SKKN Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy

SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Mục lục
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

NỘI DUNG
Phần 1 :
Mở đầu.
1. Mục đích của SKKN.
2. Đóng góp của SKKN.
Phần 2 : Nội dung
Chương 1: Cơ sở khoa học của SKKN
1. Cơ sở lý luận.
2. Cơ sở Thực tiễn.
Chương 2: Thực trạng vấn đề

Chương 3: Những giải pháp
Giải pháp thứ nhất
Giải pháp thứ hai
Giải pháp thứ ba
Chương 4: Kiểm chứng
Phần 3 : Kết luận
Phần 4 : Phụ lục
Tài liệu tham khảo

TRANG
2
2
4
4
2
4
5
6
7
7
9
16
35
36
38
38

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến
chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Phần 1. MỞ ĐẦU
1. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.
1

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Hiện nay nước ta đang tiến hành đổi mới căn bản và toàn diện trong giáo dục,
nội dung, chương trình giảng dạy đã được đổi mới, chất lượng bước đầu đã được
cải thiện theo phương châm : “ ... cơ bản, hiện đại mà hài hoà phù hợp với thực tiễn
Việt Nam” [ Nghị định 02/2003 của chính phủ ] Điều đó đặt ra cho giáo dục nhiều
vấn đề cần phải giải quyết, vấn đề về truyền thống – hiện đại; vấn đề toàn cầu –
quốc gia và cá thể. Để đáp ứng sự phát triển hiện nay Giáo dục Đào tạo nước ta
phải đổi mới căn bản và toàn diện không chỉ về phương pháp dạy học mà còn đổi
mới cả về nội dung và phương tiện dạy học trên nền tri thức khoa học - công nghệ
mới tiên tiến và hiện đại hoá với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, giáo dục phải
tiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và bằng chính thái độ chủ động, tích cực sáng
tạo của người học.
Trong cuộc cách mạng về giáo dục, quan trọng hơn cả là sự đổi mới về phương
pháp. Giáo dục được cải tiến theo xu hướng phát triển của phương pháp dạy học
hiện đại: Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh
làm trung tâm hợp lý hơn là đặt người học vào trung tâm của quá trình dạy học, coi
học sinh là trung tâm của nhà trường. Giáo dục phải chuyển từ “ cung cấp kiến thức
“ sang mục đích “ luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” bằng con đường tự học, tự
nghiên cứu, tự trau dồi nghề nghiệp (ba tự) trong sự cạnh tranh và ‘bùng nổ thông
tin’ của thời đại, sự tư duy năng động sáng tạo nổi lên hàng đầu. Vì vậy, giáo dục
phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, ”bắt trước”, ghi

nhớ”. Giáo viên từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn
học trò tự tìm lấy kiến thức, còn học trò từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở
thành người chủ động tìm học, tự học tự nghiên cứu. Theo nhà giáo người ĐứcDistetverg đã nói “ Người thầy tồi truyền đạt chân lý, người thầy giỏi dạy cách tìm
ra chân lý”. Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “ độc giảng”, “kinh viện” ,
2

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

( thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép). Dạy kiến thức phải phát huy lòng say
mê ham thích học tập của người học. Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấp
kiến thức, hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực tư
duy và hành động.
Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực trong dạy
học, tích cực hoá hoạt động của người học. Quá trình giáo dục là một quá trình
nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết,
chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn, phải biết kết hợp
giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với nhau; học và hành ở mọi lúc
mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế. Người giáo viên phải thực hiện chủ trương
đưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng, phải cập nhật “ thông tin” thường xuyên,
liên tục đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển, những biến đổi
to lớn của thời đại.
Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học thích
hợp với nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “ dạy chay”, và biến thầy
giáo thành “ thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng dụng các
phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng dạy và học.
Hơn nữa, toán học ở trường trung học cơ sở là môn khoa học có vị trí quan
trọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ - đội ngũ

những người lao động trong tương lai những kiến thức toán học phổ thông cơ bản,
hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những kiến thức về khoa
học công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới.
2. Đóng góp của SKKN

3

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Với quan điểm dạy toán là dạy cách tư duy, là một hiệu phó phụ trách chuyên
môn có chuyên môn là môn toán tôi mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới
phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhất là dạy môn hình
học lớp 8, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học, đào tạo những con
người yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về những thành tựu khoa học
mới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay.
Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu đề tài “Phát triển tư duy
toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường
thẳng đồng quy”.
Phần 2: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ KHOA HỌC
1.Cơ sở lý luận
- Quy luật của quá trình nhận thức của con người là từ trực quan sinh động đến
tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn. Song quá trình nhận thức
đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích
cực, chủ động sáng tạo của chủ thể.
- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người

lớn , muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở lứa tuổi học
sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động
học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau. Các em có nguyện
vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” tuy nhiên nhược
điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm
4

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới, vì vậy cần có sự hướng
dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô.
Lý luận về phương pháp dạy học cho thấy trong môn toán sự thống nhất giữa điều
khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán
triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán bằng hoạt động . Dạy học theo
phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn,
tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy
quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học sinh
thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá .. .
. . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm. Phải cung cấp cho học sinh có
thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm
được hướng giải quyết một bài toán, hướng chứng minh một định lý . . . . .
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán
cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều năm
học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại
khoá.
2. Cơ sở thực tiễn :

- Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có phương pháp tư duy
sáng tạo, chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức
một cách chủ động.

5

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

- Trong những năm qua các trường trung học cơ sở đã có những chuyển đổi tích
cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ
khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến
thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa, chưa
biết phát triển từ bài toán cụ thể cơ bản đến bài toán tổng quát, bài toán nâng cao.
CHƯƠNG 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
- Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khi vận
dụng vào giải quyết các bài tập.
- Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào
giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng
vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao.
Ví dụ : Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang
cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi
qua trung điểm của các đáy của hình thang”.
+ Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau:
Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để
chứng minh. Do đó các em không giải được. Sau đó tôi gợi ý rằng “ Bài toán đề

cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý
gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hình
thang có 2 cạnh đáy song song ). Nhưng các em cũng không thể giải được, bởi vì
để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả của
định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy.
+ Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học
sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài toán và có khoảng
6

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

60% - 70% học sinh chứng minh được. Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng
chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn, phức tạp hơn. Đặc
biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng
vuông góc, các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đường
thẳng đồng quy ... Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên
đề của tôi:
CHƯƠNG 3: NHỮNG GIẢI PHÁP
I-Giải pháp thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát
hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết
:
1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là :
a/ Định lý Talét:
• Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và
cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương
ứng tỷ lệ.
• Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra

trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song
song với cạnh còn lại của tam giác.
AC '
 AB '
 AB = AC

∆ABC
 AB ' = AC '
⇔

BB '
a
//
BC
CC '


BB
'
CC
'

=
 AB
AC


A

B'

C'

a
C

B

7

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

b/ Hệ quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác
và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương
ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

B'

C'
A

A

B'

a

C' a

B
C

B'

B

C

A
C'

a

B

C

∆ABC
AB' AC ' B ' C '
⇒
=
=

a
//
BC
AB

AC
BC


2. Tìm hiểu thấy rằng :
Từ định lý Talét , đã chứng minh được hệ quả , vậy thì một vấn đề đặt ra là:
Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đường
thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra . Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm
AD ,D∈ đường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’.

Ta có thể suy ra

B' C ' C ' D'
=
BC
CD

A
a

B'

C'

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh
B

8

D'

C

D


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

vì cùng bằng

AC'
AC

B' C ' C ' D'
=
= k (k ≠ 1) thì ba đường thẳng BB’ , CC’ , DD’
BC
CD

Ngược lại : Nếu có

đồng quy tại một điểm A hay không?
Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’C’ hay không ?
Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về
đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng ...
Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh
có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức
cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên.
Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh .
II.Giải pháp thứ hai:

Xây dựng hệ thống bài tập, giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng hợp, khái quát
hoá kiến thức mới, từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập.
Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại
A, A’ ∈ 0a ; B, B’ ∈ 0b ; C, C’ ∈ 0c .
O

Chứng minh rằng :

AB BC
=
A' B' B' C '

A

m
B

C
B'

A'

a

C'

b

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

m'
c

9


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Chứng minh
- Xét tam giác 0AB ta có

- xét tam giác 0BC ta có

từ đó suy ra :

AB
0B
=
( Hệ quả của định lý Talét)
A' B ' 0 B '
BC
0B
=
(Hệ quả của định lý Talét)
B' C ' 0 B'

AB
BC
=
(đpcm)

A' B' B ' C '

Bài số 2 : Vấn đề đặt ra là :

Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cắt hai đường
thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán.
Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c,
0d cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’ ∈
0a ; B, B’ ∈ 0b ; C, C’ ∈ 0c ; D,D’ ∈ 0d.
Chứng minh rằng :
O

AB BC CD
=
=
A' B ' B ' C ' C ' D'

A

D
B

Chứng minh

A'

m

C
B'

C'

m'
D'

a

Tacó
1)

AB
BC ( như bài số
=
A' B ' B ' C '

d

b
c

10

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

BC CD
=

B' C ' C ' D'

( chứng minh tương tự bài 1)

AB
BC
CD
=
=
A' B' B ' C ' C ' D '

từ đó suy ra

(đpcm)

Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất ?
Hs trả lời : “ Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng
song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng
tương ứng tỷ lệ”.
Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất của ba đường thẳng
đồng quy . Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phát
biểu thành bài toán đảo của bài toán trên ) chính là nội dung của bài toán 3 sau
đây :
Bài số 3 : Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần
lượt tại A, A’ ∈ a ; B, B’ ∈ b ; C, C’ ∈ c sao cho

AC
BC
=
= k (k ≠ 1)

A' C ' B ' C '

Chứng minh rằng các đường thẳng a,b,c đồng quy tại một điểm
Chứng minh
O

Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại 0
ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua 0

A

m

C

B

11
B'

A'

C'

m'

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh
a

b

c


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Gọi giao điểm của đường thẳng 0C với m’
là C” . Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :
AC
BC
AC
BC
=
=
Mặt khác theo GT
A' C ' B ' C '
AC ' ' B' C '

Từ đó suy ra A’C”=A’C’ và B’C’=B’C” ⇒ C ' ≡ C ' ' Vậy c đi qua 0 hay a, b, c đồng
quy tại 0.
Đến đây Gv cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên
Hs “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai
đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng
quy”.
Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung
kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý
Talét. Đến đây Gv cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh
được vào giải quyết bài tập .
Bài số 4 : Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng
nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy .

B

A

Chứng minh

N

Vì M là trung điểm của AB nên :
MA = MB

D

C
M

Vì N là trung điểm của CD nên :
NC = ND
12

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

từ đó suy ra :

AM
MB

=
DN
NC

Theo kết quả bài 3 ta được AD,BC,MN đồng quy
đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây.
Bài số 5 : Chứng minh rằng :Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm
hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng.
O

Chứng minh

N

A

Gọi giao điểm của AD và BC là 0; giao điểm

B
I

của AC và BD là I. Gọi M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của CD.

C

D

M

Ta có : 0,M,N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I,M,N thẳng hàng (tương tự bài 4)
Suy ra : 0 ,M,N,I thẳng hàng (đpcm).
Đây là bài toán sau khi đã làm được bài 4 học sinh làm được một cách dễ dàng mà
không cần phải gợi ý thêm gì cả .Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt
vấn đề ở trên:
Bài số 6 :
E

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình
A

thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó

M

và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm
của các đáy của hình thang.

