Về bổ đề Van de Corput và tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THU HẰNG

VỀ BỔ ĐỀ CORPUT
VÀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI−2016


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình

học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 08 năm 2016
Học viên

Hoàng Thu Hằng

2


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Biến đổi Fourier

2
3

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R) . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . .

9

1.2

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . .

14

1.3

Biến đổi Fourier trên không gian Schwartz . . . . . . . . . . .

18

1.4

Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) . . . . . . . . . . .

20

1.1

2 Bổ đề Van der Corput

22

2.1

Một số ước lượng thô cho tích phân dao động . . . . . . . . .

22

2.2

Ước lượng tập mức dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Bổ đề Van de Corput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết dao động tích phân là nguồn gốc quan trọng của hàm điều hòa
giải tích. Phần giới thiệu của biến đổi Fourier là nguồn gốc và có lẽ là ví
dụ tốt nhất của dao động tích phân, dẫn đến việc xem xét kĩ hơn về các
dao động tích phân tổng quát. Công trình này được thực hiện chủ yếu bởi

Fourier, Airy, Stokes, Lipschitz và Riemann vào thế kỷ 19 và nó được thực
hiện để hiểu được hành vi của Biến đổi Fourier. Các đối tượng này đã được
làm rõ vào đầu thế kỉ 20 khi J.G. van der Corput chứng minh bổ đề nổi tiếng
của mình. Ông đã quan tâm đến các ứng dụng trong lý thuyết số, đặc biệt là
trong những bài toán về ràng buộc hàm số mũ. Gần đây, trọng tâm đã được
thay đổi để các toán tử có dạng của tích phân dao động. Việc sử dụng biến
đổi Fourier trong tích phân điều hòa là tự nhiên và phổ biến.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một là Biến đổi Fourier, đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản
và Biến đổi Fourier trong các không gian L1 , L2 và không gian Schwartz,
cùng các ví dụ và hình ảnh minh họa.
Chương hai đề cập tới định lý tập mức dưới từ đó đưa đến bổ đề Van de
Corput.
Nội dung chính của luận văn là chi tiết hóa Chương 1 trong luận án của
tác giả K. M. Rogers [3].
Hà Nội, tháng 8 năm 2016
Hoàng Thu Hằng

2


Chương 1

Biến đổi Fourier
Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, ví dụ và các tính
chất cơ bản của phép biến đổi Fourier. Tham khảo chính trong các tài liệu
[1], [2] và [4].

1.1

1.1.1

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R)
Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi
F{f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân
1
F{f (x)} = F (k) = √
2π

∞

e−ikx f (x)dx,

(1.1)

−∞

trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier. Nó
thường được gọi là biến đổi Fourier phức. Điều kiện đủ cho f (x) có biến đổi
Fourier là f (x) khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞). Do f (x) là hội tụ tuyệt đối
nên tích phân trong (1.1) là hội tụ. Hơn nữa, nó còn là hội tụ đều theo k.

3


Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biến
đổi Fourier. Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý. Nhiều
hàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax,

hàm mũ và xn H(x) không có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyên
xuất hiện trong các ứng dụng. Tích phân (1.1) không hội tụ khi f (x) là một
trong những dạng trên. Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier.
Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F −1 {F (k)} = f (x)
được xác định là
1
F −1 {F (k)} = f (x) = √
2π

∞

eikx F (k)dk,

(1.2)

−∞

trong đó F −1 được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược.
Ta thấy cả F và F −1 là toán tử tích phân tuyến tính. Trong toán ứng
dụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = ( 2π
λ ) là một
biến bước sóng, trong đó λ là bước sóng. Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x
được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,
trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây. Hàm F (w) = F{f (t)} được gọi là
phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t). Trong lý luận kỹ thuật điện, biến
đổi Fourier được định nghĩa theo cách sau
∞

f (t)e−2πνit dt,

F{f (t)} = F (ν) =

(1.3)

−∞

và biến đổi ngược của nó
∞

F

−1

{F (ν)} = f (t) =

F (ν)e

2πiνt

−∞

1
dν =
2π

∞

F (w)eiwt dw,
−∞

trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc.
Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier.
Ví dụ 1.1.1. Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2 ).

4

(1.4)


Ta chứng minh
k2
1
F (k) = F{exp(−ax2 )} = √ exp(− ),
4a
2a

a > 0.

(1.5)

Bằng định nghĩa ta có
∞
2
1
e−ikx−ax dx
F (k) = √
2π −∞
∞
1
ik 2 k 2

√
=
exp −a(x + ) −
dx
2a
4a
2π −∞
∞
2
1
k2
= √ exp(− )
e−ay dy,
4a −∞
2π

Đặt I =

∞
−ay 2
e
dy,
−∞

suy ra
∞

∞

e−a(x

I2 =
−∞

2

+y 2 )

dxdy

−∞

Đặt: x = r cos θ, y = r sin θ. Khi đó
∞

2π

e−a(r

2

I =
0

∞

0

2

0
2π

−

=
0
2π

=
0

1
θ
=
2a

1 −r2
e
2a

∞

dθ
0

1
dθ
2a
2π

=
0

π
.
a

Khi đó

1
F (k) = √ exp(−k 2 /4a)
2π
Nếu a =

rdr dθ

e−ar rdr dθ

=

π
a.

cos2 θ+r 2 sin2 θ)

0
2π

Suy ra I =

2

π
1
k2
= √ exp −
a
4a
2a

.

1
2

F{e−x

2

/2

} = e−k

2

/2

.

(1.6)

Điều này chỉ ra rằng F{f (x)} = f (k). Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2 ) và
biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1.
5


Hình 1.1: Đồ thị hàm f (x) = exp(−ax2 ) và F (k) với a = 1.
Ví dụ 1.1.2. Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|).
Ta sẽ đi chứng minh
F{exp(−a|x|)} =

2
a
· 2
,
π (a + k 2 )

a > 0.

(1.7)

Theo định nghĩa
F{e

−a|x|

∞
1
}= √

e−a|x|−ikx dx
2π −∞
∞
1
=√
e−(a+ik)x dx +
2π 0
1
1
1
+
=√
2π a + ik a − ik

=

0

e(a−ik)x dx
−∞

a
2
.
π (a2 + k 2 )

Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0.
Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 được
minh họa bằng Hình 2.2.
Ví dụ 1.1.3. Tìm biến đổi Fourier của

f (x) =

1−

|x|
a

H
6

1−

|x|
a

, a = 0,

(1.8)


Hình 1.2: Đồ thị hàm f (x) = exp(−a|x|) và F (k) với a = 1.
trong đó H(x) là hàm Heaviside được định nghĩa bởi

H(x) =



1,

nếu x > 0,


0,

nếu x < 0.

(1.9)

Hoặc tổng quát hơn

H(x − a) =



1,

nếu x > a,


0,

nếu x < a,

(1.10)

ở đây a là số thực cố định. Như vậy hàm Heaviside H(x − a) gián đoạn hữu
hạn tại x = a.
1
F{f (x)} = √
2π

2
=√
2π
2a
=√
2π
2a
=√
2π

a

e−ikx 1 −
−a
a

1−
0

|x|
a

dx

x
cos(kx)dx
a

1

(1 − x) cos(akx)dx
0
1

(1 − x)
0

d
dx
7

sin akx
ak

dx,

(k = 0, a = 0)


2a
=√
2π
a
=√
2π

1

sin(akx)
dx

ak

1

d sin2 ( akx
2 )
dx
2
dx
( ak
)
2

0

0

a sin2 ak
2
=√
2 .
ak
2π
2

Ví dụ 1.1.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ[−a,a] (x), trong đó

χ[−a,a] (x) = H(a − |x|) =




1,

nếu |x| < a,


0,

nếu |x| > a.

(1.11)

Ta có
∞

1
Fa (k) = F{χ[−a,a] (x)} = √
2π

e−ikx χ[−a,a] (x)dx
−∞
a

1
=√
2π

e−ikx dx =
−a

2
π

sin(ak)
k

.

Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1.

Hình 1.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và F (k) với a = 1.

8


1.1.2

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Định lý 1.1.1. Nếu F{f (x)} = F (k) thì
(a)

(Dịch chuyển)

F{f (x − a)} = e−ika F{f (x)},

(b)

(Chia tỷ lệ)

F{f (ax)} =

(c)

(Liên hợp)

F{f (−x)} = F{f (x)},

(d)

(Tịnh tiến)

F{eiax f (x)} = F (k − a),

(e)

(Đối ngẫu)

F{F (x)} = f (−k),

1
F
|a|

k
a

∞

(f )

(Hợp thành)

a=0

∞

F (k)g(k)e
−∞

ở đây

,

ikx

f (ξ)G(ξ − x)dξ,

dk =
−∞

G(k) = F{g(x)}.

Chứng minh. (a) Theo định nghĩa ta có
∞

1
F{f (x − a)} = √
2π
1

=√
2π

e−ikx f (x − a)dx
−∞
∞

e−ik(ξ+a) f (ξ)dξ,

(x − a = ξ)

−∞

1
√
=e
2π
1
=e−ika √
2π

∞

−ika

e−ikξ f (ξ)dξ,
0
∞

e−ikx f (x)dx,

0

=e−ika F{f (x)}.
(b)
∞
1
F{f (ax)} = √
e−ikx f (ax)dx
2π −∞
∞
ikt
1 1
√
=
e− a f (t)dt, (ax = t)
|a| 2π −∞
∞
ikx
1 1
√
=
e− a f (x)dx
|a| 2π −∞

9


=

1

F
|a|

k
a

.

(c) Ta có
1
F{f (−x)} = √
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

∞

e−ikx f (−x)dx
−∞
∞

eikt f (t)dt,

(−x = t)

−∞

∞

eikx f (x)dx.
−∞

Suy ra

∞

1
F{f (−x)} = √
2π

eikx f (x)dx.
−∞

Mặt khác
1
F{f (x)} = √
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

∞

e−ikx f (x)dx

−∞
∞

e−ikx f (x)dx
−∞
∞

eikx f (x)dx.
−∞

Vậy
F{f (−x)} = F{f (x)}.
(d)
1
F{eiax f (x)} = √
2π
1
=√
2π

∞

eiax e−ikx f (x)dx
−∞
∞

e−ix(k−a) f (x)dx
−∞

= F (k − a).

(e) Theo định nghĩa biến đổi ngược Fourier
∞

1
f (x) = √
2π

eikx F (k)dk = F −1 {F (k)}.
−∞

10

(1.12)


Tài liệu tham khảo
[1] Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford.
[2] Ioannis Parissis (2013),Oscillatory intergrals, Fall 2013, University of
Seville.
[3] Keith McKenzie Rogers, Real and p-Adic Oscillatory Integrals, The University of New South Wales.
[4] K. Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York.
[5] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and
their applications, Taylor and Francis group.
[6] R. N. Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill.