các em đã có biểu thức ngồi giống hồn tồn biểu thức trong căn. Khi đó ta tiếp tục

Đặt t = x 2 + 5 x + 2 , t ≥ 0 . Ta được phương trình
t 2 − 3t − 4 = 0
 t = −1
⇔
t = 4

 t = −1 (loại vì khơng thỏa mãn điều kiện
x = 2
 x = −7

2
2
2
 t ≥ 0 t = 4 ⇔ x + 5 x + 2 = 4 ⇔ x + 5 x + 2 = 16 ⇔ x + 5 x − 14 = 0 ⇔ 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2 & − 7
Chú ý trong bài này Thầy khơng cần ghi điều kiện !
Ví dụ 27: Giải phương trình sau

x + 9 − x = − x2 + 9x + 9

Ta sẽ làm cho mất bớt vài dấu căn bằng cách bình phương hai vế nhé !
x + 9 − x = −x2 + 9x + 9
⇔ x + 2 x 9 − x + ( 9 − x ) = − x2 + 9x + 9
⇔ x2 − 9x + 2 x 9 − x = 0
⇔ x ( x − 9) + 2 x 9 − x = 0 ( * )

Đến đây ta cần ghi điều kiện cho x trong phương trình cuối cùng !
Điều kiện của pt (*) là 0 ≤ x ≤ 9
Đặt t = x ( 9 − x ) , t ≥ 0 Ta được phương trình sau

t = 0
t 2 + 2t = 0 ⇔ 
 t = −2

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 16


 t = −2 ( loại vì khơng thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 )
x = 0
x = 9

 t = 0 ⇔ x ( 9 − x) = 0 ⇔ 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0 và 9.
Ví dụ 28: Giải các phương trình sau
a) ( x + 5 ) ( 2 − x ) = 3 x 2 + 3 x

Đ/s:

1 & −4

b) x 2 + x 2 − 6 = 12

Đ/s:

± 10

c) x

Đ/s:

1 & −2

Đ/s:

1+ 5 1− 5
&
2
2

Đ/s:

1
2

f) 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2

Đ/s:

2

g) 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16

Đ/s:

3

Đ/s:

9

16

2

+ x + 7 + x 2 + x + 2 = 3 x 2 + 3 x + 19

d) 3 − x + x 2 − 2 + x − x 2 = 1
e)

h)

( x + 1) ( 2 − x )

= 1 + 2 x − 2x2

x + x + 1 − x2 + x = x +

1
2

2. Đặt ẩn phụ, coi x là tham số
Sau khi đăt ẩn phụ ta vẫn còn x, ta sẽ giải ẩn phụ đó theo x
Ví dụ 29: Giải phương trình sau

( 4 x − 1)

x2 + 1 = 2 x2 + 2 x + 1 ( * )

TXĐ: D = ¡
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t 2 − 1 thay vào (*) ta được phương trình sau

( 4 x − 1) t = 2 ( t 2 − 1) + 2 x + 1 ( * )
⇔ 2t 2 − ( 4 x − 1) t + 2 x − 1 = 0
2
2
Ta coi phương trình theo ẩn t và tính ∆ = ( 4 x − 1) − 8 ( 2 x − 1) = 16 x 2 − 24 x + 9 = ( 4 x − 3 )

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 17


2t 2 − ( 4 x − 1) t + 2 x − 1 = 0
 ( 4 x − 1) + ( 4 x − 3)
t =
4
⇔
 ( 4 x − 1) − ( 4 x − 3)
t =

4
t = 2 x − 1
⇔ 1
t =
 2
x = 0
1
 t = 2 x + 1 ⇔ x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x + 1 = ( 2 x + 1) ; x ≥ − ⇔ 
x = − 4
2
3


2

 t=

2

2

( tm )

( ktm )

1
1
⇔ x 2 + 1 = ( ptvn )
2
2

Vậy Phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 0
Ví dụ 30: Giải các phương trình sau
a) x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1

Đ/s:

±2 2

b) 9 x 2 + 17 x + 10 = 6 ( x + 1) x 2 − x + 1

Đ/s:

−13 + 73
−25 + 145
&
6
30

c) 9 x 2 + 15 x + 11 = 6 ( x + 1) x 2 − 3x + 2

Đ/s:

−9 + 309
−15 + 141
&
10
6

d) 2 x 2 + 10 x + 23 = 2 ( x + 5 ) x 2 + 2

Đ/s:

