Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (864.59 KB, 13 trang )
NG THPT LONG TH NH
:
ie
u
Chuyên
.c
om
TR
vh
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
w
w
w
.g
NG D NG
H N 300 BÀI T P T
C B N
TH
BÀI T P TÍCH PHÂN TRONG
N NÂNG CAO
NG G P TRONG
THI T T NGHI P
I H C CAO
NG T
2003 – 2014
(Tài li u dành cho nhóm h c sinh khá - gi i ôn thi TNQG)
Tác gi :
THI
ng Trung Hi u
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
ng d ng – 0939.239.628
M cl c
A. Nguyên hàm ............................................................................................................... 2
I. Nguyên hàm c b n .......................................................................................... 2
II. Nguyên hàm h u t .......................................................................................... 2
III. Tìm nguyên hàm b ng ph
IV. Ph
ng pháp
i bi n ............................................... 3
ng pháp t ng ph n ................................................................................. 4
V. Tìm nguyên hàm th a i u ki n ....................................................................... 4
om
B. Tích phân ................................................................................................................... 5
I. Tích phân có tr tuy t
III. Ph
ng pháp
i bi n ...................................................................................... 5
ng pháp t ng ph n .................................................................................. 6
.c
II. Ph
i .................................................................................. 5
ie
u
C. Bài t p tích phân t ng h p ......................................................................................... 7
D. Bài t p tích phân trong k thi T t nghi p,
ng (2003-2014) ............ 8
ng d ng c a tích phân ............................................................................................. 10
vh
E.
i h c – Cao
B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM ........................................................................ 11
CÔNG TH C L
NG DÙNG ........................................................ 12
w
w
w
.g
NG GIÁC TH
Tài li u này
c so n và tham kh o t các sách sau:
1. Tích phân – Chuyên Lê H ng Phong (Tr n
c Huyên)
2.Bài t p nâng cao gi i tích 12 (Nguy n Huy oan)
3. Ph
ng pháp gi i Toán 12 theo chuyên
(Phan Doãn Tho i)
4. Nâng cao phát tri n tốn 12 (Phan Huy Kh i)
5. Ơn t p tốn 12 c b n và nâng cao (Tr n Ph
ng Dung)
6. Gi i tốn gi i tích 12 (Tr n Duy Hi u)
7. Gi i tích 12 theo chuên
8. Gi i tích,
, t p 2 (Phan Huy Kh i)
i s t h p (Tr n V n H o)
9. Tích phân (Tr n Ph
ng)
10. Bài t p gi i tích 12 c b n và nâng cao (NXBGD)
11. Và các tài li u trên m ng Internet
H u h t các bài gi i, áp s c a bài t p
Biên so n:
u có trong các sách trên
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
1
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
Chuyên
ng d ng – 0939.239.628
: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
“ Ngun hàm – Tích phân là m
t ch
r t r ng, bài t p a d ng và r t nhi u th lo i, các k thu t
gi i c ng r t nhi u và òi h i ng i h c có r t nhi u ki n th c liên quan.
Trong chuyên nh này, tác gi c g ng h th ng l i các bài t p và nh ng ph ng pháp ph
bi n, thông d ng nh t gi i quy t các bài tốn ngun hàm tích phân th ng xu t hi n nh t trong
thi T t nghi p THPT Qu c Gia,
ng hàng n m. ”
i h c – Cao
A. NGUYÊN HÀM
1
I. Nguyên hàm c b n, m r ng theo
b) . (5 ó 4 x)ó5 dx
e) . 3 (3 ó x ) 7 dx
f) .
i) . e5ó7 x dx
j) .
c) .
3dx
2dx
k) . cos(4 x ó 5)dx
7 x ó5
P ( x)
Q( x)
II. Nguyên hàm các hàm h u t
h) .
n gi n:
dx
5
4ó x
3
l) . sin 2 (5 ó 6 x)dx
vh
e
1
dx
3x ó 2
d) . 5 x ó 7dx
ie
u
ø 4 x ó 6÷
g) .
3
2
dx
2
(4 ó x ) 6
5
.c
a) . (5 x ó 7)10 dx
om
. f (ax õ b)dx ã a F (ax õ b)
ng h p 1: N u b c P( x) m Q( x) thì chia a th c r i tìm cách làm ti p.
