sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn

I – PHẦN MỞ ĐẦU
Trong chương trình vật lý 10, tĩnh học là một phần rất quan trọng. Nó
giúp học sinh giải quyết các bài toán cân bằng của các vật thể và sự tương
tác giữa chúng. Đối với học sinh giỏi, phần tĩnh học còn quan trọng hơn,
đây là dạng toán thường thấy ở các kì thi lớn nhỏ; từ thi học sinh giỏi tỉnh,
học sinh giỏi quốc gia, Olympic 30 – 4 cho đến các kì thi Olympic khu
vực... Để giải bài toán tĩnh học, thông thường chúng ta sử dụng phương
pháp giải tích. Phương pháp này có thể sử dụng với mọi số lượng lực tác
dụng, lập các điều kiện cân bằng sau đó chiếu lên các trục toạ độ đã chọn.
Ngoài phương pháp giải tích, rất ít học sinh biết được có một phương pháp
nữa đặc biệt hữu hiệu khi chỉ có ít lực tác dụng lên vật rắn, đó là phương
pháp hình học. Trong đề tài này, tôi xin đề cập đến việc sử dụng phương
pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn. Tôi hy vọng rằng đây là tài
liệu tham khảo có ích cho các em học sinh. Vì thời gian không nhiều và
trình độ bản thân còn hạn chế, đề tài này chắc khó tránh khỏi thiếu sót, kính
mong quý thầy cô giáo xem xét và góp ý thêm.
II – CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cân bằng của hệ lực đồng quy
Theo các định luật cơ học, ta biết rằng nếu vật thể bị tác dụng của các
lực bên ngoài cân bằng nhau thì nó có thể đứng yên hoặc chuyển động theo
quán tính. Thí dụ vật có thể chuyển động tịnh tiến thẳng đều.
Từ đây ta có hai kết luận quan trọng:
- Các lực tác dụng lên vật đứng yên cũng như lên vật chuyển động theo
quán tính đều thoả mãn các điều kiện cân bằng của tĩnh học.
- Sự cân bằng của các lực tác dụng lên vật rắn tự do là điều kiện cần,
nhưng chưa đủ đối với sự cân bằng (đứng yên) của bản thân vật thể đó. Do
đó vật thể chỉ đứng yên nếu như trước khi chịu tác dụng của các lực cân
bằng nó đã ở trạng thái đứng yên.
1

Để hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn cân bằng thì điều kiện cần và
đủ là hợp lực của các lực đó bằng không. Ta có thể biểu diễn điều kiện này
dưới dạng hình học như phần tiếp theo.
2. Điều kiện cân bằng dưới dạng hình học
Vì hợp lực của hệ lực đồng quy là cạnh khép kín của đa giác lực dựng
từ các lực đó nên hợp lực chỉ có thể bằng không khi và chỉ khi điểm mút
của lực cuối cùng trong đa giác lực trùng với điểm đầu của lực đầu tiên, tức
là khi đa giác lực tự khép kín.
Do đó, điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực
dựng được từ các lực đó phải tự khép kín.
Nhiều khi để giải các bài toán tĩnh học, ta nên sử dụng định lý sau.
3. Định lý về ba lực
Nếu vật rắn tự do mà cân bằng dưới tác dụng của ba lực không song
song nằm trên cùng một mặt phẳng thì giá của chúng phải cắt nhau tại một
điểm.
4. Các bước giải bài toán cân bằng của vật rắn bằng phương pháp hình
học
Như đã nói ở trên, phương pháp hình học thường tiện hơn khi chỉ có 3
lực tác dụng lên vật. Vì vậy ta xem như phạm vi áp dụng hiệu quả cho bài
toán này là số lực tác dụng lên vật hay mỗi vật trong hệ chỉ là 3 lực mà.
Nếu vật chịu tác dụng nhiều hơn ba lực ta có thể tìm hợp lực của một số lực
trước rồi qui về bài toán vật chịu tác dụng của ba lực.
• Bước 1: Chọn vật khảo sát cân bằng
Trước hết ta cần xét sự cân bằng của vật chịu tác dụng của các lực đã
cho và các lực chưa biết. Nếu các lực đã cho tác dụng lên một vật, còn lực
chưa biết tác dụng lên vật khác, thì ta cần khảo sát lần lượt sự cân bằng của
từng vật và đôi khi cả sự cân bằng của các vật trung gian.
• Bước 2: Biểu diễn các lực lên vật hoặc hệ vật cân bằng

