Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TUYẾT NHUNG

TÍNH GIẢI ĐƯỢC
CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TÍCH PHÂN FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TUYẾT NHUNG

TÍNH GIẢI ĐƯỢC
CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TÍCH PHÂN FOURIER
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ NGÂN

Thái Nguyên - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Lê Thị Tuyết Nhung

i


Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tôi xin
chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo và xin gửi lời tri ân
nhất của tôi đối với những điều cô giáo đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của Trường Đại
học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao
học K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã
tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho
tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, những người thân đã luôn động viên,
hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Lê Thị Tuyết Nhung

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại một . . . . . . . . . . .
1.3 Các đa thức Chebyushev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đa thức Chebyushev loại một . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . .
1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . .
1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . .
1.5.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản . . . . . . . .
1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong
không gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . .
1.6.1 Không gian S của các hàm suy rộng tăng chậm . .
1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . .
1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong
không gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . .
iii

3
3
4
5
5
7
9
11
11
11
11
12
12
13
13

14


1.7

Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Không gian H s (R) . . . . . . . . . . .
s
(Ω), H s (Ω)
1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o
1.7.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . .
1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . .
1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

2 Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân
Fourier
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . . .
2.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10) .
2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . .

14
14
15
16
16
18
19

22

22
22
24
27
33

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

42

iv


Mở đầu
Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán
hỗn hợp của vật lý toán. Nhiều bài toán tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi,
các bài toán về vết nứt, về dị tật trong môi trường,... có thể đưa đến việc
giải các phương trình cặp khác nhau.
Trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa với điều kiện
biên hỗn hợp được cho như sau: Trên cạnh y = 0 điều kiện biên Dirichlet
được cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện
Neumann. Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann được cho trên khoảng
hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện biên Dirichlet. Bài toán
được giải bằng cách đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà các
phần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu trưng cấp hai, một tăngmột giảm cấp một.
Với mong muốn được tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình cặp

tích phân xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều
hòa trên miền hình dải, tôi chọn đề tài “Tính giải được của một hệ phương
trình cặp tích phân Fourier”. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài
liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung.
Chương 1 trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trình
tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại
số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơ
bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các
không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính
liên tục, toán tử giả vi phân vectơ.
Chương 2 trình bày về tính giải được của hệ phương trình cặp tích
phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình

1


điều hòa. Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 đã chứng minh được sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier trong
các không gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa các hệ phương trình cặp tích
phân Fourier về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy,
đưa tiếp các hệ phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trình
đại số tuyến tính. Đánh giá được các hệ số của các hệ vô hạn các phương
trình đại số tuyến tính đó và chứng minh các hệ phương trình đó có duy
nhất nghiệm thuộc không gian 2 , các hệ vô hạn các phương trình đại số
tuyến tính đó là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng
dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành được khóa học của mình.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Phương trình tích phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm
chưa biết nằm trong dấu tích phân.
Ví dụ 1.1. Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân:
b

f (t) = λ

K(t, s)g(s)ds,

(1.1)

K(t, s)g(s)ds,

(1.2)

(K(t, s))2 ds,

(1.3)

a
b

g(t) = λ
a
b

g(t) = λ
a

b

g(t) = f (t) + λ

K(t, s)g(s)ds.

(1.4)

a

Thấy rằng:
+ Hàm ẩn g(t) phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm
ngoài dấu tích phân.
+Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm
là bậc 1 (ví dụ các phương trình (1.1) và (1.2) là tuyến tính còn (1.3) là
không phải).
+Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa
3

được về dạng (A − λI)g = f , trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu
A là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính.
Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng:
b

g(t) = f (t) + λ

K(t, s)g(s)ds,
a

được gọi là phương trình Fredhom loại 2, trong đó g(t) là hàm chưa biết,
f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
Phương trình có dạng:
b

f (t) = λ

K(t, s)g(t)ds,
a

được gọi là phương trình Fredhom loại 1, trong đó g(t) là hàm chưa biết,
f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
1.2

Phương trình tích phân kỳ dị loại một

Xét phương trình tích phân kỳ dị sau
b

1

π

ϕ(τ )
dτ = f (ξ), a < ξ < b.
τ −ξ

(1.5)

a

Phương trình (1.5) là một trường hợp riêng quan trọng của các phương
trình tích phân kỳ dị thường gặp trong nhiều bài toán cơ học và Vật lý
toán. Trong phương trình trên ta giả thiết rằng hàm f (ξ) thỏa mãn điều
kiện Holder. Tùy thuộc vào dáng điệu của ẩn hàm ở các đầu mút của đoạn
[a, b], ta có các công thức nghiệm sau đây của phương trình:
a. Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút:


b
(τ − a)(b − τ )f (τ )
1
1
ϕ(ξ) = −
dτ + a0  ,
π
τ
−
ξ
(ξ − a)(b − ξ)
a

a < ξ < b,
trong đó a0 là hằng số tùy ý.
4

(1.6)


b. Nghiệm bị chặn tại đầu mút ξ = a và không bị chặn tại đầu mút ξ = b:
ϕ(ξ) = −

b

ξ−a1
b−ξπ

b − τ f (τ )
dτ.
τ − aτ − ξ

(1.7)

a

c. Nghiệm không bị chặn tại t = a và bị chặn tại t = b:
ϕ(ξ) = −

b

b−ξ 1

ξ − aπ

τ − a f (τ )
dτ.
b−τ τ −ξ

(1.8)

a

d. Nghiệm bị chặn tại hai đầu mút:
b

1
ϕ(ξ) = − (ξ − a)(b − ξ)
π
a

f (τ )
dτ
,
(τ − a)(b − τ ) τ − ξ

(1.9)

với điều kiện
b

f (τ )dτ
= 0.

(τ − a)(b − τ )

a

1.3
1.3.1

(1.10)

Các đa thức Chebyushev
Đa thức Chebyushev loại một

Định nghĩa 1.3. [12]. Đa thức Chebyushev bậc n loại một Tn (x) được
xác định như nghiệm của phương trình sai phân
Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0,
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x.
Nghiệm của phương trình sai phân trên là
Tn (x) = cos(n arccos x), Tn (cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, . . .).
Ta có một số công thức của đa thức Chebyushev loại một như sau:
a. Biểu thức hiển
[ n2 ]

Tn (x) =

n
(−1)m (n − m − 1)!
(2x)n−m .
2 m=0
m!(n − 2m)!

5


b. Các đa thức bậc thấp
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x,
T2 (x) = 2x2 − 1,
T3 (x) = 4x3 − 3x,
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1,
T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x.
c. Một số hệ thức
Tn (−x) = (−1)n Tn (x), Tn (1) = 1, Tn (−1) = (−1)n ,
Tn+m (x) + Tn−m (x)
,
Tn (x)Tm (x) =
2
Tn (Tm (x)) = Tnm (x).
d. Trực giao
1

−1



0,


Tm (x)Tn (x)
√
dx = π,


1 − x2

π ,
2

m = n,
m = n = 0,
m = n = 0.

e. Các hệ thức phổ
1

−1

Tn (y)dy
= πUn−1 (x),
(y − x) 1 − y 2
1

1
π

ln
−1

1 Tn (y)dy
= σn Tk (x), (n = 0, 1, 2, . . .),
|x − y| 1 − y 2

trong đó Un (x) là đa thức Chebyushev loại hai, còn

ln 2, n = 0,
σn = 1
 ,
n = 1, 2, . . . .
n
f. Nghiệm của Tn (x)
6


Tất cả các nghiệm của Tn (x) đều thuộc đoạn [−1, 1] và được xác định
theo công thức:
xk = cos θk = cos

(2k − 1)π
, k = 1, 2, . . . .
2n

g. Phương trình vi phân
(1 − x)y − xy + n2 y = 0, y = Tn (x).
1.3.2

Đa thức Chebyushev loại hai

Định nghĩa 1.4. [12]. Đa thức Chebyushev bậc n loại hai Un (x) được
xác định như nghiệm của phương trình sai phân
Un+1 (x) − 2xUn (x) + Un−1 (x) = 0,
U0 (x) = 1,
U1 (x) = 2x.

Nghiệm của phương trình sai phân trên là
x = cos θ, Un (cos θ) =

sin [(n + 1)θ]
.
sin θ

Ta có một số công thức của đa thức Chebyushev loại hai như sau:
a. Biểu thức hiển
[ n2 ]

(−1)m (n − m)!
(2x)n−m , n = 1, 2, . . . .
Un (x) =
m!(n − 2m)!
m=0
b. Các đa thức bậc thấp
U0 (x) = 1,
U1 (x) = 2x,
U2 (x) = 4x2 − 1,
U3 (x) = 8x3 − 4x,
U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1,
U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x.
7


c. Một số hệ thức giữa Tn (x) và Un (x)
Un (−x) = (−1)n Un (x),
Un (1) = n + 1, Un (−1) = (−1)n (n + 1),
Tn−m (x) − Tn+m+2 (x)

Un (x)Um (x) =
,
2(1 − x2 )
1
Tm Un (x) = [Un−m (x) + Un+m (x)] ,
2
d
Tn (x) = nUn−1 (x),
dx
xTn x − Tn+1 (x) = (1 − x2 )Un−1 (x),
Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x).
d. Trực giao
1

Um (x)Un (x)
−1


0,
2
1 − x dx = π
 ,
2

m = n,
m = n.

e. Các hệ thức phổ
1

1 − y 2 Un−1 (y)dy
= −πTn (x), (n = 1, 2, . . .),
(y − x)

−1

trong đó Tn x là đa thức Chebyushev loại một.
f. Nghiệm của Un (x)
Tất cả các nghiệm của Un (x) đều thuộc đoạn [−1, 1] và được xác định
bởi công thức sau:
xk = cos θk = cos

kπ
, k = 1, 2, . . . , n.
n+1

g. Phương trình vi phân
(1 + x)y − 3xy + n(n + 2)y = 0, y = Un (x).

8


Ta có một số công thức sau [12]:
Tn (cos θ) = cos(nθ), Un (cos) =

sin(n + 1)θ
,
sin θ

(1.11)

b

Tk [η(x)] Tj [η(x)]
dx = αk δkj ,
ρ(x)

(1.12)

Uk [η(x)] Uj [η(x)] ρ(x)dx = βδkj ,

(1.13)

Tk [η(y)] dy
−2π
dx =
Um−1 [η(x)] , k = 0, 1, . . . ,
(x − y)ρ(y)
b−a

(1.14)

ρ(y)Uk−1 [η(y)] dy
π(b − a)
=
Tk [η(x)] , k = 1, 2, . . . ,
x−y
2

(1.15)

a
b

a
b

a
b

a

với δkj


π,
là kí hiệu Kronecker và α = π
 ,
2

k=0
k = 1, 2, . . .

,

2x − (a − b)
π(b − a)2
, η(x) =
.
β=

8
b−a
1.4

Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau
∞

xi =

ci,k xk + bi , (i = 1, 2, . . .),

(1.16)

k=1

trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các hệ số đã biết.
Định nghĩa 1.5. [5]. Tập hợp những số x1 , x2 , ... được gọi là nghiệm của
hệ (1.16) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.16) ta có các chuỗi
hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. Nghiệm được gọi là
chính nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban
đầu bằng không.

9


Định nghĩa 1.6. [5]. Hệ vô hạn (1.16) được gọi là hệ chính quy nếu
∞

|ci,k | < 1, (i = 1, 2, . . .).

(1.17)

|ci,k | ≤ 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, . . .),

(1.18)

k=1

Nếu có thêm điều kiện
∞

k=1

thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Nếu các bất đẳng thức (1.17)
(tương ứng, (1.18)) đúng với i = N + 1, N + 2, . . . , thì hệ (1.16) được gọi
là tựa chính quy ( tương ứng, tựa hoàn toàn chính quy).
Ta kí hiệu
∞

ρi = 1 −

|ci,k | , (i = 1, 2, . . .).
k=1

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0.
Giả sử hệ (1.16) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều
kiện
|bi | ≤ Kρi , (K = const > 0).

(1.19)

Định lý 1.1. [5]. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do
của hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.19) thì nó có nghiệm bị
chặn |xi | ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ
liên tiếp.
Định lý 1.2. [5]. (Sự “chặt cụt”). Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy
∞

xi =

cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, . . .),
k=1

cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi có thể tìm được
bằng phương pháp “chặt cụt”, nghĩa là nếu xN
i là nghiệm của hệ hữu hạn
N

xi =

cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, . . . , N ),
k=1

thì
x∗i = limN →∞ xN
i .
10

Định lý 1.3. [5]. (Bondarenko P.S). Hệ chính quy có thể có không quá
một nghiệm tiến đến không, nghĩa là
limi→∞ xi = 0.
1.5
1.5.1

Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh
Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh

Định nghĩa 1.7. [4], [13], [14]. Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàm
khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện
p
p

Dk ϕ < ∞, p = 0, 1, 2, . . . , m,

|[ϕ]|p = sup(1 + |x|)
x∈R

k=0

d
. Dãy |[ϕ]|p là một họ các nửa chuẩn. Dãy
k
dx
{ϕk } ⊂ S được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S, nếu |[ϕk − ϕ]|p → 0, khi
k → ∞; p = 0, 1, 2, . . . , m. Tập hợp S với hội tụ trên đây được gọi là
không gian các hàm cơ bản giảm nhanh.
2

Ví dụ: hàm ϕ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) là hàm giảm nhanh.
trong đó kí hiệu D =

Định lý 1.4. [4], [13], [14]. Tập hợp C0∞ (R) của các hàm khả vi vô hạn
có giá compact trong R là trù mật trong S theo tôpô của S.
1.5.2

Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản

Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nên
biến đổi Fourier được xác định theo công thức
+∞

ϕ(x)eix.ξ dx, ϕ ∈ S.

F [ϕ] (ξ) =
−∞

1.5.3

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S

Tính chất 1.1. Đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier
Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ).

11


Tính chất 1.2. Biến đổi Fourier của đạo hàm
F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ).

Tính chất 1.3. Đẳng thức Parseval
Giả sử f ∈ L1 (R). Khi đó ta có đẳng thức
+∞

+∞

f (x)F [ϕ](x)dx, ϕ ∈ S.

F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ =
−∞

(1.20)

−∞

Tính chất 1.4. Công thức biến đổi Fourier ngược
ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]],
1
F [ϕ(−ξ)](x).
F −1 [ϕ(ξ)](x) =
(2π)n
Định lý 1.5. [10], [11]. Biến đổi Fourier F từ S vào S là tương ứng một
- một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính.
1.6
1.6.1

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
Không gian S của các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.8. [4], [13], [14]. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

S được gọi là hàm suy rộng tăng chậm. Tập hợp các hàm suy rộng tăng
chậm ký hiệu là S . Giá trị của f ∈ S trên phần tử ϕ ∈ S được kí hiệu là
f, ϕ , còn trên phần tử liên hợp phức ϕ, kí hiệu là (f, ϕ). Dãy {fk } ∈ S
hội tụ đến f ∈ S , nếu fk , ϕ → f, ϕ , ϕ ∈ S.
Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N > 0 nào đó:
+∞

|f (x)| (1 + |x|)−N dx < ∞.
−∞

Khi đó hàm f tương ứng với một phiếm hàm trên S theo công thức:
+∞

(f, ϕ) =

f (x)ϕ(x)dx. Phiếm hàm trên được gọi là hàm suy rộng chính
−∞

quy. Dễ thấy rằng phiếm hàm trên đây là tuyến tính và liên tục trên S.
Định lý 1.6. [13]. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S là không
gian đầy đủ.
12


1.6.2

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

Công thức (1.20) có thể viết lại dưới dạng
F [f ], ϕ = f, F [ϕ] , ϕ ∈ S.

Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.9. [13], [14]. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức
F [f ], ϕ = f, F [ϕ] ,

f ∈S,

ϕ ∈ S.

(1.21)

Vì phép toán ϕ → F [ϕ] là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếm
hàm F [f ] xác định theo công thức (1.21) được hiểu theo nghĩa S ,hơn
nữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S vào S .
Định nghĩa 1.10. [13], [14]. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định
trong S theo công thức
F −1 [f ] =

1
F [f (−x)], f ∈ S ,
2π

(1.22)

trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x)
f (−x), ϕ(x) = f, ϕ(−x) , ϕ ∈ S.
Rõ ràng là F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S vào S . Ta sẽ chứng
tỏ rằng toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F , nghĩa là
F −1 [F [f ]] = f, F [F −1 [f ]] = f, f ∈ S .

(1.23)

Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S, thì các công thức
trong (1.22) đúng trong S trù mật trong S , do đó (1.23) cũng đúng trong
S.
1.6.3

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S

Tính chất 1.5. Đạo hàm của biến đổi Fourier
Dα F [f ] = F [(ix)α f ], f ∈ S .

13

(1.24)


Tính chất 1.6. Biến đổi Fourier của đạo hàm
F [Dα f ] = (−iξ)α F [f ], f ∈ S .

(1.25)

Tính chất 1.7. Đẳng thức Parseval
F [f ], F [ϕ] = 2π f (−x), ϕ(x) , f ∈ S ,

ϕ ∈ S.

(1.26)

Tính chất 1.8. Biến đổi Fourier của dịch chuyển

F [f (x − x0 )] = eiξx0 F [f ], f ∈ S .

(1.27)

Tính chất 1.9. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact
Nếu f ∈ S có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞ và tăng chậm ở vô cùng,
nghĩa là
mα
|Dα F [f ](ξ)| ≤ Cmα (1 + |ξ|2 ) 2 .
1.6.4

Biến đổi Fourier của tích chập

Định nghĩa 1.11. [4], [13], [14].
i. Nếu f ∈ S , η ∈ S, thì f ∗ η được xác định theo công thức
f ∗ η = f (y), η(x − y) .
Khi đó
F [f ∗ η] (ξ) = F [f ] (ξ)F [η] (ξ).
ii. Nếu f, g ∈ S , supp g là tập compact thì f ∗ g ∈ S và được xác định
theo công thức
f ∗ g, ϕ = f (y), g(x), ϕ(x + y) .
Khi đó
F [f ∗ g] = F [f ] .F [g] .
1.7

Các không gian

1.7.1

Không gian H s (R)

Định nghĩa 1.12. [4], [13], [14]. Giả sử s ∈ R. Kí hiệu H s (R) là không
gian của các hàm suy rộng u ∈ S , có biến đổi Fourier u(ξ) thỏa mãn điều
14


kiện:
+∞

u

2
s

|u(ξ)|2 (1 + |ξ|2s )dξ < ∞.

=

(1.28)

−∞

Ký hiệu H s là không gian của các hàm u = F [u], với u ∈ H s (R). Công
thức (1.28) xác định chuẩn trong H s và trong H s . Nhận xét rằng, H s và
H s là không gian Hilbert với tích vô hướng
+∞

(1 + |ξ|)2s u(ξ)v(ξ)dξ.

(u, v)s =

(1.29)

−∞

Định lý 1.7. [4], [13], [14]. Đối ngẫu của không gian H s (R) là không
gian H −s (R). Ngoài ra, tập hợp Co∞ (R) của các hàm khả vi vô hạn có giá
compact trù mật trong H s (R), s ∈ R.
1.7.2

s
Các không gian Hos (Ω), Ho,o
(Ω), H s (Ω)

Định nghĩa 1.13. [14]. Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng
không giao nhau trong R. Kí hiệu Hos (Ω) là không gian con của không
gian H s (R) được định nghĩa như bao đóng của Co∞ (Ω) theo chuẩn của
H s (R). Tập hợp của các hàm trong H s (R) có giá trong Ω được kí hiệu là
s
Ho,o
(Ω).
Chuẩn trong Hos (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.28) và mọi
hàm u ∈ Hos (Ω) có supp u ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω). Khi đó tồn
tại dãy {uk } ∈ Co∞ hội tụ đến u theo chuẩn của H s (R). Kí hiệu Ω = R/Ω.
Như vậy, ta có uk , ϕ = 0 với mọi ϕ ∈ Co∞ (Ω ). Do tính liên tục suy ra
u, ϕ = 0, với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω ). Điều đó chứng tỏ supp u ⊂ Ω. Như vậy
s
Hos (Ω) ⊂ Ho,o
(Ω).
Định nghĩa 1.14. [4]. Giả sử f ∈ H s (R). Kí hiệu fΩ là hạn chế của f

trên Ω, nghĩa là
fΩ , ϕ = f, ϕ với mọi ϕ ∈ Co∞ (Ω).
Kí hiệu p, tương ứng là các toán tử bị hạn chế trên Ω và toán tử thác
triển ra R. Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc H s (R) trên Ω kí hiệu
15


H s (Ω). Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo công thức
f

H s (Ω)

= inf

f

s,

(1.30)

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển f ∈ H s (R) của f ∈ H s (Ω).
Định lý 1.8. [4]. Giả sử (Hos (Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos (Ω).
Khi đó (Hos (Ω))∗ đẳng cấu với H −s (Ω). Ngoài ra giá trị của phiếm hàm
f ∈ H −s (Ω) trên phần tử u ∈ Hos (Ω) được cho bởi công thức
+∞

f, u = ( f, u) =

f (ξ)u(ξ)dξ,

(1.31)

−∞

trong đó tích phân ở vế trái của (1.31) không phụ thuộc vào việc chọn thác
triển f của phiếm hàm f .
1.7.3

Định lý nhúng

Định lý 1.9. [14]. Giả sử Ω là một miền giới nội trong R. Khi đó không
gian H s (Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s > 1/2.
Định lý 1.10. [7]. Giả sử Ω là một miền giới nội trong R. Khi đó
H s (Ω) ⊂ C m (Ω), s > 1/2 + m.
1.8

Các không gian Sobolev vectơ

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính. Ta ký hiệu tích trực tiếp của
hai không gian X là X 2 . Tôpô trong X 2 là tôpô thông thường của tích
trực tiếp. Ta dùng chữ in đậm để kí hiệu hàm vectơ và ma trận. Kí hiệu
u là vectơ có dạng u = (u1 , u2 ) và
S2 = S × S, S 2 = S × S .
Cho hàm vectơ u ∈ (S )2 , w ∈ (S)2 , đặt
2

u, w =

uj , wj .
j=1

16


Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm vectơ
u ∈ (S )2 là hàm vectơ F ±1 [u] = F ±1 [u1 ] , F ±1 [u2 ] được xác định bằng
công thức
F [u](ξ), w(ξ) = u(x), F [w](x) ,
1
F −1 [u](ξ), w(ξ) =
u(x), F [w](−x) ,
2π

(1.32)

trong đó w ∈ S2 .
s
s
Giả sử H sj (R), Ho j (Ω), Ho,oj (Ω), H sj (Ω) là các không gian Sobolev, trong
đó j = 1, 2; Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng không giao nhau trong R.
Ta đặt
→
−
→
−
s = (s1 , s2 )T , H s (R) = H s1 (R) × H s2 (R),
→
−

Hos (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω),

→
−

s
s1
s2
Ho,o
(Ω) = Ho,o
(Ω) × Ho,o
(Ω),
→
−

H s (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω).
→
−

→
−

Tích vô hướng và chuẩn trong H s (R) và Hos (R) được xác định bởi các
công thức
2

2

−
(u, v)→
s =

(uj , vj )sj , u

→
−
s

j=1

uj 2sj

=

1
2

,

(1.33)

j=1

với uj sj , (uj , vj )sj được xác định tương ứng theo các công thức (1.28)
và (1.29).
→
−
Chuẩn trong H s (Ω) cho bởi công thức
2

u

→
−

H s (Ω)

uj 2H sj (Ω)

:=

1
2

,

(1.34)

j=1

−
trong đó →
s = (s1 , s2 ), sj ∈ R, (j = 1, 2).
→
−

Mệnh đề 1.1. [10], [11]. Không gian Hos (Ω) là không gian con đóng của
→
−
không gian H s (R).
→
−

Mệnh đề 1.2. [10], [11]. Tập hợp Co∞ (Ω)2 trù mật trong Hos (Ω) theo
→
−
chuẩn của Hos (Ω).
17


1.9

Phiếm hàm tuyến tính liên tục
→
−

Định lý 1.11. [10], [11]. Giả sử (H s (R))∗ là không gian đối ngẫu của
→
−
→
−
→
−
không gian H s (R). Khi đó (H s (R))∗ đẳng cấu với H− s (R). Ngoài ra, giá
→
−
→
−
trị của phiếm hàm f ∈ H− s (R) trên phần tử u ∈ H s (R) được cho bởi
công thức
2

+∞

(f, u)o =

fj (ξ)uj (ξ)dξ,

(1.35)

j=1 −∞

trong đó uj (ξ) = F [uj ](ξ), fj (ξ) = F [fj ](ξ).
→
−

Định lý 1.12. [10], [11]. Giả sử Ω ⊂ R, u = (u1 , u2 )T ∈ H s (Ω), f ∈
→
−
→
−
H− s (Ω) và f = ( 1 f1 , 2 f2 )T ∈ H− s (R) là một thác triển của f từ Ω vào
R, khi đó công thức
2

+∞
j fj (ξ)uj (ξ)dξ,

[f , u] :=

(1.36)

j=1 −∞

không phụ thuộc vào cách chọn thác triển f . Do đó, công thức này xác
→
−
định một hàm tuyến tính liên tục trên Hos (Ω). Hơn nữa, mọi phiếm hàm
→
−
→
−
tuyến tính liên tục Φ(u) trên Hos (Ω) đều tồn tại một phần tử f ∈ H− s (Ω)
−
sao cho Φ(u) = [f , u] và Φ = f H−→
s (Ω) .
Chứng minh. Giả sử f là một thác triển khác của f . Khi đó ta có
f − f = 0 trên Ω nghĩa là
( f − f , w)o = 0, với mọi w ∈ (Co∞ (Ω))2 .

(1.37)

→
−

Vì (Co∞ (Ω))2 trù mật trong Hos , cho nên từ đẳng thức (1.37) ta suy ra
→
−

( f − f , u)o = 0, với mọi u ∈ Hos ,
tức là ( f , u)o = ( f , u)o . Vì vậy tích phân trong (1.36) không phụ thuộc
vào cách chọn thác triển f . Từ công thức (1.36) ta có

|( f , u)o | ≤ u

→
−
s

f

−
−→
s .

Vì ( f , u)o không phụ thuộc vào cách chọn thác triển f nên
|( f , u)o | ≤ u

→
−
s inf

−
| f |−→
s = u

18

→
−
s

f

H− s (Ω) .
→
−

(1.38)


→
−

Vậy mọi phiếm hàm f ∈ H− s (Ω) cho ta một phiếm hàm liên tục trên
→
−
Hos (Ω) xác định bởi công thức (1.36). Giả sử Φ(u) là một phiếm hàm
→
−
→
−
→
−
tuyến tính liên tục trên Hos (Ω). Không gian Hos (Ω) ⊂ H s (R) là không
gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi công thức (1.33). Theo
→
−
−
định lý Riesz, tồn tại v ∈ Hos (Ω), thỏa mãn Φ(u) = (v, u)→
s . Ta đặt
fo (ξ) = (1 + |ξ|)2s1 v1 (ξ), (1 + |ξ|)2s2 v2 (ξ)

T

, fo = F −1 fo .

→
−

Khi đó fo ∈ H− s (R), pfo = f ∈ H−s (Ω), trong đó p là toán tử hạn chế trên
Ω. Ta có
−
Φ(u) = (v, u)→
s = (fo , u)o và Φ = v

→
−
s

= fo

−
−→
s

≥ f

H− s (Ω) .
→
−

Mặt khác theo (1.38) ta có công thức

Φ = sup |Φ(u)| ≤ f
u

→
−
s =1

H− s (Ω) .
→
−

Từ đó suy ra
Φ = f

H− s (Ω) .
→
−

Định lý được chứng minh.
1.10

Toán tử giả vi phân vectơ

Định nghĩa 1.15. [8]. Giả sử α ∈ R, ta nói hàm số a(ξ) thuộc vào lớp
σ α ∈ (R) nếu
|a(ξ)| ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ξ ∈ R,
α
và nó thuộc vào lớp σ+
(R) nếu

C2 (1 + ξ)α ≤ |a(ξ)| ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ξ ∈ R,
trong đó C1 , C2 là các hằng số dương nào đó.
Mệnh đề 1.3. [8]. Giả sử a(ξ) > 0 và (1 + |ξ|)−α a(ξ) là hàm liên tục, bị
chặn trên R và lim (1 + |ξ|)−α a(ξ) = > 0. Khi đó
ξ→±∞

α
a(ξ) ∈ σ+
(R).

19