Tr
ng h p 2: B c P(x)
w
w
w
.g
Tr
Sau ó tìm cách tách ra nhi u phân th c con.
1
A
:
B
C
. (ax õ b)(cx õ d ).(ex õ f )... dx ã . 9 ax õ b õ cx õ d õ ex õ f
8
Tr
*
õ ... ) dx
(
ng h p 3: N u m u Q( x) ã ax 2 õ bx õ c vơ nghi m, thì tìm cách
. ax
2
1
1
1
dx ã .
õ bx õ c
a ( x õ )2 õ
2
dx
R il
a v d ng
tan t .
ng giác hóa b ng cách
t xõ
3x2 ó 6 x õ 5
. 4 ó 3x dx
d) .
1
dx
(4 x ó 5)(3 ó 2 x)
h) .
2x ó 3
dx
3x ó 2 x ó 1
ã
1. Tìm các nguyên hàm sau:
5x ó 6
dx
3x ó 1
c)
f) .
1
dx
9 ó 4 x2
g) .
ó2
dx
4x õ 7 x õ 3
j) .
x4
dx
x4 ó 5x2 õ 4
k) .
dx
( x ó 4 x õ 3)( x 2 ó 4 x õ 4)
n) .
2x ó 3
dx
(1 ó 3x)(5 x 2 ó 6 x ó 11)
a) .
1
dx
3 ó 2x
b) .
e) .
5
dx
x ó 16
i)
2
4
. x 4 ó 7 x2 õ 6 dx
l) .
1
dx
x( x ó 1)( x ó 2)
Biên so n:
m) .
1
dx
( x õ 1)( x ó 1) 2
2
2
2
p) .
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
1
x( x 2 õ 1)
dx
2
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân III. Ph ng pháp i bi n:
Ghi nh :
và
. f (u )du ã F (u ) õ C
x
x
ng d ng – 0939.239.628
1
. f (ax õ b)du ã a F (ax õ b) õ C
Vi phân: dy ã y '.dx
1. Hãy tính các vi phân sau: (cơng th c vi phân dy ã y '.dx )
2
x
b) d ( )
e) d ( 2 x ó 5 x õ 1)
2
c) d (ln x)
f) d (e tan 2 x)
:
1
g) d 9
9 (5 ó 4 x )3
8
x
2. Hãy tìm các ngun hàm sau ( i bi n
d) d (sin x)
*
)
)
(
a v áp d ng tr c ti p
Ví d : Tìm ngun hàm I ã . x x 2 õ 1dx
t u ã x 2 õ 1 B u 2 ã x 2 õ 1 B 2udu ã 2 xdx B dx ã
udu
u
ã . u 2 du ã
x
3
Cách 2: I ã . x x 2 õ 1dx
i) .
1
1
sin dx
2
x
x
f) .
cos x õ sin x
dx
sin x ó cos x
: 1
e tan x *
2 2 x3 ó5
õ
dx
) dx n) . x e
2
8 x ln x cos x (
m) . 9
r) . ( x õ 1)e
x2 õ 2 x
dx
v) . tan 2 xdx
e2 x
dx
s) .
1õ ex
w) . cot xdx
3. Tìm các nguyên hàm sau: ( i bi n
k) .
sin x
2
cos x
dx
3x 2 õ 2 x
dx
x3 õ x 2 õ 5
p) . sin x 2cos x ó 1 dx
6x
t) . x x dx
9 ó4
1
y) . 6 dx
cos x
1
3
ã
d) .
ø
÷
3
x2 õ 1 õ C
x
dx
(1 õ x 2 )3
h) . cos x sin 3 x dx
l) .
eó x
dx
1 õ eó x
1
dx
x ln x ln(ln x)
q) .
e2 x dx
u) .
1 õ ex õ 1 ó ex
dx
z) .
1 õ ex
t u=...)
e 2 x ó2
dx
2x ó 2
d) .
1
1õ x
ln
dx
2
1ó x
1ó x
1
dx
x
e ó eó x
g) .
1 õ x6
dx
x
h) .
(2sin x õ 3) cos x
dx
sin x ó 1
x5
dx
x 6 ó x3 ó 2
f) .
Biên so n:
3
1 2
ã . ( x 2 õ 1) 2 õ C
2 3
c) .
b) .
i) . x(3 ó x)5 dx
3
dx
a) . x 3 3 x 2 ó 5 dx
e) .
3
g) . 3
8 x ó 10
dx
2 x2 ó 5 x õ 7
j) .
÷ õC
c) . x x dx
(ln x )3
dx
x
)
x
udu
x
2
b) . x 2 3 1 õ x 3 dx
w
w
w
.g
e) .
x2 õ 1
1
1
( x 2 õ 1) 2 d ( x 2 õ 1)
2.
vh
a) . x( x 2 ó 6) ó7 dx
ã
ø
õC ã
x
.c
V y I ã . x.u.
3
*
)
)
(
. f (u )du ã F (u ) õ c
ie
u
Cách 1:
2
: e4ó2 x
h) d 9
9 sin x
8
om
a) d ( x 2 )
sin x
3
3
x2
j) . x 2 ó 5 xdx
l) .
dx
1ó x
m) .
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
sin 3 x
dx
cos 2 x
3
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân sin x cos x
n) .
2
2
2
2
a sin x õ b cos x
IV. Ph
m) .
dx
7
x
dx
(1 õ x 4 )2
l) .
ng d ng – 0939.239.628
1
dx
sin x
p)
1
. cos x dx
ng pháp t ng ph n
Ghi nh : . udv ã uv ó . vdu .
Áp d ng: . P( x). ø sin x, cos x, e x ÷dx ;
. P( x).ln ø Q( x) ÷ dx...
Ví d : Tìm ngun hàm I ã . xe x dx
4u ã x
4du ã dx
.
B 3
x
2dv ã e dx
2v ã e
t3
x
V y I ã xe x ó . e x dx ã xe x ó e x õ C
Cách 2: I ã . xe x dx ã . xd (e x ) ã xe x ó . e x dx ã xe x ó e x õ C
(nh ng bài d nên làm theo cách 2)
om
Cách 1:
1. Hãy tìm các nguyên hàm sau: (làm nhanh)
b) . x cos xdx
c) . (1 ó 2 x)e x dx
e) . x ln xdx
f) . x ln( x õ 1)dx
g) . x ln xdx
i) . ln( x õ 1 õ x 2 ) dx
j) . x ln
m) . x sin 2 xdx
n) . x 3 ln(2 x)dx
1õ x
dx
1ó x
2
b) . x 2e x dx
e) . e x cos xdx
i) .
1 õ x2
dx
j) .
V. M t s bài t p liên quan
ie
u
x
dx
sin 2 x
c) . ( x 2 õ 2 x õ 3) cos x
f) . sin(ln x)dx
x ln( x õ 1 õ x 2 )
l) .
p) . x ln(1 õ x 2 )dx
w
w
w
.g
a) . x5e x dx
ln(sin x)
dx
cos 2 x
x
3
h) . x sin dx
vh
2. Tìm các nguyên hàm sau:
k) .
d) . xeó x dx
.c
a) . ( x õ 1)e 2 x dx
1 ó sin x x
e dx
1 ó cos x
d) .
g) . ln 2 xdx
h) .
k) .
x2ex
dx
( x õ 2)2
x ln x
dx
( x 2 õ 1) 2
ln 3 x
dx
x3
n nguyên hàm
1. Tìm hàm s f(x) bi t f '( x) ã 2sin x ó 3cos
2. Tìm hàm s f(x) n u bi t f '( x) ã ax õ
x
: *
và f 9 ) ã 2 .
2
82(
b
và f (ó1) ã 4, f '(1) ã 0 .
x2
3. Bi t f ''( x) ã 12 x 2 õ 6 x ó 4, f (0) ã 4, f (1) ã 1 . Hãy tìm hàm s
f ( x) .
4. Tìm nguyên hàm F(x) c a f(x), bi t f ( x) ã 5 x 4 õ 2e3 x ó 4sin x và F (1) ã 3
5. Tìm hàm s F(x), bi t nó là nguyên hàm c a hàm s
và F(x)
Biên so n:
f ( x) ã
x2 ó 2 x õ m
x2
t c c tr t i x = 2 và F(2) = 3.
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
4
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
ng d ng – 0939.239.628
B. TÍCH PHÂN
Trong q trình làm tốn tích phân l u ý:
b
.
b
.
f ( x) dx ã
a
I. Tích phân có d u giá tr tuy t
a
. f (u ) du
ã .... ã F (b) ó F (a )
a
i
ng pháp: xét d u f(x), b d u | | , tách ra nhi u tích phân
3
2
a) I ã . | x ó 2 | dx
0
3
2
ó3
b
. f (u )du ã F (u )
x
x
a
b
a
2
ó2
f) .
ó3
i bi n s
c) I ã . | x ó 5 x õ 4 | dx
2
e) . ø| x õ 2 | õ | x ó 2 |÷ dx
II.
5
b) I ã . | x ó x | dx
0
ã F (b) ó F (a)
1 õ x2
dx
x4
.
1
2
b) . x x2 õ 3dx
1
x sin x
dx ( x ã
2
0 1 õ cos x
f) .
9
3
i) . x 3 1 ó xdx
j) .
1
c) . cos(2 x õ )dx
1
dx
sin 2 x
4
3
x3
dx
x8 ó 1
n) .
cos3 x
dx
sin 2 x
cos x
dx
1 õ sin x
0
2
g) .
ó t)
k)
s) . cos5 x.dx
2
m) .
2
r) .
6
1
w
w
w
.g
1
dx
1 õ cos x
0
0
2
0
7
z1) .
0
w)
xdx
3
2
1õ x õ1
z2)
2
.
0
1
1
dx
b) .
2
0 1õ x
a) . 1 ó x dx
2
0
a/2
.
0
dx
a 2 ó x2
Biên so n:
2
0
(a>0)
f)
e 3
y) .
1
1 õ ln 2 x ln x
dx
x
1
2x õ 1
d) .
x2 õ x õ 1
ó1
1
dx
cos 3 x (1 õ tan 3 x)
12
h) .
2
0
l)
dx
/3
dx
4
/ 4 tan x cos x
.
2
x2 ó1
dx
x4 õ1
q) .
1
4sin 3 x
dx
1 õ cos x
0
2
u) .
64
z) .
1
3
dx
xõ x
sin 2 x õ sin x
dx
1 õ 3cos x
2. Tính các tích phân sau: ( t x theo hàm l
1
2
1
t) . 1 õ sin xdx
cos x
. 11 ó 7 sin x ó cos2 x dx
0
/2
0
0
0
x
.
e x ó 1 dx
p) . x15 1 õ 3x8 dx
2
v) . e x õe dx
ln 2
vh
2
e)
0
.c
ó1
d) . x3 ó 2 x 2 õ xdx
h) . | e 2 x ó e x õ1 | dx
ie
u
1
a) . (3x õ 2)4 dx
4
x
dx
xõ4
1. Tính các tích phân sau:
e)
b
om
Ph
f (t ) dt ã
2 3
.
2
1
dx
2
x õ4
ng giác)
a
c) . a ó x dx
2
2
0
1
g) . x 2 1 ó x 2 dx
0
a
d) .
0
1
x õ a2
2
sin 4 x
dx ( x ã
0 1 õ sin x
h) .
ng Trung Hi u - Gv Tốn THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
ó t)
5
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân 1/ 2
i)
.
0
2
3 õ 2x ó x
1
2
2/ 3
2
x x ó1
( x ã 1/ sin t )
2 /2
x 2 dx
.
1ó x
0
7
r) . x 2x ó x dx (1ó x ã cost)
s) .
2
4
0
b
1
dx
x õ 2x õ 2
ó1
l) .
x2 1 õ x2
x sin x
. 1 õ cos2 x dx ( x ã 3 ó t ) o)
b
III. Ph
1
0
dx
2
2
dx
.
2
k) .
(16 õ x 2 )3
0
n)
3
dx
j) .
dx
m) .
q)
4
1õ x
dx
1ó x
ng d ng – 0939.239.628
p)
2
(3 ó x 2 ) 3 ó x 2 dx
0
1
dx (
( x ó 4)(7 ó x)
t x ã 3sin 2 t õ 4 )
b
a
2
e) . x ln xdx
f) . e cos xdx
0
.x
2
j)
cos xdx
0
1
0
1
/2
. cos x ln(sin x)dx
3
n) . ø ln( x ó 1) ó ln( x õ 1) ÷ dx
2
e
1 õ x ln x x
e dx
x
1
s) .
e
k) . x ln x dx
0
l)
ln 2
2
1
x
p) . (1 õ x ó )e
1/ 2
xõ
/3
ln(sin x)
./6 cos2 x dx
1
x
dx
. xe
ó2 x
dx
0
1
t)
w
w
w
.g
xe x
dx
2
0 (1 õ x )
r) .
.
2
h) . x sin x cos xdx
e2 x sin xdx
0
/4
m) . ln(2 x õ 1)dx
/2
vh
/2
g)
x
1
d) .
0
1
5
ln x
dx
x2
1
c) . x sin xdx
b) . x ln xdx
0
e
2
.c
a) . xe dx
x
ie
u
1
om
1. Tính các tích phân sau:
i)
.
ng pháp t ng ph n . udv ã uv a ó . vdu
a
2
3/2
2
q)
/2
.
x cos x sin 2 xdx
0
2
:1
x
18
*
(
u) . 9 õ ln x ) e x dx
2. Tính các tích phân sau:
/4
a)
.
0
1
(1 õ sin x cos x)e x
dx
1 õ cos 2 x
3 x2
e) . x e dx
0
1
x2
i) . x dx
e
0
Biên so n:
1
b) . xe x dx
c)
0
f)
/2
.
0
1
1 õ sin x x
e dx
1 õ cos x
j) . x ln(1 õ x ) dx
0
2
g)
/2
x õ sin x
./3 1 õ cos x dx
/4
.
0
xdx
1 õ cos 2 x
e
d) . ln 2 xdx
1
h)
/4
.
x tan 2 x dx
0
1
k) . x 2 1 õ x 2 dx
0
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
6
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
ng d ng – 0939.239.628
C. BÀI T P TÍCH PHÂN T NG H P
1. Tính các tích phân sau:
a) I ã
sin 2 x
dx
4 ó cos 2 x
.
0
d) I ã
.
0
/2
. øe
g) I ã
b) I ã
sin x
sin 2 x
.
2
õ cos x ÷ cos xdx
1
0
/2
.
0
/4
x x õ4
5
e
1
h) I ã
3
.
x
5
x
dx
1õ x ó1
1
i) .
1 õ x dx
a)
/6
. sin 2 x.cos 3xdx
0
/2
.
0
g)
/2
.
0
/4
3sin x õ 4 cos x
dx
3sin 2 x õ 4 cos 2 x
ng giác)
sin 4 xdx
dx
j) .
cos x.sin 2 x
/6
4. Tính các tích phân sau: ( t t ã tan
1
dx
1 õ sin x õ cos x
0
a) .
d)
/2
.
0
x2 õ 1
b)
dx
cos x
Biên so n:
x 2 dx
0 ( x õ 1) x õ 1
dx
/4
. sin
3
c)
x dx
0
e)
w
w
w
.g
d)
x 5 õ 2 x3
0
il
1
f) .
ó1
0
3. Tính các tích phân (bi n
1
0
5
h)
k)
1 õ 3ln x .ln x
dx
x
c) I ã .
e) . x. 3 x õ 1 dx
2
.
e
2
3 ó 2 ln x
dx
x 1 õ 2ln x
d) I ã .
1 ó 2sin 2 x
dx
1 õ sin 2 x
0
.c
2
/4
f) I ã
dx
3sin x õ cos 2 x
b) I ã .
dx
/3
vh
.
1
(sin x õ cos x)
dx
3
sin x ó cos x
.
ie
u
2 3
/2
2
2. Tính các tích phân
a) I ã
c) I ã
dx
x2 õ e x õ 2 x2 e x
dx
1 õ 2e x
e) I ã .
h) I ã
2
cos x õ 4sin x
0
:
*
sin 9 x ó )
8 4(
dx
sin 2x õ 2(1õ sin x õ cos x)
/4
/4
om
/4
/2
.
f)
sin 3 x cos 5 x.dx
/3
1
./ 4 sin 3 x dx
.
0
x
,
2
b)
e)
i)
i s hóa l
/3
dx
sin x cos x
/4
.
/4
4
. sin
4
x cos 4 xdx
/2
l)
1
. 1 õ sin x dx
0
ng giác)
/2
dx
./3 sin x
c)
2
dx
. 4sin x õ 3cos x õ 5
0
dx
. 1 õ 2sin
0
sin 2 x cos xdx
1 õ cos x
0
1 õ sin x
dx
1 õ cos x
/4
.
0
0
/4
/2
2
x
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
7
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
ng d ng – 0939.239.628
D. BÀI T P TÍCH PHÂN TRONG CÁC K THI
T T NGHI P THPT (2003 – 2014)
2
1. I ã . ø1 ó xe ÷ dx (PT14)
1
0
4. I ã . ( x ó 2 x õ 1)dx (TX13)
5. I ã
3
0
1
1
/2
14. I ã
.
ó1
2
4
17. I ã .
0
.
0
0
12. I ã . (2 x õ xe x ) dx (Tx09)
0
20. I ã
.
0
23.
/2
.
x2 õ 1
dx (PT07)
cos x sin xdx (Tx06)
2
vh
/2
2x
( x õ sin 2 x) cos xdx (PT05)
0
21. I ã
sin 2 x
dx (PT06)
4 ó cos 2 x
w
w
w
.g
/2
25. I ã
1
(2 x ó 1) cos xdx (PT08)
0
16. . sin x cos x dx (Tx08)
0
0
0
13. I ã . x 2 (1 ó x3 ) 4 dx (PT08)
1
1
9. I ã . x 2 ( x ó 1) 2 dx (PT10)
11. . x(1 õ cos x)dx (PT09)
0
22. I ã . (2 x õ 1)e x dx (PT06)
1
0
10. I ã . (5 x ó 2) dx (Tx10)
ln 2 x
19. .
dx (PT07)
x
1
6. I ã . ( x ó 2) 2 xdx (TX12)
x
8. I ã . (2 x ó 3) cos xdx (TX11)
3
e
2
ó 1÷ e dx (PT12)
2
0
4 õ 5ln x
dx (PT11)
x
1
. øe
x
0
1
26. .
0
om
e
7. I ã .
ln 2
2
3. I ã . ( x õ 1) cos xdx (TN13)
1
15. I ã . (1 õ e x ) x dx (PT08)
.c
1
( x õ 1)2
dx (TX14)
x
2. I ã .
x
ie
u
1
0
3
18. K ã . 2 x ln xdx (PT07)
1
ln 5
.
(e x õ 1)e x
ex ó1
ln 2
24. I ã
/2
.
dx (PT06)
(2sin x õ 3)cos xdx (Tx06)
0
1
dx (Tx04)
x ó 5x õ 6
2
x3 õ 3x 2 õ 3x ó 1
1
26. Tìm ngun hàm F(x) c a f ( x) ã
bi t F (1) ã
2
x õ 2x õ1
3
I H C CAO
2
1. I
4. I ã
1
2
.
1
5
x2
NG (2003 – 2014)
3x 1
dx (B14)
2
x
x
x2 ó1
ln x dx (A13)
x2
dx
(C 13)
1 1õ 2x ó1
7. I ã .
Biên so n:
4
2. I ã . ø x õ 1÷ sin 2 xdx (D14)
0
1
5. I ã . x 2 ó x 2 dx. (B13)
0
3
1 õ ln( x õ 1)
dx (A12)
x2
1
8. I ã .
2
3. I ã .
1
x 2 õ 2 ln x
dx (C 14)
x
1
( x õ 1) 2
dx (D13)
x2 õ 1
0
6. I ã .
1
9. I ã .
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
0
x3
dx (B12)
x 4 õ 3x 2 õ 2
8
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân 3
4
10. I ã . x(1 õ sin 2 x)dx (D12)
0
4
3
1 õ x sin x
dx (B11)
13. I ã .
cos 2 x
0
1
0
15. I ã .
1
20. I ã . (cos3 x ó1)cos2 xdx (A09)
2
1
dx
22. I ã . x
(D09)
e ó1
1
23. I ã . (e ó2 x õ x )e x dx (C 09)
:
*
sin 9 x ó ) dx
4(
8
25. I ã .
(B08)
sin 2 x õ 2(1 õ sin x õ cos x)
0
2
0
sin 2 x
cos 2 x õ 4sin 2 x
dx (A06)
2
sin 2 x õ sin x
dx (A05)
1 õ 3cos x
0
29. I ã
2
x
dx (A04)
1õ x ó1
1
34. I ã .
2 3
.
5
dx
2
x x õ4
(A03)
tan 4 x
dx (A08)
0 cos 2 x
6
24. I ã .
ln 5
dx
.3 e x õ 2eó x ó 3 (B06)
ln
e
27. I ã . x3 ln 2 xdx (D07)
1
1
30. I ã . ( x ó 2) e 2 x dx (D06)
0
2
2
sin 2 x cos x
dx (B05) 33. I ã . ø esin x õ cos x ÷ cos xdx (D05)
0 1 õ cos x
0
32. I ã .
w
w
w
.g
31. I ã .
ln x
dx (D08)
x3
1
26. I ã .
vh
2
3 õ ln x
dx (B09)
( x õ 1) 2
1
.c
0
4
3
21. I ã .
om
0
3
28. I ã .
3*
:
18. I ã . 9 2 x ó ) ln x dx (D10)
x(
18
ie
u
0
2x õ1
dx (C 11)
x( x õ 1)
e
ln x
dx (B10)
x(2 õ ln x)2
2x ó1
dx (C 10)
x õ1
1
19. I ã .
1
x sin x õ ( x õ1)cos x
dx (A11)
x sin x õ cos x
2
17. I ã .
0
Biên so n:
0
x 2 õ e x õ 2 x 2e x
dx (A10)
1 õ 2e x
16. I ã .
37. I ã
12. I ã .
4x ó1
dx (D11)
2x õ1 õ 2
14. I ã .
e
4
x
dx (C 12)
x õ1
11. I ã .
0
ng d ng – 0939.239.628
e
35. I ã .
1
1 õ 3ln x ln x
dx (B04)
x
1 ó 2sin 2 x
dx (B03)
38. I ã .
0 1 õ sin 2 x
4
3
36. I ã . ln( x 2 ó x)dx (D04)
2
2
39. I ã . | x 2 ó x | dx (D03)
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
0
9
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
E.
ng d ng – 0939.239.628
NG D NG C A TÍCH PHÂN
I. Di n tích hình ph ng
b
y ã f ( x), y ã 0, x ã a, x ã b la`: S ã . | f ( x) | dx
a
Ghi nh : di n tích gi i h n b i
b
y ã f ( x), y ã g ( x), x ã a, x ã b la`: S ã . | f ( x) ó g ( x) | dx
a
1. Tính di n tích S c a các hình ph ng gi i h n b i các
a) Parabol y ã 4 x ó x 2 và tr c hoành.
ng ã ch ra trong các câu sau:
b) y ã x 2 , y ã 0, x ã ó1, x ã 2
1
x
d) y ã 2 x ó1 , x õ y ã 3
e) y 2 ã x, x õ y ã 2
f) x ã y 2 ó 5 y , x ã 3 y ó y 2
om
c) y ã , y ã 0, x ã 1, x ã 3
2. Tính di n tích hình ph ng S c a các ph n gi i h n b i:
b) y ã x3 ó 2 x 2 ó 3x và tr c Ox.
c) x ã y 3 ó y , x ã 3 y
d) y ã e x , y ã 1, y ã 2, x ã 3
x3 4 x
x2 2 x
và g ( x) ã õ
e) f ( x) ã ó
3
3
3
3
f) x ã y 2 ó 2, x ã e y , y ã 1, y ã ó1
ie
u
27
x2
; y ã ; y ã x2
x
27
h) y ã x , y ã x ó 2 và tr c hồnh.
vh
g) y ã
.c
a) y ã sin x, y ã cos x, x ã / 4, x ã 5 / 4
3x
x2
x2
i) y ã õ 2, y ã ó 4 x õ 9 , y ã ó õ 12
4
2
2
x2
j) y ã 4 ó
4
x2
và y ã
4 2
w
w
w
.g
3. Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i y ã x 2 ó 4 x õ 5 và hai ti p tuy n t i A(1;2), B(4;5)
4. Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i y ã| x 2 ó 4 x õ 3 | và y ã x õ 3
5. Trong m t ph ng Oxy cho elip có ph
ng trình
:
x2
3*
õ y 2 ã 1 và i m A 91;
9 2 ) n m trên elip. G i (d)
)
4
8
(
là ti p tuy n v i elip t i A. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i
ng th ng (d), tr c hoành và elip.
II. Th tích v t th trịn xoay:
b
V ã . S ( x)dx
quanh Ox : V ã
a
b
.
f 2 ( x)dx
quanh Oy : V ã
a
b
. g ( y)dy
a
1. Tính th tính V c a hình trịn xoay
a) y ã x 2 , x ã 2, y ã 0 quanh Ox
b ) y ã x 2 , x ã 2, y ã 0 quanh Oy.
c) y ã 3x ó x 2 , y ã x quanh Ox.
d) y ã ln x, y ã 0, x ã e quanh
2. G i D là hình ph ng gi i h n b i các
tròn xoay t o b i D khi quay quanh Ox.
ng x ã e .
ng y ã ó3x õ 10, y ã 1, y ã x 2 ( x â 0) . Tính th tích c a kh i
3. G i H là di n tích hình ph ng gi i h n b i y ã 4( x ó 2) 2 , y ã x 2 ó 4 x õ 7 . Tính th tích kh i trịn xoay
c t o thành khi quay H xung quanh tr c tung.
Biên so n:
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
10
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân -
ng d ng – 0939.239.628
B ng cơng th c nguyên hàm:
NGUYÊN HÀM C
B N
1) . 0dx ã C
õ C ( g 0)
7) . cos xdx ã sin x õ C
8) . sin xdx ã ó cos x õ C
1
dx ã tan x õ C
cos 2 x
1
10) . 2 dx ã ó cot x õ C
sin x
9) .
1
dx ã ó õ C
x
NG G P
1
dx ã arctan x õ C
õ1
x
1
1
dx ã arctan õ C
4) . 2
2
x õa
a
a
1
5) . e ax õb dx ã e ax õ b õ C
a
1
a x õ õ C (0 ä a g 1)
6) . a x õ dx ã
ln a
1
7) . cos( ax õ b )dx ã sin( ax õ b) õ C
a
1
8) . sin( ax õ b)dx ã ó cos(ax õ b) õ C
a
1
1
9) . [1 õ tan 2 (ax õ b)]dx ã .
dx ã tan( ax õ b) õ C
2
cos ( ax õ b)
a
1
1
10) . [1 õ cot 2 ( ax õ b)]dx ã . 2
dx ã ó cot( ax õ b) õ C
sin (ax õ b)
a
.x
11)
1
x
. sin x dx ã ln tan 2 õ C
1
x*
:
. cos x dx ã ln tan 9 4 ó 2 ) õ C
8
(
Biên so n:
2
.x
w
w
w
.g
. tan x dx ã ó ln(cos x) õ C
. cot x dx ã ln(sin x) õ C
1 (ax õ b) õ1
õ C ( g ó1, a g 0)
a ( õ 1)
om
ax
6) . a dx ã
õ C (a g 1, a â 0)
ln a
2
. (ax õ b) dx ã
3)
x
NGUYÊN HÀM TH
2)
.c
õ1
5) . e x dx ã e x õ C
1
1
. ax õ b dx ã a ln | ax õ b | õC
ie
u
õ1
R NG
vh
x
1
4) . dx ã ln x õ C
x
.x
1
1)
2) . dx ã x õ C
3) . x dx ã
NGUYÊN HÀM M
12)
.
13)
.
1
1
xóa
ln
dx ã
õ C ( a â 0)
2
2a x õ a
óa
1
dx ã arcsin x õ C
1 ó x2
1
x
dx ã arcsin õ C (a â 0)
a
a2 ó x2
2
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
11
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân I BI N CHO HÀM L NG GIÁC:
Khi c n ta có th
x
t t ã tan
2
ng d ng – 0939.239.628
2t
1ó t2
, cos x ã
,
Khi ó ta có: sin x ã
1õ t2
1õ t2
2
dt
1õ t2
NG GIÁC C N THI T
om
CƠNG TH C L
dx ã
Cơng th c c ng
w
w
w
.g
Cơng th c h b c
vh
ie
u
.c
Công th c nhân ôi, nhân
ba
Công th c bi n
tích
Biên so n:
Cơng th c bi n tích thành t ng
i t ng thành
ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
12