−

7
47
& −
6
14

3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 31: Giải phương trình sau

2 3 x − 2 + 5 x + 1 − 12 = 0

Đối với dạng phương trình có nhiều loại căn thức như thế này các em cần nghĩ dến việc đặt mỗi
một căn là một ẩn phụ mới và đưa về thành hệ phương trình đơn giản hơn !
Cụ thể trong bài này ta sẽ đặt a = 3 x − 2 & b = x + 1 , khi đó ta có hai ẩn a & b , ta cần có hai
phương trình để giải hai ẩn này.
Từ phương trình bài tốn ta có ngay một phương trình là 2a + 5b − 12 = 0
Ngồi phương trình này ta sẽ có một phương trình khác khi tạo mối liên hệ giữa a và b . Đó là
b2 − a3 = 3

Vậy ta có hệ phương trình sau
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 18


−5b + 12

 2a + 5b − 12 = 0
a =
⇔
2
 2
3
b − a = 3
b 2 − a 3 = 3


( 1)
( 2)

Thay (1) vào (2) ta được
3

 −5b + 12 
b −
÷ =3
2


223 2 125 3
⇔−
b +
b + 270b − 219 = 0
2
8
⇔b=2
2

 b = 2 ⇔ x +1 = 2 ⇒ x = 3
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3
Trên đây ta đã giải hệ phương trình bằng phương pháp thế !
Ví dụ 32: Giải phương trình sau

x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9

Đặt y = 17 − x 2 ; y ≥ 0
Ta có hệ phương trình đối xứng loại I sau
 x + y + xy = 9
( 1)
 2

x + y 2 = 17


Đối với phương trình đối xứng loại I này, để giải ta phải tiếp tục đặt ẩn phụ
S = x+ y

Đặt

;

P = xy

Khi đó ta có hệ đơn giản hơn (chú ý rằng x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = S 2 − 2 P )
2

S = 5

P = 9 − S
S + P = 9

P = 4
⇔ 2
⇔
 2
  S = −7
 S − 2 ( 9 − S ) = 17
 S − 2 P = 17


  P = 16


( x; y ) = ( 1; 4 )
S = 5
x + y = 5
⇔
⇔
P = 4
 xy = 4
( x; y ) = ( 4;1)


 

 S = −7
 x + y = −7
⇔
( vn )
 P = 16
 xy = 16

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 & x = 4 .

Ví dụ 33: Giải phương trình sau

x3 − 3 3 2 + 3x = 2

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 19

Ta đặt y = 3 2 + 3 x khi đó ta sẽ có hệ phương trình đối xứng loại II sau
 x3 − 3 y = 2

(1)
 3
 y − 3x = 2


Để giải hệ phương trình này ta trừ vế của hai phương trình trong hệ ta được
x3 − y 3 + 3x − 3 y = 0

⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) + 3 ( x − y ) = 0
⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 3) = 0
⇔ x− y =0
⇔x= y
x = 2
 x = −1

3
Vậy ta có x = 3 2 + 3 x ⇔ x = 3x + 2 ⇔ 

Thay x = 2 & x = −1 lần lượt vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã
cho có hai nghiệm là x = 2 & x = −1 .
Để hiểu hơn về cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời các em đón đọc trong
phần tiếp theo của tài liệu - các loại Hệ Phương Trình và cách giải !
Ví dụ 34: Giải các phương trình sau
x + 7 − x =1

Đ/s:

9

x +3 − 3 x =1

Đ/s:

1

c) 3 12 − x − 3 14 + x = 2

Đ/s:

−2 − 51
2

d) x 2 + x + 5 = 5

Đ/s:

−1 + 17
1 − 21
&
2
2

e) x3 + 1 = 2 3 2 x − 1

Đ/s:

?

f) 4 17 − x 2 − 3 2 x 2 − 1 = 1

Đ/s:

−

a)

3

b)

g)

3

( 2 − x)

2

55 − 2 97
&
3

55 − 2 97
3

+ 3 ( 7 + x) − 3 ( 2 − x) ( 7 + x) = 3

2

h) 2 x 2 + 5 x + 2 − 2 2 x 2 + 5 x − 6 = 1

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 20


4. Đặt ẩn phụ và sử dụng hằng đẳng thức
Phương trình có dạng

3

a + 3 b + 3 c = 3 a+b+c

Ví dụ 35: Giải phương trình sau

3

x − 1 + 3 x − 2 + 3 x − 5 = 3 3x − 8

Để giải phương trình này các em đặt
a = 3 x − 1; b = 3 x − 2 ;

c = 3 x−5

Khi đó ta có phương trình sau
a + b + c = 3 a 3 + b3 + c 3
⇔ ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3
3

Sau đó chú ý hằng đẳng thức số 10 ta có

( a + b + c)


⇔ 3
3


3

3

 a = −b
= a + b + c ⇔ 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0 ⇔ b = − c

c = −a

3

3

3

3

x = 2
x −1 = − x − 2
 x −1 = − ( x − 2)



7
x − 2 = − 3 x − 5 ⇔  x − 2 = − ( x − 5) ⇔  x =

2
 x − 5 = − x −1
x − 5 = − 3 x −1
(
) (
) x = 3




3

3
2

7
2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = ; x = ; x = 3
Ví dụ 35: Giải các phương trình sau
a)

3

x −1 + 3 x − 2 = 3 2x −1

b) 3 2 x − 1 + 3 3 x − 2 + 3 x + 1 = 3 6 x − 2
c) 3 2 x 2 − 1 + 3 x − 2 + 3 x 2 + 1 = 3 3x 2 + x − 2
d 3 2 x 2 − x + 1 + 3 x − 2 + 3 x 2 + x + 1 = 3 3x 2 + x
e)

5

x2 − 2 x + 1 + 5 x − 2 + 5 x2 + x = 5 2 x2 − 1

f)

5

x2 − 2 x + 1 + 5 2x2 − x − 2 + 5 − x2 + x = 5 2 x2 − 2 x − 1

5. Sử dụng phương pháp liên hợp để phân tích thành nhân tử
Các em chú ý về lượng liên hợp như sau
a+b

Có lượng liên hợp bậc nhất là a − b
Có lượng liên hợp bậc hai là a 2 − ab + b 2
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 21


a −b

Có lượng liên hợp bậc nhất là a + b
Có lượng liên hợp bậc hai là a 2 + ab + b 2

Mục đích của việc nhân liên hợp là biến nó thành hằng đằng thức và làm mất căn thức !

4 x + 1 − 3x − 2 =

Ví dụ 36: Giải phương trình sau

x+3
5

4 x + 1 ≥ 0
3 x − 2 ≥ 0

Điều kiện của phương trình là 

Ta nhân hai vế của phương trình với lượng liên hợp 4 x + 1 + 3 x − 2 của 4 x + 1 − 3 x − 2 vì dễ
thấy rằng lượng liên hợp 4 x + 1 + 3 x − 2 > 0
4 x + 1 − 3x − 2 =
⇔

(

4 x + 1 + 3x − 2
⇔

(

)(

) (
2

4x +1 −

x+3
5
 x+3
4 x + 1 + 3x − 2 
÷
 5 

) (

)

4 x + 1 − 3x − 2 =
3x − 2

⇔ x+3=

(

) =(
2

 x+3
4 x + 1 + 3x − 2 
÷
 5 

)

 x+3

4 x + 1 + 3x − 2 
÷
 5 

)

 x+3
4 x + 1 + 3x − 2 − 5 
÷= 0
 5 
 x = −3
( ktm )
⇔
 4 x + 1 + 3x − 2 = 5

⇔

Giải phương trình

(

)

4 x + 1 + 3 x − 2 = 5 bằng cách bình phương hai vế ta được nghiệm là x = 2

Chỉ có x = 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình nên x = 2 là nghiệm duy nhất !
Ví dụ 37: Giải các phương trình sau
a) 3x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4

(

)

b) 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6

Copyright By MinhPhuc THPT Lak 22


Một Số Phương Trình Vơ Tỷ Luyện Thi Đại Học
1. x 4 − 7 x 3 + 14 x 2 − 7 x + 1 = 0

Đ/s:

2. x 4 − 6 x3 + 6 x 2 + 6 x + 1 = 0

Đ/s:

3± 5
& 2± 3
2
1± 2 & 2 ± 5

3. x 4 − 3 x 3 + 3 x + 1 = 0

Đ/s:

1± 2 &

4. x 4 − x3 − 10 x 2 − x + 1 = 0

Đ/s:

5.

x + 1 + 3 + 7 x = 3x + 2

Đ/s:

6.

x + 1 + 3 + 8 x = 3x + 2

Đ/s:

7.

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = 3 x 2 − 6 x + 5

Đ/s:

8.

x2 − 2x − 2 − 5 ( x − 4) x − 3 = 0

Đ/s:

Đặt y = x − 4 và z = x − 3 đưa về phương trình đồng bậc !
9.

2x + 3 − x + 4 =

x −1
2

10. 2 x 2 − 7 x + 8 + 2 x 2 + x + 1 = x 2 + 2 x + 9 + x 2 + 10 x + 2 Đ/s:

Đặt y = 2 x + 1 và z = 3 x + 2

Đ/s:

9 ± 85
2
−1 + 17
8

(Nhân liên hợp )
(Nhân liên hợp )

đưa về phương trình đồng bậc !

