Hàm đặc trưng và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THÙY DUNG

HÀM ĐẶC TRƯNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THÙY DUNG

HÀM ĐẶC TRƯNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ

HÀ NỘI - NĂM 2016


Mục lục
MỞ ĐẦU

5

1 Khái niệm và tính chất của hàm đặc trưng

7

1.1

Biến ngẫu nhiên của giá trị phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Hàm đặc trưng và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Một số định lý cơ bản của hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Hàm đặc trưng của một số phân phối

29

2.1

Hàm đặc trưng của một số phân phối quan trọng . . . . . . . . . . 29

2.2

Tính chất đặc trưng của phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3

Hàm đặc trưng của phân phối nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Một số ứng dụng của Hàm đặc trưng

57

3.1

Phân phối phân chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2

Phân phối ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3

Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong Luật số lớn . . . . . . . . . . 64

3.4

Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong Định lý giới hạn trung tâm . 67

KẾT LUẬN

77

Tài liệu tham khảo

78

3


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS. TS Phan Viết Thư, người thầy đã tận tình giảng dạy, truyền
thụ những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận
văn này. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ
- Tin học, Phòng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa
cao học 2013 -2015 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn
bè đã luôn động viên ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 4 năm 2016
Học viên
Đỗ Thùy Dung

4


MỞ ĐẦU
Hàm đặc trưng là một khái niệm quan trọng của toán học với
nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm, lý thuyết độ đo và tích phân
và đặc biệt là trong lý thuyết xác suất.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về Hàm đặc trưng trong
lý thuyết xác suất, tôi đã chọn đề tài:
"Hàm đặc trưng và một số ứng dụng"
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu khái niệm, các tính chất
và một số ứng dụng của Hàm đặc trưng.
Bản luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Khái niệm và tính chất của hàm đặc trưng
Trình bày các khái niệm, tính chất và một số định lý cơ bản của
hàm đặc trưng để phục vụ cho các chương sau.
Chương 2: Hàm đặc trưng của một số phân phối
Chương này trình bày hàm đặc trưng của một số phân phối quan
trọng như phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối nhị thức, phân
phối χ2 , cũng như hàm đặc trưng của phân phối chuẩn nhiều chiều.
Và chú trọng vào tính chất đặc trưng của phân phối chuẩn.
Chương 3: Một số ứng dụng của Hàm đặc trưng
Đề cập đến một số ứng dụng của Hàm đặc trưng trong khái niệm
phân phối phân chia vô hạn, phân phối ổn định, và quan trọng hơn là
ứng dụng của hàm đặc trưng trong Luật số lớn vàtrong Định lý giới

hạn trung tâm.
Mặc dù có nhiều cố gắng, xong do nhiều yếu tố khách quan và chủ
quan, nên trong quá trình chọn lọc tư liệu và trình bày nội dung khó
5


tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý
kiến chỉ bảo của thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn học viên
để luận văn được hoàn thiện hơn.

6


Chương 1
Khái niệm và tính chất của hàm
đặc trưng
Hàm đặc trưng là công cụ phân tích hữu ích của lý thuyết xác suất, đặc biệt
là để nghiên cứu các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Ở chương này sẽ
trình bày các định nghĩa và tính chất của hàm đặc trưng.

1.1

Biến ngẫu nhiên của giá trị phức

Cho biến ngẫu nhiên ξ , xét kì vọng của một biến ngẫu nhiên giá trị phức
eiξt , ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng của biến ngẫu nhiên với giá trị phức trước; sau đó

ta sẽ thấy định lý về biến ngẫu nhiên thực có thể mở rộng đến các biến ngẫu
nhiên phức như thế nào. Nếu ξ và η là các biến ngẫu nhiên thực, đặt đại lượng
ζ = ξ + iη là một biến ngẫu nhiên phức. Phân phối của ζ có thể đặc trưng bởi

phân phối của ξ và η .
Chúng ta định nghĩa kì vọng của ζ = ξ + iη bởi
E (ζ) =

ζdP

(1.1.1)

Ω

Hay
E (ζ) = E (ξ) + iE (η)

(1.1.2)

Biến ngẫu nhiên ζ1 = ξ1 + iη1 và ζ2 = ξ2 + iη2 được gọi là độc lập nếu các véc
tơ ngẫu nhiên hai chiều (ξ1 ; η1 ) và (ξ2 ; η2 ) là độc lập. Sự độc lập của nhiều biến
ngẫu nhiên phức được định nghĩa tương tự.
7


Nếu ξ1 , ξ2 , ..., ξn là các biến ngẫu nhiên phức độc lập, và tồn tại kỳ vọng
E (ξk ) (k = 0, 1, 2, ..., n) thì:

(1.1.3)

E (Πξk ) = ΠE (ξk )

