Định luật gauss trong vật lý đại cương

Nội dung

Định luật Gauss

1.
2.
3.
4.
5.

Thông lượng dòng nước
Thông lượng điện trường (điện thông)
Định luật Gauss
Dạng vi phân của định luật Gauss
Tìm điện trường bằng định luật Gauss

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Thông lượng dòng nước – 1
• Xét dòng nước thẳng đều vận tốc v, và bề
mặt diện tích S vuông góc dòng chảy.
• Thông lượng nước qua (S) = thể tích nước
qua (S) trong một đơn vị thời gian:
Φ = vS
Thể tích nước
trong hình trụ
này sẽ đi qua (S)
trong một giây

v

S

1. Thông lượng dòng nước – 2
• Nếu (S) tạo một góc với dòng nước :
Φ = vS cosα = v ⋅ nS
• Ф có thể âm hay dương tùy theo góc α.
Thể tích nước
trong hình trụ
nghiêng này sẽ
đi qua (S) trong
một giây.

v
݊
α


1. Thông lượng dòng nước – 3
• Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ.
• Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS.
Dòng nước
‫ݒ‬Ԧ
݊
dS

1. Thông lượng dòng nước – 4
• Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng
chảy qua đó là thẳng đều. Do đó,

• thông lượng qua dS là:
dΦ = vdS cosα = v ⋅ ndS
• v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS.
• Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng
thông lượng qua tất cả các phần dS:
Φ = ∫ dΦ =

Mặt cong (S)

1. Thông lượng dòng nước – 5
• Nếu (S) là mặt kín thì ta quy ước chọn n
hướng ra ngoài mặt (S).
• Do đó thông lượng nước qua một mặt kín =
thông lượng ra − thông lượng vào.
݊
݊
Thông
lượng
vào là âm

‫ݒ‬Ԧ
‫ݒ‬Ԧ
݊

‫ݒ‬Ԧ
‫ݒ‬Ԧ
݊

Thông
lượng ra

là dương

∫ v ⋅ ndS
(S )

2. Thông lượng điện trường – Định nghĩa
• Tương tự, ta định nghĩa thông lượng điện
trường qua một mặt (S) bất kỳ:
Φ S = ∫ E ⋅ ndS
(S )

Đơn vị V.m

• với ‫ܧ‬, ݊ là vectơ điện trường và pháp vectơ
trên dS.
• Điện thông có thể âm hay dương tùy theo
góc giữa ‫ ܧ‬và ݊.
• Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng được
chọn hướng ra ngoài.


2. Thông lượng điện trường – Ý nghĩa

3a. Định luật Gauss – 1

• Điện thông qua dS ⊥ điện trường: dΦ = EdS
• EdS = số đường sức đi qua dS.
• Do đó điện thông Φ qua (S) bằng số đường
sức qua (S).
• Φ > 0 khi các đường sức đi theo chiều của

pháp vectơ,
• Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại.
• Φ qua một mặt kín = số đường sức ra − số
đường sức vào.
E = mật độ đường
sức trên bề mặt ⊥ E

• Điện thông qua mặt kín (S) bằng tổng các
điện tích trong (S) chia cho ε0:

3a. Định luật Gauss – 2

3b. Định luật Gauss & dòng nước – 1

q>0

q<0

Ф>0

Ф<0

q

ΦS =

QS
ε0

QS = q2 + q5 − q1

−q3

−q1

q5
E

−q4
q2

Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Ф=0
Nước vào = Nước ra ⇨ Lưu lượng qua (S) = 0


3b. Định luật Gauss & dòng nước – 2

3b. Định luật Gauss & dòng nước – 3

Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Nước vào < Nước ra ⇨ Lưu lượng qua (S) > 0

Nước vào > Nước ra ⇨ Lưu lượng qua (S) < 0

Cá phun nước ~ điện tích dương

Cá uống nước ~ điện tích âm

3b. Định luật Gauss & dòng nước – 4
Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Nước vào = Nước ra ⇨ Lưu lượng qua (S) = 0
Cá ở ngoài không thể thay đổi lưu lượng.