2

Ta cần vẽ riêng rẽ từng vật cân bằng và biểu diễn các lực tác dụng lên
các vật đó.
• Bước 3: Lập các điện kiện cân bằng
Tam giác dựng trên ba lực tác dụng lên vật hoặc từng vật trong hệ phải
khép kín.
• Bước 4: Xác định các đại lượng cần tìm, kiểm tra lời giải và khảo sát
các kết quả thu được.
Giải tam giác đã dựng ta sẽ được các đại lượng cần tìm.
III – PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài toán 1: Một thanh kim loại dài AB = 1,5m khối
lượng m = 3kg được giữ nghiêng trên mặt sàn nằm
ngang bằng một sợi dây BC như hình vẽ. Biết BC =
1,5m, đầu dưới A của thanh tựa lên mặt sàn. Hệ số ma
sát giữa thanh và mặt sàn bằng

3
. Góc nghiêng α
2

phải có giá trị bao nhiêu để thanh có thể cân bằng?
Giải

x

Chúng ta hãy so sánh hai cách giải sau:
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:
Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn ta có:
ur ur uuur ur r

P + Q + Fms + T = 0.

(1)

y

Tổng đại số các mômen lực đối với trục đi qua A bằng không:
M ( P ) + M ( Fms ) + M ( N ) + M ( T ) = 0

⇒ T . AB.sin α − P

AB
cos α = 0.
2

(2)

Chiếu (1) lên Ox và Oy ta được:
Fms − T = 0 và − P + Q = 0.

3


Từ điều kiện lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ Fms ≤ kQ ta có:
T ≤ kP

⇒

P cot gα
≤ kP ⇒ cot gα ≤ 2k = 3 ⇒ α ≥ 30 0 .

2

• Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:
Theo định lý về 3 lực, phản lực của sàn N phải đi qua D (giao điểm 2 giá
của P và T ).
Mặt khác, để thanh cân bằng, N phải nằm trong nón ma sát tgϕ = k tức

là: β ≤ ϕ ; với tgβ =
⇒

AB cos α
cot gα
2
=
AB sin α
2

cot gα
≤ k ⇒ α ≥ 30 0 .
2

• Nhận xét: Rõ ràng trong trường hợp chỉ có 3 lực tác dụng phương
pháp hình học sẽ bài giải ngắn gọn hơn, đơn giản hơn. Chúng ta tiếp
tục so sánh một ví dụ khác.
Bài toán 2: Một thanh đồng chất BC tựa vào tường
thẳng đứng ở góc B nhờ dây AC dài l hợp với tường một
góc α. Cho BC = d. Hỏi hệ số ma sát giữa thanh và tường
phải thoả điều kiện nào để thanh cân bằng?
Giải
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích

Chọn hệ quy chiếu Bxy như hình vẽ.
Biểu thức cân bằng lực: P + T + f + N = 0 .
+ Chiếu lên Bx: N = T.sinα.
+ Chiếu lên By: f = mg - Tcosα.
Cân bằng mômen đối với trục qua B:

4


d
mgd sin β
mg sin β = T.h. sin α ⇒ T =
(với h = AB).
2
2h. sin α

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC:
d
h
d sin ( α + β)
=
h=
⇒
.
sin α sin ( α + β )
sin α
mg sin β

mg. sin α. sin β

Ta có: T = 2 sin ( α + β) ⇒ N = 2 sin ( α + β)


và f = mg1 −


cos α. cos β 
2 sin α cos β + cos α sin β
 = mg
.
2 sin ( α + β) 
2 sin ( α + β )

Để có cân bằng thì ma sát phải là ma sát nghỉ: f ≤ kN
⇔ mg

2 sin α cos β + cos α sin β
mg. sin α. sin β
≤k
2 sin ( α + β )
2 sin ( α + β )

⇒ k≥

2 sin α cos β + cos α sin β
2
1
=
+
.

sin α. sin β
tgβ tgα

Mà theo định lý hàm sin cho tam giác ABC, ta có:
sin β =


sin α ⇒ cos β =
d

2 d 2 − 2 sin 2 α
1
d 2 − 2 sin 2 α
+
⇒ k≥
.
sin α
tgα
d

• Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:
Để thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D của
giá hai lực P và T , dễ thấy D là trung điểm của AC. Khi
đó Q hợp với phương thẳng đứng một góc γ.
AD sin α

sin α

Ta có: tgγ = BC cos β + CD cos α = 2d cos β + cos α .
Để thanh cân bằng phản lực Q phải nằm trong nón ma sát tgϕ = k, tức là

π
2d cos β + cos α
− ϕ ≥ γ . Hay cot gϕ ≥ tgγ ⇒ k ≥
.
2
sin α

• Nhận xét: Đến ví dụ này thì ta thấy rõ được sự đơn giãn và ngắn gọn
của phương pháp hình học với giải tích. Đó là bài toán vật chịu tác
dụng của ba lực, vậy trong trường hợp có 4 lực trở lên liệu áp dụng

5


phương pháp này có hiệu quả hơn không. Ta hãy xét tiếp một ví dụ
khác.
Bài toán 3: Hai quả cầu đồng chất, tâm O 1 và O2 bán kính R1, R2 (R1 >
R2), trọng lượng P1, P2 (P1 > P2) tựa vào nhau ở B và cùng được treo vào
điểm O nhờ hai dây OA1 và OA2. Biết OA1 + R1 = OA2 +R2 = R1 + R2. Tìm
góc nghiêng θ của OA1 với đường thẳng đứng khi cân bằng.
Giải:
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:
Phương trình mômen của quả cầu O1 đối với trục quay
O:

P1 .O1 H1 − N.OH = 0

⇔ P1 ( R 1 + R 2 ) sin θ − N( R 1 + R 2 )
⇒ N=

2P1
3

3
=0
2

sin θ .

Tương tự phương trình mômen của quả cầu O2 đối với trục quay O:
N' ( R 1 + R 2 )

(

)

3
− P2 ( R 1 + R 2 ) sin 60 0 − θ = 0
2

⇒ N' =

2P2
3

(

)

sin 60 0 − θ .

Vì N = N’, ta nhận được phương trình xác định θ:

(

P1 sin θ = P2 sin 60 0 − θ

)

⇒ P1 sin θ = P2 sin ( 60 0 − θ)
⇒ ( 2P1 + P2 ) sin θ = P2 3 cos θ
⇒ tgθ =

P2 3
.
2P1 + P2

• Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:

6


Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: P1 ; P2 ; T1 ; T2 . T1 và T2 có giá cắt nhau
tại O vậy hợp lực P của P1 và P2 phải đi qua O. Theo quy tắc hợp lực song
P

P

P +P

P

2
⇒ O' O 1 = P + P ( R 1 + R 2 ) .
1
2

1
2
1
2
song ta có: O' O = O' O = O O
2
1
1 2

Trong tam giác OO1O’, theo định lý hàm số sin:
O 1 O'
R1 + R 2
=
sin θ sin 120 0 − θ

(

⇒

)

P1 + P2
sin θ = sin 120 0. cos θ − cos120 0. sin θ

P2

⇒ tgθ =

P2 3
.
2P1 + P2

• Nhận xét: Vậy ta thấy phương pháp hình học có thể áp dụng được cả
hệ vật được, thậm chí có nhiều hơn ba lực, tuy nhiên bài toán lúc
này không được ngắn gọn và rõ ràng bằng phương pháp giải tích.
Do đó, đối với bài toán có nhiều ngoại lực tác dụng ta nên sử dụng
phương pháp giải tích. Bây giờ tôi xin đưa thêm một số bài tập về
cân bằng vật rắn có thể áp dụng được phương pháp hình học.
Bài 4: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bằng dây vào một điểm cố
định trên đường thẳng đứng. Xác định hệ số ma sát giữa tường với quả cầu
sao cho khi cân bằng, điểm nối dây với quả cầu nằm trên đường thẳng đứng
đi qua tâm quả cầu
Giải
Phản lực Q phải qua điểm A, do đó dễ thấy α = 450. Mà để quả
cầu cân bằng Q phải nằm trong nón ma sát tgϕ = k.
⇒ α ≤ ϕ hay tgϕ ≥ tgα = 1 ⇒ k ≥ 1 .

7


Bài toán 5: Vật B có trọng lượng P nằm trong một mặt không nhẵn có
dạng một phần tư cung tròn, vật được giữ cân bằng nhờ lực kéo T đặt vào
dây BAD. Cho hệ số ma sát trượt µ = tgα. Tìm lực kéo T.
Giải

Vẽ nón ma sát xBy, để B cân bằng hợp lực
Q = P + T phải nằm trong nón ma sát. Hai giá trị

giới hạn của Q là Q1 và Q 2 , tương ứng với hai vị
trí giới hạn của T là T1 , T2 . Do đó điều kiện cân
bằng sẽ trở thành: T2 ≤ T ≤ T1 .
* Tính T2:
ˆ O = 1 π −  π − α  = π + 2α .
γ = AB

2   2
4

ˆ B=Q B
ˆ P = α − ϕ ; PQ
ˆ
Q2B
2
2 A

⇒ sin PQˆ 2 B = sin Q 2 BˆA = sin ABˆx
⇒ sin PQˆ 2 B = sin ( γ − ϕ) .
Theo định lý hàm số sin:
⇒

T2 =

T2
P
=

ˆ B sin Q B
ˆ
sin PQ
2 P
2

sin ( α − ϕ)
P
 π + 2α
 .
sin 
− ϕ
 4


Hoàn toàn tương tự khi tính toán T1:
T1 =

sin ( α + ϕ)
P
 π + 2α
 .
sin 
+ ϕ
 4


Vậy lực kéo T được xác định trong khoảng:
sin ( α − ϕ)
sin ( α + ϕ)

P≤T≤
P
 π + 2α

 π + 2α
 .
sin 
− ϕ
sin 
+ ϕ
 4

 4


8


Bài toán 6: Thanh AD có trọng lượng không đáng kể, nằm ngang trên
hai ổ đỡ B, C không nhẵn, hệ số ma sát trượt k. Tại đầu D đặt lực kéo Q
nghiêng góc θ với thanh. Cho BC = 2CD = 2a. Xác định góc θ để có tự
hãm (thanh vẫn cân bằng dù trị số của Q rất lớn).
Giải
Vẽ hai nón ma sát tại các tiếp điểm B,
C, phần giao chính là zIy. Có nghĩa là giao
điểm của 2 phản lực tại B và C sẽ trong
phần giao đó. Vì vậy để thanh cân bằng,
lực Q phải có giá đi qua phần giao tức là θ ≥ θ 0 (Với θ 0 = CDˆI ).
a
1

HI
1 ⇒ θ 0 = arctg
tgϕ
.
tgθ 0 =
=
=
2k
HD
2a
2tgϕ

Vậy điều kiện cân bằng của thanh sẽ là:
θ ≥ arctg

1
.
2k

Vì điều kiện cân bằng không phụ thuộc vào trị số của Q nên hiện tượng tự
hãm xảy ra.
Bài toán 7: Thanh đồng chất AB = 2l, trọng lượng P,
hai đầu tựa trên nền và tường không nhẵn hệ số ma sát
k. Xác định góc nghiêng α để thang cân bằng?
Giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ
Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt. Phần giao của 2 nón
ma sát IJMK sẽ chứa giao điểm của 2 phản lực ở
tường và sàn. Vậy điều kiện để AB cân bằng là P
phải qua tứ giác IJMK nghĩa là: x G ≥ x k .

Ta có: x G =

AB
sin α = sin α .
2

9


Tam giác BKA vuông ở K:
x K = BK cos ϕ = AB sin ( α − ϕ) cos ϕ

⇒ x K = 2sin ( α − ϕ) cos ϕ .
Thay vào điều kiện: sin α = 2sin ( α − ϕ) cos ϕ
⇒ tgα ≥ 2( sin α cos ϕ − cos α sin ϕ) = 2tgα cos 2 ϕ − 2 cos ϕ sin ϕ
⇔ tgα(1 − 2 cos 2 ϕ) ≥ −2 cos ϕ. sin ϕ
sin 2ϕ

⇔ tgϕ ≤ cos 2ϕ = tg 2ϕ ⇒ α ≤ 2ϕ .
Bài toán 8: Thanh sắt OA có khối lượng m1 = 2kg gắn
đầu O vào bức tường thẳng đứng nhờ một bản lề, đầu A
của thanh treo vật B có khối lượng m 2 = 2kg và được giữ
cân bằng nhờ dây AC nằm ngang, khi đó góc nghiêng của
thanh so với bức tường là α = 450. Hãy xác định các lực tác dụng lên thành.
Lấy g = 10m/s2.
Giải
Hợp lực P = P1 + P2 có điểm đặt tại E, vì P1 = P2 nên dễ thấy E là trung
điểm của GA. Để thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D của giá
hai lực P và T , khi đó Q hợp với phương thẳng đứng một góc β.
Dựa vào hình vẽ, ta có:

tg β =

CD OE sin α
=
CO
CO

3
OA sin α
3sin α 3
4
=
=
=
CO
4 cos α 4

Vậy:
+ Lực căng dây: T = Ptgβ = ( P1 + P2 ) tgβ = 30 N .
+ Phản lực bản lề: Q = T 2 + P 2 = 50 N .
3
4

+ Q hợp với phương thẳng đứng một góc β = arctg = 37 0 .

10


Bài toán 9: Thanh đồng chất AB, đầu A tựa trên sàn ngang có ma sát,
đầu B được giữ nhờ lực F vuông góc với AB. Thanh AB

nằm yên cân bằng. Hệ số ma sát trượt giữa AB với sàn là µ.
a. Lập biểu thức xác định µ theo α.
b. Với giá trị nào của α hệ số ma sát µ là nhỏ nhất. Giá
trị nhỏ nhất này là bao nhiêu?
Giải
a. Thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm C.
Lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ nên Q phải nằm trong nón ma sát tgϕ =
µ, tức là β ≤ ϕ (β là góc hợp bởi Q với phương thẳng
đứng).
Mà ta có:
AB
cos α
sin α. cos α
1
2
tgβ =
=
=
2
AB
AB
sin α + 1 2 tgα + cot gα
sin α +
2
2 sin α
1

⇒ µ ≥ 2tgα + cot gα .
b. Theo bất đẳng thức côsi ta có: 2tgα + cot gα ≥ 2 2 .
Dấu bằng xảy ra thì:

2 tgα =

1
⇒ tgα = 0,5
tgα

⇔ α = 35,26 0 ,
và µ có giá trị nhỏ nhất: µ min =

1
2 2

=

2
.
4

IV - KẾT LUẬN
Qua một số bài toán trên ta cũng có thể nhận thấy ưu điểm của phương
pháp hình học khi sử dụng để giải một số bài toán cân bằng vật rắn. Đó là
11


bài giải ngắn gọn rõ ràng, hạn chế được việc giải hệ phương trình (vốn khá
nhiều phương trình và rất dễ nhầm lẫn). Tuy nhiên phương pháp này chỉ
thực sự hiệu quả nếu vật hay hệ vật cân bằng có 3 lực tác dụng. Ngoài ra,
học sinh cần phải nắm kiến thức hình học vững vàng và sử dụng thành thạo
các hàm số lượng giác trong tam giác.
Trên đây là một vấn đề nhỏ mà tôi đã tìm hiểu, rất mong nhận được ý

kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các em học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Đức Cường, Các dạng bài tập từ đề thi quốc gia. NXB Đại
học Sư phạm, 2011.
2. Tô Giang, Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý trung học phổ thông (cơ
học 1). NXB Giáo Dục, 2009.
3. Trần Trọng Hưng, 400 bài toán Vật lý 10. NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội, 2006.
4. Vũ Thanh Khiết, Bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lý Trung học phổ
thông – Bài tập Cơ học – Nhiệt học, NXB Giáo Dục, 2002.
5. Vũ Thanh Khiết, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ
cấp (tập 1). NXB Giáo Dục, 2011.

12


MỤC LỤC
I. Mở đầu……………………………………………………………1
II. Cơ sở lý thuyết…………………………………………………..1
1. Cân bằng của hệ lực đồng quy……………………………….1
2. Điều kiện cân bằng dưới dạng hình học……………………...2
3. Định lý về ba lực……………………………………………...2
4. Các bước giải bài toán cân bằng của vật rắn bằng phương pháp
hình học………………………………………………………….2
III. Phân tích một số bài toán điển hình……………………………..3
IV. Kết luận………………………………………………………...11
Tài liệu tham khảo ………………………………………………...12
Mục lục…………………………………………………………….13

13