Sức bền vật liệu phạm ngọc khánh

1


M CL C
CH

NG 1: NH NG KHÁI NI M C

B N ................................................................... 12

1.1. Khái ni m...................................................................................................................... 12
1.1.1. Nhi m v c a môn h c ......................................................................................... 12
1.1.2.

it

ng c a môn h c......................................................................................... 12

1.1.3. Các gi thi t c b n và nguyên lý đ c l p tác d ng c a l c ................................. 13
1.1.4. Nguyên lý đ c l p tác d ng c a l c...................................................................... 14
1.2. Ngo i l c, n i l c ......................................................................................................... 15
1.2.1. Ngo i l c, liên k t và ph n l c liên k t : .............................................................. 15
1.2.2. N i l c : ................................................................................................................ 16
1.3.

ng su t........................................................................................................................ 18

1.3.1.

nh ngh a v

1.3.2. Quy

ng su t ......................................................................................... 18

c d u c a ng su t..................................................................................... 19

1.4. Liên h gi a ngo i l c, n i l c và ng su t.................................................................. 19
1.4.1. M i liên h gi a ngo i l c và n i l c ................................................................... 19
1.4.2. M i liên h gi a n i l c và ng su t..................................................................... 20
1.5. Khái ni m v bi n d ng ................................................................................................ 21
CH

NG 2: KÉO VÀ NÉN ÚNG TÂM .......................................................................... 22

2.1. Khái ni m...................................................................................................................... 22
2.2. N i l c .......................................................................................................................... 22
2.3. ng su t......................................................................................................................... 23
2.3.1.

ng su t pháp trên m t c t ngang......................................................................... 23

2.3.2.

ng su t trên m t c t nghiêng .............................................................................. 25

2.4. Bi n d ng ...................................................................................................................... 26
2.4.1. Khái ni m v bi n d ng kéo, nén.......................................................................... 26
2

2.4.2. Bi n d ng d c ....................................................................................................... 26
2.4.3. Bi n d ng ngang và h s Poat-xông (Poisson):................................................... 27
2.5.

c tr ng c h c c a v t li u ....................................................................................... 28

2.5.1. Thí nghi m kéo ..................................................................................................... 28
2.5.2. Thí nghi m nén v t li u ........................................................................................ 31
2.5.3. M t s y u t

nh h

ng đ n các đ c tr ng c h c c a v t li u .......................... 32

2.6. i u ki n b n và ng su t cho phép ............................................................................. 34
2.6.1. i u ki n b n ........................................................................................................ 34
2.6.2.

ng su t cho phép và h s an toàn...................................................................... 34

2.6.3. Ba lo i bài toán t đi u ki n b n........................................................................... 35
2.7. Tính thanh ch u kéo (nén) có k đ n tr ng l

ng b n thân .......................................... 38

2.8. Th n ng bi n d ng đàn h i.......................................................................................... 40
2.9. Bài toán siêu t nh v kéo (nén) ..................................................................................... 41
BÀI T P.................................................................................................................................. 44
CH

NG 3: TR NG THÁI

NG SU T........................................................................... 56

3.1. Khái ni m...................................................................................................................... 56
3.2. Tr ng thái ng su t ph ng ............................................................................................ 58
3.2.1. Nghiên c u tr ng thái ng su t ph ng b ng ph

ng pháp gi i tích ..................... 58

3.2.2. Nghiên c u tr ng thái ng su t ph ng b ng ph

ng pháp đ th -....................... 62

3.3. Tr ng thái ng su t kh i ............................................................................................... 67
3.3.1. Các vòng Mo ng su t .......................................................................................... 67
3.3.2. Liên h gi a ng su t và bi n d ng -

nh lu t Hooke. ....................................... 68

3.4. Th n ng bi n d ng đàn h i.......................................................................................... 71
BÀI T P.................................................................................................................................. 73

3


CH

NG 4: LÝ THUY T B N.......................................................................................... 80

4.1. Khái ni m...................................................................................................................... 80
4.2. Lý thuy t b n ng su t pháp l n nh t........................................................................... 81
4.3. Lý thuy t b n bi n d ng dài t

ng đ i l n nh t ........................................................... 82

4.4. Lý thuy t b n ng su t ti p l n nh t ............................................................................ 82
4.5. Lý thuy t b n th n ng bi n đ i hình dáng................................................................... 83
4.6. Lý thuy t b n Mo.......................................................................................................... 83
4.7. Ví d ............................................................................................................................. 87
BÀI T P.................................................................................................................................. 90
CH

NG 5:

C TR NG HÌNH H C C A M T C T NGANG............................... 92

5.1. Khái ni m...................................................................................................................... 92
5.2. Mô men t nh và mô men quán tính............................................................................... 92
5.2.1. Mômen t nh:.......................................................................................................... 92
5.2.2. Mômen quán tính đ i v i m t tr c ....................................................................... 93
5.2.3. Mômen quán tính c c (hay mômen quán tính đ i v i g c to đ ). ...................... 94
5.2.4. Mômen quán tính ly tâm. ...................................................................................... 94
5.3. Mô men quán tính c a m t s hình đ n gi n ............................................................... 95
5.3.1. Hình ch nh t........................................................................................................ 95
5.3.2. Hình tam giác........................................................................................................ 96
5.3.3. Hình tròn. .............................................................................................................. 96
5.4. Công th c chuy n tr c song song c a mô men quán tính ............................................ 98
5.5. Công th c xoay tr c c a mô men quán tính – Cách xác đ nh h tr c quán tính chính
............................................................................................................................................. 99

5.6. Trình t gi i bài toán xác đ nh mô men quán tính chính trung tâm c a hình ph ng có
ít nh t m t tr c đ i x ng ................................................................................................... 105
4


BÀI T P................................................................................................................................ 108
CH

NG 6: XO N THU N TUÝ THANH TH NG ................................................... 112

6.1. Khái ni m v thanh tròn ch u xo n............................................................................. 112
6.1.1.

nh ngh a:.......................................................................................................... 112

6.1.2. Bi u đ n i l c mô men xo n ............................................................................. 112
6.2.

ng su t trên m t c t ngang c a thanh tròn ch u xo n............................................... 113

6.2.1. Quan sát thí nghi m: ........................................................................................... 113
6.2.2. Các gi thi t: ....................................................................................................... 114
6.2.3.

ng su t trên m t c t ngang ............................................................................... 114

6.3. Bi n d ng c a thanh tròn ch u xo n ........................................................................... 116
6.4. Tính thanh tròn ch u xo n........................................................................................... 117
6.4.1. i u ki n b n: ..................................................................................................... 117
6.4.2. i u ki n c ng.................................................................................................... 118

6.5. Thanh siêu t nh ch u xo n........................................................................................... 119
6.6. Tính lò xo hình tr b

c ng n .................................................................................... 120

6.6.1.

ng su t trên m t c t ngang dây lò xo ............................................................... 120

6.6.2.

c ng c a lò xo ............................................................................................... 121

6.7. Xo n thanh m t c t ch nh t ...................................................................................... 121
6.7.1. Quan sát thí nghi m: ........................................................................................... 121
BÀI T P................................................................................................................................ 122
CH

NG 7: U N PH NG ................................................................................................ 130

7.1. Khái ni m v d m ch u u n ph ng ............................................................................ 130
7.2. N i l c và bi u đ n i l c trong d m ch u u n ph ng .............................................. 131
7.2.1. Ph

ng pháp xác đ nh các thành ph n n i l c Mx và Qy.................................... 131

7.2.2. Bi u đ n i l c.................................................................................................... 132
5

7.2.3. Các ví d ............................................................................................................. 133
7.2.4. M i liên h vi phân gi a n i l c và t i tr ng phân b ........................................ 138
7.3

ng su t trên m t c t ngang c a d m ch u u n thu n tuý ph ng .............................. 143

7.3.1. S phân b
7.3.2 Bi u đ

ng su t trên m t c t ngang ............................................................. 143

ng su t pháp σz ..................................................................................... 146

7.3.3. Ki m tra b n cho d m ch u u n thu n tuý ph ng ............................................... 147
7.4.

ng su t trên m t c t ngang c a d m ch u u n ngang ph ng .................................. 149

7.4.1. Công th c tính ng su t pháp ............................................................................ 150
7.4.2. Công th c tính ng su t ti p (công th c Ju-ráp-xki) ......................................... 150
7.5. Ki m tra b n cho d m ch u u n ngang ph ng ...................................................... 154
7.6. Hình d ng h p lý c a m t c t ngang c a d m ch u u n .......................................... 157
7.7. Tr ng thái

ng su t trong d m ch u u n ngang ph ng ....................................... 159

7.8.

Khái ni m v tâm u n............................................................................................. 161

7.9.

Khái ni m v d m ch ng u n đ u ......................................................................... 162

BÀI T P................................................................................................................................ 164
CH

NG 8: CHUY N V C A D M CH U U N ........................................................ 173

8.1. Khái ni m v chuy n v c a d m ch u u n................................................................. 173
8.2. Ph

ng trình vi phân tr c võng c a d m ch u u n..................................................... 173

8.3. Các ph

ng pháp xác đ nh chuy n v c a d m .......................................................... 175
ng pháp tích phân b t đ nh) .......... 175

8.3.1. Ph

ng pháp tích phân tr c ti p ( hay ph

8.3.2. Ph

ng pháp thông s ban đ u ........................................................................... 178

8.3.3. Ph

ng pháp đ toán (ph

8.4. M t s

ng pháp t i tr ng gi t o) ...................................... 185

ng d ng v chuy n v c a d m ch u u n ...................................................... 190

8.4.1. Bài toán v đ c ng c a d m ch u u n ............................................................... 190
6


8.4.2. Tính toán d m siêu t nh...................................................................................... 192
BÀI T P................................................................................................................................ 194
CH

NG 9: D M TRÊN N N ÀN H I....................................................................... 199

9.1. Khái ni m và các gi thuy t v n n ............................................................................ 199
9.2. Tính d m trên n n đàn h i theo gi thuy t Winkler ................................................... 204
9.2.1. Ph

ng trình vi phân c a d m trên n n đàn h i ................................................. 204

9.2.2. L i gi i t ng quát c a bài toán d m trên n n đàn h i......................................... 205
9.3. Bài toán d m dài vô h n ............................................................................................. 206
9.4. Bài toán d m dài bán vô h n....................................................................................... 210
9.5. Bài toán d m dài h u h n ........................................................................................... 211
BÀI T P................................................................................................................................ 218
CH

NG 10:TR

NG H P CH U L C PH C T P ................................................. 220

10.1. Khái ni m và phân lo i bài toán ............................................................................... 220
10.2. Bài toán u n xiên ...................................................................................................... 221
10.2.1.

nh ngh a và nh n d ng bài toán..................................................................... 221

10.2.2. Xác đ nh các thành ph n n i l c Mx và My ...................................................... 222
10.2.3. S phân b

ng su t trên m t c t ngang ........................................................... 223

10.2.4. i u ki n b n c a thanh ch u u n xiên............................................................. 226
10.3. Bài toán u n và kéo (nén) đ ng th i........................................................................ 229
10.3.1.

nh ngh a và nh n d ng bài toán..................................................................... 229

10.3.2. S phân b

ng su t trên m t c t ngang ........................................................... 230

10.3.3. i u ki n b n c a thanh ch u u n và kéo (nén) đ ng th i ............................... 233
10.3.4. Lõi c a m t c t ngang ....................................................................................... 238
10.4. Bài toán u n và xo n đ ng th i ................................................................................ 240
10.4.1.

nh ngh a......................................................................................................... 240
7


10.4.2. S phân b

ng su t trên m t c t ngang ........................................................... 241

10.5. Bài toán ch u l c t ng quát ....................................................................................... 247
BÀI T P................................................................................................................................ 247
CH

NG 11: THANH CONG PH NG ........................................................................... 254

11.1. Khái ni m v thanh cong ph ng ............................................................................... 254
11.2. N i l c và bi u đ n i l c trong thanh cong ph ng.................................................. 254
11.3. Thanh cong ch u kéo (nén) thu n túy ...................................................................... 257
11.3.1.

nh ngh a:........................................................................................................ 257

11.3.2.

ng su t trên m t c t ngang ............................................................................. 258

11.4. Thanh cong ch u u n thu n túy ph ng..................................................................... 259
11.4.1.

nh ngh a......................................................................................................... 259

11.4.2.

ng su t trên m t c t ngang ............................................................................. 259

11.4.3. Xác đ nh v trí tr c trung hoà trên m t c t ngang c a thanh cong ch u u n thu n
tuý ................................................................................................................................. 262
11.5. Thanh cong ch u l c ph c t p.................................................................................. 264
11.5.1.

nh ngh a:........................................................................................................ 264

11.5.2. S phân b

ng su t trên m t c t ngang ........................................................... 264

11.5.3. Ki m tra b n...................................................................................................... 264
BÀI T P................................................................................................................................ 268
CH

NG 12:

N

NH C A THANH CH U NÉN ÚNG TÂM ............................... 270

12.1. Khái ni m.................................................................................................................. 270
12.2. Xác đ nh l c t i h n c a thanh ch u nén đúng tâm - (bài toán le 1774) ................ 271
12.3. Gi i h n áp d ng công th c le ............................................................................... 274
12.4. Tính n đ nh c a thanh ch u nén đúng tâm ngoài mi n đàn h i............................... 275
12.5.Tính n đ nh c a thanh ch u nén đúng tâm theo ph

8

ng pháp th c hành................. 277


12.6. Ch n hình dáng m t c t h p lý và v t li u ............................................................... 280
12.7. U n ngang và u n d c đ ng th i.............................................................................. 282
BÀI T P................................................................................................................................ 285
CH

NG 13: T I TR NG

NG .................................................................................. 291

13.1. M đ u...................................................................................................................... 291
13.2. Tính thanh chuy n đ ng th ng v i gia t c không đ i .............................................. 291
13.3. Nh ng khái ni m c b n v lý thuy t dao đ ng ...................................................... 292
13.4. Dao đ ng t do c a h đàn h i m t b c t do ......................................................... 293
13.4.1. Dao đ ng t do không có l c c n .................................................................... 293
13.4.2. Dao đ ng t do có l c c n ............................................................................... 294
13. 5. Dao đ ng c

ng b c c a h đàn h i m t b c t do - Hi n t

ng c ng h

ng....... 296

13.6. Va ch m th ng đ ng vào h đàn h i m t b c t do ................................................. 300
13.7. Va ch m ngang vào h đàn h i m t b c t do......................................................... 303

BÀI T P................................................................................................................................ 305
CH

NG 14: TÍNH

B N KHI

NG SU T THAY

I THEO TH I GIAN..... 312

14.1. Khái ni m................................................................................................................. 312
14.2. Gi i h n m i và bi u đ gi i h n m i ...................................................................... 314
14.2.1. Gi i h n m i c a chu trình đ i x ng ................................................................ 314
14.2.2. Bi u đ gi i h n m i......................................................................................... 315
14.3. Các nhân t chính nh h

ng t i gi i h n m i......................................................... 317

14.3.1. nh h

ng c a s t p trung ng su t. .............................................................. 317

14.3.2.

ng c a kích th

nh h

14.3.3. nh h

c chi ti t................................................................... 320

ng c a tình tr ng b m t...................................................................... 320

14.4. Cách tính v đ b n m i ........................................................................................... 321
9


14.4.1. Tr

ng h p kéo, nén, u n, xo n thu n tuý ....................................................... 321

14.4.2. Tr

ng h p u n và xo n bi n đ i đ ng th i .................................................... 323

14.5. Ví d ......................................................................................................................... 323
BÀI T P................................................................................................................................ 328
15.1. Ý ngh a c a vi c nghiên c u b ng th c nghi m...................................................... 330
15.2. Nguyên t c và d ng c đo bi n d ng....................................................................... 331
15.2.1. o bi n d ng d a trên nguyên lí c h c ........................................................... 331
15.2.2. o bi n d ng b ng t m đi n tr ........................................................................ 334
15.3.
PH N

o chuy n v b ng ph

ng pháp c h c ................................................................. 338

THI VÀ ÁP ÁN OLYMPIC C

H C TOÀN QU C (1989 – 2005) ........ 340

PH L C 1 ........................................................................................................................... 366
PH L C 2 ........................................................................................................................... 370
PH L C 3 ........................................................................................................................... 373
PH L C 4 ........................................................................................................................... 374
PH L C 5:.......................................................................................................................... 378
TÀI LI U THAM KH O ................................................................................................... 390

10


L I NÓI

U

Giáo trình S c b n v t li u xu t b n l n này đ c biên so n theo đ c ng
"Ch ng trình gi ng d y môn S c b n v t li u" do ti u ban môn h c c a B Giáo d c
và ào t o so n th o. So v i l n xu t b n tr c, giáo trình l n này đã có nhi u b sung
và s a ch a. Ngoài vi c vi t ng n g n, rõ ràng, còn đ a thêm nhi u d ng bài t p,
ngoài các bài t p c b n, còn có m t s bài t p khó, các đ thi Olympic c h c toàn
qu c c a nhi u n m tr c đây đ làm tài li u tham kh o và b i d ng sinh viên gi i
môn h c.
Sách có th làm tài li u h c t p cho sinh viên t t c các ngành c a tr ng
i
h c Thu l i, có th làm tài li u tham kh o cho các ngành c a các tr ng i h c k
thu t khác, c ng có th làm tài li u tham kh o cho các k s , nghiên c u sinh và các
cán b k thu t, cho nh ng ai có liên quan đ n tính toán k t c u xây d ng và chi ti t

máy.
Tuy đã có nhi u c g ng trong biên so n, nh ng do trình đ và th i gian có h n
nên không th tránh kh i nh ng sai sót. Chúng tôi mong nh n đ c nhi u ý ki n đóng
góp c a các b n đ ng nghi p, sinh viên và b n đ c đ hoàn thi n h n trong l n xu t
b n sau.
M i góp ý xin g i v : Ph m Ng c Khánh dđ: 0904047071 ho c


CÁC TÁC GI

11


CH

NG 1: NH NG KHÁI NI M C

B N

1.1. Khái ni m
1.1.1. Nhi m v c a môn h c
S c b n v t li u là m t môn h c thu c chuyên ngành c h c v t r n bi n d ng, nó
có nhi m v là nghiên c u các ph ng pháp tính toán công trình trên 3 m t:
b n,
đ c ng và n đ nh.
M t công trình đ c đánh giá là b n khi m i b ph n c a nó không b phá h ng
khi ch u l c. Các b ph n công trình hay các chi ti t máy đ c xem nh là c ng khi
bi n d ng c a t ng b ph n không v t quá m t giá tr yêu c u nào đó đ đ m b o s
ho t đ ng bình th ng trong quá trình khai thác. Yêu c u v n đ nh có ngh a là các
b ph n c a t ng k t c u công trình ph i b o toàn hình d ng hình h c c a k t c u khi

ch u l c, nh m lo i tr các hi n t ng d n đ n m t n đ nh nh b cong vênh ho c
méo mó.
1.1.2. i t ng c a môn h c
1. V v t li u
V v t li u, môn s c b n v t li u nghiên c u các k t c u công trình đ c làm t
các v t li u th c - đó là các v t li u có bi n d ng khi ch u tác d ng c a t i tr ng – ví
d nh s t , đ ng, gang, bê tông… Khác v i môn c h c lý thuy t – môn h c nghiên
c u các v t li u lý t ng – v t li u không có bi n d ng.
2. V v t th :
Trong không gian v t th có các hình d ng r t khác nhau. Ta có th phân các v t
th thành 3 d ng tu theo các kích th c theo 3 chi u c a chúng - đó là k t c u d ng
thanh, k t c u d ng t m và v , k t c u d ng kh i.
a/ K t c u d ng thanh: Thanh là m t v t th hình l ng tr có kích th c theo m t
chi u l n h n r t nhi u so v i hai chi u còn l i. Ví d nh trên hình 1-1a th hi n m t
k t c u thanh có chi u dài l l n h n nhi u l n so v i h và b.

F

l

h
b

l

l
a)

b)
Hình 1-1

12


V m t hình h c ta c ng có th đ nh ngh a: Thanh là m t ph n không gian khép
kín đ c l p đ y v t li u, ph n không gian đó đ c t o nên khi ta di chuy n m t hình
ph ng có di n tích F d c theo m t đ ng cong l nào đó sao cho tr ng tâm O c a hình
ph ng F luôn luôn tr t trên l và hình ph ng F luôn luôn vuông góc v i ti p tuy n c a
l t i đi m nó đi qua. Ta g i đ ng l là tr c thanh, còn hình ph ng F là m t c t ngang
c a thanh (hình 1-1b). Trong tính toán công trình ng i ta bi u di n thanh b ng đ ng
tr c thanh và m t c t ngang c a thanh. Tu thu c vào d ng c a đ ng tr c l ta chia
thanh thành các d ng: Thanh th ng, thanh g y, thanh cong (hình 1-2a,b,c) ho c d a
vào m t c t ngang có th chia thanh thành thanh có m t c t không đ i, thanh có m t
c t thay đ i (hình 1-2b,c).

a)

c)

b)
Hình 1-2

b/ K t c u d ng t m, v : Là v t th l ng tr có kích th
so v i chi u còn l i (hình 1-3a,b).

a)

b)

c hai chi u l n h n nhi u

c)
Hình 1-3

c/ K t c u d ng kh i: Là v t th
nhi u (hình 1-3c).

có kích th

c theo 3 chi u không khác nhau

Trong 3 d ng k t c u nêu trên, d ng thanh là đ i t ng nghiên c u c a môn S c
b n v t li u. Hai d ng sau s là đ i t ng nghiên c u c a môn h c khác nh môn lý
thuy t đàn h i.
1.1.3. Các gi thi t c b n và nguyên lý đ c l p tác d ng c a l c
Các gi thi t c b n
Khi tính toán công trình n u xét t t c các y u t nh h ng thì vô cùng ph c t p.
đ n gi n cho quá trình tính toán ta đ a vào m t s gi thi t.
13


a/ V t li u liên t c, đ ng ch t và đ ng h

ng:

V t li u liên t c có ngh a là nó l p đ y không gian v t choán ch , trong đó không
t n t i các khe n t, các ch tr ng. Gi thi t này th a nh n bi n d ng trong v t th là
liên t c t đi m này sang đi m khác. Do v y ta có th gán cho các đ i l ng nghiên
c u nh ng hàm toán h c liên t c. Các lo i v t li u không tho mãn tính ch t này đ c
g i là v t li u không liên t c hay v t li u r i r c, ch ng h n nh cát, s i…

V t li u đ ng nh t có ngh a là v t li u có cùng tính ch t (c h c, lý h c) m i
đi m. Ph n l n các lo i v t li u đ c dùng trong xây d ng và ch t o máy tho mãn
gi thuy t này khía c nh v mô. Các lo i v t li u không tho mãn tính ch t này đ c
g i là v t li u không đ ng nh t ví d nh bê tông c t thép…
V t li u đ ng h ng có ngh a là t i m i đi m trong v t tính ch t c , lý nh nhau
theo m i phu ng. Các lo i v t li u không tho mãn tính ch t này đ c g i là v t li u
không đ ng h ng hay v t li u d h ng nh tre, n a, g …
b/ V t li u đàn h i lý t ng: D i tác d ng c a ngo i l c, v t b bi n d ng, n u
khi thôi tác d ng c a ngo i l c, v t t khôi ph c l i v trí và hình d ng ban đ u, khi đó
v t li u đ c g i là đàn h i tuy t đ i hay đàn h i lý t ng. Trong th c t , bi n d ng
c a v t li u ch đ c coi là bi n d ng đàn h i lý t ng khi ngo i l c tác d ng vào v t
đang còn nh h n m t gi i h n nh t đ nh, gi i h n này ph thu c vào lo i v t li u. Khi
ngo i l c tác d ng v t quá gi i h n nói trên, trong v t s phát sinh bi n d ng d o hay
còn g i là bi n d ng d - bi n d ng còn t n t i trên v t ngay c khi đã lo i b hoàn
toàn tác d ng c a ngo i l c.
Nói chung, trong ph m vi bi n d ng đàn h i quan h gi a l c tác d ng và bi n
d ng là quan h tuy n tính – quan h này đ c nhà v t lý ng i Anh Robert Hooke
nêu thành đ nh lu t vào n m 1678 và g i là đ nh lu t Hooke (Húc)- m t đ nh lu t c
b n trong lý thuy t đàn h i và s c b n v t li u (s đ c trình bày trong ch ng 2).
e/ Bi n d ng và chuy n v c a v t là r t nh so v i kích th c c a v t: T gi
thi t v bi n d ng nh ta có th vi t các ph ng trình cân b ng t nh ho c đ ng cho m t
tr ng thái ch a bi n d ng.
v t đ c coi nh
1.1.4. Nguyên lý đ c l p tác d ng c a l c
Nguyên lý đ c phát bi u nh sau: M t v t (hay m t h đàn h i) khi ch u tác d ng
đ ng th i c a m t h g m nhi u l c (hay nhi u nguyên nhân khác nhau), các đ i
l ng c h c nh
ng su t, bi n d ng… gây ra trong v t đ c tính b ng t ng các đ i
l ng c h c do t ng l c (hay t ng nguyên nhân) tác d ng riêng r gây ra.
D a trên nguyên lý này, ta có th làm gi m đ ph c t p khi gi i các bài toán s c

b n v t li u.

14


1.2. Ngo i l c, n i l c
1.2.1. Ngo i l c, liên k t và ph n l c liên k t :
1. Ngo i l c:
M t trong
L c đ c truy
gi a chúng đ
so v i kích th

các nguyên nhân tác đ ng vào v t và làm cho nó b bi n d ng là l c.
n t các v t th khác sang v t nghiên c u thông qua các ph n ti p xúc
c g i là ngo i l c. Tu theo di n tích c a b m t ti p xúc l n hay nh
c c a v t mà ta phân ngo i l c thành l c t p trung và l c phân b .

- L c t p trung: Th ng đ c ký hi u là P, là l c truy n vào v t đang xét thông
qua m t di n tích r t nh mà ta có th xem nh là m t đi m, đ n v c a P là Niut n
(N). Ví d nh tr ng l ng c a toa xe truy n xu ng đ ng ray thông qua di n tích ti p
xúc gi a bánh xe và ray có th xem nh là l c t p trung (hình 1-4a).
- L c phân b b m t: Ký hi u là p, là l c tác d ng lên v t thông qua m t di n tích
đ l n, khi đó th nguyên c a p là l c trên di n tích, đ n v th ng dùng là N/m2, ví
d nh l c tác d ng c a hàng hoá ch t trong toa xe lên sàn xe, áp l c n c lên thành
b ch a ... là các l c phân b (hình 1-4b).
- L c phân b theo chi u dài: Ký hi u là q, đ i v i các v t th d ng thanh, n u l c
phân b trên b m t d c theo tr c có c ng đ không đ i theo ph ng ngang (ph ng
vuông góc v i tr c thanh), khi đó ta có th coi các l c đó nh l c phân b d c theo
chi u dài, th nguyên c a nó là l c trên chi u dài, đ n v th ng dùng là N/m (hình 14c).

q

a)

b)

c)

Hình 1-4

-

L c phân b th tích : Là l c tác d ng lên m i đi m trong v t nh l c tr ng
tr ng, l c quán tính, l c đi n t v...v..., th nguyên c a nó là l c trên th tích,
đ n v N/m3.

2. Liên k t và ph n l c liên k t:
Trong tính toán công trình ta th ng g p r t nhi u lo i liên k t, song có 3 lo i
th ng g p nh t nh trên hình 1-5 (gi i h n xét các liên k t trong m t ph ng).
15


-

Liên k t đôi (còn g i là kh p đôi, kh p c đ nh): Lo i liên k t này nh trên
hình 1-5a) cho phép k t c u quay xung quanh kh p, nh ng không cho phép
d ch chuy n theo ph ng ngang và ph ng đ ng. V i liên k t này có 2 thành
ph n ph n l c là V và H ho c h p 2 thành ph n này thành m t thành ph n có
ph ng đi qua kh p.

-

Liên k t đ n (còn g i là kh p đ n, kh p di đ ng): Lo i liên k t này nh trên
hình 1-5b) cho phép k t c u quay xung quanh kh p và d ch chuy n theo
ph ng ngang nh ng không cho phép d ch chuy n theo ph ng đ ng. V i liên
k t này ch có m t thành ph n ph n l c là V.

-

Liên k t ngàm: Lo i liên k t này nh trên hình 1-5c) không cho phép k t c u
quay và c ng không cho phép d ch chuy n theo ph ng đ ng và ph ng
ngang. V i liên k t này có 3 thành ph n ph n l c là M, H và V. M t d ng đ c
bi t c a liên k t ngàm là lo i ngàm tr t nh trên hình 1-5.d). ây c ng là lo i
liên k t mô mem, nó không cho phép k t c u quay, d ch chuy n theo ph ng
đ ng nh ng cho phép d ch chuy n theo ph ng ngang.
D m

D m
H

B

A

D m
V

V
b)

a)

M
H

A

B
D m

D m
V
c)

D m

Hình 1-5

D m

M
V
d)

1.2.2. N i l c :
Nh ph n trên ta đã đ nh ngh a, ngo i l c là l c truy n t v t th khác sang v t
nghiên c u thông qua b m t ti p xúc. N u ta quan ni m v t là m t t p h p vô s các
ph n vô cùng nh đ c liên k t v i nhau khi trên m t ph n b m t c a v t nh n đ c
ngo i l c (ch u tác d ng c a ngo i l c), l c đó s truy n lan đi trong toàn v t thông

qua di n tích ti p xúc gi a các ph n nh v t đó. Khi đó, ta coi l c truy n t ph n này
sang ph n khác c a v t do tác d ng c a ngo i l c là n i l c.
truy n đ c n i l c
này v t li u ph i có liên k t đ b n, nói cách khác v t li u ph i đ s c kháng l i n i
l c. Do v y khi n i l c v t quá gi i h n s c kháng c a v t li u, v t s b phá h ng.
Nh v y, v n đ n i l c và s c kháng c a v t li u s là n i dung nghiên c u chính c a
16


môn h c: M t v t khi ch u tác d ng c a ngo i l c khi nào s đ
v y, tr c h t ph i xác đ nh n i l c trong v t.
S

Pn

P1

P1

A

K

Qx
Nz

A

B

My
P2
P3

x

Mx
Mz

c g i là b n? Mu n

Qy

z

P2
y

Hình 1-6

Hình 1-7

xác đ nh n i l c trong v t khi v t ch u tác d ng c a ngoai l c ng i ta dùng
ph ng pháp m t c t, ph ng pháp này cho phép bi u di n n i l c trên m t ph n v t
đ c tách ra t v t nghiên c u b ng m t m t c t t ng t ng, m t c t đó chia v t
thành hai ph n đ c l p nhau. N i l c xu t hi n trên m t c t thu c m i ph n th hi n
l c t ng tác gi a hai ph n thông qua m t c t đó. Nh v y, n i l c xu t hi n trên m t
c t thu c m i ph n xét là l c phân b di n tích; c ng đ c a chúng (c ph ng, chi u
và tr s ) có th thay đ i tu thu c vào v trí c a m t c t, t ng đi m trên m t c t và
ngo i l c tác d ng trên v t th .

Ph ng pháp m t c t cho phép ta th hi n n i l c trên m t m t c t. Theo nguyên
lý cân b ng t nh h c c a ph n v t th đ c tách ra, ta hoàn toàn có th xác đ nh đ c
thành ph n h p l c c a n i l c trên m t m t c t, đây ta ch xét n i l c trên các m t
c t ngang c a v t d ng thanh và ch n h tr c to đ vuông góc x, y, z có tr c z trùng
v i tr c thanh, tr c x,y n m trong m t ph ng c a m t c t. Khi h p các n i l c v tr ng
tâm m t c t ta nh n đ c m t véc t chính R và m t mômen chính M. Sau đó, phân
tích véc t chính R thành ba ph n theo ph ng c a các tr c to đ : NZ, QX , QY còn
mômen chính M thành ba thành ph n mômen đ i và các tr c to đ Mx, My, MZ (hình
1-6).
Các thành ph n n i l c nói trên đ c g i chung là n i l c trên m t c t ngang. M i
thành ph n có m t ý ngh a c h c riêng c a nó: N i l c NZ, có ph ng trùng v i tr c
thanh (ho c vuông góc v i m t c t) nên đ c g i là n i l c d c tr c hay n i l c pháp
tuy n; còn các thành ph n Qx, Qy có ph ng vuông góc v i tr c thanh, chúng đ c g i
là l c c t. Các mômen Mx và My đ c g i là n i l c mômen u n còn MZ g i là n i l c
mômen xo n.

17


1.3.

ng su t
Nh đã phân tích ph n trên, n i l c đ c xem xét nh là l c phân b di n tích
xu t hi n trên m t c t nghiên c u, c ng đ c a n i l c t i m t đi m trên m t c t đ c
g i là ng su t.
1.3.1. nh ngh a v ng su t
Gi s xét m t v t b t k ch u tác d ng c a m t h l c cân b ng Pi (i = 1, 2,..., n)
(hình 1-6). Tr c h t, ta g n v t vào m t h to đ thích h p, nói chung h này th ng
đ c xác đ nh đ i v i m i bài toán, trong tr ng h p v t có d ng thanh th ng ng i ta
th ng ch n h tr c to đ vuông góc x, y, z trong đó m t tr c trùng v i tr c thanh

(tr c z ch ng h n), hai tr c còn l i (x,y) thu c m t c t ngang c a thanh.
xác đ nh ng su t t i K ta t ng t ng c t qua K b ng m t m t c t S tách v t
ra thành hai ph n đ c l p nhau A và B. N i l c xu t hi n trên m t c t thu c m i ph n
th hi n trên hình 1-6).
Bây gi ta kh o sát m t ph n nh di n tích bao quanh đi m K có đ l n là ΔF.
N i l c trên ΔF có giá tr là Δp, n i l c này có c ng đ , ph ng, chi u ph thu c vào
tr ng thái cân b ng c a ph n A. C ng đ trung bình c a n i l c t i K thu c m t c t S
g i là ng su t trung bình, ký hi u là p :
p=

Δp
ΔF

(1.1)

Khi thu nh ΔF d n t i không ng su t trung bình p tr thành ng su t toàn ph n
t i K:
p = lim

ΔF→0

Δp dp
=
ΔF dF

(1.2)

Nh v y ng su t có th nguyên l c trên di n tích. Trong h th ng đ n v qu c t
(SI) đ n v ng su t là N/m2. Chú ý r ng trong m t s sách còn dùng các đ n v ng
su t là Pascal (1Pa = 1N/m2).

Có th phân tích ng su t toàn ph n p thành các thành ph n theo 3 ph
tr c to đ vuông góc đã ch n (hình 1-8b).
P1

P1

x

x
σz

Δp

z

τzy dF

P2

P2
y

y
a)

b)
Hình 1-8

18

τzx

A

A

ng c a h

z


- Thành ph n vuông góc v i m t c t, có ph ng trùng v i pháp tuy n z, đ
là ng su t pháp và ký hi u là σz, trong đó ký t z ch ph ng c a ng su t.

cg i

- Hai thành ph n ti p tuy n v i m t ph ng c t và theo hai ph ng c a h tr c to
đ x và y, chúng đ c g i là ng su t ti p. Hai thành ph n này đu c ký hi u là τzx và
τzy . Ký t th nh t (z) ch m t ph ng mà ng su t ti p n m trên đó (m t z – m t có
pháp tuy n ngoài là tr c z). Ký t th hai (x ho c y) ch
S
P1
x
ph ng c a ng su t ti p.
1.3.2. Quy c d u c a ng su t
Trên hình 1-8b) th hi n các thành ph n ng su t t i
đi m K trên m t c t thu c ph n A (ph n trái).
D u c a ng su t đ

c qui

τzx

A

K

z

σz
τzy

P2
y

c nh sau:

Hình 1-9

ng su t pháp là d ng khi là ng su t kéo, t c là có
chi u đi ra kh i m t c t, còn ng su t ti p (ch gi i h n xét trong m t ph ng) đ c
xem là d ng khi nó làm cho ph n xét quay thu n chi u kim đ ng h (xem thêm
ch ng 3).
tính toán giá tr c a sáu thành ph n n i l c k trên, ta ph i thi t l p sáu ph
trình cân b ng t nh h c cho ph n v t đang xét:
ΣX = 0

Σmx = 0

ΣY = 0

Σmy = 0

ΣZ

=

Σmz

0

=

ng

0

(1.3)
T ba ph ng trình cân b ng hình chi u ta có th xác đ nh ba thành ph n n i l c
Nz, Qx và Qy. Còn l i ba ph ng trình cân b ng mômen cho phép ta xác đ nh ba thành
ph n Mx, My va Mz.
1.4. Liên h gi a ngo i l c, n i l c và ng su t
1.4.1. M i liên h gi a ngo i l c và n i l c
Ta đã bi t khi ch u tác d ng c a ngo i l c thì trong v t th xu t hi n n i l c, do đó
gi a chúng có m i liên h v i nhau, n u trên ph n xét thì m i liên h này chính là các
ph ng trình cân b ng (1.3). C th xét cân b ng c a ph n xét (PX) (xem hình 1-7):
+ Chi u lên tr c z có:
n

N z = ∑ Z(Pi ) PX

i =1

(1.4)
+Chi u lên tr c x có:
19


n

= ∑ X(Pi ) PX

QX

i =1

(1.5)
+ Chi u lên ph

ng y có:
n

Qy = ∑ Y(Pi ) PX
i =1

(1.6)
+ L y mô men đ i v i tr c x có:
n

M X = ∑ m x (Pi ) PX
i =1

(1.7)
+ L y mô men đ i v i tr c y có:
n

M y = ∑ m y (Pi ) PX
i =1

(1.8)
+ L y mô men đ i v i tr c z có:
n

M Z = ∑ m z (Pi ) PX
i =1

(1.9)
1.4.2. M i liên h gi a n i l c và ng su t
Nh đã trình bày trên, n i l c trên m t c t là l c phân b di n tích, c ng đ
c a nó đ c bi u th b ng ng su t pháp (σ) và ng su t ti p (τ). Do v t li u phân b
liên t c nên các ng su t c ng phân b liên t c trên các m t c t và có th bi u th b ng
các hàm toán h c liên t c :
σz = σz (x,y)
τzx = τzx (x,y) ...
Khi các hàm ng su t (1.10) đ
ph n n i l c b ng các liên h sau:
Nz =

(1.10)

c xác đ nh, ta có th xác đ nh đ

∫ σ dF

Mx =

∫ σ ydF

∫τ

z

F

Qx =

∫τ
F

20

z

zx

dF

My =

∫ σ xdF

zy

dF

Mz =

∫ (τ

F

Qy =

F

F

F

c các thành

z

zx

y − τ zy x )dF

(1.11)


Trong đó: Ký t d

c t.

i d u tích phân F ch tích phân đ

c th c hi n trên toàn b m t

Các liên h (1.11) là c s đ xác đ nh ng su t khi đã bi t n i l c.
1.5. Khái ni m v bi n d ng
S thay đ i hình dáng và kích th c c a v t
khi v t ch u tác d ng c a ngo i l c đ c g i
chung là bi n d ng. Trong s c b n v t li u,
ng i ta phân bi n d ng thành hai d ng: bi n
d ng dài (còn g i là bi n d ng th ng) và bi n
d ng góc (còn g i là bi n d ng tr t).

B’
B
K’
K

y

A’
A

C
C’

x
z

đ nh ngh a v các bi n d ng này t i m t
Hình 1-10
đi m K b t k trong v t, ta xét ba đi m A, B, C
lân c n đi m K v i KA, KB, KC là các đo n th ng vô cùng bé và song song v i
ph ng c a tr c to đ x, y, z đã ch n. Khi v t ch a bi n d ng, ta có KA = Δx; KB =
)
)
)
Δy; KC = Δz, các góc CKA, BKA, BKC là các góc vuông. Sau khi v t b bi n d ng các
đi m chuy n d ch t i v trí m i K’, A’, B’ và C’. Khi đó đ dài các đo n th ng và các
góc gi a chúng b thay đ i (hình 1-10).
Ta đ nh ngh a các bi n d ng dài t ng đ i hay bi n d ng th ng t
đi m K theo các ph ng c a tr c to đ x, y, z là :
εx = lim

K ' A'−KA
KA

εy = lim

K ' B'−KB
KB

εz = lim

K ' C'−KC
KC

KA →0

KB→0

KC→0

ng đ i (ε) t i

(1.12)

Bi n d ng góc hay bi n d ng tr t t ng đ i theo các m t ph ng đi qua K và song
song v i các m t to đ là tr s tang c a hi u gi a góc vuông ban đ u và góc hình
thành gi a các đo n th ng sau bi n d ng, ký hi u là γ và các ký t ch m t ph ng.
γ xy

) ⎞
⎛Π
− A ' K ' B' ⎟
⎠
⎝2

= lim ⎜
Δx →0
Δy →0

) ⎞
⎛Π
γ yz = lim ⎜ − B' K ' C' ⎟
Δy →0
2
⎠

Δx →0 ⎝

(1.13)

) ⎞
⎛Π
γ zx = lim ⎜ − C' K ' A' ⎟
Δz →0
2
⎠
Δx →0 ⎝

21


CH

NG 2: KÉO VÀ NÉN ÚNG TÂM

2.1. Khái ni m
M t thanh đ c g i là ch u kéo (ho c nén) đúng tâm khi trên m t m i c t ngang c a
thanh ch có m t thành ph n n i l c có ph ng trùng v i tr c thanh (tr c z) g i là l c d c và
đ c ký hi u là Nz, ký t z ch ph ng c a tr c ho c c ng chính là pháp tuy n c a m t c t
ngang.
Thanh ch u kéo, nén đúng tâm r t th ng g p trong các b
ph n công trình hay chi ti t máy. Ví d : ng khói các nhà máy
(hình 2-1a) là thanh ch u nén b i chính tr ng l ng c a nó n u
ch a k t i t i tr ng gió; dây cáp dùng đ nâng v t n ng nh hình
2-1b là k t c u ch u kéo.
Ngo i l c gây ra kéo, nén trong thanh là nh ng l c ho c h p

l c c a các l c có ph ng trùng v i tr c thanh. Hình 2-2a th hi n
m t thanh th ng ch u tác d ng c a m t h l c cân b ng g m các
l c t p trung P1, P2, P3 và l c phân b đ u trên chi u dài DB có
c ng đ q, các l c đ u có ph ng trùng v i tr c (z) c a thanh.

P1= 8KN

a)

b)

A

P1

z

P2=10KN
2

1

C

1m 1
z

1m 2

q=5KN/m

D

3

a)

b)
Hình 2-1

P3=12KN
B

2m 3

Nz(1
P2

P1

c)

Nz(2

z
Nz(3

d)

q

P3

z
8KN

e) 8KN
2KN

2KN

12KN

Hình 2-2

2.2. N i l c
xác đ nh l c d c tr c (Nz) trên m t m t c t ngang nào đó trên thanh AB (hình 2-2a),
ta áp d ng ph ng pháp m t c t. Ch ng h n, ta t ng t ng c t thanh AB b ng lát c t 1-1
vuông góc v i tr c thanh, chia thanh thành hai ph n đ c l p nhau. Bây gi , ta gi l i m t
ph n, ph n trái ch ng h n.
l p l i tr ng thái cân b ng cho ph n này, ta ph i thêm vào m t
c t m t thành ph n n i l c Nz(1) (hình 2-2b). T ph ng trình cân b ng hình chi u Σz = 0 vi t
cho ph n đang xét ta đ c:
Nz(1)-P1=0 ⇔ Nz(1)=+P1=12 KN
22

(a)


D u “+” tr c P1 trong bi u th c (a) ch ng t r ng chi u tác d ng c a Nz(1) đ c gi đ nh

h ng ra kh i m t c t nh hình 2-2.b là đúng, khi đó Nz có giá tr d ng và nó đ c g i là
l c kéo. Ng c l i, Nz có giá tr âm (<0) g i là l c nén. Nh ng bi u th c (a) không th s
d ng đ tính ti p n i l c trên các m t c t khác ngoài đo n AC. Vì n u lát c t 1-1 v t qua m t
c t C (m t c t đ t l c P2) thì tr ng thái cân b ng m i c a ph n đang xét ph i k thêm c l c
P2. Do v y, đ xác đ nh n i l c Nz cho đo n CD ta ph i s d ng lát c t 2-2 (hình 2-2c). T
đi u ki n Σz = 0 vi t cho ph n trái lát c t 2-2 ta có:
Nz(2) - P1 + P2 = 0 ⇔ Nz(2) = +P1 - P2 = 8 –10 = -2 KN

(b)

Nz(2) < 0 ch ng t r ng chi u tác d ng c a Nz(2) ng c v i chi u gi đ nh trên hình 2-2c,
t c là chi u h ng vào m t c t và nó là l c nén. V i đo n DB, ta dùng m t c t 3-3 và xét
ph n thanh bên ph i, ta thêm vào m t c t m t n i l c d c tr c Nz(3) h ng ra ngoài (h ng t
ph i qua trái), nói cách khác t c là gi đ nh Nz(3) d ng. Khác v i hai đo n trên, ph n thanh
đang xét ngoài các l c Nz(3), P3 còn có các l c phân b q trên chi u dài z, (hình 2-2d), chú ý
r ng g c to đ khi xét t ng đo n có th ch n chung t i A, c ng có th ch n t i các đi m khác
nhau cho t ng đoan. Chi u c a tr c z có th là chung cho t t c các đo n theo chi u t trái
sang ph i ho c có th ch n riêng cho t ng đo n (có đo n có th ch n chi u ng c l i t ph i
sang trái). T đi u ki n cân b ng chi u Σz = 0 ta có:
Nz(3) - q.z + P3 = 0 ⇔ Nz(3) = q.z - P3 = 5.z - 12

(c)

Bi u th c (c) là m t hàm b c nh t đ i v i z.
Khi z = 0 :

Nz(3) = 5.0 – 12 = -12 KN

Khi z = 2 :

Nz(3) = 5.2 – 12 = -2 KN

T các bi u th c c a n i l c ta th y n i l c ph thu c vào to đ c a m t c t nên đ nh n
bi t s bi n thiên c a n i l c trên các m t c t d c theo tr c thanh ta v m t đ th bi u di n
giá tr c a Nz t các bi u th c (a), (b) và (c) theo to đ c a m t c t trên m t h tr c to đ
vuông góc, v i m t tr c đ c ch n là tr c song song v i tr c thanh, còn tr c kia đ c ch n
là tr c bi u th giá tr c a l c d c ng v i t ng m t c t v i t l thích h p. M t đ th nh v y
đ c g i là bi u đ n i l c – bi u đ l c d c (Nz) (xem thêm m c 7.2.2 ch ng 7). Hình 2-2e
th hi n bi u đ l c d c (Nz) c a thanh AB. Bi u đ này cho ta bi t di n bi n c a n i l c
trong thanh.T bi u đ này ta nh n th y r ng trên các đo n AC và CD n i l c trên các m t c t
là nh nhau, đ ng bi u di n là các đ ng th ng song song v i tr c hoành nh ng đo n AC
ch u kéo, (n i l c Nz > 0), đo n CD ch u nén (n i l c Nz< 0). Còn trong đo n DB n i l c thay
đ i b c nh t d c theo tr c thanh, do v y đ ng bi u di n là đ ng th ng nghiêng v i tr c
hoành v i h s góc chính b ng tr s l c phân b đ u q. (xem l i bi u th c (c)). M t khác,
bi u đ Nz trên hình 2-2e còn cho ta nh n bi t đ c m t c t nào trên thanh có tr s n i l c
kéo, nén l n nh t, đó là m t c t A ch u kéo l n nh t v i Nz(A) = 8 KN và m t c t B có
Nz(B) = -12KN là m t c t ch u nén l n nh t. Các nh n xét trên s giúp ta ki m soát đ c d ng
các bi u đ đ v đúng và xác đ nh đ c các m t c t nguy hi m - m t c t có n i l c ho c ng
su t l n nh t, s đ c phân tích ti p các ph n
th
m tc t
sau.

2.3. ng su t
2.3.1.

a)

ng su t pháp trên m t c t ngang

N i l c Nz đ c xác đ nh ph n trên, th c
ch t là h p c a n i l c pháp tuy n σz phân b

l
P

P

b)
l + Δl
Hình 2-3

23


trên m t c t ngang, liên h gi a Nz và σz đ
N z = ∫ σ z dF

c bi t trong công th c (1.11)

ch

ng 1:

(2.1)

F

Do v y, v n đ đ t ra trong ph n này là ph i tìm m t bi u th c σz phù h p đ làm th a
mãn bi u th c trên khi mà giá tr c a Nz đã bi t. Tìm m t bi u th c toán h c σz đ tho mãn

(1.11) không ph i đ n gi n, mà th ng ph i d a vào các quan sát th c nghi m đ r i t đó
đ a vào các gi thi t đ làm gi m đ ph c t p c a bài toán.
Ta quan sát thí nghi m kéo m t thanh th ng m t c t không đ i, tr c khi cho thanh ch u
kéo ta v ch trên b m t c a thanh nh ng v ch d c song song v i tr c và các v ch ngang
vuông góc v i tr c thanh, t o thành m t l i ô vuông, trong đó các v ch d c thanh đ c tr ng
cho các th d c, các v ch ngang đ c xem là v t c a m t c t ngang (hình 2-3a). Khi thanh
ch u kéo trong gi i h n đàn h i, ta nh n th y các v ch d c v n th ng và song song v i tr c
thanh, các v ch ngang v n th ng và các góc vuông trong các ô v n đ c b o toàn (hình 2-3b),
các hình vuông tr thành các hình ch nh t. Nh n xét trên c ng đúng v i thí nghi m nén.
T quan sát thí nghi m trên ta đ a ra các gi thi t sau:
a/ Gi thi t m t c t ph ng-gi thi t Béc-nu-li (Bernoulli):
Tr c khi bi n d ng m t c t ph ng và th ng góc v i tr c thanh, sau khi bi n d ng nó v n
ph ng và th ng góc v i tr c thanh đã bi n d ng. T gi thi t này cho phép ta kh ng đ nh r ng,
n i l c Nz gây ra bi n d ng th ng t ng đ i theo ph ng tr c thanh m i đi m trên m t c t
là nh nhau (εz = const).
b/ Gi thi t v các th d c thanh:
N u quan ni m thanh là t p h p c a vô s các th đ c ghép song song v
chúng đ c l p v i nhau thì khi thanh b kéo ho c nén m i th đ u ch u l c nh
chúng không tác d ng l n nhau theo ph ng ngang th (ph ng vuông góc v
V i gi thi t này cho phép ta kh ng đ nh t i m i đi m trên m t m t c t ngang
t n t i ng su t pháp tuy n σz, các thành ph n khác đ u b ng không.
T hai gi thi t trên và xét đ n tính đàn h i và
tính liên t c c a v t li u ta có th k t lu n: Trên m t
c t ngang c a thanh ch có m t thành ph n ng su t
pháp tuy n σz ≠ 0 và ng su t này phân b đ u trên
toàn m t c t (σz = const) (hình 2-4).

i tr c và gi a
nhau và gi a
i tr c thanh).

c a thanh ch
σz
Nz

P
Hình 2-4

Thay σz = const vào bi u th c (1.11) ta rút ra:

σz =

Nz
F

(2.2)

trong đó:
- Nz

: giá tr n i l c d c tr c t i m t c t đang xét.

-F

: di n tích c a m t c t ngang.

D u c a σz cùng d u v i Nz . ng su t d ng khi nó là ng su t kéo và ng c l i ng su t âm
khi nó là ng su t pháp nén, đ n v c a ng su t là N/m2 ho c các b i s và c s c a nó.
L u ý r ng công th c (2.2) đ c thi t l p trên c s gi thi t m t c t ph ng (gi thuy t Bécnu-li), do v y t i nh ng m t c t đ c bi t nh : m t c t đ t l c t p trung, m t c t t i nh ng v trí
thay đ i đ t ng t v kích th c, m t c t ngang qua các l khoét trong thanh v.v... gi thuy t
24

m t c t ph ng không đ c tho mãn. ng su t (σz ) t i các m t c t này phân b không đ u, có
hi n t ng t ng c c b t i các vùng chuy n ti p, ho c t i các mép l khoét. Các ng su t này
g i là ng su t c c b (σcb). Giá tr c a ng su t c c b th ng l n h n nhi u l n so v i giá
tr ng su t các m t c t bình th ng. Hình 2-5 th hi n ng su t c c b
m t vài m t c t
đ c bi t. Hình 2-5.a là bi u đ ng su t σz trên m t c t ngang qua l khoét tròn c a thanh ch u
kéo. Hình 2-5b th hi n s phân b σz trên m t c t c a thanh có m t c t thay đ i đ t ng t.
Cách xác đ nh các ng su t c c b đ c trình bày trong giáo trình lý thuy t đàn h i

2.3.2.

ng su t trên m t c t nghiêng

Nh đã ch ra ti t 2.3.1, trên m t c t ngang c a thanh ch u kéo (nén) ch có ng su t
pháp (σz) và nó đ c tính b ng công th c (2.2). Trong ph n này ta nghiên c u ng su t trên
m t c t nghiêng.
Gi s t thanh th ng ch u kéo d c tr c, t ng t ng c t thanh b ng m t lát c t ph ng
(u), nghiêng so v i m t c t ngang m t góc α hay là góc h p b i tr c u và tr c x (h 2-6a). Ký
hi u góc α> 0 khi ta l y góc α t tr c ng su t t i tr c z theo chi u kim đ ng h . Lát c t u
chia thanh thành hai ph n, ta xét ph n bên trái lát c t. G i di n tích m t nghiêng u (m t có
pháp tuy n ngoài là u) là dF thì di n tích m t c t ngang c a thanh là dF.cosα

σz =

a)

b)

Nz
F

u

Fu

σ
σcb

Nz

Nz

a)

Nz

F α

α

σz
σcb

Nz

u

v

α

b)

Nz

Nz

τuv

σu

Hình 2-6

N
σz = z
F
Hình 2-5

T 2 ph

ng trình cân b ng

∑ u = 0 và ∑ v = 0 ta có:

σ u dF − σ z dF cos α. cos α = 0
τ uv dF − σ z dF cos α.sin α = 0 ⇒

và

σ u = σ z cos 2 α

(2.3)

σz
sin 2α
2

(2.4)

τ uv =

T các công th c (2.3) và (2.4) ta nh n th y r ng ng su t pháp và ti p trên m t c t
nghiêng đi qua m t đi m nào đó ph thu c vào góc nghiêng (α). Khi α = 0 t c là khi m t
nghiêng trùng v i m t c t ngang, ng su t pháp có giá tr l n nh t :
max(σu) = σz
và

τuv = 0
25