4a. Divergence (div)
• (ΔS) là mặt kín

nhỏ bao quanh
M.
• Thể tích giới hạn
trong (ΔS) là ΔV,
• điện thông qua
(ΔS) là ΔΦ.

E

(ΔS)

M
ΔV


4a. Divergence (div) (tt)
• divergence của điện trường tại M:
∆Φ
∆V →0 ∆V

divE = lim

• Ý nghĩa: divE là điện thông tính trên một
đơn vị thể tích.
• Trong tọa độ Descartes divE có biểu thức:
∂E ∂E
∂E
divE = x + y + z
∂x
∂y

∂z

4b. Dạng vi phân của định luật Gauss
• Áp dụng định luật Gauss cho (ΔS), trong đó
có chứa điện tích ΔQ:
∆Q
∆Φ =
ε0
∆Φ 1
∆Q
= lim
∆V →0 ∆V
ε 0 ∆V →0 ∆V

divE

lim

divE =

Bài tập 1
Một mặt cầu tâm O bán kính R được đặt trong
điện trường
ρ r
E=
2εε 0 r
với ‫ݎ‬Ԧ là vectơ vị trí vẽ từ O, ρ là một hằng số
dương. Điện tích chứa trong mặt cầu bằng:
(a) q = −2πρ R 2

(b) q = 2πρ R 2

4
(c) q = πρ R3
3

1
(d) q = πρ R 2
2

Mật độ điện
tích ρ

ρ
ε0

Trả lời BT1 - 1
E=

ρ r
2εε 0 r

E n

n
E

• ‫ ܧ‬song song ݊:
ρ
E .n = E =

2εε 0
• Điện thông qua (S):
ΦS =

2
∫ EdS = E ⋅ 4π R
(S )

2πρ R 2
ΦS =
εε 0

(S)


Trả lời BT1 - 2
• Định luật Gauss trong
điện môi:
Q
ΦS = S
εε 0

5a. Dây tích điện dài vô hạn
E n

n
E

Cho một dây không dẫn điện, dài vô hạn, tích
điện đều với mật độ λ > 0. Tìm điện trường ở

khoảng cách r tính từ trục của dây.

• Suy ra điện tích trong
mặt cầu:
(S)

QS = εε 0Φ S = 2πρ R 2

• Câu trả lời đúng là (b).

5a.1
• Điện trường có tính đối
xứng trụ.
• Vẽ mặt trụ (S) đồng trục với
dây,
• E ⊥ mặt bên của (S) và,
• có độ lớn không đổi trên đó:
• Φܵ = ‫ܵܧ = ܵ݀݊ܧ ׬‬୫ặ୲ୠê୬

E

n

(S)
E

5a.2
• Điện thông qua (S):
Φ S = E ⋅ 2π rh
• Theo định luật Gauss:

Q
λh
ΦS = S =
ε0 ε0
• Suy ra:
E=

(S)
Nhìn từ trên
xuống

λ
2πε 0r

QS = λh

r
E

h

(S)

• Phương pháp:
• Chọn mặt Gauss (S) có tính
đối xứng của hệ, sao cho:
• Φܵ = ‫ܵܧ‬


