Chuyên Đề Hệ Thức Vi- Ét Và Ứng Dụng Của Hệ Thức Vi- Ét

Chuyên đề
HỆ THỨC VI- ÉT VÀ ỨNG DỤNG
CỦA HỆ THỨC VI- ÉT
Năm học 2015- 2016
A. MỞ ĐẦU
Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài
toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng.
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích
hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của
phương trình bậc hai với các hệ số.
Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh
nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học
phổ thông .

Nội dung chính của chuyên đề gồm :
I.

Ứng dụng 1

Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

II.

Ứng dụng 2

Lập phương trình bậc hai

III.

Ứng dụng 3

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

IV.

Ứng dụng 4

Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

V.

Ứng dụng 5

VI.

Ứng dụng 6

VII.

Ứng dụng 7

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

VIII. Ứng dụng 8

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
(*)
−b − ∆
Có hai nghiệm
;
x1 =
2a
−b − ∆ − b + ∆ −2b −b
Suy ra:
x1 + x2 =
=
=
2a
2a
a
1

x2 =

−b + ∆
2a


( −b − ∆ )(−b + ∆ ) b 2 − ∆ 4ac c
x1 x2 =
=
= 2 =

4a 2
4a 2
4a
a

Vậy đặt :

- Tổng nghiệm là S :

S = x1 + x2 =

- Tích nghiệm là P : P = x1 x2 =

−b
a

c
a

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a,b,c.
Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải
toán.
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm

x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =

b) Nếu cho x = − 1 thì ta có (*) a.( − 1)2 + b( − 1) + c = 0 hay a − b + c = 0

c
a

Như vậy phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại là x2 =

−c
a

Ví dụ:
Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 (1)
2) 3 x 2 + 8 x −11 = 0 (2)
Ta thấy :

−3
Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và x2 =

−11
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 =
3

2

Bài tập áp dụng:
Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1. 35 x 2 − 37 x + 2 = 0
2. 7 x 2 + 500 x − 507 = 0
3. x 2 − 49 x − 50 = 0

4. 4321x 2 + 21x − 4300 = 0
5. x2 – mx + m – 1= 0 ( m là tham số)
6. ax2 +bx – (a +b ) = 0 ( a, b là tham số; a ≠ 0)
2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ
số của phương trình :
Ví dụ:
a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

2


c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có
một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay x1 = 2 vào phương trình ban đầu ta được :
4−4p+5 = 0 ⇒ p =

9
4

T ừ x1 x2 = 5 suy ra x2 =

5 5
=
x1 2

b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đầu ta được:

25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50

T ừ x1 x2 = −50 suy ra x2 =

−50 −50
=
= −10
x1
5

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo Vi-et ta có x1 + x2 = 7 , ta
giải hệ sau:

 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

x
+
x
=
7
 1 2
 x2 = −2
Suy ra q = x1 x2 = −18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 = 2 x2 và theo Vi-et ta có x1 x2 = 50 . Suy
ra

 x = −5
2 x22 = 50 ⇔ x22 = ( ±5)2 ⇔  2
 x2 = 5

Với x2 = −5 thì x1 = −10
Với x2 = 5 thì x1 = 10
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m2 -2 = 0 có 1 nghiệm bằng 1
Tìm m và tìm nghiệm thứ hai
2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = 0 có 2 nghiệm
Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
3. Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0. Biết hiệu hai nghiệm bằng 1
Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình
4. Tìm nghiệm của phương trình:
2
a) 5 x + 24 x + 19 = 0

2
b) x − (m + 5) x + m + 4 = 0

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3


1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ1:
Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

 S = x1 + x2 = 5
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
P
=
x
x

=
6

1 2

Theo hệ thức Vi-et ta có 

x 2 − Sx + P = 0hayx 2 − 5 x + 6 = 0
\Ví dụ 2: Cho x1 =

3 +1
2

;

x2 =

1
1+ 3

Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2

Giải: Ta có

x1 =

3 +1
2

; x2 =

1
1+

3

=

1− 3

(1 + 3 )(1 − 3 )

=

3 −1
2

1
1
3 +1
.
=
2
1+ 3
2
1
3 +1
3 +1
3 −1
+

x1 + x2 =
+
=
= 3
2
1+ 3
2
2

Nên x1.x2 =

Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là : x2 - 3 x +

1
= 0 hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0
2

Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là x1 ; x2 thỏa mãn :
1.
x1 = 8
vµ
x2 = -3
2.

x1 = 3a

vµ

x2 = a

3.

x1 = 36

vµ

x2 = -104

4.

x1 = 1 + 2 vµ

x2 = 1 − 2

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên,
hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +

1
1
và y2 = x1 +
x2
x1

Cách 1:
+ Tính trực tiếp y1 ; y 2 bằng cách: Tìm nghiệm x1 ; x 2 của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức
tính y1 ; y 2

4

Phương trình x 2 − 3 x + 2 = 0 có a + b + c = 1 + (−3) + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là
x1 = 1; x 2 = 2

Ta có y1 = x 2 +

1
1
1
1 3
= 2 + = 3; y 2 = x1 +
=1+ =
x1
1
x2
2 2

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y 2 (dạng 2.1)

3 9
=
2 2
3 9
P = y1 y 2 = 3. =
2 2

S = y1 + y 2 = 3 +

Phương trình cần lập có dạng: y 2 − Sy + P = 0 hay y 2 −

9
9
y + = 0 ( hoặc 2 y 2 − 9 y + 9 = 0 )
2
2

Cách 2:
Không tính y1 ; y 2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S = y1 + y 2 ; P = y1 y 2 sau đó lập phương trình bậc hai có
các nghiệm là y1 ; y 2
Theo Định lí Vi-et ta có:

S = y1 + y 2 = x 2 +
( x2 +

1
x + x2
1
1
1 
3 9
+ x1 +
= ( x1 + x 2 ) +  +  = ( x1 + x 2 ) + 1
= 3+ =
x1
x2
x1 x 2
2 2
 x1 x 2 

1
1
1
1 9
).( x1 + ) = x1 x 2 + 1 + 1 +
= 2 +1 +1 + =
x1
x2
x1 x 2
2 2

Phương trình cần lập có dạng: y 2 − Sy + P = 0 hay y 2 −

9
9
y + = 0 ( hoặc 2 y 2 − 9 y + 9 = 0 )
2
2

Nhận xét:
- Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có ∆ = 5 2 − 4.3.(−6) = 97 nên có hai nghiệm
vô tỉ là:

− 5 + 97
− 5 − 97
;x 2 =
6
6
Việc tính y1 ; y 2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian
x1 =

y1 = x1 +

1
6
1
6
=
; y 2 = x2 + =
x 2 5 + 97
x1 5 − 97

5
1
S = y1 + y 2 = − ; P = y1 y 2 = −
6
2
2
Phương trình cần lập: y 2 − Sy + P = 0 hay y +

5

5
1
y − = 0 ( hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )
6
2


- Cỏch 1 ch thớch hp khi phng trỡnh ban u cú nghim x1 ; x 2 l hu t do ú nờn chn Cỏch 2

vic tớnh toỏn n gin v nhanh hn, c th:
Theo nh lớ Vi-et, ta cú:
5

1
x1 + x 2
1
1
1
5
5
= ( x1 + x 2 ) +
S = y1 + y 2 = x1 +
+ x2 +
= ( x1 + x 2 ) + +
= + 3 =
x2
x1
x1 x 2
3 2
6
x1 x 2

P = y1 y 2 = ( x1 +

1
1
1
1
1

).( x 2 + ) = x1 x 2 +1 +1 +
= 2 +1 +1 +
=
x2
x1
x1 x 2
2
2

Phng trỡnh cn lp: y 2 Sy + P = 0 hay y 2 +

5
1
y = 0 (hay 6 y 2 + 5 y 3 = 0 )
6
2

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phơng trình

x1 x 2 = 5
3
3
x 1 x 2 = 35

thoả mãn hệ:

Giải: Điều kiện = p2 - 4q 0 (*) ta có:
x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện:

( x 1 x 2 ) 2 = 25

x1
x2 =
5


3
2
2
x1
x3
35

2 =
( x 1 x 2 )( x1 + x1 x 2 + x 2 ) = 35
( x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 25


2
(
)
5
x
+
x

2
x
x
+
x

x
=
35
1
2
1 2
1 2


(

)

2

p 4.q = 25
2

p q = 7

Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)
Bi tp ỏp dng:
1/ Cho phng trỡnh 3 x 2 + 5 x 6 = 0 cú 2 nghim phõn bit x1 ; x2 . Khụng gii phng trỡnh, Hóy lp
phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 = x1 +
2
ỏp s: y +

1
1

v y2 = x2 +
x1
x2

5
1
y = 0 hay 6 y 2 + 5 y 3 = 0 .
6
2

2/ Cho phng trỡnh : x 2 5 x 1 = 0 cú 2 nghim x1 ; x2 . Hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n y tho món
y1 = x14 v y2 = x24 (cú nghim l lu tha bc 4 ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho).
(ỏp s : y 2 727 y + 1 = 0 )

6


3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai
có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3

b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1

Đáp số :
a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0
b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0 .
4/: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình

x 2 + mx − 2 = 0
5/ Cho phương trình x 2 − 2 x − m 2 = 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các

nghiệm y1 = 2 x1 − 1; y 2 = 2 x 2 − 1
6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn

 x1 − x 2 = 2
 3
3
 x1 − x 2 = 26
Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x 2
- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x 2 tìm được.
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
(điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )
x 2 − Sx + P = 0
Ví dụ1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 nên a , b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6
1

Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 6 = 0

∆ = 3 2 − 4.1.6 = 9 − 24 = −15 < 0
Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài
* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
S 2 − 4 P = 3 2 − 4.6 = 9 − 24 = −15 < 0 nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài mà
chưa cần lập phương trình
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết tổng S và tích P

1. S = 3
và
P=2
−
2. S = 3
và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x
và
P = x 2 − y2
7


Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn:
1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức Vi- et thì cần tìm tích của a và b.
T ừ a + b = 9 ⇒( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
2

2

2

81 − ( a 2 + b 2 )

2

= 20

x1 =4
2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x −9 x +20 =0 ⇔
x2 =5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1:
Đặt c = − b ta có: a + c = 5 và a.c = − 36
4
x1 =−
x2 =9

2
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x −5 x −36 =0 ⇔


Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4
Cách 2:

Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2

2

2

2

a +b =−13
2
⇒( a +b ) =132 ⇒
a +b =13
 x1 = −4
2
*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x + 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = −9
Vậy a = −4 thì b = −9

 x1 = 4
 x2 = 9

2
*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x − 13 x + 36 = 0 ⇔ 

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

 a + b = − 11
2
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 
 a + b = 11

 x1 = − 5
 x2 = − 6

2
*) Nếu a + b = − 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x + 11x + 30 = 0 ⇔ 

Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5

 x1 = 5
 x2 = 6

2
*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x − 11x + 30 = 0 ⇔ 

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
8


IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu
thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2
a) x1 + x2 = ( x1 + 2 x1 x2 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
2

Ví dụ 1

2

2

2

(

2

)
=(x +x )

3
3
2
2
b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) x1 − x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 )  ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 

c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 ) 2

2



2 2
2

2
1

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2

x1 x2

d)


2

− 2 x12 x22 =  ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x22

x1 − x2 = ?

Ví dụ 2

Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ±
2

( x1 + x2 )

2

2

− 4 x1 x2

Bài tập áp dụng:Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau để làm xuất hiện :
( x1 + x2 ) và x1 x2 :

= ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….)

1.

x12 − x22

(

2.

x13 − x23

2
2
2
( = ( x1 − x2 ) x1 + x1 x2 + x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =……. )

(

3. x1 − x2
4

4.

( = x1 + x2

4

2 3

5. x1 − x2
9.

2

)

2
1

6

x1 − x2

2 3

(

2

2

6. x1 + x2
5



− x22 ) =…… )

( = ( x1 ) + ( x2 ) = x1 + x2

x16 + x26
6

2

(
)(x

5

)(x

7.

4
1



− x12 x22 + x24 ) = ……..)

x17 + x27

8.

1
1
+
x1 − 1 x2 − 1

10 . x1 + x2

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính
1.

x12 + x22

3.

x1 x2
+
x2 x1

2.

1 1
+
x1 x2

4. ( x1 + x2 )

2

b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1
+
x1 x2

2.

x12 + x22

c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
9


1.

1 1
+
x1 x2

2.

x12 + x22

d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1
+
x1 x2

4.

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1

2.

1 − x1 1 − x2
+
x1
x2

3.

x12 + x22

e) Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
Q=
5 x1 x23 + 5 x13 x2
Hướng dẫn:
Ta có x1 + x2 = −

b
c
= 8; x1 x2 = = 15
a
a

2
2
2
2

1. x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 8 − 2.15 = 64 − 30 = 34

2.

x + x2
1
1
8
+
= 1
=
x1 x2
x1 x2
15

x1 x2 x12 + x2 2 34
+ =
=
x
x
x
x
15
2
1
1
2
3.
4.Đáp số : 46
e)HD:

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
6.(4 3) 2 − 2.8
17
Q=
=
=
=
2
2
5 x1 x23 + 5 x13 x2
5 x1 x2  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8  (4 3) − 2.8 80


Đáp số :
9

 14 

5

b1 =  ÷ ; b2 = (65) ; c1 =  ÷ ; c2 = 138 ; d1 = 3 ; d2 = 1; d3 = 1 ; d4=  ÷ .
8
 29 
6
Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

10


- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm x1 và x2.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghiệm

x1 ; x2 . Lập hệ thức liên hệ

giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m ≠ 1
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
m − ( m − 1)( m − 4) ≥ 0
m ≥ 5

Theo hệ thức Vi- et ta có :

2m
2


 x1 + x2 = m − 1
 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔

 x .x = m − 4
 x .x = 1 − 3 (2)
1 2

 1 2
m −1
m −1

Rút m từ (1) ta có :

2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
m −1
x1 + x2 − 2

(3)

Rút m từ (2) ta có :
3
3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =

m −1
1 − x1 x2

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
4
5

Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
2
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh rằng biểu thức

A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

m − 1 ≠ 0
⇔

∆
'
≥
0


m ≠ 1
⇔
 2
m
−
(
m
−
1)(
m
−
4)
≥
0


m ≠ 1
m ≠ 1

⇔
4

5m − 4 ≥ 0  m ≥
5

11


Theo hệ thức Vi- et ta c ó :

2m

 x1 + x2 = m − 1

 x .x = m − 4
1 2
m −1


thay vào A ta có:

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8( m − 1)
0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
Ví dụ 3: Cho Phương trình mx 2 − (2m + 3) x + m − 4 = 0 ( m là tham số)
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
Giải:

a) Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì

m ≠ 0
a ≠ 0
m ≠ 0

⇔
⇔
9

m
≥
−
 ∆ ≥ 0  28m + 9 ≥ 0

28
b) Theo định lí Vi-et ta có:

2m + 3
3

 x1 + x2 = m = 2 + m (1)

 x x = m − 4 = 1 − 4 (2)
 1 2
m
m

3
12

= x1 + x2 − 2 ⇒ = 4( x1 + x2 ) − 8(3)
m
m
4
12
(2) ⇒ = 1 − x1 x2 ⇒ = 3 − 3 x1 x2 (4)
m
m
(1) ⇒

Từ (3) và (4) ta được: 4( x1 + x2 ) − 8 = 3 − 3 x1 x2 hay 4( x1 + x2 ) + 3x1 x2 = 11
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
2
1. Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa

x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
12


Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0
2

2

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức Vi- et ta có

 x1 + x2 = m + 2
⇔

 x1.x2 = 2m − 1

 m = x1 + x2 − 2(1)


x1 x2 + 1
m
=
(2)