B

F

D

N

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

C

13


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước ( không dùng com pa) để dựng trung
điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và
dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho
trước mà đã biết trung điểm I của AB.
Chứng minh
a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC
Cắt nhau tại E và hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại F . Gọi giao điểm của EF với
AB ,CD theo thứ tự là M,N . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường
thẳng đồng quy ED, EN, EC ta có

AM MB
=
, do đó
DN NC

AM DN
=
(1) . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng
MB NC

quy AC,MN,BD ta có

AM MB
AM NC

=
=
, do đó
NC DN
MB ND

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

DN NC
=
do đó DN=NC nên N là trung điểm của CD . Từ DN=NC và (2) suy ra
NC DN

AM=MB nên M là trung điểm của AB.
b/ Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB thì ta lần lượt nối A,B với
cùng một điểm E nào đó ở ngoài D và khác phía đối với A .Gọi giao điểm của d với
EA,EB theo thứ tự là C,D .Nối AD,BC và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là
F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm
của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB
thì không thể có đường thẳng song song
14

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một
điểm 0 tuỳ ý
trên đường thẳng AM (không trùng với A,M) gọi K là giao điểm của 0I và MB ,gọi
N là giao điểm của AK và 0B .Khi đó MN // AB . Thật vậy giả sử đường thẳng
song song với AB sẽ qua M cắt 0B tại N’và hai đường thẳng
MB, AN’ cắt nhau tại K’ . khi đó , theo chứng
minh ở phần a đường thẳng 0K’phải đi qua
trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy
N’ trùng với N nên MN//AB.
Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài toán trên:
“ Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra trên đường
thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai
hai đoạn thẳng bằng nhau”.
Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng
quy. Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn,
phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà
các em đã được chứng minh ở trên.
III.Giải pháp thứ ba :

Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng

Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của
ba đường thẳng đồng quy, phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chính
của việc chứng minh:

15

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Bài số 7 : Cho tam giác nhọn ABC ,các đường cao AD,BE,CF. Gọi I,K,M,N theo
thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh
rằng bốn điểm I,K,M,N thẳng hàng .
Chứng minh
Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF
ta có

BI
BD BK
=
=
⇒ IK // FE
IF DC KE

Tương tự
Ta lại có

MN//FE

(1)

(2)

IF DH NE
=
=
⇒ IN // FE (3)
FA HA EA

Từ (1),(2) và (3) suy ra I,K,M,N thẳng hàng .
Bài số 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A song song
với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường
thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I.
Chứng minh rằng
a/ EI//AB

b/ Ba đường thẳng

EI,BH,ACđồng quy
Chứng minh
Gọi F là giao điểm của BH và AC ,G là giao
điểm của AE và CD
a/ Vì HI // BD ==>
Vì DG // AB ==>

BI
DH
=
IC
HC

BE
AE
AB
=
=
ED EG DG

(1)
(2)
16

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC suy ra DG = HC
thay vào (1) ==>

BI
AB
=
IC
DG

(3) Từ (2) và (3) ==>

BI
BE
=
IC
ED

từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có

BI BE

AB
AB
=
=
=
IC ED DG HC

lại có HC // AB ==>

AB AF
=
HC FC

do đó

BI AF
=
suy ra FI // AB hay FI // CD
IC FC

(5)
từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy

Bài số 9 : Cho M,N,P lần lượt nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( hoặc trên các đường
thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
M,N,P thẳng hàng là

MA NB PC
.
.

=1 ( định lý
MB NC PA

Mêlênaúyt)
Chứng minh
Điều kiện cần : Giả sử M,N,P thẳng hàng
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có :
Từ ∆ MBN ==>

MA
AQ
=
MB
NB

PC

NC

Từ ∆ PNC ==> PA = AQ

17

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được
ta có

MA NB
NC
NB
.
=
nhân 2 vế với
MB NC
NB
NC

MA NB PC
.
.
=1
MB NC PA

Điều kiện đủ :
Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện

MA NB PC
.
.
=1
MB NC PA

Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì

Từ đó suy ra

MA N ' B PC
.
.
=1
MB N ' C PA

N ' B NB
=
Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’ ≡ N, tức là
N ' C NC

M,P,N thẳng hàng .
Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương
ứng M,N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của
BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q thẳng hàng.
Chứng minh

18

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Vì ba điểm N,Q,B thẳng hàng nên theo bài 3 ta
có

NA QD BM
.
.

=1
ND QM MA

Gọi K là giao điểm của

CD với đường thẳng MP . Khi đó BCKM ,
NDKP là các hình bình hành nên

NA PM
=
và
ND PK

NA QD BM PM QD CK PM CK QD
BM CK
.
.
=
.
.
=
.
.
=
Do đó 1 =
ND QM BA PK QM CD PK CD QM
BA CD
Vì C,P,Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán
9 và đẳng thức trên suy ra C,P,Q thẳng hàng .
Bài số 11: Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh BC,CA,AB ( hay các

đường thẳng chứa các cạnh ) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của
tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng
AP,BQ,CR đồng quy là

PB QC RA
.
.
= 1 (định lý Céva)
PC QA RB

Chứng minh
Giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy tại I
theo bài số 9 vào tam giác ABP và đường thẳng RIC
ta có

CB IP RA
. .
= 1 , áp dụng định lý đó vào tam giác ACP và đường thẳng BIQ,
CP IA RB
BP QC IA

ta có BC . QA . IP = 1
19

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được

CB IP RA BP QC IA
. . .
.
. =1
CP IA RB BC QA IP

Từ đó suy ra

PB QC RA
.
.
=1
PC QA RB

Ngược lai, giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR thoả mãn điều kiện

PB QC RA
.
.
=1
PC QA RB

Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra.
Trường hợp hai trong ba đường thẳng AP,BQ,CR cắt nhau; chẳng hạn AP cắt BQ
tại I. Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó. Theo kết quả (cmt) ta có
PB QC R ' A
R ' A RA
.
.

= 1 từ hai đẳng thức trên suy ra
=
nên R’ trùng với R. Do
PC QA R ' B
R ' B RB

đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy.
Trường hợp còn lại là trường hợp ba đường thẳng AP,BQ,CR song song với
nhau ,trường hợp này không thể xảy ra.
Bài số 12: Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua
đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với
đường tròn nội tiếp thì đồng quy .
Chứng minh
Gọi P,Q,R theo thứ tự là tiếp điểm của BC,CA,AB với đường tròn nội tiếp tam giác
ABC . Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên :
PB QC RA RB QC RA
.
.
=
.
.
= 1 do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy.
PC QA RB QC RA RB

20

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Bài số 13 : Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên cạnh
AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE//BC khi và chỉ khi ba
đường thẳng AM,BE,CD đồng quy.
Chứng minh
MB
=1 . Do đó
MC

Vì M là trung điểm của BC nên

DA MB EC DA EC
.
.
=
.
. Vì vậy, ba đường thẳng
DB MC EA DB EA

AM,BE,CD

đồng

quy

khi

và

chỉ

khi

DA EA
DA MB EC DA EC
.
.
=
.
= 1 hay
=
DB MC EA DB EA
DB EC

tức là DE//BC

Bài số 14 : Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều
ABD, BCE, CAF nằm phía ngoài tam giác ABC thì
ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy .
Chứng minh
Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm
của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB . Hai
tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng tỉ số
các khoảng cách từ B và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong tam giác,
21

