chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

CHƯƠNG III
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM,, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. NGUN HÀM
I. NGUN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
• ∫ f '( x )dx = f ( x ) + C
• ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
• ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0)

3. Nguyeân hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C
• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

1

xα +1

+ C,
α +1

(α ≠ −1)

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a
• ∫ cos xdx = sin x + C
• ∫ a x dx =

• ∫ sin xdx = − cos x + C

∫ x dx = ln x + C

1

•
•

x
x
• ∫ e dx = e + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a
1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

∫ cos2 x dx = tan x + C
∫

1
sin2 x

dx = − cot x + C

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1
1
dx = ln ax + b + C
• ∫
ax + b
a
• ∫ eax + b dx =

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C vaø u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

∫ f [ u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫ udv = uv − ∫ vdu

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Trang 1


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm soá sau:

a) f ( x ) = x 2 –3 x +
d) f ( x ) =

1
x

b) f ( x ) =

( x 2 − 1)2

x2

c) f ( x ) =

x −1

x2
1

e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x

x
2
1

f) f ( x ) =

h) f ( x ) = tan 2 x

x2

g) f ( x ) = 2 sin 2

2x4 + 3

2

i) f ( x ) = cos2 x

x

−

3

x

cos 2 x

m) f ( x ) = 2 sin 3 x cos 2 x
sin2 x.cos2 x

e− x 
x
x( x
)
÷
n) f ( x ) = e e – 1
o) f ( x ) = e  2 +
p) f ( x ) = e3 x +1

2 ÷
cos x 

Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
F (π ) = 2
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
b) f ( x ) = 3 − 5cos x;
F (1) = 3
k) f ( x ) =

sin2 x.cos2 x

3 − 5x 2
;
x

x3 − 1
e) f (x )= 2 ;
x
c) f ( x ) =

x2 + 1
;
x

F (e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

l) f ( x ) =

f) f ( x ) = x x +

π 
F '  ÷= 0
3

h) f ( x ) =

x3 + 3x3 + 3x − 7
2

;

F (0) = 8

F (1) =
1
x

;

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

2 x
k) f ( x ) == sin ;
2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2
π  π
F  ÷=
2 4

( x + 1)
Bài 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
π 

2
F  ÷= 3
a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x;
2
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π ) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F (2) = −2
Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):


 F ( x ) = (4 x − 5)e x
 F ( x ) = tan 4 x + 3 x − 5
a) 
b) 
x
5
3
 f ( x ) = (4 x − 1)e
 f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3




 x2 + 4 
x2 − x 2 + 1
F ( x ) = ln
 F ( x ) = ln 


÷
 2
÷


x2 + x 2 + 1
 x +3
c) 
d) 
2
−2 x
 f (x) =
 f ( x ) = 2 2( x − 1)


( x 2 + 4)( x 2 + 3)
x4 + 1


Bài 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

Trang 2


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3


. Tìm m.
a) 
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4


 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

. Tìm m.
2x + 3
b) 
f (x) =

x 2 + 3x + 5


 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x


. Tìm a, b, c. d) 
. Tìm a, b, c.
c) 
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e −2 x

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x


. Tìm a, b, c.
. Tìm a, b, c.
e) 
f) 
2
−2 x
2
−x
 f ( x ) = −(2 x − 8 x + 7)e
 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e



b
c
 F ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x
. Tìm a, b, c.
g) 
2
3
 f ( x ) = cos x

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3

. Tìm a, b, c.
h) 
20 x 2 − 30 x + 7

f (x) =

2x − 3


∫ f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số
g [ u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) ⇒ dt = u '( x )dx .

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm

• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =

∫ f ( x )dx

Khi đó:

= ∫ g(t )dt , trong đó ∫ g(t )dt dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính ∫ g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
a2 − x 2

a2 + x 2

Cách đổi biến
x = a sin t ,
x = a cos t,

hoaëc

x = a tan t,
x = a cot t,

hoặc

π
π
≤t≤
2
2
0≤t ≤π
π
π
− 2
2
0−

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

∫

dx

a) ∫ (5 x − 1)dx

b)

2
7
d) ∫ (2 x + 1) xdx

3
4 2
e) ∫ ( x + 5) x dx

g)

∫

2

x + 1.xdx

4
k) ∫ sin x cos xdx

n)

∫

e x dx
ex − 3

h)

∫

3x 2

5 + 2 x3
sin x
dx
l) ∫
cos5 x
o) ∫ x.e x

2

+1

dx

Trang 3

5 − 2xdx

c)

(3 − 2 x )5

dx

∫

f)

∫ x 2 + 5 dx

i)

∫

x

m)
p)

dx
x (1 + x )2

∫
∫

tan xdx

e

cos2 x
x

x

dx


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

dx
ln3 x
q) ∫
r) ∫ x
dx
x
e +1
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a) ∫
b) ∫
2 3
(1 + x 2 )3
(1 − x )
d)
g)

dx

∫

x 2 dx
1− x

h)

2

∫

∫

f)

dx

∫

c)

e) ∫ x 2 1 − x 2 .dx

4 − x2

∫

s)

∫

etan x
cos2 x

dx

1 − x 2 .dx

dx
1 + x2

i) ∫ x 3 x 2 + 1.dx

2

x + x +1

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

∫ P( x ).e
u
dv

x

dx

P(x)
e x dx

∫ P( x ).cos xdx

∫ P( x ).sin xdx

∫ P( x ).ln xdx

P(x)

cos xdx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫ x.sin xdx

b) ∫ x cos xdx

2
c) ∫ ( x + 5)sin xdx

2
d) ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

e) ∫ x sin 2 xdx

f) ∫ x cos 2 xdx

x
g) ∫ x.e dx

h) ∫ x 3e x dx

i) ∫ ln xdx

k) ∫ x ln xdx

2
l) ∫ ln xdx

2
m) ∫ ln( x + 1)dx

2
n) ∫ x tan xdx

2
2
o) ∫ x cos xdx

2
p) ∫ x cos 2 xdx

2
q) ∫ x ln(1 + x )dx

x
r) ∫ x.2 dx

s) ∫ x lg xdx

2

Bài 2. Tính các nguyên haøm sau:

a) ∫ e

x

b)

dx

∫

x
a) ∫ e .cos xdx

g)

∫
∫

ln(cos x )
cos2 x

dx

(

x ln x + x 2 + 1
x2 + 1

c) ∫ sin x dx

x

3
f) ∫ sin xdx

h) ∫ sin(ln x )dx

i) ∫ cos(ln x )dx

x
2
b) ∫ e (1 + tan x + tan x )dx

ln(ln x )
dx
x
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:

d)

ln xdx

e) ∫ x.sin x dx

d) ∫ cos x dx
g)

∫

x
c) ∫ e .sin 2 xdx

e)

) dx

h)

∫
∫

ln(1 + x )
x2
x3
1 + x2

dx

dx

Trang 4

f)

x

∫ cos2 x dx
2

 ln x 
i) ∫ 
÷ dx
 x 


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
 F ( x ) + G ( x ) = A( x ) + C1
(*)
 F ( x ) − G ( x ) = B( x ) + C

2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =

1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

sin x

a)

∫ sin x − cos x dx

b)

d)

cos x
∫ sin x + cos x dx

e)

2
g) ∫ 2sin x.sin 2 xdx

k)

∫

e− x
e x − e− x

cos x

∫ sin x − cos x dx
∫

sin 4 x

sin 4 x + cos4 x

c)
dx

f)

l)

∫

ex
e x + e− x

∫

cos4 x

sin 4 x + cos4 x
ex
i) ∫ x − x dx
e −e
e− x
m) ∫ x − x dx
e +e

2
h) ∫ 2 cos x.sin 2 xdx

dx

sin x

∫ sin x + cos x dx

dx

dx

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) =

P( x )
Q( x )

– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:

1
A
B
=
+
( x − a)( x − b) x − a x − b
1
2

( x − m )(ax + bx + c)

1
2

2

( x − a ) ( x − b)

=

=

A
Bx + C
+
, với ∆ = b2 − 4ac < 0
2
x − m ax + bx + c

A
B
C
D
+
+
+
2
x − a ( x − a)
x − b ( x − b)2

2. f(x) là hàm vô tỉ


ax + b 
+ f(x) = R  x , m
÷
cx + d 



1
+ f(x) = R 
 ( x + a)( x + b) ÷
÷



→ đặt

t=m

→ đặt

ax + b
cx + d
t = x+a + x+b

• f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ
bản. Chẳng hạn:
Trang 5

Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

+

sin [ ( x + a) − ( x + b)]
1
1
=
.
,
sin( x + a).sin( x + b) sin(a − b) sin( x + a).sin( x + b)


sin(a − b) 
 sử dụng 1 =
÷
sin(a − b) 


+

sin [ ( x + a) − ( x + b)]
1
1
=
.
,

cos( x + a).cos( x + b) sin(a − b) cos( x + a).cos( x + b)


sin(a − b) 
 sử dụng 1 =
÷
sin(a − b) 


cos(a − b) 
cos [ ( x + a) − ( x + b)] 
1
1
=
.
,  sử dụng 1 =
÷
cos(a − b) 
sin( x + a).cos( x + b) cos(a − b) sin( x + a).cos( x + b) 
+ Neáu R(− sin x ,cos x ) = − R(sin x ,cos x ) thì đặt t = cosx
+

+ Nếu R(sin x , − cos x ) = − R(sin x ,cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R(− sin x , − cos x ) = − R(sin x, cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

a)

dx
∫ x ( x + 1)

d)

∫

b)

dx

x 2 − 7 x + 10
x
dx
g) ∫
( x + 1)(2 x + 1)
k)

∫

dx

x ( x 2 + 1)
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
1
dx
a) ∫
1+ x +1
1
dx
d) ∫
x+4 x

dx
g) ∫
3
x + x + 24 x
dx
k) ∫ 3
(2 x + 1)2 − 2 x + 1

dx
∫ ( x + 1)(2 x − 3)

e)

∫

h)

∫

l)

∫ 1 + x3

b)

∫x

e)

∫

h)

∫

l)

∫

dx

f)

∫

i)

∫

dx

c)

∫ 1 + 3 x + 1dx

dx

f)

∫ x ( x + 1)dx

i)

∫ 3 1+ x

x2 − 6x + 9
x
2 x 2 − 3x − 2
dx

x +1
x −2

x2 + 1
∫ 2 dx
x −1
dx

c)

x
3

x− x

dx

1 − x dx
1+ x x
dx

x 2 − 5x + 6

x2 − 4
x3

x 2 − 3x + 2
x
m) ∫ 3 dx
x −1

dx

1

x

m)

∫

1 − x dx
x
dx
x2 + 6x + 8

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫ sin 2 x sin 5 xdx
d)

cos 2 x

∫ 1 + sin x cos x dx

b) ∫ cos x sin 3 xdx
e)

dx

∫ 2sin x + 1

2
4
c) ∫ (tan x + tan x )dx

f)

dx

∫ cos x
∫

dx

π
cos x cos  x + ÷

4

1 − sin x

dx
g) ∫
cos x

sin3 x
h) ∫
dx
cos x

i)

k) ∫ cos x cos 2 x cos3 xdx

3
l) ∫ cos xdx

4
m) ∫ sin xdx

CHƯƠNG III
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM,, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DUÏNG
Trang 6


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

II. TÍCH PHÂN
II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

b

∫ f ( x )dx .
a

b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)
a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

∫

a

b

b

a

a

f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a)

• Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường
b

thẳng x = a, x = b laø:

S = ∫ f ( x )dx
a

2. Tính chất của tích phân
0

•

∫

b

f ( x )dx = 0

•

0

∫

a

a

b
a

a

b

a

a

a

b

∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì

b

• ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k: const)

b

b

•

b

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

•

c

b

a

a

c

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

b

∫ f ( x )dx ≥ 0
a

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì

b

∫

a

b

f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx
a

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u( b )

a

u(a )

∫ f [ u( x )] .u '( x )dx = ∫

f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
xác định trên K, a, b ∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b

b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

∫ vdu
a

Trang 7

dễ tính


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

b

hơn ∫ udv .
a

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghóa tích phaân:
b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
2

a)

3
∫ ( x + 2 x + 1)dx
1

d)

2

x

∫

−1 x

2

+2

dx

2
1

k)

x2 − 2x

∫

x3

1

1

e)

−1

∫

(x

−2

g) ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
2

2

2
b) ∫ ( x +

dx

4

3
+ e 3 x +1 )dx
x

)

+4
dx
x2

2

2
3
h) ∫ ( x + x x + x )dx

l)

∫

2 x + 5 − 7x
dx
x

5

dx

1

a)

x + 1dx

∫

b)

1

d)

2

∫0

xdx
2

dx

e)

π

π
a) ∫ sin(2 x + ) dx
6
0
π
4

∫

0

g)

π
2

tan x .dx
cos2 x
dx

∫ 1 + sin x

0

e

b)

e)

h)

2

∫0 3

3x

2

1 + x3

dx

π
2

∫ (2sin x + 3cosx + x )dx

π
3
π
3

1 1
+
+ x 2 )dx
x x2

1

∫(

)

4

i)

x + 23 x − 44 x dx

1

8

1
m) ∫  4 x −

3
1
3 x2



÷
dx
÷


2

x+2 + x −2

2

1− x
Bài 8. Tính các tích phân sau:

d)

∫

x −1
dx
x2

f) ∫ ( x +

1

e2

∫
1

2

Bài 7. Tính các tích phân sau:
2

2

c)

2
3
c) ∫ ( x + x x + x )dx
1

f)

c)

4

∫0 x

x 2 + 9dx

π
6

∫ ( sin 3x + cos 2 x ) dx
0

∫ 3tan

2

x dx

π
4
π
2 1 − cos x

∫ 1 + cos x dx

0

Trang 8

f)

i)

π
4

∫ (2 cot

π
6
π

2

∫ sin

0

2

2

x + 5) dx

x.cos2 xdx


Trần Só Tùng
k)

π
3

∫

Nguyên hàm – Tích phân
2

(tan x − cot x ) dx

l)

π
−
6

π
2

π
sin( − x )
4
dx
π
sin( + x )
4

∫

−π
2

m)

π
4

∫ cos

4

x dx

0

Bài 9. Tính các tích phân sau:

a)
d)
g)
k)

1 x

∫

e − e− x

0e

x

+e

ln 2

∫0

−x

b)

dx
ex + 1

∫

e ln x

x

( x + 1).dx

∫

2

x + x ln x

1

ex

π
2 e cos x
0

∫1

dx

2

e)
h)

sin xdx

dx

l)

2 x
e (1 −
1

∫

4e

∫1
1

∫0

x

x

e− x
)dx
x

1e

∫0

c)

i)

dx

2

xe x dx

∫0
∫1

e

m)

1

−4

x

e +2

1e

f)

2x

x

2x

dx

dx

1 + ln x
dx
x
1

∫ 1 + e x dx
0

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính ∫ g( x )dx .
a

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [ u( x )] .u '( x ) thì
Dạng 2: Giả sử ta cần tính

b

u( b )

a

u( a )

∫ g( x )dx = ∫

f (u)du

β

∫ f ( x )dx .

α

Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b)
thì

β

∫

α

b

b

a

a

f ( x )dx = ∫ f [ x (t )] x '(t )dt = ∫ g(t )dt

( g(t) = f [ x(t)] .x '(t) )

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
π
π
x = a sin t ,
− ≤t≤
2
2
2
2
a −x
0≤t ≤π
hoaëc x = a cos t,
π
π
x = a tan t,
− 2
2

2
2
a +x
0hoaëc x = a cot t,
 π π
a
x=
,
t ∈  − ;  \ { 0}
sin t
 2 2
x 2 − a2
π 
a
,
t ∈ [ 0; π ] \  
hoaëc x =
cos t
2
Bài 3. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1

19
a) ∫ x(1 − x) dx
0

1

x3

b) ∫
2 3
0 (1 + x )
Trang 9

1

x5
dx
c) ∫ 2
0 x +1


Nguyên hàm – Tích phân
1

d)

1

xdx

∫
2 3

3

ln3

k)

n)

0

( e + 1)
x

π
2

∫

o)

dx

π
2

0

a)

1
2

cos x. sin x
dx
2

0 1 + sin x

∫

∫

1− x2

3

∫x
0

p)

∫

−1

e)

∫

2

∫ (x

dx

2

h)

x2 + 2x + 2

∫
1

dx

l)

x x2 −1

2
2

∫

0

π
6

∫ 2 sin

sin 2 x
dx
x + cos 2 x

2

2

c)

2

∫x

2

4 − x 2 dx

1

dx
+ 1)( x 2 + 2)

2

0

2

k)

4− x

1

dx
+3

3

∫

dx

1 + 3 ln x ln x
dx
x

∫

0

x 2 dx

0

2

0

g)

b)

1 + ex

∫

1

3

1

dx

0

d)

2

ex

m)

cos x + 4 sin x
Bài 4. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
2

ln 2

e

2 + ln x dx
2x

1

sin 2 x

∫

i)

dx

1+ x2

e

l)

3

0

0

x5 + 2x3

0

e x dx

∫

∫

h)

x x2 + 4

5

3
2
f) ∫ x 1 − x dx

0

dx

∫

1

2

e) ∫ x 1 − x dx

2x + 1

0

g)

Trần Só Tùng

1

f)

∫x

4

0

1

x2 −1
dx
x3

i)

xdx
+ x2 +1
dx

∫

(1 + x )

2 5

0

2

x2
1 − x2

2
m) ∫ x 2 x − x dx

dx

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

b

b

b

a

a

a

a

x
∫ P( x ).e dx

u
dv

P(x)
x

e dx

∫ P( x ).cos xdx

∫ P( x ).sin xdx

P(x)
cos xdx

∫ P( x ).l n xdx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

Baøi 4. Tính các tích phân sau:

a)

π
4

π
2

b) ( x + sin x) cos xdx
∫

∫ x sin 2 xdx
0

4

x cos

∫

xdx

2
e) ∫ x tan xdx

π
4

0

ln 2

g)

∫ xe
0

e

x

dx

c)

∫x

h)

∫ x ln xdx
1

Trang 10

2

cos xdx

0

0

π
3

π2

d)

2π
2

1

2x
f) ∫ ( x − 2)e dx
0

3

2
i) ∫ ln( x − x) dx
2


Trần Só Tùng
π

2

Nguyên hàm – Tích phân
π
2

k) e sin 5 xdx
∫

e

l) e
∫

3x

0

cos x

sin 2 xdx

3
m) ∫ ln xdx
1

0

e

e

p) ∫

3
2
o) ∫ x ln xdx

1
e

1

ln x
dx
x2

0

∫ x (e

q)

2x

+ 3 x + 1)dx

−1

VAÁN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2

a)

2

∫ x − 2 dx

b)

0

d)

3

∫

g)

∫

− x dx

∫x

c)

0

2

x − 1 dx

∫ ( x + 2 − x − 2 )dx

f)

−2

3

∫2

x − 6 x + 9dx

h)

1

∫

+ 2 x − 3 dx

x

− 4 dx

0

1

3

2

2

0

5

e)

−3
4

∫x

2

2

x 3 − 4 x 2 + 4 x dx

∫

i)

0

π

π
2

4 − x dx

−1

Bài 3. Tính các tích phân sau:
2π

a)

∫

1 − cos 2 x dx

b)

d)

π

∫

1 − sin xdx

e)

2π

g)

∫

tan2 x + cot 2 x − 2dx

π
6

h)

1 + cos xdx

∫

0
π
3

−π

π
3

1 − sin 2 x .dx

∫

c)

0

0

∫

π
−
2

f)

∫

π
−
2
π

∫

sin x dx

1 + cos 2xdx

0

cos x cos x − cos3 xdx i)

2π

1 + sin xdx

∫

0

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

3

1

d)

3

x

∫ (1 + 2 x )

3

e)

dx

0

k)

∫

−1

2 x3 − 6 x2 + 9x + 9
x 2 − 3x + 2

4

x 2 dx

∫ (1 − x )

f)

9

h)

∫x

0

dx

l)

2

3x 2 + 3x + 3

2

x3 − 3x + 2

∫

i)

+ 5x + 6

3

Trang 11

∫x
1

( 4 x + 11) dx

1

dx
∫ x(x − 1)
2
0

x 3 dx
c) ∫ 2
0 x + 2x + 1

2

4

g)

3

dx
b) ∫ 2
0 x − 5x + 6

dx
a) ∫
3
1 x+ x

dx

2

dx
(1 + x)

1

x3 + x + 1
∫ x + 1 dx
0

m)

1

x2

∫ (3x + 1)3 dx
0


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

Bài 2. Tính các tích phân sau:
2

3

dx

a) ∫ 2
0 x − 2x + 2
d)

1

2
2
0 ( x + 2) ( x + 3)
2

1

1

g)

x (1 + x 4 )

∫

2

1

0

k)

0

1

∫

4 + x2

∫

∫

b)

(3x

dx

)

x3 + x + 1
dx
e) ∫ 2
x +1
0
h)

dx

x 3 + 2x 2 + 4x + 9
dx

c) ∫
x2 + 4
0

1

l)

2

1 − x 2008

1

dx

2

+2
dx
2
x +1
2

x (1 + x 2008 )

∫

2

∫

1 − x2

1 1+

x4

f)
dx

dx

i)

1

x

∫

4
0 1+ x
3

x4

∫

2 (x

1

2

dx

− 1)2

2 − x4

∫

m)

dx

0 1+

x2

dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

2 2

a)

∫

x x + 1dx
2

b)

2

x

∫1+

x −1

1

dx

k)

10

dx

5

g)

x − 2 x −1

∫

7
3

∫
0

n)

x2 +1

0

0

d)

∫ x+

x +1
3

3x + 1

e)

1

x3

6

dx

2

4x + 1

f)

dx

3
2
h) ∫ x x + 1dx

l)

∫

5

∫

i)

0

1+ x
dx
1− x

∫

0

x x +4

0

x 5 + x3
1+ x

2

x x2 −1

1

1

dx

x x3 + 1

x2 + 1

dx

dx

dx

dx

3

∫

∫

3x + 1

2

3
2

o)

3

m)

2

dx

4x − 3

∫2+

2

2
2

x5 +1

1

0

dx

x4

0

1

2 3

x +1 + x

0

2

dx

∫ 2x + 1+

dx

∫

c)

∫

p)

Bài 2. Tính các tích phân sau:
1

a) ∫ x

2

2

1 + x dx

b)

0

d)

2

∫

x 2 + 2008dx

1

k)

∫

dx

−1 1 +
2
2

∫

0

x2 x2 + 1

3

3

2
e) ∫ x 10 − x dx

x + x2 + 1
dx

2

h)

l)
2 3

(1 − x )

dx

∫

x 2 + 2008

1
2
2

∫

0

2

x dx
1 − x2

Bài 3. Tính các tích phaân sau:

Trang 12

∫

c)

(1 + x 2 )3

0
1

∫

1 + x 2 dx

1

f)

0

1

g)

∫

1

dx

x 3dx

0

x + x2 + 1

0

i)

∫

m)

5
4

∫

1

12 x − 4 x 2 − 8dx

Trần Só Tùng
a)

π
2

cos xdx

∫

d)

∫

b)

7 + cos 2 x

0

π
2

Nguyên hàm – Tích phân

6

g)

∫

0

cos x − cos2 xdx

∫ sin x

π
2

c)

1 − cos3 x sin x cos5 xdx

e)

π
2

h)

2

1 + cos x

2 + cos2 x

0

π
3

sin 2 x + sin x

∫

1 + 3cos x

0

cos xdx

cos xdx

∫

0

0

π
2

π
2

π
3

2

cos x 1 + cos x

π
4

cos xdx

∫

2 + cos 2 x

0

tan x

∫

f)

dx

dx

i)

π
2

sin 2 x + sin x

∫

1 + 3cos x

0

dx

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
ln3

a)

∫

0

ln 2

dx
ex + 1

ln 3

ln2 x

ln 2

d)

x ln x + 1

∫

ln3

g)

∫

0

∫

b)
dx

ex
(e x + 1) e x − 1

0

e2 x dx
ex + 1

0

∫ x(e

1

ex

0

e)

2x

e x + e− x

e

1

3

+ x + 1)dx

ln 2

h)

∫

dx

i)

e x dx

∫

f)

(e x + 1)3

0

−1

dx

1 + 3 ln x ln x
dx
x

∫

c)

ln 2

∫

e x − 1dx

0

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
4

a) sin 2 x. cos xdx
∫

b)

0

π
2

∫ sin

2

x cos4 xdx

0

k)

π
2

3
3
∫ (sin x + cos x )dx

e) ∫ sin xdx

n)

3
∫ tan xdx

0

q)

π
2

∫

sin3 x

dx
1 + cos2 x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0

2

0

π
2

h) sin 2 x cos 3 xdx
∫

c)

l)

o)

π
2

3

cos x
∫ cos x + 1 dx
0
π
3

∫ tan

4

xdx

π
4
π
2

cos3 x
r)
∫ 1 + cos x dx
0
Trang 13

sin x

∫ 1 + 3 cos x dx
0

π

2
f) ∫ cos 3x
0

i)

π
2

∫ sin

4

x cos5 xdx

0

0

0

π
4

π
2

0

0

g)

∫ tan xdx

π

d) sin 3 xdx
∫
π
2

π
4

m)

p)

s)

π
2

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0

∫

π
3

∫

π
4

dx
sin x.cos3 x

π /3

∫

π /6 sin

dx
4

x.cos x


Nguyên hàm – Tích phân
a)

Trần Só Tùng
π
2

π
2

∫

1 − cos 3 x sin x cos 5 xdx

b)

0

d)

∫
π cos x

c)

6

π
2

∫ cos 2 x(sin

4

4

x + cos x )dx

e)

0

g)

1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x

∫
π

π
3

π
3

h)

∫ sin x.ln(cos x )dx

0

tan x
1 + cos 2 x

dx

4

π
4
0

∫

(tan x + e sin x cos x )dx

f)

π
2

∫ (1 + sin x )
2

3

sin 2 xdx

0

π
4

sin3 x

∫

(tan 2 x + 1)2 .cos5 x

0

dx

π
3

1

∫

i)

2
π sin x + 9 cos x

−

2

3

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)

d)

π
2

∫

π
3
π
2

1
dx
sin x

b)

cos x

e)

∫ 1 + cos x dx

k)

1
∫ sin x + cos x + 1 dx
0

∫

0

c)

∫ 2 − cos x

(1 − sin x ) cos x
(1 + sin x )(2 − cos2 x )

h)

0

π
2

π
2

cos x

∫ 2 − cos x dx

f)

dx

sin x

∫ 2 + sin x dx

0

π
2

π
4

∫

−

l)

1

∫ 2 + sin x dx

0

π
2

π
2

dx

π
2

0

0

g)

π

2

π
2

sin x − cos x + 1
dx
sin x + 2 cos x + 3

π
3

dx

∫

π
sin x cos( x + )
4

π
4

i)

dx

∫

π

cos x cos( x + )
4

0

π
3

∫

m)

π
6

dx

π
sin x sin( x + )
6

Bài 4. Tính các tích phân sau:
π
2

a) (2 x − 1) cos xdx
∫
0

d)

π
2

∫ sin

3

π
4

xdx
b)
∫ 1 + cos 2 x
0
e)

xdx

0

π
2

∫x

0
π

2

g) ∫ cos(ln x )dx

h)

∫

1

π

π

π
4

2x
2
k) ∫ e sin xdx

l)

0

n)

π
2

∫e

0

3
6

2

c)

sin x cos3 xdx

o)

x

∫ cos

2

0

cos xdx

f)

x

π
2

dx

∫ sin 2 x.e

2 x +1

dx

0

ln(sin x )
cos2 x

∫ x tan

2

dx

xdx

i)

π
4

∫ ln(1 + tan x )dx

0

π
2

m)

π

∫ x sin x cos

0

p)

π
4

dx

∫ cos

4

0

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Trang 14

2

xdx

2

xdx

∫ (2 x − 1) cos

0

0
sin2 x

π
3

x

dx


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên
hàm.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

ln 2

e x dx
a) ∫
x
0 1+ e
ln 8

d)
g)

∫

ex +1

2

1

∫

1 1− e
e

k)

0

ex

ln 3

−x

e)

dx

dx

ln x

∫

dx
x
e +5

∫

b)

2
1 x (ln x + 1)

h)

∫

ln 3

2

∫

l)

e

0e
1

dx

ln 8

∫

x

1

1

∫

c)

dx

e + 1.e dx

x

ln 2
x

0e

1− ex
dx
1+ ex

∫

f)

2x

0

2x

+1

dx

e−2 x

−x

+1
0e

i)

+4

1

e− x

0e

−x

∫

+1

ln3

dx

1

∫

m)

dx

x

e +1

0

dx

Bài 2. Tính các tích phân sau:
π
2

2

a) e x sin xdx
∫

b)

0

d) (e x + cos x ) cos xdx
∫

e)

∫
e

k)

2

∫

1

ln x + ln(ln x )
dx
x

ln x
x

2

∫ x ln(1 + x ) dx

f)

e

 ln x
+ ln 2
h) ∫ 

1  x ln x + 1

dx

l)

π
3

∫

π
6

ln(sin x )
2

cos x

e

dx

1 + ln2 x
dx
x

∫

1

0

0

−x

0

1

e2

∫ xe

c)

0

π
2

g)

1

2x
∫ xe dx


x dx



dx

i)

e3

ln(ln x )
dx
x
2
e

m)

∫

1

∫

0

ln( x + 1)
x +1

dx

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

a

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì

∫

a

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì

f ( x )dx = 0

−a

∫

−a

a

f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx
0

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân
có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a
0
a
0
a



Bước 1: Phân tích I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx  J = ∫ f ( x )dx; K = ∫ f ( x )dx ÷

÷
−a
−a
0
−a
0


Bước 2: Tính tích phân J =

0

∫

f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.

−a

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
Trang 15


Nguyên hàm – Tích phân
α

Trần Só Tùng
α

f (x)

(với α ∈ R+ vaø a > 0)
∫ x dx = ∫ f ( x )dx
−α a + 1
0
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
α
0
α
0
α

f (x)
f (x)
f ( x)
f (x)
f ( x) 
J = ∫
I= ∫
dx = ∫
dx + ∫
dx
dx; K = ∫
dx ÷


ax +1
ax +1
ax + 1
ax +1
ax +1 ÷
−α
−α
0
−α
0


Để tính J ta cũng đặt:
t = –x.
π
2

 π
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên  0;  thì
 2

∫

f (sin x )dx =

0

π
2

∫

f (cos x )dx

0

π
−x
2
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b − x ) = f ( x ) hoaëc f (a + b − x ) = − f ( x )
thì đặt:
t=a+b–x
Đặc biệt, nếu a + b = π
thì đặt
t=π–x
nếu a + b = 2π
thì đặt
t = 2π – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
 F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
 F ( x ) − G ( x ) = B( x ) + C

2
t=

Để chứng minh tính chất này ta đặt:

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =

1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2

Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):

a)

π
4

∫

7

5

x − x + x − x +1
cos4 x

π
4
1

−

d)

3

∫ ln ( x +

1+ x

2

dx

g)

∫

π
−
2

5

sin x
1 + cos x

dx

∫

b)

π
2
1

cos x ln( x + 1 + x 2 )dx c)

−

) dx

e)

−1

π
2

π
2

h)

∫

x dx
4

π

2
π
−
2

− x2 + 1

f)

 1− x 
cos x.ln 
dx
÷
 1+ x 
1

∫

−

−1 x

∫

1
2

2

1

∫

−1
π
2

xdx
2

4 − sin x

i)

∫

π
−
2

x 4 + sin x
x2 + 1

dx

x + cos x
4 − sin2 x

dx

Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):

a)
d)

1

x4

∫ 2 x + 1dx
−1
π

∫

−π

2

sin x
x

3 +1

b)

1

∫

1 − x2
1+ 2x

3

dx

−1

dx

c)

2

x +1
dx
e) ∫
x
−3 1 + 2
Trang 16

1

dx

∫ (e x + 1)( x 2 + 1)

−1
1

f)

dx

∫ (4 x + 1)( x 2 + 1)

−1


Trần Só Tùng
π
2

∫

g)

−

Nguyên hàm – Tích phân

sin x sin 3 x cos 5 x
1 + ex

π
2

dx

π
4

∫

h)

−

6

6

sin x + cos x
6x + 1

π
4

dx

π
2

∫

i)

−

π
2

x 2 sin 2 x
1 + 2x

dx

Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):

a)

π
2

∫

0

d)

n

cos x
cosn x + sin n x

π
2

*

dx (n ∈ N )

sin 2009 x

∫

2009
x + cos2009 x
0 sin

dx

b)

e)

π
2

7

sin x

∫

dx

7
7
0 sin x + cos x

π
2

cos4 x

∫

4
4
0 cos x + sin x

π
2

c)

sin x

∫

sin x + cos x

0

dx

π
2

f)

sin 4 x

∫

4
4
0 cos x + sin x

dx

dx

Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):

a)

π

x.sin x

∫ 4 − cos2 x dx

b)

0

d)

x + cos x

∫ 4 − sin2 x dx

π
2

c)

π
4

e)

∫ ln(1 + tan x )dx

2π

∫

0

x.cos3 xdx

f)

0

x sin x
dx
h) ∫

2 + cos x
0

π
4

∫ sin 4 x ln(1 + tan x )dx

l)

0

π

∫ x.sin

3

xdx

0

π

x
dx
g) ∫
1 + sin x
0

 1 + sin x 

∫ ln  1 + cos x ÷dx



0

0
π

k)

π

π

x sin x

∫

2

0 9 + 4 cos x

i)

dx

π

x sin x

∫

2
0 1 + cos

m)

x

dx

π

∫ x sin x cos

4

xdx

0

Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):

a)

d)

g)

π
2

sin x

∫ sin x − cos x dx

b)

cos x
∫ sin x + cos x dx
0

e)

0
π
2

π
2

∫

0

6

sin x
6

6

sin x + cos x

π
2

∫ 2sin

2

dx

h)

π
2

cos x

c)

∫ sin x − cos x dx

0
π
2

sin 4 x

∫

4
4
0 sin x + cos x

π
2

∫

0

cos6 x
6

6

sin x + cos x

π
2

dx

f)

sin x

∫ sin x + cos x dx

0
π
2

cos4 x

∫

4
4
0 sin x + cos x

i)

dx

x.sin 2 xdx

0

k)

π
2

∫ 2 cos

2

x.sin 2 xdx

l)

0

n)

1

∫

−1 e

ex
x

+ e− x

dx

o)

1

ex

∫

x
−x
−1 e − e
1

∫

dx

e− x

−1 e

x

+ e− x

dx

Trang 17

m)

1

∫

e− x

x
−x
−1 e − e

dx

dx


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b

Giả sử cần tính tích phân I n = ∫ f ( x , n)dx (n ∈ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
a

thường gặp một số yêu cầu sau:
• Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 ≤ k ≤ n).
• Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
• Tính một giá trị I n cụ thể nào đó.
0

Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
π
2

a) I = sin n xdx
∫
n

u = sin n−1 x
• Đặt 
 dv = sin x.dx

b) I = cosn xdx
∫
n

u = cosn −1 x
• Đặt 
 dv = cos x.dx

0
π
2

0
π
4

c) I = tan n xdx
∫
n
d) I =
n

0
π
2

∫x

n

cos x.dx

0

Jn =

π
2

∫x

n

sin x.dx

0

1

n x
e) I n ∫ x e dx
0

e

n
f) I n = ∫ ln x.dx
1

1

2 n
g) I n = ∫ (1 − x ) dx
0
1

h) I n = ∫

dx

0 (1 +

x 2 )n

• Phân tích: tan n x = tan n−2 x ( tan2 x + 1) − tan n−2 x
u = x n
• Đặt 
 dv = cos x.dx
u = x n
• Đặt 
 dv = sin x.dx
u = x n


• Đặt 
x
 dv = e .dx

u = ln n x
• Đặt 
 dv = dx

• Đặt x = cos t
• Phân tích
1

Tính Jn = ∫

→
1

(1 + x 2 )n
x2

2 n
0 (1 + x )

1

n
i) I n = ∫ x 1 − x .dx
0

=

1 + x2
(1 + x 2 )n

dx .

u = x n

• Đặt 
 dv = 1 − x .dx


Trang 18

u = sin2 n t
Đặt 
 dv = sin t.dt
−

x2
(1 + x 2 )n

u = x

x
Đặt  dv =
dx

(1 + x 2 )n




Trần Só Tùng
k) I =
n

π
4

∫

0

Nguyên hàm – Tích phân
dx

cosn x

dx

• Phân tích

1
cosn x

=

cos x
cosn +1 x

→ Đặt t =

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Trang 19

1
cosn+1 x


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

1. Diện tích hình phẳng
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

(1)

S = ∫ f ( x ) dx
a

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

laø:

(2)

S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a

Chú ý:

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

b

∫

f ( x ) dx =

a

b

∫ f ( x )dx
a

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

∫

a

c

d

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a

c

d

c

b

a

=

d
c

d

∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S = ∫ g( y ) − h( y) dy
c

2. Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các
điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:

b

V = ∫ S( x )dx
a

• Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh truïc Ox:
Trang 20


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân
b

V = π ∫ f 2 ( x )dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d
d

V = π ∫ g2 ( y)dy

là:

c

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = x 2 − 4 x − 6, y = 0, x = −2, x = 4

ln x
1
, y = 0, x = , x = e
x
e
ln x
, y = 0, x = e, x = 1
d) y =
2 x
b) y =

1 + ln x
, y = 0, x = 1, x = e
x
1
e) y = ln x , y = 0, x = , x = e
f) y = x 3 , y = 0, x = −2, x = 1
e
x
1
1
, y = 0, x = 0, x =
g) y =
h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10
2
10
1 − x4
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
−3 x − 1
, y = 0, x = 0

a) y =
b) y = x , y = 2 − x , y = 0
x −1
c) y =

c) y = e x , y = 2, x = 1

d) y = x , x + y − 2 = 0, y = 0

e) y = 2 x 2 , y = x 2 − 2 x − 1, y = 2

f) y = x 2 − 4 x + 5, y = −2 x + 4, y = 4 x − 11

g) y = x 2 , y =

x2
27
,y=
27
x

h) y = 2 x 2 , y = x 2 − 4 x − 4, y = 8

i) y 2 = 2 x , 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0
k) y = − x 2 + 6 x − 5, y = − x 2 + 4 x − 3, y = 3x − 15
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) y = x , y = , y = 0, x = e
b) y = sin x − 2 cos x , y = 3, x = 0, x = π
x

c) y = 5 x −2 , y = 0, y = 3 − x , x = 0

d) y = 2 x 2 − 2 x , y = x 2 + 3 x − 6, x = 0, x = 4

e) y = x , y = 0, y = 4 − x

f) y = x 2 − 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1

g) y = x , y = 2 − x , y = 0

h) y =

a) y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2 x

b) y = x 2 − 4 x + 3 , y = x + 3

1
−2 x

, y = e− x , x = 1

e
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

c) y =

1 2
1
x , y = − x2 + 3
4

2

e) y = x , y = 2 − x 2

d) y =

1
1 + x2

,y =

x2
2

f) y = x 2 − 2 x , y = − x 2 + 4 x
Trang 21


Nguyên hàm – Tích phân
g) y =

x2
1
,y=
2
1 + x2

Trần Só Tuøng
2
h) y = x + 3 + , y = 0

x

i) y = x 2 + 2 x , y = x + 2
k) y = x 2 + 2, y = 4 − x
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 , x = − y 2

b) y 2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0

c) y 2 − 2 y + x = 0, x + y = 0

d) y 2 = 2 x + 1, y = x − 1

e) y 2 = 2 x , y = x , y = 0, y = 3

f) y = ( x + 1)2 , x = sin πy

g) y 2 = 6 x , x 2 + y 2 = 16

h) y 2 = (4 − x )3 , y 2 = 4 x

i) x − y 3 + 1 = 0, x + y − 1 = 0
k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x
Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x.e x ; y = 0; x = −1; x = 2.

b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.

c) y = e x ; y = e− x ; x = 1.

d) y = 5 x −2 ; y = 0; x = 0; y = 3 − x.

1
f) y = ln x , y = 0, x = , x = e
e
g) y = sin x + cos2 x , y = 0, x = 0, x = π h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2π.
e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1.

i) y = x + sin 2 x; y = π; x = 0; x = π.

k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =

Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) (C ) : y = x +

π
2

1

, tiệm cận xiên của (C), x = 1 vaø x = 3.
2x2
x2 + 2x + 1
b) (C ) : y =
, y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
x+2
c) (C ) : y = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3, y = 0 vaø tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C ) : y = x 3 − 3 x + 2, x = −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C ) : y = x 2 − 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh truïc Ox:
π
1
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
b) y = x 3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
4
3
π
c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x =
d) y = x , x = 4
2
e) y = x 3 − 1, y = 0, x = −1, x = 1
g) y =

f) y = x 2 , y = x

x2
x3
,y=
4
8

h) y = − x 2 + 4 x , y = x + 2

π
π
,x=
k) ( x − 2)2 + y 2 = 9, y = 0

4
2
l) y = x 2 − 4 x + 6, y = − x 2 − 2 x + 6
m) y = ln x , y = 0, x = 2
Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
i) y = sin x , y = cos x , x =

Trang 22


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

quanh trục Oy:
2
a) x = , y = 1, y = 4
y

b) y = x 2 , y = 4

c) y = e x , x = 0, y = e
d) y = x 2 , y = 1, y = 2
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox
ii) truïc Oy
a) y = ( x − 2)2 , y = 4
c) y =

1

2

b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4
d) y = 2 x − x 2 , y = 0

, y = 0, x = 0, x = 1

x +1
e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e

f) y = x 2 ( x > 0), y = −3 x + 10, y = 1
2

g) y = x 2 , y = x

h) ( x – 4 ) + y 2 = 1 

x2 y2
+
=1
i)
9
4

k) y = x − 1, y = 2, y = 0, x = 0

l) x − y 2 = 0, y = 2, x = 0

m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1

Trang 23


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Só Tùng

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau:
3

2

∫

x 2 − x dx

2

a)

2

b)

0

 x −1 
d) ∫ 

÷ dx
x+2
−1 
1

x3

0

x2 + 1

∫

k)

3

dx

2

5

( x + 2 − x − 2 )dx

∫

∫x

c)

h)

dx

l)

1

dx

∫ 2 x 2 + 5x + 2

f)

∫

−1 x

2

i)

+ 2x + 4

xdx

0 1+

2

x3 + 2 x2 + 4x + 9

0

dx

∫

− 2 x + 1 dx

0

0

1

2

1

−3

2
0 ( x + 1)
1

∫ 1 + x8 − 2 x 4

e)

xdx

∫

g)

x7

x2 + 4

∫

1

x2

xdx

∫

m)

dx

3
0 ( x + 1)

Bài 2. Tính các tích phân sau:
3

2

x
dx
a) ∫
x −1
1 1+
3

x5 + 2x3

∫

d)

2

x +1

0

dx

h)

1

3

2

2

xdx

∫

3

l) ∫ x

5
2
o) ∫ x 1 − x dx

p)

0

1

x2 + x

−1

2

x + 3 dx

3

∫3

m)

∫3

2

( x + 1)

0

−1

3

3

3

x + 1x .dx

∫

7/3

∫

q)

0

dx

5

s)

10

x − 2 x −1

∫

dx

1 + x dx

∫x

0

dx

x +1

0

0

1

5

0

i)

2+ x + 2− x

x4

∫

f)

x+5+4

1

0

r)

∫

1

1 + x .x dx

∫

3
c) ∫ x 1 − x dx

1 + x dx
2dx

−1

0

k)

4

e)

2

2

x

9

2

0

2
2
g) ∫ x 4 − x dx
3

∫

b)

3

x −3
x +1 + x + 3
x +1

3

3x + 1

dx

1

3
2
t) ∫ x 1 − x dx
0

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
π /4

a)

∫
0

π/2

∫

0

d)
g)

1 − 2sin 2 x
dx
1 + sin 2 x

b)

∫

sin 2 x + sin x
1 + 3cos x

0

dx

c)

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
π/2

∫

0
π/2

∫

sin 2 x
2

2

cos x + 4sin x

dx

e)

π/4

cos 2 x (sin 4 x + cos4 x )dx h)

∫

0

x tan2 x dx

π/2

∫

sin x sin 2 x sin 3 x dx

f)

π/2

∫

0

0

k)

π/2

l)

0

π/3

tan x

π/4

cos x 1 + cos2 x

∫

π/2

∫

0

cos5 xdx

sin 2 x
dx
cos x + 1

Trang 24

dx

i)

π

x sin x

∫

0 1 + cos

m)

π/2

∫

0

2

x

dx

sin x
dx
1 + 3cos x

dx


Trần Só Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

r)

sin2004 x

0

o)

π/2

sin 2004 x + cos2004 x

∫

π/2

dx

0

∫

0

4sin3 x
dx
1 + cos x

π/2

cos3 x
dx
sin x + 1

∫

p)

π/2

∫

s)

0

sin xdx

Bài 4. Tính các tích phân sau:
3

2

a) ∫ x ln( x + 5)dx
0

d)

π/2

∫

(esin x + cos x ) cos x dx

g)
k)
o)

e

x +1
ln xdx
x
1
2

2 x

x e

∫

2

0 ( x + 2)
π/2

∫

l)

∫

1

1

∫ (4 x

p)

e

∫

1

x 1 + 2 ln x

i)

2

1

e

dx

s)

∫
1

ln x
x2

dx

∫ 1 + ex
0

2x

− 2 x − 1)e dx

2

∫

m)

0

0

r)

1

0

dx

3 − 2 ln x

+ 2e− x − 3

2
x
h) ∫ ( x + 1)e dx

e3 x sin 5 x dx

e

x

sin 2 x cos2 x

2 2
f) ∫ x ln x dx

1

3

∫

∫

0

e

dx

ln3 e

∫

x sin 2 xdx

0

2

0

π/3

2x
c) ∫ ( x − 2)e dx

2
b) ∫ ln( x − x)dx

ln 5

x t)
2

1 − 2sin2 x
dx
1 + sin 2 x

1

3

e)

∫

q)

sin 2 x + 2 cos x cos2

0

π/4

ln(1 + x )
x2

1

dx

1

2
q) ∫ x ln(1 + x )dx

dx

0

1 + 3 ln x . ln x
dx
x

ln 2 x

1

t)

e3

x ln x + 1

∫

dx

Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = x 3 − 3x + 1, y = 0, x = 0, x = −1

b) y =

1
9
c) y = − x 4 + 2 x 2 + , y = 0
4
4
1
1
, y = 0, x = 2, x = 4
e) y = x − 1 +
2
x −1
2x +1
, y = 0, x = 0
g) y =
x +1

4
, y = 0, x = −2, x = 1
2− x

d) y = e x , y = 2, x = 1
f) y = x 2 − 2 x , y = − x 2 + 4 x
h) y =

x2 + 3x − 2
, tiệm cận xiên, x = 0, x = 1

x +1
x2 + x − 2
n) y =
, y = 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ
x +1

− x2 + x
, y=0
x +1

m) y =

o) y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 1 , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
1 3
x − 3 x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3 .
4
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh truïc:
p) y =

a) y = x , y = 0, x = 3; Ox

b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox

c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox

d) y = 4 − x 2 , y = x 2 + 2; Ox

e) y 2 = 4 − x , x = 0; Oy

f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy
Trang 25