5b. Vỏ trụ và hình trụ dài vô hạn

5c. Mặt phẳng vô hạn tích điện đều

R

E

Vỏ trụ mật
độ điện dài
λ

 λ
r ≥R

E =  2πε 0r
0
r 

Điện trường đều:
σ
E=
Nhìn ngang

Hình trụ
đặc mật độ
điện dài λ,
mật độ
điện khối ρ

 λ
 2πε r r ≥ R

0
E =
 ρ r r  2ε 0

E

5d. Vỏ cầu và quả cầu tích điện đều

Bài tập 2
E

 Q
r ≥R
Vỏ cầu điện

4πε 0r 2
E
=

tích Q
0
r 
Quả cầu
đặc điện
tích Q, mật

độ ρ

 Q
 4πε r 2 r ≥ R

0
E =
 ρ r
r  3ε 0

2ε 0

E

Điện tích Q > 0 được phân bố đều trong quả
cầu bán kính R, tâm O. Đặt một điện tích điểm
Q ở vị trí x = 2R trên trục x. Điện trường ở x =
R/2 là:
a. ܳ/4ߨߝ଴ ܴଶ
b. ܳ/8ߨߝ଴ ܴଶ
c. ܳ/72ߨߝ଴ ܴଶ
d. 17ܳ/72ߨߝ଴ ܴଶ

Q
O
R/2

x

E1 =

ρ R
3ε 0 2

E1 =

Q
8πε 0R2

E2 =
E2 =

ρ=

Trả lời BT 2

Q
4π R3 3

E1

O

x

R/2

Q

2

4πε 0 (3R 2)
Q
9πε 0R2

O

E2
3R/2

E = E1 − E 2 =

a

x

‫ݎ‬Ԧ1

O

‫ݎ‬Ԧ2
ܽԦ

‫ݎ‬Ԧ1

=

Trả lời BT 3 - 2

M

O

O

Cho một quả cầu tâm O,
tích điện đều với mật độ
khối ρ, trong đó có một
phần rỗng hình cầu, có
tâm O’ cách O một đoạn
a.
Hãy tìm điện trường
trong phần rỗng.

Q
72πε 0R 2

Trả lời BT 3 - 1

‫ݎ‬Ԧ1

Bài tập 3

‫ݎ‬Ԧ2

+

O’

O

‫ܧ‬ଵ = ‫ ܧ‬+ ‫ܧ‬ଶ

‫ܧ‬2

‫ܧ‬

ρ
E1 =
r1
3ε 0

‫ݎ‬Ԧ2

ρ
E2 =
r2
3ε 0

‫ݎ‬Ԧ1

‫ܧ‬1

‫ݎ‬Ԧ2
ܽԦ

ρ
E = E1 − E 2 =
( r1 − r2 )

3ε 0
ρ
E=
a Điện trường đều
3ε 0

E


Bài tập 4

Trả lời BT 4 - 1

Một không gian mang điện với mật độ điện
khối ρ = ρ0/r, ρ0 là một hằng số dương, r là
khoảng cách tính từ gốc tọa độ. Biểu thức của
điện trường theo vị trí r có dạng:
2ρ r
(b) E = 0 ⋅
ε0 r

ρ r
(a) E = 0 ⋅
2ε 0 r

(b) E =

ρ0 r
⋅
3ε 0 r

(d) Kết quả khác.

• ρ có tính đối xứng cầu
nên ‫ ܧ‬cũng thế.
• Chọn mặt Gauss là mặt
cầu tâm O bán kính r.
• Điện thông qua (S):
Φ = E ⋅ 4π r 2 = Q / ε 0
• Q là điện tích trong (S).
• Vậy:
Q
E=
4πε 0r 2

Trả lời BT 4 - 2
• Xét lớp cầu có bán kính từ
u đến u + du.
• Mỗi lớp có thể tích:

dV = 4π u2du
• và điện tích:
ρ
dQ = 0 4π u2du = 4πρ0udu
u
• Suy ra điện tích trong (S):

(

)

r

Q = 4πρ0 ∫ udu = 2πρ0r 2
0

(S)

r
E

Trả lời BT 4 - 3
(S)
du
u

• Vậy:
2πρ0r 2
Q
=
E=
4πε 0r 2 4πε 0r 2

E=
r

(S)

ρ0
2ε 0

ρ r
E= 0 ⋅
2ε 0 r

• Câu trả lời đúng là (a).

r
E