Một Số Kinh Nghiệm Trong Việc Giúp Học Sinh Giải Các Bài Tập Về Giới Hạn Của Hàm Số

MỤC LỤC
Chương 1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP..........................................................3
1.1.

Sự cần thiết hình thành giải pháp............................................................3

1.2.

Mục tiêu của giải pháp.............................................................................4

1.3.

Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................4

1.4.

Các căn cứ đề xuất giải pháp...................................................................4

1.5.

Phương pháp thực hiện............................................................................4

1.5.1.

Phương pháp nghiên cứu tài liệu.....................................................4

1.5.2.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm.................................................4

1.6.

Đối tượng và phạm vi áp dụng................................................................5

Chương 2. QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP.............5
2.1.

Quá trình hình thành................................................................................5

2.1.1.

Giải pháp đề xuất.............................................................................5

2.1.2.

Áp dụng thử nghiệm.........................................................................6

2.1.3.

Những cải tiến cho phù hợp với thực tiễn phát sinh........................7

2.2.

Nội dung giải pháp..................................................................................9

2.2.1.

Cấu trúc, các thành phần của giải pháp........................................10

2.2.2.

Các chỉ dẫn cụ thể, mô tả rõ từng giải pháp trong cấu trúc tổng thể

để khắc phục những hạn chế của các giải pháp đã biết).............................20
Chương 3. HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP...................................................................29
3.1.

Thời gian áp dụng..................................................................................29

3.2.

Hiệu quả đạt được..................................................................................29
1


3.3.

Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp.................................................29

Chương 4. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ.......................................30
4.1.

Kết luận..................................................................................................31

4.1.1.

Tính mới..........................................................................................31

4.1.2.

Tính khả thi.....................................................................................31

4.1.3.

Lợi ích giải pháp đạt được và dự kiến đạt được............................31

4.2.

Đề xuất, kiến nghị..................................................................................32

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................33

2


MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Chương 1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP
1.1.

Sự cần thiết hình thành giải pháp:
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là trường có điểm đầu

vào thấp như trường THPT Nguyễn Văn Cừ thì chất lượng học tập môn Toán
của học sinh còn thấp, phần lớn là học sinh yếu kém nên khả năng học tập môn
toán của các em còn yếu. Mặt khác qua 6 năm giảng dạy tôi thấy chương giới
hạn hàm số là một trong những chương khó ở lớp 11, các khái niệm về giới hạn,
hàm số liên tục là khá trừu tượng, mới mẻ đối với học sinh THPT.
Trong chương trình sách giáo khoa THPT thì không đưa ra quy tắc tìm
giới hạn dạng vô định, nhiều định lý, hệ thống bài tập loại này lại nhiều gây khó
khăn cho cả giáo viên và học sinh , đa số học sinh rất khó tiếp thu, không biết

phân biệt được dạng để áp dụng và giải bài tập mà các bài toán về tìm giới hạn
hàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số giữ một phần rất quan trọng để xét tính
liên tục của hàm số, dùng định nghĩa để tính đạo hàm…
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn của hàm số
cũng như nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường tôi đã chọn đề tài “Một
số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 giải các bài tập về giới hạn của hàm số” .
1.2

Mục tiêu của giải pháp:

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo
hứng thú học tập cho học sinh.

3


Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được từng dạng bài tập giới hạn
hàm số trong SGK, sách bài tập và mở rộng kiến thức để làm một số bài tập khó.
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm trong việc dạy bộ môn nhằm nâng cao hiệu
quả giảng dạy .
1.3 Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp
Khi học chương giới hạn và giải các bài tập liên quan đến giới hạn của
hàm số học sinh cần nắm vững các định nghĩa, thuộc các định lý, công thức cũng
như cách áp dụng công thức cho từng bài toán cụ thể.
Cần nắm vững từng dạng bài tập mà lựa cách giải cho phù hợp.
1.4.

Căn cứ đề xuất giải pháp
Dựa trên thực trạng đa số các em học sinh rất khó tiếp thu khi học chương

giới hạn, khi làm bài tập giới hạn hàm số không biết cách áp dụng và phân biệt
dạng nào với dạng nào nên cần thiết phải có một tài liệu hướng dẫn các em giải
quyết những khó khăn đó và hỗ trợ các em học tập tốt hơn.
1.5. Phương pháp thực hiện
1.5.1. Phương pháp nghiên cứu
- Được sự quan tâm của BGH nhà trường đến bộ môn, sự giúp đỡ của quý
thầy cô trong tổ đã góp ý cho việc sưu tầm, biên soạn tài liệu ôn tập tốt hơn.
- Thư viện nhà trường có nhiều tài liệu liên quan thuận lợi cho việc nghiên
cúu tìm tòi.
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài, từ mạng
internet, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp…
1.5.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4


- Khi dạy chủ đề này, tôi cho học sinh photo tài liệu. Kết hợp với bài giảng
trên lớp và bài tập mẩu trong tài liệu , tôi yêu cầu các em làm bài tập tương tự
sau mỗi dạng toán tôi dạy. Tùy theo khả năng của mình mà học sinh làm phần
bài tập tương ứng.
- Ngoài ra khi dạy phần này, tôi cũng chỉ dẫn cho học sinh tham khảo các
đề thi học kỳ của Sở giáo dục. Qua đó cho các em thấy được sức mình để mà
học tập.
1.6

Đối tượng và phạm vi áp dụng

-

Đề tài này chỉ nghiên cứu và áp dụng trong phạm vi kiến thức trọng tâm
môn toán cho học sinh lớp 11 ở học kỳ 2.

-

Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Văn Cừ.
Chương 2. QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP

2.1.

Quá trình hình thành
2.1.1. Giải pháp đề xuất:
Trong những năm gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ của đất nước thì

nền giáo dục đã liên tục có những cải cách, đổi mới nhằm đáp ứng yêu cầu nâng
cao chất lượng giáo dục và đào tạo . Điều đó dẫn tới việc giáo dục phải có những
phương pháp giảng dạy cho phù hợp, việc nghiên cứu kỹ từng bài dạy, từng đặc
điểm bộ môn và đối tượng người học để có sự kết hợp đa dạng các phương pháp
dạy học là việc cần làm ngay của mỗi giáo viên .
Hơn nữa đa phần các em học sinh ở trường Nguyễn Văn Cừ vì điều kiện
kinh tế khó khăn phải dành nhiều thời gian phụ giúp gia đình, một số em chưa
thực sự phát tập trung cho việc học, nhiều em hổng kiến thức cơ bản từ lớp dưới
5


nên khi học chương khó có nhiều định lý và nhiều dạng bài tập như chương giới
hạn thì các em thực sự lúng túng, không phân loại được từng dạng bài tập dẫn
đến kết quả học tập là không cao.
- Vì vậy để giúp học sinh có thể dễ dàng tiếp thu, không ngại khó khăn khi
giải các bài toán giới hạn, biết phân loại và tìm ra phương pháp giải từng dạng

bài tập nhằm nâng cao kết quả học tập tôi đã tìm tòi tài liệu và dựa vào những
kinh nghiệm của các năm giảng dạy lớp 11 từ đó tiến hành soạn đề tài: “ Một số
kinh nghiệm trong việc giúp học sinh giải các bài tập về giới hạn hàm số’’
dùng cho học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Văn Cừ”.
2.1.2. Áp dụng thử nghiệm

Thời gian
Kế hoạch thực hiện
10/9/2015→15/10/2015 Xác định đề tài nghiên cứu
15/10/2015→10/11/2015 Xây dựng đề cương + Thu thập tài liệu
15/11/2015→28/2/2016
01/3/2016→10/3/2016

+nghiên cứu tài liệu
Viết đề tài và Thực nghiệm sư phạm
Nghiên cứu lại các nội dung đã viết, chỉnh
sửa hoàn thiện đề tài

6


2.1.3. Những cải tiến cho phù hợp với thực tiễn phát sinh
a) Xác định đối tượng học sinh, phân loại bài tập để áp dụng cho
từng đối tượng:
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp
đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện
pháp rèn luyện tích cực giúp các em ngày càng tiến bộ. Tuy nhiên ngoài việc dạy
tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để
học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá giỏi

không nhàm chán cụ thể :
- Với học sinh trung bình yếu thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm 5-6
vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải được các dạng toán cơ bản ở
mức độ nhận biết và suy luận đơn giản.
- Với học sinh khá giỏi thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm từ 6.5 trở
lên. Vì vậy ngoài những dạng toán cơ bản, học sinh cần phải nắm vững thêm
những dạng toán nâng cao, toán khó. Do đó người giáo viên cần hướng dẫn
học sinh phải biết phân loại các dạng toán và phương pháp giải ở mức độ
thông hiểu và vận dụng.
b) Xây dựng tài liệu học tập
-Tài liệu học tập được biên soạn dưới dạng tóm tắt kiến thức cơ bản của sách
giáo khoa theo từng chủ đề, phân dạng toán và phương pháp giải và một số bài
tập áp dụng.
- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
1. Giới hạn hữu hạn:
7


A/ Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ;

x → x0

lim c = c (c: hằng số)

x → x0

B/. Định lí:
f ( x ) = L và lim g( x ) = M
a) Nếu xlim

→ x0
x → x0

[ f ( x ) + g( x )] = L + M
thì: xlim
→ x0
lim [ f ( x ) − g( x )] = L − M

x → x0

lim [ f ( x ).g( x )] = L.M

x → x0

lim

x → x0

f (x) L
=
(nếu M ≠ 0)
g( x ) M

f ( x) = L
b) Nếu f(x) ≥ 0 và xlim
→ x0

thì L ≥ 0 và xlim
→x

f ( x) = L

0

f ( x ) = L thì lim f ( x ) = L
c) Nếu xlim
→ x0
x → x0

C. Giới hạn một bên:
lim f ( x ) = L

x → x0

f ( x ) = lim + f ( x ) = L
⇔ xlim
→ x0 −
x → x0

2. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
A. Giới hạn đặc biệt:
neáu k chaün
lim x k = +∞ ; lim x k = +∞

x →+∞
x →−∞
 −∞ neáu k leû
lim c = c ;

x →±∞

lim

x →±∞

c
xk

=0

8


lim

1
1
= ; lim+ = +
x
x 0 x

lim

1
1
= lim+ = +
x x 0 x

x 0

x 0

B. nh lớ:
f ( x ) = L 0 v lim g( x ) = thỡ:
Nu xlim
x0
x x0
+ neỏu L vaứ lim g( x ) cuứng daỏu

x x0
lim f ( x )g( x ) =
g( x ) traựi daỏu
x x0
neỏu L vaứ xlim
x0

0 neỏu lim g( x ) =
x x0
f ( x )
lim
= + neỏu lim g( x ) = 0 vaứ L .g( x ) > 0
x x0 g( x )
x x0


neỏ
u
lim g( x ) = 0 vaứ L .g( x ) < 0

x x0

2.2.

Ni dung gii phỏp

Trong quỏ trỡnh gii bi tp gii hn ca hm s hc sinh thng gp 3
dng bi tp tỡm gii hn hm s c bn sau:
f ( x)
- Tỡm gii hn ca hm s ti mt im: xlim

x0
f ( x )
- Tỡm gii hn vụ cc ca hm s : xlim

f ( x ) , lim f ( x )
- Tỡm gii hn mt bờn ca hm s: xlim
x x0

x0 +

9


Tôi phân thành 3 trường hợp trên vì lúc này tôi không xét tính chất của
hàm số mà chỉ nhận dạng từng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà
x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn bên trái, giới
hạn bên phải) mà phân loại cho học sinh dễ nhận biết dạng bài tập .
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra thành nhiều dạng bài tập nhất
định.

Ở đây tôi sẽ khái quát phương pháp giải cụ thể, ví dụ minh họa và

một số bài tập về giới hạn hàm số theo từng dạng như sau:
2.2.1 Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm:
f ( x ) = f ( x0 ) .
a) Dạng 1: xlim
→x
0

Phương pháp giải :
- Dạng này ta chỉ cần thay trực tiếp x0 vào biểu thức f(x).
- Cần lưu ý là chỉ thay x0 được khi f ( x ) là hàm đa thức, hàm căn hoặc là
dạng phân số khi thay x vào thì có mẫu khác 0.
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

( 4 x − 3)
1/. xlim
→2
6x −1
x→3 x + 5

3/. lim

x 2 + 5 − 4)
2/. xlim(
→2
x 2 − 3x + 2
x →−2
x−2

4/ lim

BÀI GIẢI

( 4 x − 3) =4.2-3=5
1/ xlim
→2

10

.


x 2 +5 −1) = 2 2 +5 −4 =−1

2 / lim (
x→
2

6 x −1 6.3 −1 17
=
=
x →3 x +5
3 +5
8

3 / lim

x 2 − 3 x + 2 ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 2

12
4/ lim
=
= − = −3
x →−2
x−2
4
( −2 ) − 2
2

Bài tập tương tự
2
- 2x+5)
1. lim(4x
x →1

lim ( 3x - 4x + 5 )

3

x →3

x 3 +7x - 5
5. lim
x →-1 2x 4 +1

b) Dạng 2: xlim
→x

0

thay

lim

x →x 0

- 2 x +10)
2. lim(3x
x →1

3.

8x +1
x →1 4x 2 - 6

4. lim

+1) (-4x 2 + 8) .
6. lim(3x
x →1

f ( x)

g( x)

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẩm dạng bằng cách
0

x0 vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(x0)=L, g(x)=g(x0)=0. nên
f ( x)

g( x )

L
lúc này có dạng  ÷. Lưu ý kết quả dạng này là −∞ hoặc +∞
0

.
Phương pháp giải cụ thể như sau:

11


f ( x) = L
Bước 1: Tính xlim
→ x0
g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ x .
Bước 2: Tính xlim
0
→ x0
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để rút ra kết luận.
lim f ( x ) = L

lim g( x ) = 0

lim

L>0

L>0
L<0
L<0

g(x) > 0
g(x) < 0
g(x) > 0
g(x) < 0

+∞
−∞
−∞
+∞

x →a

x →a

x →a

f ( x)
g( x)

Chú ý:
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0+ , x → x0− ,
x → +∞ , x → −∞ .

Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
1 / lim
x →3

−3 x + 5

( x − 3)

2

2 / lim

x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x

Bài giải
1 / lim
x →3

−3 x + 5

( x − 3)

2

12

3

)

+1


 lim ( −3 x + 5) = −4 < 0
 x →3
2

x − 3) = 0
(
 lim
Ta có:  x →3
 ( x − 3) 2 > 0 (∀x ≠ 3)


. Vậy lim
x →4
2 / lim

−3 x + 5

( x − 3)

= −∞

2

3x − 4

x →−1

( x + 1) ( x

3

)

+1

= lim

x →−1

= lim

x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x + 1) ( x

(

)

(

)

)

− x +1

3x − 4

( x + 1) ( x

 lim ( 3 x − 4 ) = −7 < 0
 x →−1
2

x + 1) x 2 − x + 1 = 0
(
 lim
x →−1

 ( x + 1) 2 x 2 − x + 1 > 0 (∀x ≠ −1)


2

2

2

Ta

)

− x +1

Vậy lim
x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x

Bài tập tương tự:
Tính các giới hạn sau:
1 / lim
x →2

4x + 2

( x − 2)

3 / lim

x →−1

2 / lim

2

x →3

5x + 3

( x + 1)

2

4 / lim

2 x 3 − 11

( x − 3)

x →−2

13

có:

2

4x − 5

( x + 2) ( x

3

+8

)

3

)

+1

= −∞ .


Dạng 3: xlim
→x

0

f ( x)

g( x)

0
→  ÷. (ta tính nhẩm dạng bằng cách thay x0 vào f(x) và
0

g(x). Ta thấy f(x)=f(x0)=0, g(x)=g(x0)=0 nên xlim
→x

0

f ( x)

g( x)

0
lúc này có dạng  ÷.

0

Phương pháp giải một số dạng loại này:
Dạng 1:
-Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2 thì ta phân
tích các đa thức thành nhân tử rồi giản ước nhân tử chung. Thế x 0 vào tính
là xong.
Chú ý: Nếu f(x), g(x) là đa thức bậc 2 ta có thể hướng dẫn học sinh sử
dụng máy tính bấm ra 2 nghiệm và áp dụng quy tắc sau để phân tich thành
nhân tử: Nếu f ( x ) = ax 2 + bx + c .
f ( x ) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì f(x)= ax2 + bx + c = a(x – x1)(x-x2)
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau
 x+2 
1/ Lim  2
x →2  x − 4 ÷

 x 2 − 3x + 2 
3 / Lim 
÷
2
x→1
 x −1 

 2x2 − 2 
2 / Lim 
÷
x→1
 x −1 
 x2 + 2 x − 3 
4 / Lim  2

x→1 2 x − x − 1 ÷



Bài giải
x−2
1
1
 x−2 
1/Lim  2
= Lim
= Lim
=
÷
x →2  x − 4 
4
x →2 ( x − 2 ) ( x + 2 )
x →2 x + 2

14


2 ( x − 1) ( x + 1)
 2x2 − 2 
2 / Lim 
= Lim
= Lim 2 ( x + 1) = 4
÷
x→1
( x − 1)

x→1
 x − 1  x→1
 x 2 − 3x + 2 
( x − 1) ( x − 2 ) = Lim x − 2 = −1
3 / Lim 
=
Lim
÷
2
x→1
 x − 1  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 1 2
 x2 + 2 x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = Lim x + 3 = 4
4 / Lim  2
= Lim
÷
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3 .
2
2
Bài tập tương tự:
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau

x2 − 4x + 3
1 / lim
x →3
x−3
2 x 2 + 2 x − 12
3 / lim

x→2
x2 − 4

x+3
x →−3 x 2 − 9
3 x 2 − 8 x − 16
4 / lim 2
x → 4 x + x − 20

2 / lim

Dạng 2: Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức có bậc cao hơn 2 thì ta phân tích các
đa thức thành nhân tử, giản ước nhân tử chung rồi làm tương tự dạng 1.
Lưu ý:
-Có thể hướng dẫn học sinh dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
-Sơ đồ Hoocner để phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử ( hoặc sử dụng máy
tính bỏ túi để tách các đa thức).
a)Một vài hằng đẳng thức đáng nhớ:
A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

(
= ( A + B) ( A

A3 − B 3 = ( A − B ) A2 + AB + B 2
A3 + B 3

2

− AB + B 2

)
)
15


b)Sơ đồ Hoocner:
Giả sử phân tích đa thức f(x)=x3 + 5x2 + 2x -8 thành nhân tử khi giải bài toán
giới hạn học sinh dễ dàng thấy rằng khi x0 → 1 thì f ( x ) → 0 nên ta phân tích

(

)

a0 =1
b0 = a0 =1

A1=5
b1= 1.1+5 = 6

2
f(x) = ( x − 1) x + 6x + 8 dựa vào sơ đồ sau:

Nghiệm
x0 = 1

A2 =2
b2 = 1.6+2 = 8

a3 =-8
b3 = 1.8 + (– 8) = 0

(kq này luôn là 0)
Với f(x) = a0x + a1x + a2x +…+an f(x)=0 có nghiệm x = x0 thì
n

n-1

n-1

f(x) =(x-x0)( b0xn-1 + b1xn-2 +…+bn ).
c) Sử dụng máy tính bỏ túi:

f ( x ) = ax n + bx n −1 + cx n − 2 + cx n −1 + dx n −3 + …

f(x)=0 có nghiệm

x = x0 Ta tiến hành các bước sau:
1 Ấn a = AC
2 Ấn Alpha X + x0 . Ans
3 Ấn Calc rồi nhập các giá trị b,c,d,…..được các kết quả chẳng hạn là e,f,g,
…đây là các hệ số của đa thức :

( ax n −1 + ex n −2 + fx n −3 + gx n −4 + ...)
Suy ra f(x) được viết lại là:

f ( x ) = ( x − x 0 ) ( ax n −1 + ex n − 2 + fx n −3 + gx n − 4 + ...)
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau
1/ lim

x →2

3 / lim

x3 − 8
x2 − 4
x3 − x 2 + 2 x + 4

x →−1

2

x − 3x − 4

(1+ x)
2 / Lim
x →0

−1

x
3x − 5 x 2 + 3 x − 10

4 / lim 16
x →2

3

3

x 4 − 3x 2 − 4

Bài giải
x3 − 8

( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
x 2 + 2 x + 4 12
1 / lim
= lim
= lim
=
=3
x →2 x 2 − 4
x →2
x →2
( x − 2)( x + 2)
x+2
4
2
3
1 + x − 1) ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + 1
(
1
+
x
−
1
) = Lim



. 2 / Lim (
x →0
x →0
x
x
2
x ( x + 3 x + 3)
= Lim
= Lim x 2 + 3 x + 3 = 3
x →0
x →0
x

(

3 / lim

x3 − 6 x2 + x + 4
x2 + 3x − 4

x →1

4 / lim

( x − 1)( x 2 − 5 x − 4)
( x 2 − 5 x − 4)
8
= lim
=−
x →1

x →1
( x − 1)( x + 4)
( x + 4)
5

= lim

3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 10
x 4 − 3x2 − 4

x →2

)

= lim

( x − 2)(3 x 2 + 5 x + 5)

x →2 ( x − 2)( x 3

+ 2 x 2 + x + 2)

= lim

(3 x 2 + 5 x + 5)

x →2 ( x 3

+ 2 x 2 + x + 2)

Bài tập tương tự:
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau

a) lim
x →1

c) lim

x →3

x3 − x2 − x + 1
x 2 − 3x + 2
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
x 4 − 8x 2 − 9

b) lim

x →1

d ) lim

x4 −1
x3 − 2 x2 + 1
x − 5x 5 + 4 x 6

x →1

(1 − x )2

Dạng 3:

lim

x → x0

f ( x)

g( x)

với f(x0) = g(x0) = 0

a) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc thì nhân tử và mẫu cho
các biểu thức liên hợp. Các biểu thức liên hợp thường gặp:

17

=

27
20


1)

a− b=

2)

a+ b=

a−b
a+ b
a−b
a− b

3)

3

4)

3

a−3b=
a+3b=

a−b
3

a2 + 3 ab + 3 b2
a+b

3

a2 − 3 ab + 3 b2

Ví dụ 7:Tính các giới hạn sau:

a) lim

2− 4−x
x →0
x

b) lim



4x
c) lim 
÷
x →0  9 + x − 3 

d ) lim

x →1

x →1

x+2 −2
x +7 −3

4 x + 5 − 3x + 6
x +3 −2

Bài giải

(2− 4− x)(2+ 4− x)
2− 4− x
1

1
= lim
= lim
=
x →0
x →0
x →0 2 + 4 − x
x
4
x(2 + 4− x)

a) lim

b) lim

x →1

x +2 −2
x +7 −3

= lim

x →1

(
= lim
x + 7 − 3 x →1 (

x+2 −2

)(
x + 7 − 3) (

x +2 −2

18

)(
x + 7 + 3) (
x+2 +2

)
x + 2 + 2)
x+7 +3


( x − 2) (
= lim
x →1 x − 2
( )(

) = lim x + 7 + 3 = 6 = 3
x + 2 + 2 ) x →1 x + 2 + 2 4 2
4 x ( 9 + x + 3)
4 x ( 9 + x + 3)

4x
= lim
÷ = lim
9+ x−9

9 + x − 3  x →0 ( 9 + x − 3 ) ( 9 + x + 3 ) x →0
4 x ( 9 + x + 3)
= lim
= lim 4 ( 9 + x + 3) = 24
x →0
x →0
x


c) lim 
x →0 

d ) lim

x+7 +3

4 x + 5 − 3x + 6
= lim
x →1
x +3−2

(

4 x + 5 − 3x + 6

4 x + 5 + 3x + 6

4 x + 5 + 3x + 6

)(

)(

x +3 +2

) ( x + 3 − 2)
( 4 x + 5 − 3x − 6 ) ( x + 3 + 2 )
( x − 1) ( x + 3 + 2 )
= lim
= lim
x →1 x + 3 − 4
(
) ( 4 x + 5 + 3x + 6 ) x→1 ( x − 1) ( 4 x + 5 + 3x + 6 )
x + 3 + 2)
(
2
= lim
=
x →1 4 x + 5 + 3 x + 6
(
) 3
x →1

(

)(

x +3 +2

b) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn không cùng bậc ta sử dụng thủ

thuật thêm bớt ( chèn hằng số vắng) rồi nhân lượng liên hợp.
Giả sử:

f ( x ) = m u( x ) − n v( x ) vôùi
Ta phân tích :

f ( x) =

m u( x

0)

= n v( x 0 ) = a .

( m u( x ) − a ) + ( a − n v( x ) ) .

Ví dụ 8:Tính các giới hạn sau:

19

)


a) lim

3

x →0

x +1 − 1− x

x

1 + 2 x − 3 1 + 3x
b) lim
x →0
x
Bài giải

 3 x +1 −1 1− 1− x 
x +1 − 1− x
a) lim
= lim 
+
÷
x →0
x →0 
x
x
x


 1 1 5
1
1
= lim 
+
÷= + =
x →0  3
2
3

÷ 3 2 6
1
+
1
−
x
 ( x + 1) + x + 1 + 1

3
 1 + x − 1 1 − 3 1 + 3x 
1 + x − 1 + 3x
b) lim
= lim 
+
÷
x →0
x →0 
x
x
x

−2 x
= lim
x →0 x ( x + 1 + 1)(1 + 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x )2
−2
1
= lim
=−
x →0 ( x + 1 + 1)(1 + 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x )2
3

3

Bài tập tương tự:
3

2x + 6 − x + 3
a) lim
x →1
x −1
3
x −9 + x+3
d ) lim
x →1
x −1

x + 2 − 3 2 + 3x
b) lim
x →2
x −2
3
x−6 + x+6
e) lim
x →−2
x2 + x − 2

c) lim

x →−1

d ) lim

x →−1

3

3x 2 − 4 + 3x + 4
x +1
2 + x + 3 2x + 1
x2 − x − 2

2.2.2. Tìm giới hạn của hàm số tại vô cực:
Dạng 1: lim
x →∞

f ( x)
∞
→  ÷.
g( x)
∞

Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho xn với n là lũy thừa cao nhất của
tử và mẫu.
20


a. Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng
tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
b. Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó
bằng 0.
c. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là

+∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – ∞
nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
−2 x + 4
a) lim
x→−∞ 3 x − 5
− x2 − 8x + 5
d ) lim 3
x →+∞ 2 x − 6 x 2 + 7

4 x 2 + 3 x − 11
b) lim
x →+∞ 7 x 2 − x + 5

6 x 2 + 3x − 8
c) lim 4
x →−∞ 3 x − 9 x + 1

3x 4 + 6 x + 7
e) lim 2
x →+∞ 2 x − 2 x + 5

4 x5 + 3x − 8
f ) lim 4
x →−∞ x − 6 x + 1

Bài giải
4
4



x  −2 + ÷
−2 + ÷

−2 x + 4
x
x  −2
a) lim
= lim 
= lim 
=
x→−∞ 3 x − 5
x→−∞
5  x→−∞ 
5
3

x3 − ÷
3 − ÷
x
x


3 4 
3

2
x
4
+

−
4
+
−

÷

4 x 2 + 3x − 11
x x2 
x


b) lim
= lim
= lim
x →+∞ 7 x 2 − x + 5
x →+∞
x →+∞ 
1
5
1


x2  7 − + 2 ÷
7 − +
x x 
x



4 
÷
x2  4
=
5  7
÷
x2 
3
8 
3
8 
 6
 6
x4  2 + 3 − 4 ÷
+
−

÷
2
6 x + 3x − 8
x
x
x 
x 2 x3 x 4 


c) lim 4
= lim
= lim
=0

x →−∞ 3 x − 9 x + 1 x →−∞
9
1  x→−∞ 
9
1 
4
x 3 − 3 + 4 ÷
3 − 3 + 4 ÷
x
x 
x
x 



21


5
5
 1 8
 1 8
x3  − − 2 + 3 ÷
− − 2 + 3÷

− x − 8x + 5
x x
x 
x x
x 

d ) lim 3
= lim 
= lim 
=0
2
x →+∞ 2 x − 6 x + 7
x →+∞
x →+∞ 
6 7
6 7
3
x 2 − + 3 ÷
2 − + 3 ÷
x x 
x x 


6
7 
6
7 


x4  3 + 3 + 4 ÷
3+ 3 + 4 ÷

4
3x + 6 x + 7
x
x 

x
x 
e) lim 2
= lim 
= lim x 2 . 
= +∞
x →+∞ 2 x − 2 x + 5
x →+∞
2 5  x→+∞
2 5 

2
x 2 − + 2 ÷
2 − + 2 ÷
x x 
x x 


3
8 
3
8 


x5  4 + 4 − 5 ÷
4+ 4 − 5 ÷

5
4 x + 3x − 8
x

x 
x
x 
f ) lim 4
= lim 
= lim x . 
= −∞
x →−∞ x − 6 x + 1
x→−∞
6
1  x→−∞ 
6
1 
4
x 1 − 3 + 4 ÷
1 − 3 + 4 ÷
x
x 
x
x 


2

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau
2x2 + x − 8
a) lim
x→+∞ 7 x 2 − 5
6 x2 − 8x + 5

d ) lim 4
x →+∞ 3 x − 5 x 2 − 9

6 x3 + 9 x − 4
b) lim 3
x →−∞ 3 x − 6 x + 7
−4 x 4 + 6 x3 + 7
e) lim
x →−∞ 2 x 2 + 7 x − 3

4 x5 + 3x 2 − 2
c) lim
x →−∞ 3 x 3 + 4 x − 5
2 x 3 + 11x 2 − 6 x + 3
f ) lim
x →+∞ 9 x 4 − 6 x 2 + x − 4

 f ( x )  với f(x) là hàm đa thức hoặc biểu thức dưới dấu căn.
Dạng 2: lim
x→ ∞ 
Phương pháp:
Đưa mũ cao nhất của x ra ngoài đa thức hoặc trong biểu thức dưới dấu căn .
Cần lưu ý khi x → +∞ thì khi đưa x ra khỏi dấu căn thì coi như x > 0 và khi
x → −∞ thì coi như x<0 để mà xét dấu rồi rút ra kết luận.

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
22


a ) lim (3 x 4 − 7 x 3 + 5 x − 2)

x →+∞

d ) lim

x →−∞

4x2 + 7x − 8

b) lim (4 x 3 − 2 x 2 + 5)
x →−∞

e) lim

x →+∞

x 2 − 3x + 1
2x + 1

c ) lim

x →+∞

e) lim

x →−∞

Bài giải
7 5
2


a) lim (3 x 4 − 7 x 3 + 5 x − 2) = lim x 4 .  3 − + 3 − 4
x →+∞
x →+∞
x x
x

vì:
 lim x 4 = +∞
 x →+∞

7 5
2

x4 . 3 − + 3 − 4
 xlim
x x
x
 →+∞ 


÷= 3 > 0

2 5

b) lim (4 x 3 − 2 x 2 + 5) = lim x 3 .  4 − + 3 ÷ = −∞
x →−∞
x →−∞
x x 

vì:

 lim x3 = −∞
 x →−∞

2 5 

4 − + 3 ÷= 4 > 0
 xlim

x x 
 →−∞ 
c) lim

x →+∞

x 2 − 3 x + 4 = lim x. 1 −
x →+∞

3 4
+
= +∞
x x2

vì:
x = +∞
 xlim
 →+∞

3 4
1− + 2 = 1 > 0
 xlim

x x
 →+∞

23


÷= +∞


x 2 − 3x + 4
4 x 2 + 2 − 3x + 4
x2 − 2 + 2 x − 1


d ) lim 4 x 2 + 7 x − 8 = lim x . 4 +
x →−∞

x →−∞

7 8
7 8
− 2 = lim − x. 4 + − 2 = −∞
x →−∞
x x
x x

vì:
 lim x = −∞
 x →−∞


7 8
4+ − 2 = 2 > 0
 xlim
x x
 →−∞

e) lim

x →+∞

x 2 − 3x + 1
= lim
x →+∞
2x + 1

 3 1 
 3 1 
x 2 1 − + 2 ÷
x 1 − + 2 ÷
x x 
x x 


= lim
x →+∞
1
2x + 1

x2 + ÷
x



 3 1 
 3 1 
x. 1 − + 2 ÷
1 − + 2 ÷
x x 
x x  1


= lim
= lim
=
x →+∞
x →+∞
1
1
2


x2 + ÷
2 + ÷
x
x


4 x + 2 − 3x + 4
2

f ) lim

x →−∞

x − 2 + 2x − 1
2

2 

x 2  4 + 2 ÷ − 3x + 4
x 


= lim

x →−∞

= lim

x →−∞

2 

x 1 − 2 ÷ + 2 x − 1
x 

2

2 

− x.  4 + 2 ÷ − 3x + 4

x 

2 

− x. 1 − 2 ÷ + 2 x − 1
x 


Bài tập tương tự
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau

24

= lim

x →−∞

= lim

x →−∞

2 

x .  4 + 2 ÷ − 3x + 4
x 

2 

x . 1 − 2 ÷ + 2 x − 1
x 


2 
4

− 4 + 2 ÷− 3 +
x
x 

2 
1

− 1 − 2 ÷ + 2 −
x
x 


= −5


a ) lim (−2 x 5 + 4 x 3 − 5 x + 1)

b) lim (5 x 4 + 2 x 3 − 3 x + 2)

x →+∞

x →−∞

d ) lim 8 x − 7 x + 2
4

e) lim

x →−∞

x →+∞

4 x 2 + 3 x − 11
−4 x + 3

c ) lim 9 x 2 + 4 x − 2
x →+∞

f ) lim

x →−∞

x2 + 2 x − 9 x − 1
4 x 2 + 6 x − 1 + 3x + 2

Dạng 3:
a) Dạng:

lim  f ( x ) ± g ( x )  → ∞ − ∞

x →∞ 


Giới hạn này thường có chứa

căn.

Phương pháp: Nhân lượng liên hợp của tử và mẫui đưa về dạng

∞
rồi
∞

giải bình thường.
b) Dạng:

lim f ( x ) .g ( x ) → ( 0.∞ ) .
x →∞

Phương pháp: Ta đưa về dạng 1: lim
x →∞

f ( x)

∞
→  ÷ rồi giải.
g( x)
∞

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau
a) lim

x →+∞

(

4+ x − x)

b) lim  x 2 + 2 x + 3 − x ÷
x →+∞ 

4x - 1
e) lim ( 2x + 3 )
x →+∞
x3 + 2x

3

d ) lim ( x 3 + x 2 − x )
x →±∞

c ) lim  x 2 + x − x 2 − 2 ÷
x→−∞ 


Bài giải
a) lim

x →+∞

(

4 + x − x ) = lim

x →+∞

(

4+ x − x)( 4+ x + x)
4+ x + x

25

= lim

x →+∞

4+ x− x
1+ x + x

lim

x →+∞

4
1+ x + x

=0