12. 9 x 2 + 8 x + 4 = 2 ( 3 x + 1) 2 x + 3

Đ/s:

13. 4 x 2 − 19 x − 8 = 2 ( 2 x − 1) 5 x + 3

Đ/s:

14. 4 x 2 − 10 x − 8 = 2 ( 2 x − 1) 2 x + 3

Đ/s:

15. 9 x 2 − 12 x − 14 = 2 ( 3 x − 1) 2 x + 5

Đ/s:

16.

−3 ± 5
& 2± 3
2
−10 + 2 19
3
5 − 33
2
2 55
(Nhóm nhân tử)
1 & 6+
15
17 + 3 13
6+2 2 &
2
1 & 13 − 4 13

Đ/s:

11. 4 x 2 + 7 x + 3 = 2 ( 2 x + 1) 3 x + 2

1± 5
2

−2 + 22
9
9 − 113
49 + 3 313
&
8
8
13
3− 7
&
2
4
4 − 2 13
4 + 2 15
&
9
3

( x − 1) ( x − 2 ) + ( x − 3) ( x − 4 ) = 9 x 2 − 54 x + 75
Đặt y = ( x − 1) ( x − 3) và z = ( x − 2 ) ( x − 4 ) đưa về phương trình đồng bậc !
Đ/s:

17. x3 + 25 x 2 + 58 x + 34 = 6 ( x + 2 )

2

10 + 13
46 − 241
&

3
15

2x + 3

Đặt y = 2 x + 3 và z = x + 1 đưa về phương trình đồng bậc !
2,3 + 2 5,8 + 3 10
Đ/s:
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 23


18. x 2 − x − 2 + 3 x = 5 x 2 − 4 x − 6

Đ/s:

3 + 13 &

9 − 97
8

Đặt y = x + 1 và z = x 2 − 2 x đưa về phương trình đồng bậc !
19. x 2 + x − 1 + 3x 2 + x − 3 = 3x 2 + 2 x − 3
Với x > 0
Đặt t = x −

1
x

Đ/s:

−4 + 5 + 142 − 8 5
−4 + 5 − 142 − 8 5
&
11
11

20. 2 x 2 + 4 = 5 x3 + 1

Đ/s:

5 ± 37
2

Đặt y = x − 1 và z = x 2 − x + 1 đưa về phương trình đồng bậc !
21. 4 x 2 + 16 x + 12 = 2 x + 8

Đ/s:

−7 + 17
−9 − 13
&
4
4

Đặt y = 2x + 4 và z = 2x + 8 ta được hệ phương trình đối xứng loại 2 !
22. 4 x 2 − 5 x − 7 + 3 3x + 5 = 0

Đ/s:

11 − 137

−1 + 65
&
8
8

Đặt t = 3x + 5 coi x là tham số ! Giải t theo x !
23. 4 x 2 + 3 x − 5 + 3 3 x + 5 = 0

Đ/s:

24. 4 x 2 − 20 x + 13 + 3 2 x + 5 = 0

Đ/s:

25. x 2 − 12 x + 17 + 3 3 x + 1 = 0

Đ/s:

26. x3 + 3 = 4 3 4 x − 3

Đ/s:

−9 + 17
3 − 89
&
8
8
7 + 33
13 − 3 5
&

4
4
15 − 85
8 &
2
−1 ± 13
1 &
2

Đưa về hệ đối xứng loại 2 !
27. 4 x 2 + 14 x + 11 = 4 6 x + 10

Đ/s:

−3 + 13
4

( Phân tích thành hằng đẳng thức !)
19 + 137
8
35 + 17
11 − 73
&
8
8
5 + 13
1− 5
&
6
6

28. 4 x 2 − 7 x − 10 = 6 3 x + 2

Đ/s:

29. 4 x 2 − 23 x + 15 = 6 3 x + 1

Đ/s:

30. 9 x 2 − 9 x − 1 = 2 3 x + 1

Đ/s:

31. x + 4 x + 4 17 − x + 8 4 17 − x = 34

Đ/s:

1

32. 4 x 2 + x + 1 = 1 + 5 x + 4 x 2 − 2 x 3 − x 4

Đ/s:

−1 ± 21 + 2 5
−1 ± 37 − 2 21
&
2
2

Đặt t = x 2 + x đưa về phương trình đơn giản hơn sau đó sử dụng hằng đẳng thức !

Các chuyên đề tiếp theo sẽ được biên soạn trong thời gian tới !
Copyright By MinhPhuc THPT Lak 24