Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 1

Chơng 1
Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z


Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm việc với
các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều
khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đợc sử
dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc bao hàm các thiết bị tính toán
đợc xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC).

Một bộ chuyển đổi từ số sang tơng tự (A/D converter) thờng đợc dùng để kết nối
đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều
khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu tơng tự. Một bộ chuyển đổi tơng tự sang số
(A/D converter) đợc sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số. Các thời điểm tín hiệu
đợc đọc vào đợc gọi là các thời điểm lấy mẫu.

Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi đợc trình bày trên hình 1.1. Máy
tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa chơng trình điều khiển. Bộ biến đổi A/D
chuyển tín hiệu sai lệch tơng tự thành tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số.
Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu tơng tơng tự
để điều khiển thiết bị chấp hành.


Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

1.1. Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Trớc tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem nh là một
công tắc đợc đóng sau mỗi chu kỳ là T giây nh trình bày trên hình 1.2. Khi tín hiệu liên tục
ký hiệu là
( )
r t đợc lấy mẫu tại các khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu ra đợc ký hiệu

là
*
( )r t có dạng nh trên hình 1.3.


Hình 1.2. Bộ lấy mẫu

Một quá trình lấy mẫu lý tởng có thể xem nh là tích của một chuỗi xung với một tín
hiệu tơng tự:

( ) ( ) ( )
*
r t P t r t= (1.1)

ở đây
( )
P t đợc gọi là xung delta hay là xung đơn vị có dạng nh hình 1.4.
( )
r t
( )
*
r t
Tín hiệu liên tục Tín hiệu lấy mẫu
A/D Máy tính số D/A
Thiết bị
chấp hành
Cảm biến
Đầu vào
Đầu ra

H×nh 1.3. TÝn hiÖu
( )
r t sau khi lÊy mÉu



H×nh 1.4. Chuçi xung delta

Xung delta ®−îc biÓu diÔn nh− sau:

( ) ( )
n
P t t nT
δ
∞
=−∞
= −
∑
(1.2)

Do ®ã ta cã

( ) ( ) ( )
*
n
r t r t t nT
δ
∞
=−∞
= −

∑
(1.3)

hoÆc

( ) ( ) ( )
*
n
r t r nT t nT
δ
∞
=−∞
= −
∑
(1.4)

Khi 0t < ta cã
( )
0r t = nªn

( ) ( ) ( )
*
0n
r t r nT t nT
δ
∞
=
= −
∑
(1.5)

BiÕn ®æi Laplace ph−¬ng tr×nh (1.5) ta cã:

2T 3T 4T
5T
6T
T
0
t
( )
P t
T
2T 3T 4T
5T
6T
2T 3T 4T
5T
6T
T
0
0
t
t
( )
r t
( )
*
r t
( ) ( )
*

0
pnT
n
R p r nT e


=
=

(1.6)

Phơng trình (1.6) đặc trng cho biến đổi Laplace của tín hiệu liên tục đợc lấy mẫu
( )
*
r t .

Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể xem nh là một sự kết hợp của bộ lấy mẫu và
một mạch giữ bậc không (zero-order hold/ZOH) nh trên hình 1.5. Mạch giữ bậc không này
có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu đợc một mẫu mới. Ví dụ ZOH lấy mẫu
giá trị
( )
r nT và giữ nó trong khoảng thời gian
( )
1nT t n T + .


Hình 1.5. Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không

Đáp ứng xung của một bộ giữ bậc không đợc trình bày trên hình 1.6. Hàm truyền của
giữ bậc không có dạng nh sau:

( ) ( ) ( )
G t H t H t T= (1.7)

ở đây
( )
H t là hàm bớc nhảy và nếu biến đổi Laplace phơng trình (1.7) ta có

( )
1 1
Tp Tp
e e
G p
p p p


= = (1.8)


Hình 1.6. Phản ứng xung của giữ bậc không

Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không có thể bám hay thể hiện gần trung thực tín hiệu tơng
tự đầu vào nếu thời lấy mẫu T đủ nhỏ so với sự biến thiên quá độ của tín hiệu. Đáp ứng của
một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với một đầu vào tín hiệu dốc (ramp) đợc trình bày nh
trên hình 1.7.

Giữ bậc
không (ZOH)
( )
r t

( )
*
r t
( )
y t
Bộ lấy mẫu
Tín hiệu
tơng tự
Tín hiệu lấy
mẫu
T 0
t
1
( )
g t

Hình 1.7. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với tín hiệu dốc

1.2. Biến đổi z
Phơng trình (1.6) định nghĩa một chuỗi vô hạn của các lũy thừa
pnT
e

với toán tử p .
Toán tử z đợc định nghĩa sau:

pT
z e= (1.9)

Biến đổi z của hàm

( )
r t ký hiệu là
( ) ( )
Z r t R z

=

nên ta có

( ) ( )
0
n
n
R z r nT z


=
=

(1.10)

Chú ý rằng biến đổi z của
( )
r t bao gồm một chuỗi vô hạn của các biến z có dạng nh
sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
0 2 3 ...R z r r T z r T z r T z

= + + + + (1.11)

ở đây
( )
r nT là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau.

Chúng ta có thể xem biến đổi z trong các hệ thống dữ liệu lấy mẫu tơng tự nh là biến
đổi Laplace của các hệ thống thời gian liên tục. Đáp ứng của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có
thể xác định dễ dàng bằng cách tìm biến đổi z của đầu ra sau đó tìm biến đổi z ngợc nh là
kỹ thuật biến đổi Laplace trong hệ thống thời gian liên tục. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu biến
đổi z của một số hàm thông dụng.

1.2.1. Hàm bớc đơn vị
Hàm bớc đơn vị đợc định nghĩa nh sau

( )
0 0
1 0
n
r nT
n
<

=





( ) ( )

1 2 3
0 0
1 ...
n n
n n
R z r nT z z z z z


= =
= = = + + + +



( )
1
z
R z
z
=

, đối với 1z >

1.2.2. Hàm ramp
Hàm ramp hay còn gọi là hàm dốc đợc định nghĩa nh sau
T 2T
3T
4T
5T 6T
t
T

0
( )
r t
( )
y t
( )
y t
( )
r t





1 2 3
1 4 8 8 ...z z z

+ + + +
2
3 2z z + z

1
3 2z z

+

1
3 2z

1 2
3 9 6z z

+

1 2
7 6z z



1 2 3
7 21 14z z z

+

2 3
15 14z z



2 3 4
15 45 30z z z

+
...

Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

( )

( )
( )
( )
( )
0 0
1
2 3
3 7
4 15
...
y
y T
y T
y T
y T
=
=
=
=
=


Hay hàm thời gian
( )
y t có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 7 3 15 4 ...y t t T t T t T t T

= + + +

Nhợc điểm của phơng pháp chuỗi lũy thừa là phơng pháp này không đa đến dạng
chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần
sử dụng các phơng pháp khác.

1. Phơng pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng
Tơng tự nh kỹ thuật biến đổi Laplace ngợc, một hàm
( )
Y z có thể đợc khai triển
thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông
dụng để tìm ra biến đổi z ngợc của các phân số này. Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng
ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của
các phân số riêng của hàm
( )
/y z z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định
đợc
( )
y z .

Ví dụ 1.6:
Tìm biến đổi z ngợc của hàm sau:

( )
( )( )
1 2
z
y z
z z
=

Cho nên

( )
2 2 2
jn T jn T jn T jn T
e e e e
r nT
j j j



= =

Tuy nhiên ta đã biết đợc biến đổi z của một hàm mũ là

( )
( )
anT
aT
z
R e R z
z e


= =

Cho nên

( )
( )
( )
2
1 1 1 1
2 2
1
j T j T
j T j T
j T j T
z e e
R z
j z e z e j
z z e e










= =

+ +




hay

( )
( )
( )
2
sin
2 cos 1
z T
R z
z z T


=
+


1.2.6. Hàm cos
Hàm cos đợc định nghĩa nh sau

( )
( )
0 0
cos 0
n

r nT
n T n

<

=





Trớc tiên ta có

cos( )
2
jx jx
e e
x

+
=

Cho nên

( )
2 2 2
jn T jn T jn T jn T
e e e e
r nT

+
= = +

Tuy nhiên ta đã biết đợc biến đổi z của hàm mũ có dạnh nh sau

( )
( )
anT
aT
z
R e R z
z e


= =



Do đó áp dụng trong trờng hợp này ta có

( )
1 1 1
2
j T j T
R z
z e z e

= +





hay

( )
( )
( )
( )
2
cos
2 cos 1
z z T
R z
z z T



=
+


1.2.7. Hàm xung rời rạc
Hàm xung rời rạc đợc định nghĩa nh sau

( )
1 0

0 0
n
n
n

=

=





( ) ( )
0 0
1
n n
n n
R z r nT z z


= =
= = =



1.2.8. Hàm xung rời rạc có trễ
Hàm xung rời rạc có trễ đợc định nghĩa nh sau

( )

1 0
0
n k
n k
n k

= >

=





( ) ( )
0 0
n n n
n n
R z r nT z z z


= =
= = =



1.2.9. Bảng biến đổi z
Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng đợc trình bày nh trên bảng 1.1. Khi biết
dạng biến đổi z, chúng ta quan tâm đến đáp ứng đầu ra
( )

y t của hệ thống và phải sử dụng
biến đổi z ngợc để thu đợc
( )
y t từ
( )
Y z .

1.2.10. Tìm biến đổi z qua biến biến đổi Laplace
Mặc dù chúng ta biểu thị biến đổi z tơng đơng của
( )
G p là
( )
G z , nhng điều đó
không có nghĩa là
( )
G z đợc xác định bằng cách thay thế toán tử p bằng toán tử z . Thay
vào đó chúng ta sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để xác định biến đổi z của
một hàm qua biến đổi Laplace của hàm đó.

-Phơng pháp 1: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là
( )
G p . Từ đây
chúng ta tính toán đáp ứng theo thời gian là
( )
g t bằng phép biến đổi z ngợc.

-Phơng pháp 2: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là
( )
G p . Từ đây
ta tìm biến đổi z của hàm là

( )
G z bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến đổi z
tơng đơng.

-Phơng pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là
( )
G p . Mặt
khác ta có thể biểu diễn
( ) ( ) ( )
/G p N p D p= và sử dụng công thức sau đây để xác định
biến đổi z:

( )
( )
( )
'
1
1
1
1
n
q
n
x T
n
n
N x
G z
D x
e z

=
=


(1.12)

ở đây
'
/D D p= và
n
x với 1, 2,...,n q= là gốc của phơng trình
( )
0D p = .

Bảng 1.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm thông dụng
Tín hiệu tơng
tự
Tín hiệu lấy
mẫu
Biến đổi Laplace Biến đổi z
( )
t


( )
kT


1 1

( )
t a


( )
k a T





pt
e


a
z


1
1
( )
kT
1
p

1
z
z

t
kT
2
1
p

( )
2
1
Tz
z

2
2
t

( )
2
2
kT

3
1
p

( )
( )
2
3
1

2 1
T z z
z
+


at
e


akT
e


1
p a+

aT
z
z e



at
te


akT
kTe

( )
2
1
p a+

( )
2
aT
aT
zTe
z e




1
at
e

1
akT
e


( )
a
p p a+

( )

( )
( )
1
1
aT
aT
z e
z z e





( )
sin akT
( )
sin akT
2 2
a
p a+

( )
( )
2
sin
2 cos 1
z aT
z z aT +

( )

cos akT
( )
cos akT
2 2
p
p a+

( )
( )
( )
2
cos
2 cos 1
z z aT
z z aT

+



Ví dụ 1.1: Cho biến đổi Laplace của một hàm có dạng nh sau:

( )
2
1
5 6
G p
p p
=
+ +

Xác định biến đổi z tơng đơng của hàm trên.

Lời giải:
-Phơng pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ngợc
Chúng ta có thể biểu diễn
( )
G p là một tổng của các phân số nh sau:

( )
( )( )
1 1 1
3 2 2 3
G p
p p p p
= = +
+ + + +


Biến đổi Laplace ngợc của
( )
G p là:

( ) ( )
1 2 3t t
g t L G p e e


= =

Theo định nghĩa của biến đổi z, chúng ta có thể xác định
( )
G z từ
( )
g t nh sau:

( )
( ) ( ) ( )
2 3 2 1 4 2 3 1 6 2
0
1 ... 1 ...
nT nT n T T T T
n
G z e e z e z e z e z e z


=
= = + + + + + +



( )
( )
( )( )
2 3
2 3
2 3

T T
T T
T T
z e e
z z
G z
z e z e
z e z e




= =




-Phơng pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z
Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của
( )
1 / p a+ là
( )
/
aT
z z e

. Do đó biến đổi z của hàm
( )
G p là

( )
( )
( )( )
2 3
2 3
2 3
T T
T T
T T
z e e
z z
G z
z e z e
z e z e




= =




1.2.11. Các tính chất của biến đổi z
Đa số các tính chất của biến đổi z tơng tự nh các tính chất của biến đổi Laplace.
Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất quan trọng của biến đổi z.

1. Tính chất tuyến tính
Giả sử biến đổi z của
( )

f nT là
( )
F z và biến đổi z của
( )
g nT là
( )
G z . Khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z f nT g nT Z f nT Z g nT F z G z

= =

(1.13)

( ) ( ) ( )
Z af nT aZ f nT aF z

= =

(1.14)

ở đây a là một đại lợng vô hớng

2. Tính chất dịch trái
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z và

( ) ( )
y nT f nT mT= + . Khi đó

( ) ( ) ( )
1
0
m
m m i
i
Y z z F z f iT z


=
=

(1.15)

Nếu tất cả các điều kiện đầu là không ví dụ
( )
0f iT = , 0,1, 2,..., 1i m= thì

( ) ( )
m
Z f nT mT z F z

+ =

(1.16)

3. Tính chất dịch phải

Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z và
( ) ( )
y nT f nT mT= . Khi đó

( ) ( ) ( )
1
0
m
m i
i
Y z z F z f iT mT z


=
=

(1.17)

Nếu
( )
0f nT = đối với 0k < khi đó ta có

( ) ( )
m
Z f nT mT z F z

=

(1.18)

4. Tính chất suy giảm
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z . Khi đó

( )
anT aT
Z e f nT F ze


=

(1.19)

Điều này có nghĩa là nếu một hàm đợc nhân với một lũy thừa
anT
e

thì biến đổi z của
hàm z này đợc thay bằng
aT
ze .

5. Tính chất giá trị đầu
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z . Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

( ) ( )
lim lim
n z
f nT F z

= (1.20)


6. Tính chất giá trị cuối
Giả sử biến đổi z của
( )
f nT là
( )
F z . Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

( )
( )
( )
1
1
lim lim 1

n z
f nT z F z


= (1.21)

Chú ý tính chất này chỉ có hiệu lực nếu các cực của
( )
( )
1
1 z F z

nằm bên trong vòng
tròn đơn vị hay tại 1z = .

Ví dụ 1.2:
Biến đổi z của hàm dốc (ramp)
( )
r nT có dạng nh sau:

( )
( )
2
1
Tz
R z
z
=

Tìm biến đổi z của hàm
( )
5r nT .

Lời giải:
Sử dụng tính chất tuyến tính ta dễ dàng suy ra

( ) ( )
( )
2
5
5 5
1
Tz
Z r nT Z r nT
z

= =




Ví dụ 1.3:
Cho biểu thức của biến đổi z nh sau:

( )
( )
( )
2

0, 792
1 0,416 0, 208
z
G z
z z z
=
+


Xác định giá trị cuối cùng của
( )
g nT

Lời giải:
Sử dụng tính chất giá trị cuối ta có:

( )
( )
( )
( )
1
2
1
0, 792
lim lim 1
1 0,416 0, 208
n z
z
g nT z
z z z

=
+

2
1
0,792 0,792
lim 1
0, 416 0,208 1 0, 416 0,208
z
z z

= = =
+ +


1.2.12. Biến đối z ngợc
Biến đổi z ngợc tơng tự nh biến đổi Laplace ngợc. Nói một cách tổng quát, biến
đổi z là tỷ số của các đa thức đối với biến z với bậc của đa thức tử số không đợc lớn hơn
bậc của đa thức mẫu số. Bằng phép biến đổi z ngợc, chúng ta có thể tìm đợc chuỗi kết
hợp với các đa thức biến đổi z đã cho. Khi xác định đợc biến đổi z ngợc, chúng ta quan
tâm đến đáp ứng thời gian của hệ thống có nghĩa là chúng ta zác định đợc hàm thời gian
( )
y t từ hàm
( )
Y z . Chúng ta có thể sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để tìm biến
đổi z ngợc:

-Phơng pháp 1: Phơng pháp chuỗi lũy thừa (chia dài)

-Phơng pháp 2: Phơng pháp khai triển
( )
Y z thành các phân số từng phần và sử
dụng bảng để tìm biến đổi z ngợc.
-Phơng pháp 3: Phơng pháp tích phân đảo

Đối với một hàm biến đổi z cho trớc
( )
Y z , chúng ta có thể xác định đợc các hệ số
của chuỗi tổ hợp
( )
y nT tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng cách sử dụng biến đổi z
ngợc. Hàm thời gian
( )
y t khi đó đợc xác định nh sau:

( ) ( ) ( )
0n
y t y nT t nT


=
=



Trong chơng này chúng ta sẽ giới hạn chỉ tìm hiểu phơng pháp 1 và 2 thông qua các
ví dụ.

1. Phơng pháp 1: Chuỗi lũy thừa

Phơng pháp này đợc thực hiện bằng cách chia mẫu số của
( )
Y z cho tử số để thu
đợc một chuỗi lũy thừa có dạng nh sau:

( )
1 2 3
0 1 2 3
...Y z y y z y z y z

= + + + +

Ví dụ 1.4:
Tìm biến đổi z ngợc của đa thức sau:

( )
2
2
3 4
z z
Y z
z z
+
=
+


Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có

1 2 3
1 4 8 8 ...z z z

+ + + +
2
3 4z z +
2
z z+

2
3 4z z +
4 4z

1
4 12 16z z

+

1
8 16z



1 2
8 24 32z z

+

1 2
8 32z z



1 2 3
8 24 32z z z

+
...

Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

( )
( )
( )
( )
0 1
4
2 8
3 8
...
y
y T
y T
y T
=
=

=
=


Hay hàm thời gian
( )
y t có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 8 2 8 3 ...y t t t T t T t T

= + + + +

Hình 1.8 là một số mẫu đầu của
( )
y t .



Hình 1.8. Một số mẫu đầu của
( )
y t trong ví dụ 1.4

Ví dụ 1.5:
Tìm biến đổi z ngợc của đa thức sau:

( )
2
3 2
z

Y z
z z
=
+


Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có
1
4
8
0
T
2T
3T
t
( )
y t