2

Từ (1) và (2) ta có:

x1 + x2 − 2 =

x1 x2 + 1
⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1x2 − 5 = 0
2

2
2. Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 . có 2 nghiệm

x1 ; x2 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức Vi- et ta có

 x1 + x2 = − (4m + 1)
⇔

x
.
x
=
2(
m
−
4)
 1 2

 4m = − ( x1 + x2 ) − 1(1)

 4m = 2 x1 x2 + 16(2)

Từ (1) và (2) ta có:

− ( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
3.Cho phương trình : 2x2 + (2m -1 )x +m -1 =0
Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Khi m ≥ 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
Theo hệ thức Vi- et ta có

 x1 + x2 = 2m − 2(1)


2
 x1.x2 = m − 3m(2)
x1 + x2 + 2
2
x + x + 2 2 3 x1 + x2 + 2
) − (
)
Do đó : x1 x2 = ( 1 2
2
2
2
4. Cho phương trình: (m- 1).x2 -2mx +m+1 = 0
Từ (1) ta có: m=

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn:
13


+ m=1 .PT có dạng: -2x +2 = 0 . Với m=1 , pt luôn có nghiệm
+ m ≠ 1. Pt luôn có nghiệm
Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm x1 và x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi- et ta có

 x1 + x2 = 2m − 2(1)

2
 x1.x2 = m − 3m(2)
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA

NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1 .x2
Bàigiải:Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 là

 m ≠ 0
⇔

2
 ∆ ' =  3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0

 m ≠ 0
⇔

2
2
 ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0

 m ≠ 0
⇔

 ∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0

m ≠ 0
Th

 m ≥ −1

6(m − 1)

 x1 + x2 = m
eo h ệ th ức Vi- et ta c ó: 
v à từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:
9(
m
−
3)
x x =
 1 2
m

6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m
(t/mãnđiều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Ví dụ 2: Cho phương trình mx 2 − 2(m − 4) x + m + 7 = 0 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có
hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 − 2 x2 = 0
Nhận xét:
Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1 + x2 và x1 x2 nên ta không thể áp dụng
ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

14


Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 + x2 và

x1 x2 rồi tìm m như ví

dụ trên.

m ≠ 0

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 là: 
16
m ≤ 15

−(m − 4)

 x1 + x2 =
m
Theo định lí Vi-et ta có: 
(1)
x x = m + 7
 1 2
m
2
2
Ví dụ 3: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :

∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0

⇔ 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 − 8 ≥ 0
7
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥
4
 x1 + x2 = 2m + 1

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

2
 x1 x2 = m + 2

và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra

3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
 m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Ví dụ 4: Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 5 = 0
a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m.
b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:
( x12 − 2mx1 + 2m − 1)( x22 − 2mx2 + 2m − 1) < 0

Giải:
a) ∆ ' = m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0, ∀ m ⇒ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

15


2

 x1 − 2(m − 1)x1 + 2m − 5 = 0
b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:  2

 x 2 − 2(m − 1)x 2 + 2m − 5 = 0
2

 x1 − 2mx1 + 2m − 1 = 4 − 2x1
⇒ 2

 x 2 − 2mx 2 + 2m − 1 = 4 − 2x 2

 x1 + x 2 = 2m − 2
 x1.x 2 = 2m − 5

Theo định lí Vi-et ta có : 

Theo bài ra ta có :
(x12 − 2mx1 + 2m − 1)(x 22 − 2mx 2 + 2m − 1) < 0

⇔ ( 4 − 2x1 ) . ( 4 − 2x 2 ) < 0 ⇔ 16 − 8 ( x1 + x 2 ) + 4x1x 2 < 0
⇔ 16 − 8 ( 2m − 2 ) + 4 ( 2m − 5 ) < 0 ⇔ m >

3
2

Bài tập áp dụng
2
1. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3x2 = 1
2
2. Cho phương trình : 3x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
2
3. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
4. Cho phương trình 8 x 2 − 8 x + m 2 + 1 = 0 (*) (x là ẩn số)
Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện:
x14 − x24 = x13 − x23
2

5. Cho phương trình x – (m+1)x + m – 5 = 0

 x1 − x2 = 4
Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn  x3 − x 3 = 32
 1
2
1

2

6. Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là độ
hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5.
7. Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12
8. Cho phương trình x 2 − 3x + m = 0 (1) (x là ẩn).
Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
16

dài


x12 + 1 + x22 + 1 = 3 3 .
9. Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
2
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2mx 2 = 9

Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở
chỗ
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm

x1 x2 nên ta có thể

vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-et để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở
đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích
nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐK: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96

 x1 + x2 = 1 − m
(1)
 x1 x2 = 5m − 6

- Theo Vi-et: 

 x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]

- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
(2)
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1

m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ 
(thoả mãn ĐKXĐ)
m = 1
BT2: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

3m − 2

x
+
x
=
1
2

3

(1)
- -Theo Vi-et: 
−
(3
m
+
1)
x x =
 1 2
3
8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6]

- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6
(2)
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 
 m = − 32
15

16
BT3: - ĐK: m ≠ 0 & m ≤
15
Do x1 , x2 có vai trò như nhau. Giả sử x1 = 2 x2 ⇔ x1 − 2 x2 = 0
17

(thoả mãn )

−(m − 4)

x
+
x
=
1
2

m
(1)
-Theo Vi-et: 
m
+
7
x x =
 1 2
m
 x1 + x2 = 3x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
2( x1 + x2 ) = 3x1
2
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128

BT 4: ∆’ = 16 − 8m 2 − 8 = 8(1 − m 2 ) .
Khi m = ±1 thì ta có ∆’ = 0 tức là : x1 = x2 khi đó x14 − x24 = x13 − x23 thỏa
Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: m < 1 hay − 1 < m < 1 .
Khi m < 1 hay − 1 < m < 1 ta có
2

2
2
2
2
2
x14 − x24 = x13 − x23 ⇔ ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 + x1.x2 )

⇔ ( x1 + x2 ) ( x12 + x22 ) = ( x12 + x22 + x1.x2 ) (Do x1 khác x2)

2
⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  = ( x1 + x2 ) 2 − x1.x2 ⇔ S ( S 2 − 2 P) = S 2 − P



⇔ 1(12 − 2 P ) = 12 − P (Vì S = 1)
⇔ P = 0 ⇔ m 2 + 1 = 0 (vô nghiệm)
Do đó yêu cầu bài toán ⇔ m = ±1
2
2
BT5 .H D: ∆ = (m + 1) − 4( m − 5) = ( m − 1) + 20 > 0∀m

Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 5
3

3

Theo giả thiết: x1- x2 = 4 và x1 –x2 = 32 nên ta biến đổi:
3

3

2

2

2

2

x1 –x2 = (x1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) – x1x2) = 4((m+1) – (m-5)) = 32
2

m = 1

⇔m +m+6=8 ⇔ 
 m = −2

Cả hai giá trị của m=1 hoặc m=-2 đều thỏa mãn.
BT 6 HD: (x12 + x22 = 5)
BT 7 HD: Ta có ∆ ' = ( m + 1) − 4m = ( m − 1) ≥ 0 vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
2

2


 S = 2 ( m + 1)

 P = 4m

Áp dụng định lí Vi-et ta có: 

18


Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m2 – 12 = 0, khi và chỉ khi : 4m +
m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2
BT8 HD: Tìm m để x1 , x2 thỏa mãn

x12 + 1 + x22 + 1 = 3 3
9
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 9 − 4m > 0 ⇔ m < (1)
4

Theo định lí Viet x1 + x2 = 3, x1 x2 = m . Bình phương ta được x12 + x22 + 2 + 2 ( x12 + 1)( x22 + 1) = 27

⇔ x12 + x22 + 2 x12 x22 + x12 + x22 + 1 = 25 .
Tính được x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 9 − 2m và đưa hệ thức trên về dạng m2 − 2m + 10 = m + 8
(2)
⇒ m 2 − 2m + 10 = m 2 + 16m + 64 ⇔ 18m = −54 ⇔ m = −3 .
Thử lại thấy m = −3 thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1).
5
2
BT9. Đ/a: Vậy m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 : x1 + 2mx 2 = 9
3
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:
trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:

S = x1 + x2 P = x1 x2

Dấu nghiệm
x1
x2
m
±
trái dấu
P<0
±
±
cùng dấu,
P>0
cùng dương,
+
+
S>0
P>0
−
−
cùng âm
S<0
P>0
Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:

∆
∆≥0
∆≥0
∆≥0
∆≥0

Điều kiện chung

∆ ≥ 0 ; P < 0.
∆≥0 ;P>0
∆≥0 ;P>0;S>0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.

2 x 2 − ( 3m + 1) x + m2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Giải
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.( m 2 − m − 6) ≥ 0
∆ = (m − 7) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3



m −m−6
P
=
(
m
−
3)(
m
+
2)
<

0
P
=
<
0
P < 0



2

Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x +6m +1 =0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2
Giải
19


Đặt x = t+2 ( t>0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 2mt +2m- 3=0 (*)
Phương trình dã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dương

m 2 − (2m − 3) ≥ 0
∆ ' ≥ 0
3


⇔  P > 0 ⇔  2m − 3 > 0
⇔m>
2
S > 0

 2m > 0


Vậy với m >

3
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2.
2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm m để phương trình:
2
1. mx − 2 ( m + 2 ) x + 3 ( m − 2 ) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

2
2. 3mx + 2 ( 2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm.

3. ( m − 1) x + 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
2

4 . x2- (2m-3)x +m2 -3m = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1< x1 < x2 < 6
Bài 2. Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m .
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm đó .
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa mãn −1d) Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 , hãy lập một hệ thức
giũa x1 và x2 không có m
VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
A+ m

C=
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)
k − B
Thì ta thấy : C ≥ m (v ì A ≥ 0 ) ⇒ min C = m ⇔ A = 0
C ≤ k (v ì B ≥ 0 )

⇒ max C = k ⇔ B = 0

2
Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :

A = x12 + x22 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
20


 x1 + x2 = −(2m − 1)
Bài giải: Theo Vi-et: 
 x1 x2 = −m
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8x1 x2
2

Theo đ ề b ài :

= ( 2m − 1) + 8m
2

= 4m 2 − 12m + 1
= (2m − 3) 2 − 8 ≥ −8

Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m =

3
2

Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của

biểu thức sau:
B=

2 x1 x2 + 3
x12 + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)

 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức Vi-et thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3
2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2

m +2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
m − 1)
(
B=
= 1− 2
m2 + 2
m +2
Vì ( m − 1) 2 ≥ 0 ⇒

( m − 1)

2

m2 + 2
Vậy max B=1 ⇔ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:

≥ 0 ⇒ B ≤1

1 2
1
1 2
1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )

(
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2

Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

2

2 ( m + 2)
2

≥0⇒ B≥−

1
2

1
Vậy min B = − ⇔ m = −2
2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B
để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
21


B=

2m + 1
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
2
m +2

(Với m là ẩn, B là tham số) (**)

Ta có: ∆ = 1 − B(2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay

Vậy:


1

B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2



1
B ≥ 1
B −1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

max B=1 ⇔ m = 1
1
min B = − ⇔ m = −2
2

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện:

a > 0
a c

Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)
 =
b
a

a + b + c = abc
bc = a 2
Giải: Từ giả thiết bài toán ta có: 
3
b + c = abc − a = a − a
Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0
⇒ ∆ = (a3 - a)2 - 4a2 ≥ 0 ⇔ a2 [(a2 - 1)2 - 4] ≥ 0
⇔ (a2 - 3) (a2 + 1) ≥ 0 ⇔ a2 - 3 ≥ 0 ⇔ a2 ≥ 3
⇒a≥

3 (a > 0) ⇒ min a =

Vậy: amin =

3 tại b = c =

3 tại b = c = 3

3

Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c.
Bài tập áp dụng

2
1. Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .
Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ nhất.
2

2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 .
2
2
Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≥ 10 .
3. Cho phương trình : x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0

22


Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
2
2
b) B = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn Ta có ∆ ’ = (m+4)2 – (m2-8) = m2 + 8m + 16 – m2 + 8 = 8m + 24
Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì: ∆ ’ ≥ 0 ⇔ 8m + 24 ≥ 0 ⇔ m ≥ - 3
Ta có: x1 + x2 = 2(m+4); x1x2 = (m2 – 8)
a)A = x1 + x2 – 3x1x2 = 2m+ 8 - 3(m2 – 8) = -3m2 + 2m + 32
1 97
1
97 97
2
A = -3(m2 - m + ) + = −3(m − ) 2 + ≥
3
9

3
3
3
3

Vậy Max A =

97
1
. Dấu ‘=’ xảy ra khi m =
3
3

4. Cho phương trình : x 2 − ( m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 .
2
2
Với giá trị nào của m, biểu thức C = x1 + x2 dạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Ta có: x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( m − 1) 2 − 2(− m 2 + m − 2)
2

2

= m − 2m + 1 + 2m 2 − 2m + 4 = 3m 2 − 4m + 5

4
5
2 4 11

= 3  m 2 − m + ÷ = 3(m 2 − 2m + + )

3
3
3 9 9


2
11 11
= 3(m − ) 2 + ≥
3
3 3
Vậy GTNN của

(x

2
1

)

+ x22 là

2
11
khi m =
3
3

5. Cho phương trình x 2 + (m + 1) + m = 0 .
2
2

Xác định m để biểu thức E = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Cho phương trình x2−mx+m−1=0.
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
2 x1 x2 + 3
A= 2
x1 + x2 2 + 2( x1 x2 + 1)
 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức Vi -ét thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3
2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2
m +2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − m 2 − 2m + 1
m − 1)
(
B=
= 1− 2
m2 + 2

m +2

(

)

23


Vì ( m − 1)

2

( m − 1)
≥0⇒

2

≥ 0 ⇒ B ≤1
m2 + 2
Vậy max B=1 ⇔ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )
(

m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2

Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

2

2 ( m + 2)
2

≥0⇒ B≥−

1
2

1
⇔ m = −2
2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B
để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2m + 1
B= 2
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
m +2
Ta có: ∆ = 1 − B(2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay
Vậy min B = −

Vậy:


1
 B ≤ − 2
 2 B + 1 ≤ 0


1
  B ≥ 1
B −1 ≥ 0

⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1

2

  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

max B=1 ⇔ m = 1

min B = −

1
⇔ m = −2
2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm m để phương trình x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 − 3 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
2
2
b) B = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho phương trình x 2 + (4m + 1) x + 2(m − 4) = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 .
2
Tìm m để A = ( x1 − x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )

(

)

4
2
2
2
Cho phương trình m + 1 x − m x − (m − 2m + 2) = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1
24


b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1 + x2
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)
Cho phương trình x 2 − (3m − 1) x + 2(m 2 − 1) = 0 (1) ,(m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 + x2 2
Bài 5: Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 . Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2
2
2
thỏa mãn x1 + x2 ≥ 10 .

Bài 6: Cho phương trình x 2 + (m − 2) x − 8 = 0 , với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Q = ( x12 − 1)( x22 − 4) có giá trị lớn nhất.
HD: ∆ = ( m − 2 ) + 8 > 0 với mọi m. Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2

−8
x1
64
16
Q = ( x12 − 1)( x22 − 4) = ( x12 − 1)( 2 − 4) = 68 − 4( x12 + 2 ) ≤ 68 − 4.8 = 36
x1
x1
16
2
(Do x1 + 2 ≥ 8) . Ta có Q = 36 khi và chỉ khi x1 = ± 2
x1
Khi x1 = 2 thì m = 4, khi x1 = -2 thì m = 0. Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q = 36 khi và chỉ khi
m = 0 hay m = 4 .

Do x1 x2 = −8 nên x2 =

25