TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

NGUYỄN XUÂN KỲ

TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON
NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

NGUYỄN XUÂN KỲ

TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON
NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN NHƢ XUÂN

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Nhƣ Xuân,
giảng viên trƣờng Học viện Kỹ thuật Quân sự. Thầy đã hết lòng dẫn dắt, chỉ bảo
cho em có đƣợc những kiến thức, cách tiếp cận giải quyết vấn đề một cách khoa học
và động viên em rất nhiều trong suốt thời gian em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trƣờng và các thầy ở bộ môn
vật lý lý thuyết. Các thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức về chuyên ngành
hết sức bổ ích và cần thiết, cũng nhƣ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em
trong quá trình học tập. Các thầy đã cho em thấy đƣợc lòng nhiệt huyết, sự say mê
trong công tác giảng dậy cho các thế hệ sau.
Cuối cùng em xin đƣợc nói lời cảm ơn tới những thành viên trong gia đình và
bạn bè đã luôn động viên, sát cánh bên em trong suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 29 tháng 10 năm 2014
Học viên

Nguyễn Xuân Kỳ


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................7
CHƢƠNG 1. MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON ......11
1.1. BIÊN Độ TÁN Xạ TổNG QUÁT CHO HAI TƢƠNG TÁC. .................11
1.2. PHA BIÊN Độ TÁN Xạ TRONG GầN ĐÚNG EIKONAL. ...................13
1.3. CÔNG THứC WEST VÀ YENNIE. ............ ERROR! BOOKMARK NOT
DEFINED.
CHƢƠNG 2. TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ

HÌNH EIKONAL ...................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2.1. MộT Số CÁCH TIếP CậN TÁN Xạ NUCLEON TRONG CÁC MÔ
HÌNH PHI EIKONAL. ........................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2.2. BIÊN Độ TÁN Xạ CÁC NUCLEON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL.
................................................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2.3. GIÁ TRị TRUNG BÌNH CủA CÁC THAM Số VA CHạM. ....... ERROR!
BOOKMARK NOT DEFINED.
CHƢƠNG 3. TÁN XẠ PROTON – PROTON TRONG MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG
LUẬN ........................................................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
3.1. TÁN Xạ ĐÀN HồI PP VÀ CÁC ĐặC TRƢNG CủA NÓ. ........... ERROR!
BOOKMARK NOT DEFINED.
3.2. Dữ LIệU Về THAM Số VA CHạM CHO QUÁ TRÌNH TÁN Xạ PP ở
53 GEV. ....................................................................................................................26
KẾT LUẬN ............................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
PHỤ LỤC A. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON . ERROR! BOOKMARK
NOT DEFINED.


PHỤ LỤC B. CÁC BỔ CHÍNH CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON
TRONG MÔ HÌNH EIKONAL ................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: Giá trị tái chuẩn hóa của các tham số gk và k ....... Error! Bookmark not
defined.
Bảng 3.1: Trung bình bình phƣơng các tham số va chạm pp ở 53 GeV ........... Error!
Bookmark not defined.
Bảng 3.2: Giá trị của tích phân theo tiết diện tán xạ vi phân và các giá trị RMS của

tán xạ toàn phần, đàn hồi và không đàn
hồi............................................................Error! Bookmark not defined.


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.2: Phần ảo  WY (s, t ) khác không của pha tƣơng đối WY ứng với phép tính
số pha tán xạ hadron ở hình 1 ................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của pha tán xạ hadron  N (s, t ) vào t: .... Error!
Bookmark not defined.
Hình 3.1: Dữ liệu thăng giáng ngoại vi của tán xạ pp ở năng lƣơng 53 GeV .. Error!
Bookmark not defined.
Hình 3.2: Dữ liệu tán xạ ngoại vi pp xác định dƣơng ở 53 GeV ... Error! Bookmark
not defined.


MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh nghiên cứu của đề tài.

Các máy đo quang phổ kế Pion tại SIN (Swiss Institute for Nuclear Research - Viện
nghiên cứu hạt nhân Thụy Sỹ) và LAMPF (Los Alamos Meson Physics Facility – Trung
tâm nghiên cứu Vật lý hạt meson Los Alamos) đã đƣa ra các dữ liệu thực nghiệm có tính
chính xác cao về quá trình tán xạ đàn hồi của pion – hạt nhân trong vùng đầu của sự cộng
hƣởng pion – hạt nhân [1-4]. Vì trong vùng này, phần tán xạ đàn hồi của một + từ một
proton lớn hơn rất nhiều so với từ một nơtron (thông qua trao đổi hạt -), một trong nhƣng
hy vọng chính rút ra từ các số liệu thực nghiệm này là chỉ ra đƣợc sự đóng góp của nơtron
trong các tƣơng tác trên bề mặt hạt nhân. Nhƣ vậy bằng sự so sánh tán xạ đàn hồi của các
pion có năng lƣợng 130 MeV của hạt nhân nguyên tử

40

Ca và 48Ca đã chỉ ra sự khác nhau

khá lớn giữa tƣơng tác giữa các hạt - và các hạt + do có sự tham gia thêm của 8 hạt
nơtron [5]. Nói cách khác, do không tính đến tƣơng tác Coulomb có thể là nguyên nhân
sinh ra sự khác nhau giữa tán xạ - và + thậm chí là của các hạt nhân đồng vị, ví dụ nhƣ
hạt nhân 40Ca và hạt nhân 48Ca. Rõ ràng rằng, khả năng của chúng ta sử dụng các số liệu
thực nghiệm của hạt nhân

40

Ca phụ thuộc phần lớn vào sự mở rộng vùng tƣơng tác vào

các vùng mà hiệu ứng tƣơng tác Coulomb chiếm ƣu thế.
Nếu chúng ta có một mô hình bán vi mô của tán xạ pion – hạt nhân, nhƣ có một thế
quang học hoặc một lý thuyết tán xạ nhiều hạt, thì việc tính thêm tƣơng tác Coulomb vào
tƣơng tác hạt nhân là hoàn toàn có thể đƣợc về mặt nguyên tắc mặc dù nó có những khó
khăn về mặt kỹ thuật tính toán. Bỏ qua những điều này, chúng ta vẫn có thể hiệu chỉnh số
liệu cho các số hạng Coulomb. Bài toán này đã đƣợc đƣa ra từ lâu bởi Bethe [6] với các
góc tán xạ nhỏ. Bằng việc tham số hóa biên độ tán xạ tƣơng tác mạnh pion – hạt nhân
trong vùng giao thoa Coulomb – hạt nhân theo các số hạng phụ thuộc vào góc tán xạ cho
phép Bethe chỉ ra đƣợc sự thay đổi quan trọng của pha tán xạ phụ thuộc sự trao đổi + hay
-. Trƣớc đây, chúng ta đã mở rộng mô hình này bằng cách tham số hóa biên độ tán xạ hạt
nhân trung bình để đƣa ra cấu trúc của tiết diện tán xạ vi phân nhờ sử dụng phép biểu diễn
các số hạng “không” (zero terms) của biên độ tán xạ trong mặt phẳng phức các xung
lƣợng truyền. Giống nhƣ Bethe, nếu chúng ta sử dụng gần đúng eikonal để tìm các hàm
pha cộng tính  (b) trong không gian các tham số va chạm thì đối với hạt nhân 12C kết quả

8

thu đƣợc của các hàm pha này có sự khác nhau khá lớn ở trao đổi + và -, tuy nhiên điều
này là không đúng lắm với hạt nhân 40Ca. Từ đó đòi hỏi chúng ta phải đƣa ra thêm các cơ
chế khảo sát khác chi tiết hơn nữa [8].
2. Lý do chọn đề tài.
Tán xạ đàn hồi năng lƣợng cao của các nucleon đƣợc thực hiện nhờ tƣơng tác mạnh của các hadron,
nhƣng trong trƣờng hợp các hadron tích điện cần phải xét tƣơng tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16].
Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lƣợng tử, Bethe đã thu đƣợc công thức cho tán xạ thế
với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ
Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [45]. Biên độ tán xạ đàn hồi đƣợc ký hiệu bằng F C  N và có thể biểu
diễn một cách hình thức dƣới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]:

F C  N  s, t   ei  s ,t  F C  s, t   F N  s, t  .

(0.1)

trong đó s là bình phƣơng năng lƣợng trong hệ khối tâm (cms), t là bình phƣơng xung lƣợng truyền 4
chiều, F C  s, t  - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb đƣợc xác định trong điện động lực học lƣợng tử
(QED), F N  s, t  - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tƣơng tác mạnh),   1/137,036 là
hằng số cấu trúc,   s, t  là pha tương đối - sự lệch pha đƣợc dẫn ra bằng tƣơng tác Coulomb tầm xa.
Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]

  2ln 1,06 / qa  .
trong đó

q là xung lƣợng truyền của hạt tán xạ, còn a

(0.2)
là tham số đặc trƣng cho kích thƣớc của hạt nhân.

Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và thực nghiệm. Về lý thuyết
phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả
dĩ của tiết diện tán xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tƣơng
tác mạnh. Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trƣớc ở vùng năng lƣợng thấp so với
2

2

các số liệu thực nghiệm đã đƣợc thực hiện cho vùng có | t | 10 GeV . Còn ở vùng | t | 10 GeV
2

2

sự

tƣơng thích giữa lý thuyết và thực nghiệm còn chƣa đƣợc nghiên cứu đầy đủ.

Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi hỏi không
những tƣ duy logic mà còn cần cả tƣ duy hiện tƣợng luận dựa trên các kết quả thực
nghiệm. Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận xuất phát từ thực nghiệm, và
kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không theo cách tư duy logic trong toán học. Hàm

9


delta Dirac là một ví dụ, nó là hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, chứ nó không hẳn
đƣợc định nghĩa nhƣ những hàm số thông thƣờng. Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới
đƣợc giới học thuật thừa nhận!
3. Mục đích của luận văn.
Mục đích của luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán xạ đàn hồi của

các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo những mô hình hiện tƣợng
luận đã đƣợc thừa nhận. Sự ảnh hƣởng của hai tƣơng tác là tƣơng tác mạnh giữa các
hadron và tƣơng tác Coulomb đến biên độ tán xạ và pha tán xạ đƣợc rút ra dựa trên các số
liệu thực nghiệm.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá trình tán xạ
đàn hồi của các hadron năng lƣợng cao. Với cách tiếp cận theo mô hình này cho phép
chúng ta có thể đƣa ra các giá trị về tham số va chạm (ví dụ nhƣ phạm vi tác dụng của lực
Coulomb và lực tƣơng tác mạnh ở các khoảng cách khác nhau), một đặc trƣng vật lý quan
trọng của quá trình tƣơng tác.
Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng mô hình eikonal hiện tƣợng
luận và một số phƣơng pháp của lý thuyết trƣờng lƣợng tử nhƣ phƣơng pháp tách phân kỳ,
các phép gần đúng Born, gần đúng chuẩn cổ điển, và một số kỹ thuật tính tích phân.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric
Feynman.
Các véctơ phản biến là tọa độ

x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x 

thì các véctơ tọa độ hiệp biến

x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  ,

trong đó

10


g   g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 


 0 0 1 0 


 0 0 0 1

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
5. Ý nghĩa khoa học của luận văn.
Luận văn là cơ sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu các số liệu thực nghiệm về tán
xạ các hạt nucleon năng lƣợng cao thu đƣợc từ các máy gia tốc. Giúp chúng ta hiểu rõ hơn
về cơ chế tƣơng tác của các nucleon trong hạt nhân. Từ đó là cơ sở để nghiên cứu chuyên
sâu thêm về cơ chế tƣơng tác của các hadron khi có tính thêm spin.
6. Cấu trúc luận văn.
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chƣơng, hai phụ lục và kết luận.
Chƣơng 1 - Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb- Hadron.
Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lƣợng cao, chúng tôi xây dựng biên độ
tán xạ tổng quát cho hai loại tƣơng tác – tƣơng tác Coulomb và tƣơng tác nucleon, trong
đó pha eikonal đƣợc tính từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born. Trong mục 1.1, chúng
tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ cho hai loại tƣơng tác trong gần đúng Born.
Việc tính sự lệch pha cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal đƣợc dẫn ra ở
mục 1.2. Công thức cho lệch pha trong gần đúng eikonal thu đƣợc ở đây phù hợp với kết
quả mà West và Yennie thu đƣợc trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử bằng việc tính các giản
đồ Feynman cho bài toán này. Lƣu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon
nhƣng bỏ qua spin của nucleon. Mục 1.3, dành cho việc mở rộng công thức về sự lệch pha
của biên độ tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ với xung lƣợng truyền nhỏ ra

vùng xung lƣợng truyền lớn dựa trên các số liệu thực nghiệm.
Chƣơng 2 - Tán xạ các nucleon năng lƣợng cao trong mô hình eikonal.
Chƣơng 2 dành cho mô tả sự ảnh hƣởng qua lại của hai loại tƣơng tác Coulomb và
tƣơng tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon. Trong mục 2.1, một số phƣơng
án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lƣợng truyền nhỏ (khi cả hai

11


loại tƣơng tác Coulomb và tƣơng tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho
vùng xung lƣợng truyền lớn (vùng mà tƣơng tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu
thực nghiêm. Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng
công thức West và Yennie một cách đơn giản. Để khắc phục những bất cập này trong mục
2.2, trong mô hình eikonal hiện tƣợng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha
eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel. Mục 2.3, dành cho việc tính các giá trị trung
bình các tham số va chạm trong mô hình này.
Chƣơng 3 - Tán xạ proton – proton trong mô hình eikonal hiện tƣợng luận.
Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đƣa ra công thức đơn giản của West và Yennie

sẽ đƣợc phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ. Trong mục 3.1, các đặc trƣng
cho tán xạ proton-proton đƣợc giới thiệu vắn tắt. Mục 3.2, mô hình eikonal hiện tƣợng
luận đƣợc áp dụng để phân tích các dữ liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lƣợng 53 GeV.
Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc mở
rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tƣơng tự trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
Phần phụ lục A sẽ đƣa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các nucleon.
Phần phụ lục B, ta trình bày cách tính một số bổ chính cho biên độ tán xạ Coulomb
trong mô hình eikonal.
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON
Trong chƣơng này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lƣợng cao
và xung lƣợng truyền nhỏ (tán xạ phía trƣớc), trong đó pha eikonal đƣợc tính từ biên độ

tán xạ Born. Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tƣơng tác – tƣơng
tác Coulomb và tƣơng tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal
khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tƣơng tác Coulomb đƣợc trình bầy ở mục 1.2. Trong
mục 1.3, xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán xạ

 ( s, t ) dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon).
1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tƣơng tác.
Mô hình eikonal đƣợc thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán
xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần

12


đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ   b  sẽ chứa toàn bộ
thông tin về quá trình tán xạ.
F  q2  

 
s
2
iq .b
e2i (b )  1 .
d
be

4 i

(1.1)

Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lƣợng cao tổng quát, với ý nghĩa, nó

không dựa vào cơ chế tƣơng tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá trình trong mô
hình eikonal đƣợc xác định, nếu cho trƣớc dạng cụ thể của pha  (b) . Pha này phụ thuộc
vào tham số va chạm b và năng lƣợng của khối tâm. Ở năng lƣợng siêu cao thì pha  (b)
đƣợc xác định bởi biểu thức:
 b 

1

d
2 s 

2

qeiq.b FBorn  q 2  .

(1.2)

Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc vào s của biên độ tán xạ Born. Khi đó, biên
độ tán xạ eikonal ở vùng năng lƣợng lớn là:
Feik  q 2  

s
d 2beiq.b e2i (b )  1 .

4 i

(1.3)

Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,  C và  N , tƣơng ứng với 2 quá trình tán
xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:

F N C  q 2  

s
2
iq.b  2i ( C ( b )  N ( b ))
d
be
e
 1 .


4 i 

(1.4)

Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:

F C  q2  

C
s
d 2beiq.b e2i (b )  1 .



4 i

(1.5)

Còn nếu bỏ qua lực tƣơng tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các hadron

trong hạt nhân:
F N  q2  

N
s
d 2beiq.b e2i (b )  1 .



4 i

(1.6)

13


Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4) dƣới
dạng
F N C  q 2   F C  q 2   F N  q 2  

C
N
s
d 2beiq.b e2i (b )  1 e2i (b )  1




4 i

 
C
N
i q  q' .b
s
2
iq' b  2i  b 
 e   e2i b   1
 F q   F q  
d
be
e

1




4 i 
  

C

2

N

2

 F C (q 2 )  F N (q 2 ) 

i

d
s

2 '

q F C (q ' 2 ) F N

(1.7)

q  q  .
'

2

Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán xạ các
nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tƣơng tác Coulomb và tƣơng tác hạt
nhân.
1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal.
Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần
đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2), chúng ta đƣa vào khối một
photon khối lƣợng nhỏ  để khử phân kỳ hồng ngoại:
 C b 



1

d be
2 s 
2

 iq .b

  s 
 2
2 
 q  

(1.8)

  
1
 1 

d 2beiq.b  2
  K 0 (b )   ln  b     O(b )  .
2 

2
 2 

 q  

các số hạng dạng O(b ) có thể đƣợc bỏ qua vì khối lƣợng photon đƣa vào sẽ tiến tới
không. Nhƣ vậy:
 1  


   2 i  ln  b    
s
2
iqb
 2  


F q 
d
b
e
e

1
4i 


C

 
2


 
s
2
i qb   e 

d
be




4 i 
 2q 

2 i

 bq 

2 i


 1


(1.9)

14



  e 2i

s
2 i
  dbbJ 0  qb  
bq

1


  
2i 0
 2q 
 .

Sử dụng công thức tích phân sau [16]:
 1  


 2 


dx
x
J
(
x
)

2
.
0
0
 1  


 2 



( 1.10)

Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất của hằng
số tƣơng tác :


  e 
0 dbb J 0  qb   2q 

1   e 
 2

q  2q 

2 i

22i 1

s   e 
F (q ) 


2iq 2  2q 
C

2

với

2i

 bq 

2i

1   e 
 2

q  2q 

2i 

 d  qb bq 

2i 1

J 0  qb 

0

(1  i )
.
(1  i )
2i

21 2i

(1.11)

C
2
(1  i )
s
  2 ei eik ( q ) .
(1  i )
q

 2 
.
2 
q 

C
eik
(q 2 )  ln 

(1.12)

Do tính kì dị của F C (q 2 ) tại q 2  0 vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) nhƣ sau:
N
' 2



i
i

2
'

C
'2
2 C
'2  F ([q  q ] )
F N C (q 2 )  F C (q 2 )  F N (q 2 ) 1 
d
(
q
)
F
(
q
)

d
F
(
q
)
 1 

N
2


s
 s

 F (q )




(1.13)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt

1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
15


2. Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cở sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
3. Đặng Quang Khang (1974), Cơ học lượng tử, NXB Đại học và Trung học chuyên
nghiệp, Hà Nội, tập II, trg 468.
Tiếng Anh

4. Martin, A (1997), “A theorem on the real part of the high-energy scattering amplitude
near the forward direction”, Phys. Lett. B 404, pp. 137.

5. Margolis, B (1988), et al., “Forward scattering amplitudes in semi-hard QCD”, Phys.
Lett. B 213, pp. 221.

6. Haim, D and Maor, U (1992) , “Multi-component fits to high energy pp and pp
scattering”, Phys. Lett. B 278, pp. 469.

7. Borkowski, F (1975) , et al., “Electromagnetic form factors of the peoton at low fourmomentum transfer (II)”, Nucl. Phys. B 93, pp. 461.

8. Hohler, G (1976) , et al., “Analysis of electromagnetic nucleon form factors”, Nucl.
Phys. B 114, pp. 505.

9. Bethe, H. A (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”, Annals of
Physics 3, pp. 190-240

10. Miettinen, H.G in: Tran Thanh Van (Ed.), J (1974) , Proceedings of the IXth
Rencontre de Moriond, Meribel les Allues, vol. 1, Orsay.

11. Arrington, J and Melnitchouk, W and Tjon, J.A (2007), “Global analysis of proton
elastic form factor data with two-photon exchange corrections”, Phys. Rev. C 76,
pp. 035205.

12. Durand, L and Pi, H (1989), “Relativistic description of quark-antiquark bound states.
Spin-independent treatment”, Phys. Rev. D 40, pp. 1436.

13. Block, M.M and Cahn, R.N (1985), “High-energy pp̅ and pp forward elastic scattering
and total cross sections”, Rev. Mod. Phys. 57, pp. 563.

14. Islam, M.M in: Barut, A.O and Brittin (Eds.), W.E (1968), “Lectures in Theoretical
Physics”, vol. 10B, Gordon and Breach, pp. 97.

15. Islam, M.M (1976) , “Impact parameter representation from the Watson-Sommerfeld
transform”, Nucl. Phys. B 104, pp. 511.

16


16. Islam, M.M and Luddy, R.J and Prokudin, A.V (2005) , “pp elastic scattering at LHC
in near forward direction”, Phys. Lett. B 605, pp. 115.

17. Locher, M.P (1967) , “ Relativistic treatment of structure in the Coulomb interference
problem”, Nucl. Phys. B 2, pp. 525.

18. Sachs, R.G (1962) , “High-Energy Behavior of Nucleon Electromagnetic Form
Factors”, Phys. Rev. 126, pp. 2256.

19. Nguyen Xuan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan. (2011), “Functionl
Integration and High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic
Moments in Quantum Field Theory”, arXiv:0368084[hep-th] ..

20. Petrov, V.AB and Prokudin, A.V (2002) , “The first three pomerons...”, Eur. Phys. J.
C 23, pp. 135.

17