CĐ 4 TÍNH số điểm, số ĐƯỜNG THẲNG, đoạn THẲNG

CHUYÊN ĐỀ 4:
TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG
Ngày soạn:
Ngày giảng:

Buổi 7
TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG
I. Mục tiêu:
- Học sinh biết vận dụng các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, cùng với sự
suy luận để tính được số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng
- Rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng trình bày lời giải về tính số điểm, số đường
thẳng, số đoạn thẳng.
- Phát triển khả năng tư duy toán cho học sinh
- Giáo dục ý thức tự học, tự sáng tạo cho học sinh.
II. Tiến trình bài dạy:
1. Tổ chức:
2. Kiểm tra:
HS nhắc lại một số kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, tia.
3. Bài mới:
A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ:
* Ví dụ 1:
a) Cho 100 điểm khôn có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường
thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như câu a) nếu trong 100 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng?
c) Câu hỏi tổng quát cho n điểm (cho cả phần a) và b)
Giải:
a) Chọn 1 điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường
thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99. 100 đường thẳng. Nhưng mỗi đường
thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99. 100 : 2 = 4950 đường thẳng.
b) + Cách 1 :
- Nếu 3 điểm không thẳng hàng thì qua 3 điểm đó ta vẽ được 3 đường thẳng, nếu 3 điểm

thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng.
- Giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng.
- Vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2
Vậy có 4950 – 2 = 4948 đường thẳng
c) TH1 : Trong n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng :
1


Chọn 1 điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1
đường thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được (n – 1). n đường thẳng. Nhưng mỗi
đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có

n( n − 1)
đường thẳng.
2

TH2 : Trong n điểm có đúng 3 điểm nào thẳng hàng :
Số đường thẳng được tạo thành là :

n(n − 1)
-2
2

*Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng có 4 đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể
bằng bao nhiêu ?
Giải :
Bài toán đòi hỏi xét các trường hợp :
a) TH1 : Bốn đường thẳng đồng quy :
có 1 giao điểm.
b) TH2: Có đúng 3 đường thẳng đồng quy:

TH2a: Có 2 đường thẳng song song:
3 giao điểm

TH2b: Không có 2 đường thẳng nào song song:
có 4 giao điểm

c) TH3: Không có 3 đường thẳng nào đồng quy:
TH3a: Bốn đường thẳng song song:
có 0 giao điểm

TH3b: Ba đường thẳng song song:
3 giao điểm
2


TH3c: Có 2 cặp đường thẳng song song:
có 4 giao điểm
TH3d: Có đúng 1 cặp đường thẳng song song :
có 5 giao điểm

TH3e: Không có 2 đường thẳng nào song song:
có 6 giao điểm.

*Ví dụ 3: Cho n điểm (n ≥ 2) . Nối từng cặp 2 điểm trong n điểm đó thành các đoạn
thẳng.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng?
Giải:
a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại. Ta vẽ được n –

1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng
Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có

n( n − 1)
đoạn thẳng
2

b) Tuy trong hình vẽ có 3 điểm thẳng hàng nhưng số đoạn thẳng phải đếm vẫn không
thay đổi, do đó vẫn có
c) Ta có

n(n − 1)
đoạn thẳng
2

n(n − 1)
= 1770
2
3


=> n(n – 1) = 2. 1770
=> n(n – 1) = 22 . 3 . 5 . 59 = 60 . 59
Suy ra n = 60
A. LUYỆN TẬP :
*Bài 1 : Cho n điểm A1, A2, A3, …, An (n ≥ 2) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Cứ qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng
a) Kể tên các đường thẳng trên hình vẽ nếu n = 4
A1A2, A1A3, A1A4
A2A3, A2A4, A3A4 (có 6 đường thẳng)

b) Tính số đường thẳng trên hình vẽ nếu n = 20
20.19
= 190 (đường thẳng)
2

c) Tính số đường thẳng theo n:
n(n − 1)
2

d) Tính n biết số đường thẳng kẻ được là 1128
Ta có :

n( n − 1)
= 1128
2

=> n(n – 1) = 2. 1128 = 24. 3. 47 = 48 . 47
Suy ra : n = 48
e) Số đường thẳng có thể bằng 2004 được không ?
ta có :

n(n − 1)
= 2004
2

=> n(n – 1) = 4008
Ta thấy : n và n – 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Mà tích của hai số tự nhiên liên
tiếp không thể tận cùng bằng 8. Do đó số đường thẳng không thể là 2004.
*Bài 2 : Cho 100 điểm trong đó có đúng 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm
nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu

đường thẳng ?
Giải :
Khi có 4 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là 6.
Nếu 4 điểm đó thẳng hàng thì số đường thẳng là 1
- Giả sử trong 100 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là
100.99
= 4950
2

- Nếu có 4 điểm thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi làm : 6 – 1 = 5 (đường thẳng)
Vậy số đt cần tìm là : 4950 – 5 = 4945
4


*Bài 3 : Cho 4 điểm, bất cứ hai điểm nào cũng có ít nhất một đường thẳng đi qua. Có
thể có bao nhiêu đường thẳng trong hình vẽ ?
Giải :
TH1 : Nếu cả 4 điểm thẳng hàng thì số
đường thẳng là 1.
TH2 : Nếu có đúng 3 điểm thẳng hàng thì :
Số đường thẳng là 4
TH3 : Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng thì :
số đường thẳng là 6

*Bài 4 :
a) Cho 3 đường thẳng cắt nhau đôi một. Hỏi có thể có bao nhiêu giao điểm trong hình
vẽ ?
b) Vẽ 3 đường thẳng sao cho số giao điểm (của cả hai hoặc ba đường thẳng) lần lượt là
0, 1, 2, 3.
Giải :

a) TH1 : Nếu 3 đường thẳng đồng quy thì có 1 giao điểm
TH2 : Nếu 3 đường thẳng không đồng quy thì có 3 giao điểm.

b)
TH1 : Số giao điểm là 0

TH2: Số giao điểm là 1

5


TH3: Số giao điểm là 2

TH4: Số giao điểm là 3:

*Bài 5: Cho 10 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không
có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng?
Giải:
Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm.
Có 101 đường thẳng nên có 100. 101 giao điểm
Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần, nên chỉ có:
100. 101 : 2 = 5050 (giao điểm)
*Tổng quát:
Với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau thì số giao điểm
là:

n( n − 1)
(giao điểm)
2

*Bài 6: Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không
có 3 đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780.
Tính n?
Giải: Với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau thì số giao
n( n − 1)
(giao điểm)
2
n(n − 1)
Theo bài ra ta có:
= 780
2
⇒ n( n – 1) = 2. 780 = 23. 3. 5. 13

điểm là:

⇒ n(n – 1) = 40. 39
⇒ n = 40 (đường thẳng)

*Bài 7 : Cho 10 điểm. Nối từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó thành các đoạn thẳng.
Tính số đoạn thẳng mà hai mút thuộc tập 10 điểm đã cho nếu trong các điểm đã cho :
a) Không có 3 điểm nào thẳng hàng
b) Có đúng 3 điểm thẳng hàng
Giải :
a) Số đoạn thẳng là :
6

10.9
= 45 (đoạn thẳng)
2

b) Số đoạn thẳng là :

10.9
= 45 (đoạn thẳng)
2

*Bài 8 : Cho n điểm. Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính
n biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng ?
Giải :
Với n điểm thì số đoạn thẳng được tạo thành là :
Theo bài ra ta có:

n(n − 1)
2

n(n − 1)
= 435
2

⇒ n(n – 1) = 2. 435 = 2. 3. 5. 29
⇒ n( n – 1) = 30. 29

Suy ra : n = 30
*Bài 9: Một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền. Hỏi:
a) Hai đường thẳng chia mặt phẳng thành mấy miền?
b) Ba đường thẳng chia mặt phẳng thành mấy miền?
c) Bốn đường thẳng chia mặt phẳng nhiều nhất thành mấy miền?
Giải:
a)

TH1: 2 đường thẳng song song:
TH2: 2 đường thẳng cắt nhau:
Chia mặt phẳng thành 3 miền
Chia mặt phẳng thành 4 miền

b)
TH1: Ba đường thẳng song song:
4 miền

TH2: có hai đường thẳng song song:
6 miền

TH3: 3 đường thẳng đồng quy:
6 miền

TH4: 3 đường thẳng không đồng quy
nhưng cắt nhau đôi một: 7 miền
7


c) Số phần mặt phẳng nhiều nhất khi trong 4 đường thẳng không có bất cứ 2 đường
thẳng nào song song, không có 3 đường thẳng nào đồng quy và chúng phải đôi một cắt
nhau: 11 miền

4. Hướng dẫn về nhà:
Làm các bài tập sau:
Bài 1: Giải bóng đá vô địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vòng
tròn hai lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu?
Bài 2: Có một số con đường (thẳng), chúng cắt nhau đôi một và không có ba đường nào
đồng quy. Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu con

đường?
Bài 3: Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường
thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36. Tính số điểm cho
trước?

8


Ngày soạn:
Ngày giảng:

Buổi 8
TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG
I. Mục tiêu:
- Học sinh biết vận dụng các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, cùng với sự
suy luận để tính được số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng
- Rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng trình bày lời giải về tính số điểm, số đường
thẳng, số đoạn thẳng.
- Rèn kỹ năng suy luận về dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm, trung điểm của
đoạn thẳng.
- Phát triển khả năng tư duy toán cho học sinh
- Giáo dục ý thức tự học, tự sáng tạo cho học sinh.
II. Tiến trình bài dạy:
1. Tổ chức:
2. Kiểm tra:
HS nhắc lại một số kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, tia.
Dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm:
+ Nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa hai điểm A và B
+ Nếu hai tia BA và BC đối nhau thì điểm B nằm giữa hai điểm A và C
+ Nếu hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox và OA < OB thì điểm A nằm giữa hai điểm O

và B.
3. Bài mới:
LUYỆN TẬP:
*Bài 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau. Nếu vẽ thêm một đường thẳng thứ ba cắt cả hai
đường thẳng trên thì số giao điểm của hai đường thẳng thay đổi như thế nào?
Giải:
TH1: Nếu đt thứ ba đi qua giao điểm của
TH2: Nếu đt thứ ba không đi qua giao
hai đường thẳng trước thì số giao điểm
điểm của hai đường thẳng trước thì số giao
không đổi.
điểm tăng thêm 2
b

a

b

a

c

c

*Bài 2: Cho 11 đường thẳng đôi một cắt nhau.
9


a) Nếu trong số đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao
điểm của chúng?

b) Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao nhiêu
giao điểm của chúng?
Giải:
a) Nếu không có 3 đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là:

10.11
= 55
2

b) Nếu trong 5 đường thẳng, không có 3 đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là:
5.4
= 10 (giao điểm)
2

Nếu 5 đường thẳng đồng quy thì số giao điểm chỉ là 1
Vậy số giao điểm giảm đi là: 10 – 1 = 9 (giao điểm)
Do đó: trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có số giao điểm
là: 55 – 9 = 46 (giao điểm)
*Bài 3: Cho ba đường thẳng m, a, b đồng quy tại O; ba đường thẳng n, a, b cũng đồng
quy
a) CMR cả 4 đường thẳng m, n, a, b đồng quy tại O:
Ba đường thẳng m, a, b đồng quy tại O. Vậy O là điểm chung của hai đường thẳng a và
b. Ba đường thẳng n, a, b đồng quy tại một điểm giả sử đó là điểm O’. Vậy O’ là điểm
chung của a và b.
Hai đường thẳng phân biệt a và b mà có điểm chung thì có một điểm chung duy nhất nên
O và O’ phải trùng nhau.
Từ đó suy ra 4 đường thẳng m, n, a, b đồng quy tại O.
b) Vẽ thêm hai đường thẳng c, d không đi qua O. Hỏi 6 đường thẳng m, n, a, b, c, d có
nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
Số giao điểm nhiều nhất khi c và d cắt nhau đồng thời cả c và d cắt cả 4 đường thẳng

kia.
Có nhiều nhất là 10 giao điểm.

*Bài 4:
a) Hãy xếp 10 điểm thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 điểm
b) Hãy xếp 7 điểm thành 6 hàng, mỗi hàng có 3 điểm
c) Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây?
10


Giải:

H.a

H.b

H.c

*Bài 5:
a) Vẽ 6 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng 3 đoạn thẳng khác:

b) Vẽ 8 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng 3 đoạn thẳng khác:

*Bài 6: Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm O và I sao cho OA < OB và AI > IB. Hỏi
trong các bộ 3 điểm A, O, I và B, O, I điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Giải:
Vì O thuộc đoạn thẳng AB nên O nằm giữa hai điểm A và B, do đó: AO + OB = AB
Vì OA < OB nên 2.OA < AB
Hay OA <

AB
2

(1)

Điểm I nằm giữa hai điểm A và B nên : AI + IB = AB
Vì IA > IB nên 2. IA > AB
11


Hay AI >

AB
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO < AI, do đó O nằm giữa A và I
- Lập luận tương tự ta được I nằm giữa B và O
*Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C, D thuộc đoạn thẳng AB sao cho
AC = BD = 2cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD
b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng?
Giải:
a) Vì M là trung điểm của AB
nên M nằm giữa A và B
⇒ MA = MB =

1
AB = 3cm

2

A

C

M

D

B

Trên tia AB có AC < AM (2 < 3)
nên C nằm giữa A và M
Trên tia BA có BD < BM (2 < 3) nên D nằm giữa B và M. Từ đó suy ra M nằm giữa hai
điểm C và D
(1)
Ta có: MC = AM – AC = 3 – 2 = 1 (cm)
MD = MB – BD = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy MC = MD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của CD
b) Ta còn có C là trung điểm của AD, điểm D là trung điểm của đoạn thẳng CB.
*Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của tia
BA (O khác B). Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA, OB.
Giải:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB
M
B
O

nên M nằm giữa A và B; MA = MB (1)A
Hai tia BM, BA trùng nhau, hai tia
BO, BA đối nhau suy ra hai tia BM, BO
đối nhau. Do đó B nằm giữa M và O
Vậy OM = OB + BM (2)
Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng nhau suy ra hai tia MA, MO đối nhau.
Do đó M nằm giữa O và A
Vậy OM = OA – MA (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 2. OM = OA + OB hay OM =

OA + OB
2

*Bài 9: Cho đoạn thẳng AB = 2100 (cm). Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB, gọi
M2 là trung điểm của đoạn thẳng M1B, M3 là trung điểm của đoạn thẳng M2B, … gọi
M100 là trung điểm của đoạn thẳng M99B. Tính độ dài của đoạn thẳng M1M100?
Giải:
M1
M2
A
M100O
AB 2100
=
Có: M 1B =
2
2
12


M 1 B 2100

= 2
2
2
M 2 B 2100
M3B =
= 3
2
2
M 2B =

………………………..
M 100 B =

2100
=1
2100

Vì BM100 < BM1 (1 < 299) nên điểm M100 nằm giữa hai điểm B và M1
Do đó: M1M100 = M1B – M100B = 299 – 1 (cm)
*Bài 10: Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung
điểm của OA, OB
a) Chứng tỏ rằng OA < OB
b) Trong 3 điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc
tia đối của tia AB)
Giải:
a) Hai tia AO, AB đối nhau nên
M
B
A N

điểm A nằm giữa hai điểm O và B O
Suy ra OA < OB
b) Ta có M và N theo thứ tự là trung điểm của OA, OB nên:
OM =

OA
OB
; ON =
2
2

Vì OA < OB nên OM < ON
Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N
c) Ta có OM + MN = ON
Suy ra : MN = ON – OM
Hay MN =

OB − OA AB
=
2
2

Vì có AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi.
4. Hướng dẫn về nhà:
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- Làm các bài tập sau:
Bài 11: Gọi O là một điểm của đoạn thẳng AB = 4cm.
Xác định vị trí của điểm O để:
a) Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tổng AB + BO = 2. BO

c) Tổng AB + BO = 3. BO
Bài 12: Cho đoạn thẳng CD = 5cm. Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao cho CI
= 1cm, DK = 3cm
a) Điểm K có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không?
b) Chứng tỏ rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CK

13