Đề thi vào chuyên Toán Nguyễn Trãi Hải Dương kèm đáp án 01

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ
ðề 54: Thi chuyên Nguyễn Trãi ( 1997- 1998)
Câu 1:
2

2

1/ Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: ab = ( a − 1) + ( b + 1) .

2/ Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x 3 − 4 y 3 − 2 z 3 = 0 .
Câu 2

1/ Tính tổng:
S = 1+

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
2
2
2 3
3 4
1997 19982

1
2/ Tính giá trị biểu thức : A = x 2 + x 4 + x + 1 với x = .
2

2+

1 1
− . 2.
8 8

Câu 3: Ba ñường phân giác trong các góc A, B, C cắt ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại A1, B1, C1.

Chứng minh rằng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA.
Câu 4: Cho hình binh hành ABCD, ñường phân giác BAD cắt cạnh BC và CD tại M và N.

1/ Chứng minh rằng: Tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆CMN nằm trên ñường tròn ngoại tiếp ∆CBD .
2/ Gọi K là giao ñiểm của ñường tròn ngoại tiếp ∆CMN và ñường tròn ngoại tiếp ∆CBD .
Chứng minh rằng: AKC = 900 .
Câu 5: Chứng minh:
2

a −b b− c c − a  1
1 
+
+
≤
−
 . Trong ñó 1997 ≤ a, b, c ≤ 1998 .
c
a
b
1998 
 1997

Hướng dẫn giải:
Câu 1:

1/ Theo bài ra ta có:
2

2

ab = ( a − 1) + ( b + 1) trong ñó: 0 ≤ a, b ≤ 9, a ≠ 0.

167


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ
⇒ 10a + b = a 2 − 2a + 1 + b + 2b + 1
⇒ a. (12 − a ) = b. ( b + 1) + 2

Vì b. ( b + 1) + 2 là số chẵn ⇒ a là số chẵn.
+/ Nếu a = 2 ⇒ b. ( b + 1) + 2 = 20 ( không có nghiệm nguyên )
b = 5
+/ Nếu a = 4 ⇒ b. ( b + 1) + 2 = 32 ⇒ 
⇒b=5
b = −6

+/ Nếu a = 6 ⇒ b. ( b + 1) + 2 = 36 ( không có nghiệm nguyên )
b = 5
+/ Nếu a = 8 ⇒ b. ( b + 1) + 2 = 32 ⇒ 
⇒b=5
b = −6

Vậy a = 4, b = 5 hoặc a = 8, b = 5 .
2/ Theo bài ra ta có: x 3 − 4 y 3 − 2 z 3 = 0 (1) ⇒ x3 ⋮ 2 ⇒ x ⋮ 2 .
ðặt x = 2 x1

( x1 ∈ Ν )

thay vào (1) ta có:

8 x13 − 4 y 3 − 2 z 3 = 0 ⇒ 4 x13 − 2 y 3 − z 3 = 0 ( 2 ) ⇒ z 3 ⋮ 2 ⇒ z ⋮ 2 .

ðặt z = 2 z1

( z1 ∈ Ν ) , thay vào (2) ta có :

4 x13 − 2 y 3 − 8 z13 = 0 ( 3) ⇒ 2 y 3 ⋮ 4 ⇒ y 3 ⋮ 2 ⇒ y ⋮ 2 .

ðặt y = 2 y1

( y1 ∈ Ν ) , thay vào (3) ta có :

x13 − 4 y13 − 2 z13 = 0 .

Quá trình lập luận cứ tiếp diễn ta sẽ có:
x ⋮ 2 n , y ⋮ 2n , z ⋮ 2n trong ñó n là số tự nhiên lớn tùy ý ⇒ x = y = z = 0.
Thử lại, thấy x = y = z = 0 thỏa mãn phương trình ñã cho.
Vậy x = y = z = 0 là nghiệm duy nhất.
Câu 2

1/ Xem ñề 26- câu 1.a

168


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

1
2/ Ta có: x = .
2

2+

1 1
− . 2 > 0.
8 8

Và :
8 x + 2 = 4.

(

⇒ 8x + 2

)

2

2+

1
8

1

= 16.  2 + 
8


⇒ 4 x 2 + 2.x = 2
⇒ 2. 2.x 2 = 1 − x
⇒ 8x 4 = x 2 − 2 x + 1
⇒ x4 + x +1 =
⇒ x + x +1 =
4

x2 − 2 x + 1
+ x +1
8

( x + 3)

2

8

Ta có:
2

4

2

A = x + x + x +1 = x +

( x + 3)
8

2

= x2 +

x + 3 2. 2.x 2 + x + 3 1 − x + x + 3
=
=
= 2.
2. 2
2. 2
2. 2

Vậy A = 2 .
Câu 3:

Theo ñịnh lý Ptoleme ta có:
AA1.BC = BA1.AC + CA1. AB = BA1.( AB + AC ) ⇒ AA1 =

Lại có: BA1 =

( AB + AC ) .BA1
BC

BA1 + CA1 BC

>
( 2)
2
2

Từ (1) và (2) ⇒ AA1 >

(1)
A

AB + AC
( *)
2

Hoàn toàn tương tự ta có :
BB1 >

BA + BC
CA + CB
(**) và CC1 >
(***)
2
2

B

C

169

A1


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

Cộng các BðT (*), (**), (***) theo vế ta ñược:
AA1 + BB1 + CC1 > AB +AC +BC (ñpcm)
Câu 4:

A

B
2

1

I

1

N

D

C

O

K
M

Gọi ñường tròn ngoại tiếp CMN là O.
1/ Ta có: N1 = A1 = A2 .
⇒ ∆AND cân ở D ⇒ DN = AD = BC .

Có:

BCO = BCD + DCO = CMN + CNM + DCO = 2CMN + DCO = CON + DCO = DNO
Xét ∆DNO & ∆BCO có:

 DN = BC

⇒ ∆DNO = ∆BCO ( c.g.c )
ON = OC

 BCO = DNO

ODN = OBC ⇒ Tứ giác CODB nộ i tiếp (ñpcm).
2/ Gọi I là giao ñiểm của AC và BD
170


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ
∆OCB = ∆OND ⇒ OB = OD ⇒ OI ⊥ BD .

OI là ñường thẳng nố i tâm ñường tròn (CMN) và ñường tròn (CBD).
(CMN) cắt (CBD) tại C và K ⇒ KC ⊥ OI .

KC // BD => Tứ giác CBDK là hình thang cân ( hình thang cân nộ i tiếp là hình thang cân)
 KDB = CBD = ADB ( *)

⇒
 DK = BC = AD
Từ (*) suy ra DB là phân giác góc ADK.

AK vuông góc DB mà DB / / KC ⇒ AK ⊥ KC ⇒ AKC = 900.
Câu 5: Ta có:

a − b b − c c − a ( a − b ) . ( b − c ) .( c − a )
.
+
+
=
c
a
b
abc

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c.
b  ( b − c ) . (1998 − c )
=



.
abc
bc
bc
 a
 1998 
(1998 − b ) . ( b − c ) .(1998 − c ) ≤ (1998 − b ) . ( b − 1997 ) . (1998 − 1997 ) =

=
1998bc
1998.b.1997

A=

=

( a − b ) . ( b − c ) . ( a − c ) = 1 − b  . ( b − c ) . ( a − c ) ≤ 1 −

b
b
1
1
1
1
1
1

+
−
+ ≤
+
− 2.
. =
1997 1998  1997.1998 b  1997 1998
1997.1998. b
2

1 

 1
=
−
 (dpcm).
1998 
 1997

a = 1998

Dấu ‘’=’’ xảy ra ⇔ b = 1998.1997
c = 1997


171