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

tỉ số khoảng cách đó bằng

PB
. Do đó
PC

QC S ∆FCB RA S ∆CAD
=
,
=
.
QA S ∆AFB RB S ∆DBC

PB
S
= ∆ABE .
PC
S ∆ACE

Tương tự, ta có

PB QC RA S ∆ABE S ∆FCB S ∆CAD
.
.
=
.
.
PC QA RB S ∆ACE S ∆FAB S ∆DBC

Do đó

.
Vì ∆ ABE = ∆ DBC (c.g.c) , ∆ ACE = ∆ FCB (c.g.c) , ∆ FAB = ∆ CAD (c.g.c)
nên

PB QC RA S ∆ABE S ∆FCB S ∆CAD
.
.
=
.
.
= 1 theo định lý Céva, ba đường thẳng
PC QA RB S ∆ACE S ∆FAB S ∆DBC

AE,BF,CD đồng quy.
Bài 15: Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC sao
cho AD, BE, CF đồng qui tại M. Chứng minh rằng:
AM AE AF
=
+
.
DM CE BF
* Định hướng: Cần chuyển các tỉ số ở vế phải về cùng mẫu.
Chứng minh
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF tại I và K. Áp dụng định lí
Talet ta có:
AE AI
=
CE BC

⇒

và

AF AK
=
BF BC

K

A
E

F

AE AF KI
+
=
(1)
CE BF BC

I

M
C

B
D

22

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

AM
AI AK AI + AK KI
=
=
=
=
(2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
DM BD CD BD + CD BC

Bài 16: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt
tia BC và các cạnh CA, AB tại D, E, F. CMR:
1
1
1
+
=
.
GD GE GF

A

F
G
E

I
B

D
M

C

K

Định hướng: ( xem lưu ý 4 )
Chứng minh
Vẽ CI // FE, BK // FE ⇒ CI = BK; MK = MI.
A.d định lí Talet ta có:
AI
 CI
=
 GE AG (1)

MI
 CI
=
(2)

GD
MG

 BK AK
 GF = AG (3)
23

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Cộng từng vế của (1) và (2) sẽ được (3).
⇒

CI CI BK
+
=
GD GE GF

⇒ đpcm.
Bài 17: Cho tam giác ABC. Biết rằng đường phân giác ngoài của góc A cắt BC kéo
dài tại E. CMR: AE2 = EB. EC – AB. AC
Phân tích:

M

1.Cần tách AE = x – y thỏa mãn: AE.x = EB.

x

A

EC và AE.y = AB. AC
2. Giã sử tồn tại M thuộc EA để: EA. EM = EB.
EC ⇐ ∆EAC : ∆EBM ⇐

B

E
C

·
·
.
EMB
= ECA
Chứng minh
·
·
Lấy M thuộc tia đối của tia AE sao cho EMB
.
= ECA
⇒ ∆EAC : ∆EBM suy ra EA. EM = EB. EC (1).
Lại có: ∆EAC : ∆BAM
⇒ EA. AM = AB. AC (2). Lấy (1) – (2) ta có đpcm.

Bài 18: Cho 4 điểm theo thứ tự E, B, D, C cùng nằm trên một đường thẳng thỏa
mãn:

DB EB
=
và A là một điểm sao cho AE ⊥ AD. CMR: AD và AE thứ tự là
DC EC

phân giác trong và ngoài của tam giác ABC.

24

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh


SKKN: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

* Định hướng: - Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE là phân giác
- Vẽ đường phụ là đt song song để sử dụng (gt)

DB EB
=
.
DC EC

A

N

E

B

D

C

M

Chứng minh

Cách 1: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD và AE tại M và N. Theo
định lí Talet ta có:
DB BM 
=
DB EB
DC AC 
=
).
 ⇒ BM = BN ( Vì
EB BN 
DC EC
=
EC AC 
Tam giác AMN vuông tại A có AB là trung tuyến ⇒ AB = MB. Suy ra
·
·
·
·
(1). Lại có CAM
( vì BM // AC ) (2). Do đó AD là phân giác
= BMA
BAM
= BMA
trong của ∆ ABC ⇒ AE là phân giác ngoài ( vì AE ⊥ AD ).
Cách 2:
Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE tại M và N. Tương tự cách 1 ta cũng
·
·
·
·

chứng minh được: BAM
và CAM
.
= CMA
= CMA

25

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh