Toán kinh tế nâng cao nguyễn thế hoà

Ti n s Kinh t Nguy n Th Hòa

Khoa Kinh t và Qu n lý tr

ng

i h c Th y l i

Toán kinh t nâng cao

Hà N i -2009


M CL C
CH

NG 1 QUY HO CH L I................................................. 4

1.1 C s đ i s ma tr n.................................................................................................. 4
1.1.1 Ma tr n ............................................................................................................... 4
1.1.2 nh th c ........................................................................................................... 4
1.1.3 Ma tr n ngh ch đ o ............................................................................................ 5
1.1.4 Ma tr n Hess ...................................................................................................... 5
1.2 T p l i, hàm l i, hàm lõm......................................................................................... 6
1.2.1 T p l i ................................................................................................................ 6
1.2.2 Hàm l i, hàm lõm .............................................................................................. 7
1.3 C c đ i hóa hàm nhi u bi n................................................................................... 11
1.4
nh lý bao............................................................................................................. 14
1.5 T i u hóa có đi u ki n và đ nh lý Kuhn – Tucker ................................................ 17
1.5.1 T i u hóa có đi u ki n đ ng th c................................................................... 17

1.5.2 T i u hóa có đi u ki n b t đ ng th c............................................................. 21
1.5.3 nh lý Kuhn-Tucker....................................................................................... 27

CH
NG 2 PHÂN TÍCH CÔNG NGH B NG TOÁN H C
...................................................................................................... 28
2.1 Công ngh và hàm s n xu t .................................................................................... 28
2.2 T su t thay th k thu t biên TRS.......................................................................... 29
2.2.1 Khái ni m TRS ................................................................................................ 29
2.2.2 TRS và các n ng su t biên ............................................................................... 30
2.3 Các hàm thu n nh t, hàm v t ............................................................................... 32
2.3.1 Hàm thu n nh t ................................................................................................ 32
2.3.2 Hàm v t ......................................................................................................... 33
2.4 Hi u qu theo qui mô............................................................................................. 36
2.4.1 Phân lo i hi u qu theo qui mô........................................................................ 36
2.4.2 Hi u qu theo qui mô không đ i...................................................................... 36
2.5
co giãn thay th ................................................................................................. 37
2.5.1 Khái ni m đ co giãn thay th ......................................................................... 37
2.5.2 Hàm s n xu t c b n........................................................................................ 39
2.6 Ti n b k thu t ...................................................................................................... 42

CH
NG 3 C C TI U HÓA CHI PHÍ - CÁC HÀM CHI PHÍ
...................................................................................................... 45
3.1 Các khái ni m chi phí ............................................................................................. 45
3.1.1 Chi phí lao đ ng............................................................................................... 45
3.1.2 Chi phí v n....................................................................................................... 46
3.1.3 Chi phí d ch v qu n lý.................................................................................... 46
3.1.4 Chi phí kinh t .................................................................................................. 46

3.2 L a ch n đ u vào c c ti u hóa chi phí ................................................................... 47
3.3 Các hàm chi phí ...................................................................................................... 52

2


3.4 Phân tích hàm c u nhân t có đi u ki n.................................................................. 53
3.5 Phân bi t ng n h n và dài h n................................................................................. 55

CH
NG 4 C C
I HÓA L I NHU N – HÀM L I
NHU N ....................................................................................... 59
4.1 C c đ i hóa l i nhu n và cung................................................................................ 59
4.1.1 B n ch t và hành vi c a hãng .......................................................................... 60
4.1.2 C c đ i hóa l i nhu n ...................................................................................... 60
4.1.3 Cung ng n h n c a hãng ch p nh n giá........................................................... 64
4..2 Hàm l i nhu n........................................................................................................ 67
4.3 C c đ i hóa l i nhu n và c u nhân t ..................................................................... 70
4.3.1 Các đi u ki n b c nh t ..................................................................................... 70
4.3.2 Các đi u ki n b c hai ....................................................................................... 71
4.3.3 Các hàm c u đ u vào ....................................................................................... 72

CH
NG 5 ................................................................................. 75
C C
I HÓA L I ÍCH & C C TI U HÓA CHI TIÊU HÀM C U................................................................................... 75
5.1 C c đ i hóa l i ích .................................................................................................. 75
5.2 C c ti u hóa chi tiêu ............................................................................................... 78
5.3 Tính ch t c a hàm c u ............................................................................................ 79

3


CH

NG 1 QUY HO CH L I

1.1 C s đ i s ma tr n
1.1.1 Ma tr n
M t h th ng g m m.n ph n t aik (i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., n) đ
m t b ng hình ch nh t g m m hàng và n c t nh sau:

c s p x p trong

⎛ a11 a12 ....a1n ⎞
⎜
⎟
⎜ a 21 a 22 ....a 2n ⎟
⎜ .................. ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ a m1 a m2 ....a mn ⎠

đ c g i là m t ma tr n d ng (m,n), ký hi u là A = (aik)m×n.
Chú ý r ng ma tr n không ph i là các s , mà là s s p x p các s theo d ng b ng
nên nó không có giá tr s .
Các ma tr n có th c ng, tr ho c nhân v i nhau n u d ng c a chúng phù h p.
N u m = n ta có m t ma tr n vuông. M t ma tr n vuông là đ i x ng n u aik = aik
N u m = 1 ta có m t véc t hàng. N u n = 1 ta có m t vét t c t.

M t ma tr n vuông mà các ph n t n m trên đ ng chéo chính
c a nó b ng 1, còn t t c các ph n t còn l i c a nó b ng 0 đ c g i là ma tr n
đ n v , ký hi u là I.
Khi đó các ph n t c a nó có th vi t:

aik =

{

1 voi i ≡ k
0 voi i ≠ k

1.1.2

⎛1 0.........0
⎜
⎜ 0 1.........0
i, k = 1, 2,..., n. Hay I = ⎜
⎜ ................
⎜ 0 0.........1
⎝

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

nh th c

nh th c c a m t ma tr n vuông A là m t s (ký hi u là A ), giá tr c a nó đ

c

tính thông qua khai tri n ho c là theo các ph n t c a m t hàng c a ma tr n A:
n

D = ∑ a ik A ik (v i i = 1 ho c 2,... ho c n),
k =1

(5)

ho c là theo theo các ph n t c a m t c t:
n

D = ∑ a ik A ik (v i k = 1 ho c 2,... ho c n).
i =1

(6)

4


Trong đó Aik là ph n bù đ i s c a ph n t aik có giá tr b ng (-1)i+k nhân v i đ nh
con c p (n-1) là đ nh th c còn l i sau khi đ nh th c c p n b đi các ph n t
dòng
th i và c t th k.
⎛ a11 a12 ⎞

⎟
⎝ a 21a 22 ⎠

A= ⎜

Ví d : V i ma tr n
ta có th s p t

ng ng v i đ nh th c c a ma tr n A là s

det A = A =

a11 a12
a 21 a 22

= a11a22 - a12a21

1.1.3 Ma tr n ngh ch đ o
V i m i ma tr n không suy bi n A, t c detA ≠ 0, luôn t n t i m t ma tr n
A-1 th a mãn
AA-1 = A-1A = I ;
ta nói ma tr n A ngh ch đ o đ c và g i A-1 là ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A.
Ma tr n ngh ch đ o A-1 c a m t ma tr n không suy bi n A d ng n*n đ c xác
đ nh duy nh t qua:
⎛ A11 A 21 ....A n1 ⎞
⎜
⎟
A12 A 22 ....A n2 ⎟
⎜
1

A-1 =
⎜
⎟
DetA ⎜ .................
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ A1n A 2n ....A nn ⎠

Trong đó Aik là ph n bù đ i s c a ph n t aik c a ma tr n A .
nh th c con chính c a m t ma tr n vuông
Các đ nh th c con chính c a m t ma tr n vuông An×n là m t chu i các đ nh th c
con g m p hàng và p c t đ u tiên c a A, trong đó p = 1,2,...n. N u A là ma tr n có
d ng 2×2, thì đ nh th c con chính th nh t là a11 và đ nh th c con chính th hai là
a11a22 - a12a21.
Ma tr n xác đ nh d ng và ma tr n xác đ nh âm
M t ma tr n vuông A là xác đ nh d ng n u t t c các đ nh th c con chính
c a nó là s d ng. M t ma tr n vuông A là xác đ nh âm n u t t c các đ nh th c
con chính c a nó đ i d u v i b t đ u là m t s âm (n u có m t s đ nh đ nh con
chính trong đ nh ngh a này b ng 0, thì ta g i ma tr n này là n a xác đ nh d ng
hay n a xác đ nh âm).

1.1.4 Ma tr n Hess
N u f là m t hàm n bi n liên t c và kh vi c p 2 thì m t ma tr n đ c xây d ng t
t t c các đ o hàm riêng c p 2 c a nó nh sau đ c g i là ma tr n Hess:

5


⎛ f 11 f 12 ... f1n ⎞

⎜
⎟
⎜
⎟
H(f) = ⎜ f 21 f 22 ... f 2 n ⎟
⎜
⎟
⎜ ...
⎟
⎜ f n1 f n 2 ... f nn ⎟
⎝
⎠

1.2 T p l i, hàm l i, hàm lõm
1.2.1 T p l i
M t t p M ⊂ Rn đ c g i là t p l i khi và ch khi v i 2 đi m b t k x, y ∈ M ta có
λx + (1-λ)y ∈ M v i m i 0 ≤ λ ≤ 1.
Có ngh a r ng M là m t t p l i thì v i 2 đi m b t k thu c M t t c các đi m n m
trên đo n th ng n i gi a 2 đi m đó c ng thu c M và ng c l i.
Ví d :
1. Mi n ch p nh n đ c M c a bài toán QHTT v i
M = {x∈Rn ⏐Ax ≤ b; x ≥ 0n}là m t t p l i.
Th t v y, n u ta l y 2 đi m b t k x, y∈ M thì khi đó có : x≥ 0n; y ≥ 0n và Ax ≤ b;
Ay ≤ b. Bây gi ta ph i ch ng minh r ng đi m x = λx + (1-λ)y v i m i 0 ≤ λ ≤ 1
c ng thu c M hay x ≥ 0n và A x ≤ b. Ta th y ngay x ≥ 0n vì nhân m t s không
âm v i m t vect không âm c ng nh c ng 2 vec t không âm cho ta vect không
âm. M t khác
A x = A[λx + (1-λ)y] = A(λx) + A[(1-λ)y] = λAx + (1-λ)Ay
mà Ax ≤ b; Ay ≤ b suy ra A x ≤ λb + (1-λ)b = b. Nh v y x c ng thu c M, theo
đ nh ngh a M ph i là m t t p l i.

T ng t nh v y ta th y r ng mi n ch p nh n đ c c a bài toán QHTT v i
M1 = {x∈Rn ⏐Ax ≥ b; x ≥ 0n} ho c
M2 = {x∈Rn ⏐Ax = b; x ≥ 0n} c ng là t p l i.
2. Siêu ph ng
H(a,d): = {x∈Rn ⏐aT x = d; a∈Rn ; d∈R1 } là m t t p l i.
Vi c ch ng minh t p này là m t t p l i t ng t nh trên không có gì khó kh n.
Tuy nhiên đây ta c n mô t k h n v t p này. Khái ni m siêu ph ng dùng đ
khái quát hoá và ch nh ng m t t ng t nh m t ph ng trong không gian 3 chi u
nh ng ta không hình dung đ c khi n > 3.
Còn khi n = 3 siêu ph ng H(a,d) chính là m t ph ng g m nh ng đi m x = (x1, x2,
x3)T trong không gian 3 chi u, mô t b i ph ng trình m t ph ng quen thu c:
a1x1+ a1x2 + a3x3 = d;
Khi n =2 siêu ph ng H(a,d) chính là đ ng th ng g m nh ng đi m x = (x1, x2)T
trong m t ph ng 2 chi u, mô t b i ph ng trình đ ng th ng:
6


a1x1+ a1x2 = d.
M i siêu ph ng H(a,d) chia không gian Rn ra thành 2 ph n ta g i t ng ng là n a
không gian d ng H+(a,d) và n a không gian âm H-(a,d).
3. N a không gian d ng
H+(a,d): = {x∈Rn ⏐aT x ≥ d; a∈Rn ; d∈R1 }là m t t p l i.
4. N a không gian âm
H-(a,d): = {x∈Rn ⏐aT x ≤ d; a∈Rn ; d∈R1 }c ng là m t t p l i.

1.2.2 Hàm l i, hàm lõm
Xét bài toán qui ho ch t i u t ng quát:
⎧f(x) → min!(max!)
⎪
(*) ⎨x ∈ M ⊂ R n

⎪
n
1
⎩f : R → R

nh ngh a 3.12:
x* đ c g i là m t đi m c c ti u đ a ph ng c a bài toán (*) n u t n t i m t s ε
> 0 và m t lân c n U(x*,ε) sao cho:
f(x) ≥ f(x*) ∀ x∈ U(x*,ε) ∩ M.
x* đ c g i là m t đi m c c ti u toàn c c c a bài toán (*) n u:
f(x) ≥ f(x*) ∀ x∈∩ M.
Khái ni m đi m c c đ i đ a ph ng và đi m c c đ i toàn c c c ng đ c đ nh
ngh a t ng t nh ng v i b t đ ng th c ng c chi u.
Nói chung m t đi m c c ti u đ a ph ng ch a ch c là m t đi m c c ti u toàn c c,
nh ng vi c xem xét nó đ n gi n h n. B i v y tr c h t ng i ta th ng nghiên
c u l p các bài toán ch a tính ch t c a nh ng đi m c c ti u đ a ph ng và t đó
tìm cách xác đ nh tính ch t c a nh ng đi m toàn c c.
Mu n v y ng i ta c n có thêm các gi thi t sau:
1. M là m t t p l i, đóng (m t t p đóng là t p mà các đi m biên c a nó c ng thu c
t p đó).
2. f là m t hàm l i, t c là ∀ x’, x” ∈ M và 0 ≤ λ ≤ 1 luôn có:
f[λx’ + (1- λ)x”] ≤ λf(x’) + (1- λ)f(x”)
Tr ng h p tho mãn d u < ta g i f là hàm l i ch t. Trong bài toán
f(x) → max gi thi t th hai f là hàm lõm, t c là f đ c đ nh ngh a t ng t
nh ng v i b t đ ng th c đ i chi u.
H qu :
1. N u f là m t hàm l i thì -f là m t hàm lõm.
2. f là m t hàm tuy n tính afin, t c là f = cTx +α (c= const ∈ Rn; α = const ∈ R1)
thì f v a là hàm l i v a là hàm lõm.
M t hàm lõm có tính ch t giá tr c a c a hàm f t i đi m trung bình có tr ng

7


s c a x’ và x’’ l n h n ho c b ng trung bình có tr ng s đúng nh v y c a f(x’)
và f(x’’).
Tính l i ho c lõm c a m t hàm s đ c xác đ nh b i đ o hàm b c 2 c a nó.
V i m t hàm m t bi n f(x), thì đi u ki n này là r t rõ ràng. S d ng x p x Taylor
t i m t đi m b t k (x0) ta có
f(x0+dx) = f(x0) + f’(x0)dx + f’’(x0)(dx2/2) + s h ng b c cao h n.
Gi s s h ng b c cao h n b ng 0, chúng ta có
f(x0+dx) ≤ f(x0) + f’(x0)dx n u f’’(x0) ≤ 0 và
f(x0+dx) ≥ f(x0) + f’(x0)dx n u f’’(x0) ≥ 0
Do bi u th c v ph i trong các b t ph ng trình trên th c ra là là ph ng trình
đ ng ti p tuy n c a hàm s này t i x0, nên rõ ràng hàm s là lõm (đ a ph ng)
n u f’’(x0) ≤ 0 và l i (đ a ph ng) n u f’’(x0) ≥ 0.
Nh v y, M t hàm lõm còn có tính ch t n a là m t hàm luôn n m phía d i b t
c m t đ ng ti p tuy n c a nó. Ng c l i, m t hàm l i là m t hàm luôn n m
phía trên b t c m t đ ng ti p tuy n c a nó.
S d ng ý t ng tr c giác này cho tr ng h p nhi u bi n mà s d ng các ký hi u
hàm s là khá r c r i, nh ng n u s d ng đ i s ma tr n thì l i r t đ n gi n. Tính
lõm đòi h i ma tr n Hess là xác đ nh âm, trong khi tính l i đòi h i ma tr n này là
xác đ nh d ng. Nh trong tr ng h p hàm m t bi n, các đi u ki n này có ngh a
đòi h i r ng hàm s chuy n đ ng nh t quán kh i b t c ti p tuy n nào c a nó mà
không ph thu c vào h ng di chuy n nào.
Hình 1.1 Hàm lõm và hàm l i
f(x)

f(x)

Hàm lõm

x

Hàm l i

x

N u f(x1, x2) là m t hàm hai bi n, thì ma tr n Hess cho b i
⎛ f11 f12 ⎞
⎟.
⎜ f 21 f 22 ⎟
⎝
⎠

H(f) = ⎜

Nó là xác đ nh âm n u f11 < 0 và f11f22 - f12f21 > 0; hay f11 < 0 và f11f22 – f212 > 0.
V i hàm ba bi n ho c nhi u bi n h n c ng đ c t ng quát hóa t ng t theo cùng
m t m u ma tr n nh v y.
Ví d 1; gi s y là m t hàm c a x1 và x2 nh sau:

8


y = - (x1-1)2 - (x2-2)2 + 10
hay
y = - x12 + 2x1 - x22 + 4x2 + 5.
Ma tr n Hess cho b i
⎛−2 0 ⎞
⎟ , và các đ nh th con chính c p 1 và c p 2 là

⎜ 0 − 2⎟
⎠
⎝

H= ⎜

H1 = -2 < 0
H2 = (-2).(-2) – 0 = 4 > 0. Do đó hàm s này là m t hàm lõm.
Tính lõm c a hàm s này cho phép ta tìm đ c giá tr c c tr c a hàm s
này đ t t i đi m có các đ o hàm riêng b c nh t b ng 0. Ch ng h n hàm s trên mô
t tình tr ng s c kh e c a m t ng i (đ c đo b ng đ đo t 0 t i 10) và x1 và x2
là s v thu c mà anh ta ph i dùng hàng ngày 2 lo i thu c đ t ng c ng s c kh e.
i u ki n c n là
∂y/∂x1 = -2x1 + 2 = 0
∂y/∂x1 = -2x2 + 4 = 0
Hay x*1 = 1 và x*2 = 2. Do đó hàm só có m t đi m t i h n t i x1 = 1 và x2 = 2. T i
đi m này y = 10. Tính lõm c a hàm s là đi u ki n đ đ đi m t i h n trên là đi m
t i u v i tình tr ng s c kh e t t nh t b ng 10 t i đi m này. Tóm l i, tính lõm c a
hàm s đ m b o đi m th a mãn đi u ki n c n tìm đ c c ng là đi u ki n đ đ nó
th c s là đi m c c đ i đ a ph ng (và toàn c c).
nh lý 1:
N u M là m t t p l i và f là hàm l i (lõm) trên M thì m i đi m c c ti u (c c đ i)
đ a ph ng đ ng th i là đi m c c ti u (c c đ i) toàn c c.
nh lý 2:
N u M là m t t p l i và f là hàm l i ch t (lõm ch t) trên M thì t n t i nhi u nh t
m t đi m c c ti u (c c đ i) toàn c c trên M.
Ví d 2: Trong kinh t h c vi mô hàm Cobb-Douglas f (x, y) = xa yb v i a, b ∈
(0,1) th ng đ c s d ng đ mô t các hàm l i ích và các hàm s n xu t. Các đ o
hàm riêng b c nh t và b c hai c a nó là
fx = axa-1 yb

fy = bxa yb-1
fxx = a(a-1)xa-2 yb
fyy = b(b-1)xa yb-2.
Nh v y, ma tr n Hess c a hàm s này là
⎛ a (a − 1) x a − 2 y b abx a −1 y b −1 ⎞
⎟
⎜
H= ⎜
a −1 b −1
a b−2 ⎟ .
b(b − 1) x y ⎟
⎜ abx y
⎠
⎝

9


nh th c con chính c p 1 c a nó là
H1 = a(a-1)xa-2 yb < 0,
nên hàm s trên là lõm khi đ nh th c con chính c p 2 c a nó
H2 = a(a-1)b(b-1)x2a-2 y2b-2 – a2b2x2a-2 y2b-2
= ab(1-a-b)bx2a-2 y2b-2 > 0. i u ki n ch đúng khi a + b < 1. T c là trong s n
su t, khi hàm s n xu t th hi n hi u qu gi m theo qui mô, thì nó là m t hàm lõm.
Hàm t a lõm, hàm t a l i
Các t p h p các đi m trên đó m t hàm nh n m t giá tr l n h n m t h ng s b t
k là các t p l i thì hàm s đó g i là hàm t a lõm. T c là, m t hàm f: Rn R là
t a lõm n u các t p h p có d ng {x ∈ Rn: f(x) ≥ a} là các t p l i v i m i giá tr a
th c.
M t hàm f(x) là t a l i n u –f(x) là t a lõm.

M t hàm lõm thì t a lõm nh ng ng c l i không đúng. T c là m t hàm t a lõm
không nh t thi t là hàm lõm.
Ví d 3:
th y s khác nhau này gi a hàm lõm và hàm t a lõm ta l y ví d v i
hàm:
(1.1)
y = f(x1, x2) = (x1.x2)k
trong đó các bi n x1, x2 ch nh n các giá tr d ng, và tham s k có th nh n các
giá tr d ng khác nhau.
Dù k nh n giá tr nào, thì hàm trên là t a l i. Có m t cách ch ng t đi u này là
xét các đ ng m c hàm này b ng cách đ t y b ng m t s c th , ch ng h n c. Khi
đó,
(1.2)
y = c = (x1.x2)k hay x1.x2 = c1/k = c’
Nh ng đây l i chính là ph ng trình c a m t đ ng hyperbol chu n. Rõ ràng t p
các đi m mà trên đó y l y giá tr l n c là m t t p l i vì nó đ c b c b i đ ng
hyperbol này. T c là y là m t hàm t a lõm v i m i k d ng.
Bây gi ta bi u di n ti p ma tr n Hess ng v i hàm này. Do
f1 = kx1k-1.x2k
f2 = kx1k.x2k-1
f11 = k(k-1)x1k-2.x2k
f22 = k(k-1)x1k.x2k-2
f12 = k2x1k-1.x2k-1,
nên đ nh th c con chính c p 1 c a nó là
(1.3)
H1 = f11 = k(k-1)x1k-2.x2k < 0 v i 0< k< 1
đ nh th c con chính c p 2 c a nó là
H2 = f11f22 – f212 = k2(k-1)2x12k-2.x22k-2 – k4.x12k-2.x22k-2
= x12k-2.x22k-2[k2(k-1)2 – k4]
(1.4)

= x12k-2.x22k-2[k2(-2k +1)] > 0 v i k < 0,5

10


T (3) và (4) ta th y hàm đã cho ch lõm khi v i 0< k< 0,5. Và ng
là l i v i k > 0,5.
.

c l i, hàm này

1.3 C c đ i hóa hàm nhi u bi n
Hàm nhi u bi n và đi u ki n t i u
Xét các quy t đ nh mà m t tác nhân kinh t l a ch n các m c khác nhau
c a nhi u bi n s . Gi s tác nhân này mu n tìm m t t p các giá tr đ c c đ i giá
tr hàm y = f(x1,x2, ..., xn). S d ng các đ o hàm riêng ta có th tìm đ c giá tr
c c đ i c a hàm nhi u bi n này b ng cách ti p c n t ng t nh v i hàm m t bi n
f = f(x). Trong tr ng h p hàm m t bi n, tác nhân này thay đ i x đi m t l ng r t
nh dx, và quan sát s thay đ i y g i là dy. S thay đ i này đ c xác đ nh b i
dy = f’(x).dx
(1.14)
S đ ng nh t trong ph ng trình (1.14) ghi nh n r ng s thay đ i y b ng v i s
thay đ i x nhân v i đ d c c a hàm s . Công th c này t ng đ ng v i công th c
v đ d c t i m t đi m cho các ph ng trình tuy n tính trong đ i s c b n. Nh
tr c đây, đi u ki n c n cho đi m c c đ i là dy = 0 v i nh ng thay đ i c a x xung
quanh đi m t i u. Ng c l i y có th t ng v i nh ng thay đ i c a x thích h p.
Nh ng dx không nh t thi t b ng 0 trong ph ng trình (1.14), nên dy = 0 hàm ý
r ng t i đi m đó f’(x) = 0. T ng t , v i hàm nhi u bi n ta có th xét s thay đ i
ch c a m t bi n, ch ng h n là x1, trong khi gi cho các bi n còn l i khác không
đ i. S thay đ i y do s thay đ i c a x1 này đ c xác đ nh b i

dy =

∂f
.dx1 = f1dx1
∂x1

u này nói lên r ng s thay đ i y b ng v i s thay đ i c a x1 nhân v i đ d c
c a hàm s đo theo h ng x1.
Vi phân toàn ph n
N u t t c các bi n đ u thay đ i m t l ng nh , thì t ng nh h ng lên y
b ng t ng c a t t c các nh h ng c a t ng bi n đ n y nh ch ra trên. Do đó
t ng thay đ i c a y đ c xác đ nh b i
dy =

∂f
∂f
∂f
.dx1 +
.dx2 + ... +
.dxn
∂x1
∂x 2
∂x n

= f1dx1+ f2dx2 + ... + fndxn
(1.15)
Bi u th c này đ c g i là vi phân toàn ph n c a hàm f, t ng t nh bi u th c
đ i v i tr ng h p m t bi n trong ph ng trình (1.14). Ph ng trình này có ý
ngh a b ng tr c giác là: T ng thay đ i c a y b ng t ng các thay đ i do s thay đ i
c a m i bi n xi.

i u ki n c c đ i b c nh t
i u ki n c n cho m t c c đ i (ho c m t c c ti u) c a hàm s f(x1,x2,...,xn)

11


là dy = 0 v i m i t h p các thay đ i r t nh c a các bi n xi. Cách duy nh t đ
đi u đó x y ra là t i đi m này có:
(1.16)
f1= f2 = ... = fn = 0
M t đi m th a mãn ph ng trình (1.16) đ c g i là m t đi m t i h n. Ph ng
trình (1.16) là nh ng đi u ki n c n cho m t đi m c c đ i đ a ph ng.
th y đi u
này b ng tr c giác, chú ý r ng n u m t đ o hàm riêng nào đó (ch ng h n fi) l n
h n (ho c nh h n) 0, thì y có th t ng lên khi t ng (ho c gi m) xi. M t tác nhân
kinh t có th tìm đ c đi m c c đ i này b ng cách đi tìm di m mà y không có
ph n ng gì đ i v i nh ng thay đ i r t nh c a b t c bi n xi nào. ây là m t k t
qu quan tr ng cho phân tích kinh t . Nó nói lên r ng b t c m t ho t đ ng nào
(t c là xi) c ng c n h ng t i đi m mà t i đó đóng góp “biên” c a nó đ i v i hàm
m c tiêu (t c là y) ph i b ng 0. N u không t i đ c đi m đó thì không th c c đ i
hóa y.
(1.17)
Ví d 4: L y l i ví d 1
y = - (x1-1)2 - (x2-2)2 + 10
hay
y = - x12 + 2x1 - (x2)2 + 4x2 + 5.
hàm s trên mô t tình tr ng s c kh e c a m t ng i (đ c đo b ng đ đo t 0 t i
10) và x1 và x2 là s v thu c mà anh ta ph i dùng hàng ngày 2 lo i thu c đ t ng
c ng s c kh e. L y đ o hàm riêng c a y theo x1 và x2 và đi u ki n c n (1.16) là
∂y/∂x1 = -2x1 + 2 = 0

∂y/∂x1 = -2x2 + 4 = 0
Hay x*1 = 1 và x*2 = 2. Do đó hàm só có m t đi m t i h n t i x1 = 1 và x2 = 2. T i
đi m này y = 10 có kh n ng là tr ng thái s c kh e t t nh t. Ta có th th vài đi m
khác đ th y đây là giá tr l n nh t mà y có th có đ c. Ví d , n u x1 = x2 = 0 ,
thì y = 5; hay n u x1 = x2 = 1 , thì y = 9. Các giá tr c a x1 và x2 t ng ng càng
l n h n 1 và 2, thì càng làm cho y gi m đi các s h ng b c hai âm trong bi u th c
(1.17) càng l n. Vì th c ra, các đi m tìm đ c b ng các đi u ki n c n là m t đi m
c c ti u đ a ph ng (và toàn c c).
i u ki n c c đ i b c hai
Tuy nhiên, các đi u ki n ph ng trình (1.16) ch a đ đ đ m b o cho
m t đi m c c đ i. i u này có th hình dung b ng m t hình nh t ng t : T t c
các đ nh đ i đ u (ít hay nhi u) là ph ng, nh ng không ph i b t c ch ph ng nào
c ng là m t đ nh đ i. M t đi u ki n b c hai t ng t nh trong tr ng h p hàm
m t bi n f”(x0) < 0 v i x0 là đi m t i h n là c n thi t đ đ m b o r ng m t đi m
tìm đ c b ng các ph ng trình (1.16) là m t đi m c c đ i đ a ph ng. i u ki n
c n có liên quan này ph i xem xét thêm các đ o hàm riêng b c hai c a hàm f.
Xét m t hàm hai bi n y = f(x1, x2). i u ki n c n đ hàm này nh n đ c
giá tr c c đ i c a nó là các đ o hàm riêng c a nó theo c x1 và x2 đ u b ng 0. T c
là,

12


∂y
= f1 = 0
∂x1

∂y
= f2 = 0
∂x 2

(1.18)

M t đi m th a mãn các đi u ki n này có d u hi u“ph ng“ trên hàm s (đi m t i
đó dy = 0) và do đó là m t ng viên cho m t đi m c c đ i.
đ m b o đi m này
là m t đi m c c đ i đ a ph ng thì y s gi m đi khi có b t c m t s thay đ i nào
c a các xi r i kh i đi m t i h n. B ng hình nh, ch có m t con đ ng duy nh t
r i kh i đ nh đ i là đi xu ng.
N u chúng ta ch xét các chuy n đ ng theo h ng x1, thì đi u ki n đ c yêu
c u là rõ ràng:
d c theo h ng x1 (t c đ o hàm riêng f1) ph i tri t tiêu t i đi m
t i h n, và đ o hàm riêng b c hai theo h ng x1 ph i âm. T ng t nh v y khi
ch chuy n đ ng theo h ng x2. Do đó c hai đ o hàm riêng c p 2 (f11 và f22) ph i
âm t i m t đi m c c ti u đ a ph ng. B ng hình nh qu đ i, n u chúng ta ch gi i
h n chuy n đ ng theo h ng b c-nam hay đông-tây, thì đ d c c a qu đ i ph i b
tri t tiêu khi chúng ta đi qua đ nh c a nó, và đ d c này ph i thay đ i t d ng
sang âm.
i u chúng ta c n khám phá là nh ng đi u ki n đ c đ a ra đ i v i các
đ o hàm riêng b c 2 c a f đ đ m b o r ng d2y là âm v i các di chuy n theo m i
h ng đi qua đi m t i h n. Tr c h t ta có vi phân toàn ph n c a hàm này cho b i
(1.19)
dy = f1dx1+ f2dx2
L y vi phân c a hàm này đ c
(1.20)
d2y = (f11dx1+ f12dx2)dx1+ (f21dx1+ f22dx2)dx2
hay
(1.21)
d2y = f11dx12 + f12dx2dx1+ f21dx1dx2 + f22dx22
T đ nh lý Young f12 = f21, ta có th s p x p l i đ c

(1.22)
d2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
Rõ ràng đ ph ng trình (1.22) là âm thì đi u ki n c n đây là f11 và f22 là âm.
Ch ng h n cho dx2 = 0, khi đó
(1.22)
d2y = f11dx12
2
và d y < 0 hàm ý r ng f11 < 0. L p lu n t ng t v i f22 khi cho dx1 = 0. M t khác
m c tr c ta đã bi t đ đi u ki n đ đ m t hàm b c hai có hai bi n đ t c c đ i
t i đi m t i h n là ma tr n Hess c a nó ph i xác đ nh âm, hay cùng v i f11 < 0 là
f11

f 12

f 21

f 22

= f11f22 – f122 > 0.

(1.23)

13


1.4

nh lý bao

M t trong ng d ng quan tr ng c a đ nh lý v hàm n là đ nh lý bao; nó

quan tâm đ n giá tr t i u c a m t hàm s thay đ i nh th nào khi có m t tham
s c a hàm này thay đ i. Do có nhi u v n đ kinh t chúng ta s nghiên c u liên
quan đ n nh ng nh h ng c a s thay đ i m t tham s (ví d , nh h ng mà s
thay đ i giá tr tr ng c a m t hàng hóa tác đ ng lên vi c mua hàng hóa c a m t
cá nhân), nên đây là m t ki u tính toán này mà chúng ta th ng xuyên ph i làm.
nh lý bao th ng cung c p cho chúng ta m t ph ng pháp tính tr c ti p và
nhanh chóng.
Ví d c th . Cách d nh t đ hi u đ nh lý bao là thông qua m t ví d . Gi s y là
m t hàm ch có m t bi n (x) và m t tham s (a), có d ng
(1.24)
y = -x2 + ax
V i các giá tr khác nhau c a tham s a, hàm này th hi n m t h các đ ng
parabol đ o ng c. N u a là m t giá tr c th , thì ph ng trình (1.24) là m t hàm
ch còn c a x., và giá tr x làm c c đ i hóa y có th tính đ c. Ví d , n u a = 1, thì
x* = ½ và v i các giá tr đó c a x và a, thì y = ¼ là giá tr c c đ i. T ng t , n u
a = 2, thì x* = 1 và y* = 1. Do đó, vi c t ng giá tr c a tham s a lên 1 đã làm t ng
giá tr c c đ i c a y lên ¾. Trong b ng 1.1, các giá tr nguyên c a c a a t 0 đ n 6
đ c s d ng đ tính các giá tr c c đ i cho x và các giá tr có liên quan c a hàm
m c tiêu y. L u ý khi a t ng lên thì giá tr c c đ i cho y c ng t ng lên. i u này
đ c minh h a trong hình 1.3, nó cho th y m i quan h gi a a và y* là b c hai.
Bây gi chúng ta mu n tính toán t ng minh xem y* thay đ i nh th nào khi a
thay đ i.
Cách ti p c n tr c ti p m t nhi u th i gian
nh lý hình bao kh ng đ nh r ng có hai cách t ng đ ng mà chúng ta
đ a ra tính toán này. Th nh t, chúng ta có th tính tr c ti p đ d c c a hàm trong
hình 1.3.
làm nh v y, chúng ta ph i gi i ph ng trình (1.24) tìm giá giá tr t i
u x v i b t k giá tr nào c a a.:
dy
= -2x +a = 0;

dx
a
do đó, x* = .
2

Th giá tr x* vào ph
y* = -(x*)2 + a(x*)

ng trình (1.24), cho ta

a
2

a
2
2
a
a2
a2
+
=
,
=4
2
4

= - ( )2 + a( )

14

và đi u này đúng nh m i quan h minh h a trong hình 1.3. T ph
d dàng th y r ng
a
dy * 2a
=
=
da
4
2

ng trình trên,
(1.25)

ví d tai a = 2, thì dy*/da = 1. T c là, g n giá tr a =2 nh h ng biên c a vi c
t ng a là làm t ng y* lên m t l ng b ng nh v y. G n a = 6, m i s t ng lên r t
nh c a a s làm t ng y* lên g p 3 l n l ng thay đ i đó. B ng 1.1 minh h a k t
qu này.
B ng 1.1 Các giá tr t i u c a y và x v i các l a ch n khác nhau c a a trong
y = -x2 + ax
Giá tr c a a
Giá tr c a x*
Giá tr c a y*
0
0
0
1
½
¼
2

1
1
3
3/2
9/4
4
2
4
5
5/2
25/4
6
3
9
ng pháp tr c ti p c a đ nh lý bao
đ t đ c k t qu trên là h i ph c t p. Ta ph i tìm giá tr t i u c a x v i
m i giá tr c a a sau đó thay th giá tr x* này vào ph ng trình c a y. Trong
nh ng tr ng h p t ng quát h n thì đi u này là r t r c r i vì nó đòi h i l p đi l p
l i vi c t i u hóa c a hàm m c tiêu. nh lý bao, cung c p m t cách ti p c n thay
th khác, kh ng đ nh r ng v i nh ng thay đ i r t nh c a a thì dy*/da có th tính
đ c b ng cách gi cho x không đ i t i giá tr t i u c a nó và tính đ n gi n tr c
ti p t hàm m c tiêu ∂y/∂a.
Ph

Ti n hành theo cách này cho ta

∂y
= x;
∂a

và, t i x* ta có
a
∂y *
= x* = .
∂a
2

ây cùng chính là k t qu đã thu đ c tr c kia. Lý do mà c hai cách ti p
c n đ u cho cùng m t k t qu đ c minh h a trong hình 1.3. Các ti p tuy n đ c
ch ra trong hình cho bi t các giá tr c a y theo a c đ nh x*.
d c các các ti p
tuy n này là ∂y/∂a. Rõ ràng, t i y* đ d c này cho giá tr mà chúng ta tìm ki m.

15


Hình 1.2 Minh h a đ nh lý bao
y*
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

y*=f(a)

1 2 3 4 5 6 7

a

K t qu này là hoàn toàn có th t ng quát, và chúng ta s d ng chúng m t
ch trong môn h c này đ đ n gi n hóa các k t qu c a chúng ta. Tóm t t l i, đ nh
lý bao kh ng đ nh r ng s thay đ i giá tr t i u c a m t hàm s theo m t tham s
c a nó có th tìm đ c b ng cách l y đ o hàm riêng hàm m c tiêu trong khi gi
cho x (hay các xi) không đ i t i giá tr t i u c a nó. T c là,
∂y
∂y *
=
∂a
∂a

x=x*(a)

(1.26)

trong đó ký hi u này nh c nh r ng ∂y/∂a ph i đ c tính t i giá tr c a x mà là t i
u v i m t giá tr c th c a tham s a khi ki m tra l i.
Tr ng h p nhi u bi n
nh lý bao t ng t c ng đúng cho tr ng h p y là m t hàm nhi u bi n.
Gi s y là hàm ph thu c vao n bi n xi và m t tham s a,
(1.27)
y = f(x1,x2, ..., xn, a)
tìm giá tr t i u c a y v n c n ti n hành gi i n ph ng trình đi u ki n
b c nh t đ i d ng
(1.28)

∂y/∂xi = 0 (i=1,2,...,n)
và gi i h này cho ta các giá tr t i u x* = (x*1,x*2, ..., x*n) ph thu c n vào
tham s a. Gi s đi u ki n b c hai đ c th a mãn, đ nh lý hàm n đ c áp d ng
trong tr ng h p này và đ m b o cho chúng ta có th gi đ c m i x*i nh là m t
hàm c a a:
x*1 = x*1(a)
x*2 = x*2(a)
...
(1.29)
x*n = x*n(a)

16


Th các hàm này vào hàm m c tiêu ban đ u (ph ng trình 1.27) ta thu đ c bi u
th c giá tr t i u c a y (là y*) ph thu c v a tr c ti p v a gián ti p vào tham s a
thông qua nh h ng c a a t i x*i.
y* = f(x*1(a),x*2(a), ..., x*n(a), a)
l y vi phân toàn ph n ph ng trình này theo a, ta có:
∂f dx 2
∂f dx n
∂f
dy *
∂f dx1
=
+
+
+ ... +
da
∂x1 da

∂x 2 da
∂x n da
∂a

(1.30)

Nh ng, do các đi u ki n b c nh t c a c a t t c các bi u th c đ o hàm hàm riêng
tr bi u th c cu i cùng đ u b ng 0 n u các xi đ t t i giá tr t i u c a chúng. Do
đó chúng ta có k t qu c a đ nh lý bao:
∂f
dy *
=
da
∂a

trong đó đ o hàm này đ

(1.31)

c đánh giá t i các giá tr t i u c a các xi.

1.5 T i u hóa có đi u ki n và đ nh lý Kuhn – Tucker
Cho đ n gi chúng ta m i t p trung vào tìm giá tr c c đ i c a m t hàm
nhi u bi n mà ch a có h n ch nào đ i v i các giá tr xi có th dùng đ c. Tuy
nhiên, trong h u h t các v n đ kinh t không ph i t t c các giá tr c a xi đ u kh
thi. Ví d , trong nhi u tính hu ng đòi h i t t c các xi là d ng. i u này là đúng
v i v n đ đ i m t v i nhà qu n lý khi ph i l a ch n s n l ng đ c c đ i hóa l i
nhu n; m t m c s n l ng âm là không có ngh a. Trong nh ng hoàn c nh khác,
các xi có th ch u ràng bu c b i các xem xét kinh t . Ví d , đ l a ch n b hàng
hóa tiêu dùng, thì m t ng i không th l a ch n b hàng hóa nh mong mu n. Mà

các l a ch n b h n ch b i m t l ng s c mua s n có; t c là b i ràng bu c v
ngân sách c a anh ta. Các ràng bu c này làm gi m b t giá tr c c đ i c a hàm đã
đ c t i u hóa. Do chúng ta không có kh n ng đ t do ch n trong s t t c các
giá tr xi, nên y không th l n nh nó có th . Các ràng bu c này đ c g i là
„không liên k t“ n u chings ta có th nh n đ c cùng m t m c y v i áp đ t ràng
bu c này hay không áp đ t.

1.5.1 T i u hóa có đi u ki n đ ng th c
C th h n, gi s chúng ta mu n tìm các giá tr x1,x2, ..., xn làm c c đ i
hóa
(1.32)
y = f(x1,x2, ..., xn)
v i m t ràng bu c ch cho phép nh ng giá tr c a xi nh t đ nh đ c s d ng th a
mãn đi u ki n
(1.33)
g(x1,x2, ..., xn) = 0
trong đó hàm g th hi n m i quan h ph i đ c duy trì gi a các bi n xi.
Ph ng pháp nhân t Lagrange

17


M t ph ng pháp đ gi i bài toán c c đ i hóa có đi u ki n là ph ng pháp
nhân t Lagrange, nó liên quan t i m t th thu t toán h c thông minh và c ng tr
nên có m t cách gi i thích kinh t h u ích. Tính h p lý c a nó hoàn toàn đ n gi n,
m c dù ta không c g ng th hi n t m đây. Trong ph n tr c các đi u ki n c n
cho m t c c đ i đ a ph ng đã đ c đ c p. Chúng ta đã ch ra t i đi m t i u t t
c các đ o hàm riêng ph i b ng 0. Nh v y có n ph ng trình (fi = 0 v i i =
1,2,...,n) v i n bi n ch a bi t (các xi). Nói chung các ph ng trình này có th gi
đ c đ tìm các giá tr t i u xi. Tuy nhiên, khi các xi b ràng bu c, thì có thêm ít

nh t m t ph ng trình (đi u ki n) mà không có thêm bi n. Do đó làm cho h
ph ng trình không gi i đ c. Ph ng pháp Lagrange đ a thêm vào m t bi n
(nhân t Lagrange), nó không nh ng giúp gi i bài toán d dàng (vì có n+1 ph ng
trình v i n+1 bi n) mà c ng còn có m t cách gi i thích r t h u ích trong r t nhi u
tình hu ng thu c kinh t .
Các đi u ki n b c nh t
Ph ng pháp nhân t Lagrange b t đ u b ng vi c thi t l p bi u th c
(1.34)
ℑ = f(x1,x2, ..., xn) + g(x1,x2, ..., xn)
trong đó là m t bi n đ c thêm vào g i là nhân t Lagrange. Sau này chúng ta
s gi i thích ý ngh a c a bi n m i này. Tuy nhiên, đi u đ u tiên chú ý là khi đi u
ki n ràng bu c đ c duy trì thì ℑ và f có cùng m t giá tr [vì g(x1,x2, ..., xn) = 0].
Ti p theo, n u chúng ta chúng ta ch gi i h n s quan tâm c a chúng ta đ n các xi
th a mãn đi u ki n ràng bu c, thì vi c đi tìm c c đ i có đi u ki n c a f là t ng
đ ng v i vi c đi tìm các đi m t i h n c a ℑ . Sau đây chúng ta s ti n hành ch ra
đi u đó, xem nh là m t bi n thêm vào các bi n xi. T ph ng trình (1.34), các
đi u ki n cho m t đi m t i h n là
∂ℑ
= f1 + g1 = 0
∂x1

∂ℑ
= f2 + g2 = 0
∂x 2

…
∂ℑ
= fn + gn = 0
∂x n
∂ℑ

= g(x1,x2, ..., xn) = 0
∂λ

(1.35)

Các ph ng trình (1.35) khi đó là nh ng đi u ki n cho m t đi m t i h n c a
hàm ℑ . L u ý r ng có n +1 ph ng trình và n +1 bi n ch a bi t. Các ph ng trình
này nói chung gi i đ c cho các bi n x1,x2, ..., xn và . M t l i gi i nh v y s có
hai tính ch t: (1) các xi s tuân theo đi u ki n ràng bu c vì ph ng trình cu i cùng
c a (1.35) áp đ t đi u ki n này; và (2) trong s t t c các giá tr c a các bi n xi
th a mãn đi u ki n ràng bu c, thì nh ng giá tr là l i gi i c a h các ph ng trình
18


(1.35) s làm cho ℑ (và do đó c f) là l n nh t có th đ c (gi s đi u ki n b c 2
đ c th a mãn). Vì v y, ph ng pháp nhân t Lagrange cho ta môt cách đi tìm l i
gi i cho bài toán c c tr có đi u ki n nh đã đ a ra.
L i gi i c a h ph ng trình (1.35) th ng khác v i tr ng h p không có
đi u ki n (xem các ph ng trình (1.16)). Không x lý t i đi m n i đóng góp biên
c a m i xi b ng 0, h ph ng trình (1.35) đòi h i chúng ta d ng đ t ng t do đi u
ki n ràng bu c. Ch khi ràng bu c này không hi u qu (trong tr ng h p mà
chúng ta s ch ra d i đây,
s b ng 0) thì các ph ng trình có đi u ki n và
không có đi u ki n (và các l i gi i t ng ng c a chúng) kh p v i nhau. Các đi u
ki n biên đ c xem l i này có nh ng di n gi i kinh t trong nhi u tình hu ng khác
nhau.
Di n gi i v nhân t Lagrange
Cho đ n đây chúng ta đã s d ng nhân t Lagrange ( ) ch nh m t “th
thu t” đ đ t đ c l i gi i nh mong mu n. Th c ra, bi n này có m t s gi i kinh
t quan tr ng, là trung tâm đ i v i phân tích c a chúng ta t i nhi u đi m trong

môn h c này.
phát tri n s di n gi i đó, ta vi t l i n ph ng trình đ u tiên
trong (1.35) nh sau:
f
f1
f
= 2 = ... = n =
− g1 − g 2
− gn

(1.36)

Nói cách khác, t i đi m c c đ i t l gi a fi và gi là nh nhau đ i v i m i xi. Các t
s trong ph ng trình (1.36) là nh ng đóng góp biên c a m i xi đ i v i hàm f. Nó
ch ra l i ích biên mà m i đ n v xi t ng thêm s mang l i cho hàm s đang đ c
c c đ i hóa (t c là, cho f).
M t di n gi i đ y đ v các m u s trong các ph ng trình (1.36) có l t t
nh t là đ l i cho t i khi chúng ta g p ph i các t s này trong nh ng ng d ng
kinh t th c t . đây, chúng ta s th y chúng th ng có m t cách di n gi i v
“chi phi phí biên”. T c là, chúng ph n ánh gánh n ng ph i ch u thêm lên ràng
mô t đ n gi n, gi s ràng bu c
bu c này khi s d ng nhi u h n m t chút xi.
này đòi h i t ng chi tiêu v x1 và x2 đ c cho tr c b i m t l ng ti n c đ nh F.
Do đó, ràng bu c s là p1x1 + p2x2 = F (trong đó pi là chi phí cho m i đ n v xi). S
d ng thu t ng hi n t i c a chúng ta, ràng bu c này có th vi t d i d ng n nh
sau:
(1.37)
g(x1,x2) = F - p1x1 - p2x2 = 0.
Trong tình hu ng này, thì
(1.38)

-gi = pi
và đ o hàm –gi th c t ph n ánh chi phí biên cho vi c s d ng m i đ n v xi .
Th c hành t t c các bài toán t i u hóa chúng ta s g p ph i trong nh ng ch ng
sau có m t s di n gi i t ng t cho các m u s trong các ph ng trình (1.36).
Nhân t Lagrange là m t t s l i ích-chi phí
19


Bây gi chúng ta đ a cho các ph ng trình (1.36) m t di n gi b ng tr c
giác. Chúng ch ra r ng, t i các l a ch n t i u đ i v i các giá tr xi thì t s gi a
l i ích biên c a vi c t ng thêm xi và chi phí biên c a vi c t ng thêm xi đ i v i m i
bi n x.
th y đây là m t đi u ki n rõ ràng cho m t c c đ i, gi s đi u đó không
đúng: t c gi s r ng “t l l i ích –chi phí” c a x1 l n h n so v i c a x2 . Trong
tr ng h p này, x1 s đ c s d ng nhi u h n chút n a đ đ t t i c c đ i. Hãy xét
vi c s d ng thêm x1 nh ng ph i t b đ m t l ng x2 đ gi cho g (ràng bu c) là
không đ i. Do đó, chi phí biên c a l ng x1 đ c s d ng thêm ph i b ng chi phí
ti t ki m đ c t vi c gi m s d ng x2. Nh ng do t l l i ích-chi phí (l ng l i
ích trên m i đ n v chi phí) c a x1 l i l n h n so v i c a x2, nên l i ích t ng thêm
t vi c s d ng nhi u h n x1 s l n h n l i ích gi m đi do s d ng ít h n x2. Vi c
s d ng nhi u h n x1 đ ng th i gi m x2 phù h p khi đó s làm t ng y và cho nhi u
“l i h n h i”. Ch khi các t l chi phí-l i ích là b ng nhau v i t t c các xi thì m i
đ t đ c m t c c đ i đ a ph ng, trong đó không th t ng m t l ng nh xi có th
t ng hàm m c tiêu. Các ng d ng c th c a nguyên lý c b n này đ c phát tri n
trong r t nhi u tài li u c a môn h c này. K t qu này là n n t ng cho lý thuy t
kinh t vi mô v hành vi t i u hóa.
Nhân t Lagrange ( ) c ng có th đ c di n gi i t nh n th c c a ch đ
này. là t l l i ích-chi phí chung cho t t c các xi. T c là,
=

loi ich bien cua xi
chi phi bien cua xi

(1.39)

đ v i m i xi. N u ràng bu c b dao đ ng đôi chút, thì không c n bi t chính xác xi
nào đ c thay đ i (th c ra, t t c các x i có th thay đ i), vì t i biên m i bi n đ u
h a h n cùng m t t s v l i ích-chi phí. Khi đó, nhân t Lagrange cho ta m t
th c đo v vi c m t dao đ ng chung nh v y c a ràng bu c s tác đ ng t i giá tr
c a y nh th nào. V b n ch t
n đ nh m t “giá m ” đ i v i ràng bu c. M t
cao cho th y y t ng đáng k khi ràng bu c dao đ ng, vì m i xi đ u có m t t l l i
ích-chi phí cao. Ng c l i, m t th p cho th y y t ng r t ít khi ràng bu c dao
đ ng. N u ràng bu c không liên k t chút nào, thì s có giá tr 0, khi đó ám ch
r ng ràng bu c không h n ch giá tr c a y. Trong tr ng h p nh v y, tìm giá tr
c c đ i có đi u ki n c a y s đ ng nh t v i vi c tìm c c đ i không đi u ki n; giá
m c a ràng bu c này b ng 0. Di n gi i này v
c ng đ c ch ra b ng vi c s
d ng đ nh lý bao nh mô t ph n sau c a ch ng này.
i ng u
Ch đ này cho th y co m t m i liên h rõ ràng gi a bài toán c c đ i hóa
m t hàm có đi u ki n và bài toán n đ nh các giá tr cho ràng các ràng bu c. i u
này ph n ánh cái đ c g i là nguyên lý toán h c v “đ i ng u”: M i bài toán c c
đ i hóa có đi u ki n có liên quan v i nó là m t bài toán đ i ng u v c c ti u hóa
có đi u ki n t p trung chú ý vào các ràng bu c c a bài toán g c (ban đ u). Ví d ,
20


quay l i câu chuy n đ u tiên c a chúng ta các nhà kinh t gi thi t các cá nhân c c
đ i hóa l i ích c a h v i ràng bu c v ngân sách. ây là bài toán ban đ u c a

ng i tiêu dùng. Bài toán đ i ng u cho ng i tiêu dùng là c c ti u hóa chi tiêu c n
thi t đ đ t đ c m t m c l i ích cho tr c. Ho c, bài toán ban đ u c a m t hãng
có th là c c ti u hóa t ng chi phí c a các đ u vào đ c s d ng đ s n xu t m t
m c s n l ng cho tr c, khi đó bài toán đ i ng u là c c đ i hóa s n l ng v i
m t chi phí các đ u vào cho tr c đã đ c mua. Nhi u ví d t ng t s đ c
phát tri n trong các tài li u v kinh t vi mô. M i ví d đ u ph n ánh m t đi u là
luôn có hai cách nhìn nh n b t k bài toán t i u hóa có đi u ki n nào. ôi khi t n
công tr c di n m t tr c b ng cách phân tích bài toán ban đ u có th đ a đ n
nh ng nh n th c r t l n. Nh ng có nh ng tình hu ng ti p c n “c a sau” b ng cách
ki m tra l i bài toán đ i ng u có th mang l i nhi u ki n th c h n. Dù đi b ng con
đ ng nào, thì các k t qu nói chung là nh t quán, dù không ph i luôn luôn nh
v y, cho nên s l a ch n đ a ra ch y u là v n đ ti n l i.
nh lý bao trong các bài toán c c đ i hóa có đi u ki n đ ng th c
nh lý bao đã bàn đ n tr c đây trong các bài toán c c đ i hóa không có
đi u ki n c ng có nh ng ng d ng quan tr ng trong các bài toán c c đ i hóa có
đi u ki n. đây ta trình bày tóm t t đ nh lý này. Nhi u ng d ng c a nó s xem
xét sau này. Gi s chúng ta mu n c c đ i hóa giá tr c a hàm
(1.40)
y = f(x1,x2, ..., xn; a)
v i đi u ki n
(1.41)
g(x1,x2, ..., xn; a) = 0
trong đó có s ph thu c t ng minh c a các hàm f và g vào tham s a. Nh đã
ch ra, có m t cách gi bài toán này b ng vi c thi t l p bi u th c Lagrange
(1.42)
ℑ = f(x1,x2, ..., xn; a) + g(x1,x2, ..., xn; a)
và gi i h các ph ng trình đi u ki n b c nh t (xem 1.35) v i các giá tr t i u có
đi u ki n x*1,x*2, ..., x*n. Cách l a ch n khác, có th ch ra r ng
dy *
∂ℑ

=
(x*1,x*2, ..., x*n; a)
da
∂a

(1.43)

T c là, s thay đ i giá tr c c đ i c a y khi tham s a thay đ i (và t t c các giá tr
xi đ c tính l i theo nh ng giá tr t i u m i) có th tìm đ c b ng cách l y đ o
hàm riêng bi u th c Lagrange (ph ng trình 1.42) đánh giá đ o hàm riêng thu
đ c t i đi m t i u. Do đó bi u th c Lagrange đóng m t vai trò gi ng nhau khi
áp d ng đ nh lý bao cho các bài toán có đi u ki n nh là khi làm v i các bài toán
ch có riêng hàm m c tiêu không có đi u ki n.

1.5.2 T i u hóa có đi u ki n b t đ ng th c
Trong m t s bài toán kinh t không c n thi t gi cho chính xác. Ví d ,

21


ràng bu c ngân sách c a m t ng i yêu c u anh hay ch ta không chi tiêu nhi u
h n m t l ng nh t đ nh trong m t giai đo n, nh ng ít nh t c ng có th tiêu ít h n
l ng đó. Trong các ràng bu c b t đ ng th c c ng xu t hi n các giá tr ch p nh n
đ c c a m t s bi n trong các bài toán kinh t . Ví d , th ng th ng các bi n
kinh t ph i không âm (dù ràng chúng có th nh n giá tr b ng 0). Trong ph n này
chúng ta s ch ra ph ng pháp Lagrange có th thích nghi th nào v i nh ng tình
hu ng nh v y.
tránh nhi u ký hi u r c r i, chúng ta s khám phá các ràng bu c b t
đ ng th c cho tr ng h p đ n gi n liên quan t i hai bi n l a ch n. K t qu đ a ra
d dàng t ng quát hóa đ c. Gi s chúng ta tìm cách c c đ i hóa hàm y = f(x1,x2)

v i 3 đi u ki n ràng bu c b t đ ng th c:
1. g(x1,x2) ≥ 0
2. x1 ≥ 0 và
(1.44)
3. x2 ≥ 0.
Nh v y, chúng ta cho phép kh n ng các ràng bu c đ c đ a ra tr c đây
không nh t thi t duy trì chính xác (m t ng i không nh t thi t tiêu h t t t c thu
nh p c a anh ta) và v vi c các xi ph i không âm (nh trong h u h t các bài toán
kinh t ).
Các bi n bù
M t cách đ gi i bài toán t i u này là đ a thêm vào 3 bi n m i (a, b, và c)
nh m chuy n các ràng bu c b t đ ng th c trong (1.44) thành các đ ng th c.
đ m b o các b t đ ng th c v n ti p t c đ c duy trì, ta s bình ph ng các bi n
m i này đ b o đ m các giá tr c a chúng là d ng. B ng cách đó, các ràng bu c
b t đ ng th c tr thành
1. g(x1,x2) – a2 = 0
2. x1 – b2 = 0 và
(1.45)
3. x2 – c2 = 0.
B t c l i gi i nào th a mãn 3 ràng bu c đ ng th c này đ u th a mãn các ràng
bu c b t đ ng th c. Nó c ng cho th y các giá tr t i u c a a,b,c s cung c p m t
s nh n th c v b n ch t c a l i gi i đ i v i m t v n đ ki u này.
Gi i b ng ph ng pháp Lagrange
B ng cách chuy n bài toán ban đ u có các b t đ ng th c thành bài toán có
các đ ng th c, bây gi chúng có th s d ng ph ng pháp Lagrange đ gi i nó.
Do có 3 ràng bu c nên ta ph i đ a vào 3 nhân t Lagrange: 1 , 2, và 3. Bi u
th c Lagrange là
2
2
2

(1.46)
ℑ = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) - a ] + 2( x1 – b ) + 3(x2 – c )
Chúng ta mu n tìm các giá tr x1,x2, a, b, c, 1 , 2, và 3 t o nên m t đi m
t i h n c a bi u th c này. i u này c n đ n 8 đi u ki n b c nh t.

22


∂ℑ
= f1 +
∂x1

1g1

+

2

∂ℑ
= f2 +
∂x 2

1g 2

+

3=

=0
0

∂ℑ
= -2a 1 = 0
∂a
∂ℑ
= -2b 2 = 0
∂b
∂ℑ
= -2c 3 = 0
∂c
∂ℑ
= g(x1,x2) - a2 = 0
∂λ1
∂ℑ
= x1 - b2 = 0
∂λ 2
∂ℑ
= x2 - c2 = 0
∂λ3

(1.47)

Tính bù c a bi n b sung
Có 3 ph ng trình liên quan t i 3 h ng s a, b, và c cho ta nh ng nh n th c
quan tr ng v b n ch t các l i gi i c a nh ng bài toán có đi u ki n b t đ ng th c.
Ví d , dòng th ba trong h ph ng trình (1.47) hàm ý r ng, trong l i gi i t i u
ho c 1 ho c a ph i b ng 0. Trong tr ng h p th hai (a=0), ràng bu c g(x1,x2) = 0
có hi u l c và giá tr 1 tính đ c ch ra t m quan tr ng có liên quan đ i v i hàm
m c tiêu f. Ng c l i, n u a ≠ 0, thì 1 = 0 và đi u này ch ra r ng s s n có c a
bi n bù nào đó trong ràng bu c ám ch giá tr c a nó đ i v i hàm m c tiêu là b ng

0. Trong tr ng h p tiêu dùng, đi u này có ngh a là m t ng i không tiêu h t t t
c thu nh p c a anh ta, thì thu nh p th m chí có t ng thêm c ng không làm t ng
l i ích c a anh lên tí nào.
Các m i quan h có tính bù t ng t c ng đúng cho các bi n l a ch n x1 và
x2. Ví d , dòng th t trong h ph ng trình (1.47) yêu c u l i gi i t i u có
ho c b ho c 2 b ng 0. N u 2 = 0, thì l i gi i t i u có x1 > 0, và bi n l a ch n
này th a mãn đúng vi c ki m tra chi phí-l i ích đ f1 + 1g1 = 0. V i l a ch n
khác, các l i gi i khi b=0 có x1 = 0, và c ng yêu c u 2 > 0. Nh v y, các l i gi i
này không liên quan t i vi c s d ng x1 vì bi n này không th a mãn vi c ki m tra
chi phí-l i ích đ c ch ra b i f1 + 1g1 < 0. K t qu đúng t ng t cho bi n l a
ch n x2.
Các k t qu này, đôi khi đ c g i là các đi u ki n Kuhn –Tucker theo tên

23


ng i đã khám phá ra chúng, cho th y các l i gi i c a bài toán t i u hóa có đi u
ki n khác v i các bài toán t ng t có ràng bu c là đ ng th c v nh ng ph ng
di n t ng đ i đ n gi n. Vì v y, chúng ta không th quá sai khi làm vi c tr c h t
v i các ràng bu c đ ng th c và có th gi thi t r ng chúng ta có th d a trên tr c
giác đ kh ng đ nh nh ng gì s x y ra n u các bài toán th c t có ràng bu c b t
đ ng th c. ó là cách ti p c n chung đ a ra trong nhi u tài li u kinh t v mô.
Các đi u ki n b c hai
Xét bài toán l a ch n x1 và x2 đ c c đ i hóa
(1.48)
y = f(x1,x2)
v i ràng bu c tuy n tính
(1.49)
c- b1x1 – b2x2 = 0
(trong đó c, b1, b2 là các tham s h ng s c a bài toán). Bài toán này là m t ki u

th ng g p trong kinh t vi mô và là m t tr ng h p đ c bi t c a các bài toán c c
tr có đi u ki n. Bi u th c Lagrange là
(1.50)
ℑ = f(x1,x2) + (c – b1x1 –b2x2)
Các đ o hàm riêng theo x1, x2 và
đi u ki n b c nh t cho k t qu :
f1 - b 1 = 0
f2 - b2 = 0
(1.51)
c- b1x1 – b2x2 = 0
Các ph ng trình này nói chung có th gi i đ c đ cho các giá tr t i u x1, x2 và
.
đ m b o m t đi m đ c đ a ra theo cách đó là m t đi m c c ti u đ a
ph ng, chúng ta ph i ki m tra các di chuy n kh i đi m t i h n b ng cách l y vi
phân toàn ph n l n “th hai”:
(1.52)
d2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22.
Tuy nhiên, trong tr ng h p này không ph i t t c nh ng kh n ng thay đ i nh là
ch p nh n đ c. Ch có nh ng giá tr c a x1 và x2 mà ti p t c th a mãn ràng bu c
có th đ c xem xét là nh ng l a ch n thay th h p l cho đi m t i h n.
ki m
tra nh ng thay đ i nh v y ta ph i tính vi phân toàn ph n c a ràng bu c:
(1.53)
-b1dx1 – b2dx2 = 0
hay
dx2 = -

b1
dx1
b2

(1.54)

Ph ng trình này cho th y nh ng thay đ i v x1 và x2 có liên quan đ c ch p nh n
đ xem xét các di chuy n kh i đi m t i h n.
ti p t c, ta c n s d ng các đi u
ki n b c nh t. Hai đi u ki n đ u hàm ý r ng
f1
b
= 1
f2
b2

và k t h p v i k t qu

(1.55)

(1.54) ta có

24


dx2 = -

f1
dx1
f2

Bây gi ta th bi u th c dx2 này vào ph
ph i th a mãn đ cho d2y là âm:

d2y = f11dx12 + 2f12dx1(-

(1.56)
ng trình (1.52) và đ a ra các đi u ki n

f1
f
dx1) + f22(- 1 dx1)2
f2
f2
2

= f11dx12 - 2f12

f
f1
dx12 + f22 1 2 dx12.
f2
f2

(1.57)

Hay
d2y = (f11f22 - 2f12f1f2 + f22f12)

dx12
f 22

(1.58)

Cu i cùng, đ d2y < 0 thì ph i th a mãn đi u ki n
(1.59)
f11f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0
ây là đ c tr ng cho các hàm t a lõm. Nói cách khác, m t hàm t a lõm th a mãn
đi u ki n b c hai c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n.
th y rõ m t hàm t a lõm luôn th a mãn đi u ki n (1.59) ta l y l i ví d
phân
k
trên: c c đ i hóa hàm y = f(x1, x2) = (x1.x2) , trong đó các bi n x1, x2 ch nh n các
giá tr d ng, và tham s k có th nh n các giá tr d ng khác nhau. Dù k nh n giá
tr nào, thì hàm trên là t a l i nh đã ch ra đ u ch ng. Hàm này có
f1 = kx1k-1.x2k
f2 = kx1k.x2k-1
f11 = k(k-1)x1k-2.x2k
f22 = k(k-1)x1k.x2k-2
f12 = k2x1k-1.x2k-1,
Nh v y,
f11f22 - 2f12f1f2 + f22f12 = k3(k-1)x13k-2.x23k-2 - 2k4x13k-2.x23k-2 + k3(k-1)x13k-2.x23k-2 =
-2k3x13k-2.x23k-2 < 0 v i k > 0, và hàm t a lõm trên th a mãn đi u ki n (1.59) v i
m i k>0.
i u ki n b c hai c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n th c ch t là đòi h i
ma tr n Hess g m các đ o hàm b c hai c a hàm Lagrange theo các bi n l a ch n
là n a xác đ nh âm; hay các đ nh th c con chính c a nó thay nhau đ i d u.
Nh v y vi c ki m tra đi u ki n b c hai đ i v i ma tr n Hess xác đ nh
i
âm ch c n rút l i b ng vi c ki m tra d u c a các đ nh th c con chính c a nó.
v i đi u ki n b c 2 b t đ ng th c (1.59) c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n, ta
có cách th hai đ ki m tra b ng cách s d ng Ma tr n Hess có vi n sau.
Gi s chúng ta mu n tìm các giá tr x1,x2 làm c c đ i hóa
y = f(x1,x2)

th a mãn đi u ki n
25