Nếu A (x) = a (x) + ib (x) là một hàm Borel giá trị phức của biến x thực và ξ

là một biến ngẫu nhiên thực, hơn nữa nếu kỳ vọng của ζ = A(ξ) tồn tại, khi đó
ta tính được:
+∞

E (ζ) =

A (x) dF (x)

(1.1.4)

−∞

trong đó F (x) là phân phối của ξ . Thật vậy ta có:
+∞

E (ζ) =

+∞

a (x) dF (x) + i
−∞

b (x) dF (x)

−∞

Điều này dễ dàng chứng minh được cho mọi biến ngẫu nhiên với giá trị phức
|E (ζ)| ≤ E (|ζ|)

1.2

(1.1.5)

Hàm đặc trưng và tính chất cơ bản

Chúng ta định nghĩa hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên ξ như là kỳ
vọng của eiξt ; do đó nó là một hàm theo biến t và được ký hiệu là ϕ(t).
Theo định nghĩa :
ϕξ (t) = E eiξt

(1.2.1)

Theo công thức (1.1.4) thì
+∞

eixt dF (x)

ϕξ (t) =

(1.2.2)

−∞

trong đó F(x) là hàm phân phối của ξ ; từ đó ϕξ (t) được gọi là phép biến đổi
Fourier - Stieltjes của F(x).

8


Nếu hàm phân phối của ξ là rời rạc và ξ có giá trị giả định là xk (k=1,2,....)

với xác suất tương ứng là : pk (k=1,2,...) thì ϕξ (t)có thể viết dưới dạng:
∞

pk eitxk

ϕξ (t) =

(1.2.3)

k=1

Nếu hàm phân phối của ξ là liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f (x) = F (x).
Ta có:
+∞

eitx f (x) dx

ϕξ (t) =

(1.2.4)

−∞

Do đó ϕξ (t) là phép biến đổi Fourier - Stieltjes của f(x).
Từ đó chúng ta thấy rằng hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên tùy ý chỉ phụ
thuộc vào phân phối xác suất của nó; hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có
cùng phân phối là đồng nhất. Hàm đặc trưng được định nghĩa theo công thức
(1.2.2) có thể được gọi là hàm đặc trưng của F(x) (Hay là hàm đặc trưng của
biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F(x)).
Trước tiên, hãy chú ý rằng: mọi hàm phân phối đều có một hàm đặc trưng

khi tích phân Slieltjes (1.2.2) tồn tại, theo quy ước: eixt = 1.
Nếu giả thiết ξ chỉ nhận giá trị nguyên dương với :
P (ξ = k) = pk

Ta thấy là :

(k = 0, 1, 2...)
n

pk eikt = Gξ eit

ϕξ (t) =
k=0

ở đây:

n

pk z k

Gξ (z) =

(|z| ≤ 1)

k=0

là hàm sinh của ξ . Trong trường hợp này giá trị của hàm đặc trưng là bằng với
giá trị của hàm sinh bên trong đường tròn đơn vị. Trong trường hợp tổng quát,
khi ξ có thể nhận không chỉ những giá trị không âm thì hàm sinh không được
định nghĩa, tuy nhiên hàm đặc trưng luôn tồn tại với mọi biến ngẫu nhiên.

Ta sẽ chứng minh một số định lý cơ bản về hàm đặc trưng của phân phối
xác suất
9


Định lí 1.2.1. Ta luôn có ϕξ (t) ≤ 1, dấu "="xảy ra khi t=0.
Chứng minh:
Từ eiξt = 1 và từ công thức (1.1.5), ta có:
eiξt

ϕξ (t) ≤ E

=1

Hơn nữa với t=0 :
ϕξ (0) = E e0 = 1

Vậy dấu "=" xảy ra khi t=0.
Định lí 1.2.2. Hàm ϕξ (t) là liên tục đều trên toàn trục số, −∞ < t < +∞
Chứng minh:
Lấy ε > 0, chọn λ > 0 sao cho: P (|ξ| > λ) <

ε
3

Nếu ta ký hiệu Aλ là biến cố :|ξ| > λ
Hiển nhiên ta có:
ϕξ (t) = E eiξt /Aλ .P (Aλ ) + E eiξt /Aλ .P Aλ

Từ E eiξt /Aλ

(1.2.5)

≤ 1. Ta kết luận:
ϕξ (t) − E eiξt /Aλ P Aλ

ε
3

(1.2.6)

2ε
3

(1.2.7)

a
(1.2.8)

≤ P (Aλ ) <

Vì vậy :
eiξt2 − eiξt1 /Aλ +

ϕξ (t2 ) − ϕξ (t1 ) ≤ E

Từ:
b
ib

e −e

ia

eiz dz ≤ b − a

= i

khi

a

Suy ra: eiξt2 − eiξt1 <

ε
3

khi

|ξ| < λ và |t2 − t1 | <

ε
3λ

=δ

Do đó :
ε
E |eiξt2 − eiξt1 |/A¯λ <

3
10

khi

|t2 − t1 | < δ

(1.2.9)


Từ công thức (1.2.7) và công thức (1.2.9) ta được:
ϕξ (t2 ) − ϕξ (t1 ) < ε

|t2 − t1 | < δ

khi

Ở đây : δ > 0 chỉ phụ thuộc ε
Định lí 1.2.3. Nếu a và b là hằng số và η = aξ + b thì:
ϕη (t) = eibt ϕξ (at)

Chứng minh:
ϕη (t) = E ei(aξ+b)t = eibt E eiξt = eibt ϕξ (at)

Định lí 1.2.4. Nếu t1 , t2 , ...., tn là các số thực bất kỳ và z1 , z2 , ...., zn là các số
phức bất kỳ. Hơn nữa, nếu ϕξ (t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ξ và
z = x − iy là số phức liên hợp của z = x + iy thì ta có:
n

n

ϕξ (th − tk ) zh zk ≥ 0

(1.2.10)

h=1 k=1

Chú ý: Hàm thỏa mãn điều kiện (1.2.10) được gọi là hàm xác định dương. Một
định lý đáng quan tâm của Bochner nói rằng : mọi hàm xác định dương ϕ (t)
liên tục tại t=0 và ϕ (0) = 1 là hàm đặc trưng của một phân phối xác suất nào
đó. Ta sẽ không chứng minh điều này ở đây.
Chứng minh:
Ta có :
n



n

n



eitk ξ zk 

ϕξ (th − tk ) zh zk¯ = E 
h=1 k=1

2

k=1

Định lí 1.2.5. Với mọi số thực t: ϕξ (−t) = ϕξ (t). Đặc biệt, nếu ξ và −ξ có cùng
phân phối thì ϕξ (t) là một hàm thực chẵn của t.
Chứng minh:
11


Lấy ζ là một biến ngẫu nhiên với giá trị phức, thì :E ζ = E (ζ).
Điều này dẫn tới:
ϕξ (−t) = E e−iξt = E eiξt

Nếu hàm phân phối của ξ là đối xứng, hay nói cách khác: −ξ và ξ có cùng một
hàm phân phối thì hàm đặc trưng của chúng là đồng nhất.
Vì vậy ta có:
ϕξ (t) = ϕ−ξ (t) = ϕξ (−t) = ϕξ (t)
⇒ ϕξ (t) là hàm thực và ϕξ (t) = ϕξ (−t). Hay ϕξ (t)là hàm chẵn.

Định lí 1.2.6. Nếu ξ1 , ξ2 , ...., ξn là các biến ngẫu nhiên hoàn toàn độc lập thì hàm
đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên trên sẽ bằng tích các hàm đặc trưng của
từng biến riêng lẻ:

n

ϕξk (t)

ϕξ1 +ξ2 +....+ξn (t) =
k=1

Chứng minh: Điều này được suy ra từ công thức (1.1.3)

Nhận xét 1.2.1:
1. Các ứng dụng tính chất của các hàm đặc trưng nêu trong định lý 1.2.6 đã
gặt hái được thành công lớn trong lý thuyết xác suất. Thật vậy, hàm phân
phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là tích chập của hàm phân phối
các biến thành phần, tích chập này có kết quả khá phức tạp. Với định lý
6 thì ngược lại, định lý 6 sẽ đưa ra một phép tính đơn giản của hàm đặc
trưng của một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập từ hàm đặc trưng của các
biến thành phần, chính xác là tích của chúng. Hơn nữa, chúng ta sẽ thấy
trong phần sau, từ tính chất của hàm đặc trưng tính chất của hàm phân
phối tương ứng có thể được suy ra.
2. Điều ngược lại của định lý 1.2.6 chưa chắc đúng.
Từ ϕξ1 +ξ2 (t) = ϕξ1 (t) ϕξ2 (t) không suy ra sự độc lập của ξ1 và ξ2 .
Ví dụ: Lấy ξ1 = ξ2 = ξ ở đây ξ có phân phối Cauchy: ϕξ (t) = e−|t| .
Theo định lý 3 ta có:
ϕξ1 +ξ2 (t) = ϕ2ξ (t) = e−2|t| = ϕξ1 (t) ϕξ2 (t)
12


mặc dù ξ hiển nhiên không độc lập với chính nó.
Định lí 1.2.7. Nếu tồn tại n Moment đầu tiên : E ξ k = Mk

(k = 1, 2, ..., n),

của biến ngẫu nhiên ξ , thì hàm đặc trưng: ϕξ ( t) khả vi n lần và :
(k)

ϕξ (0) = ik Mk

(k = 1, 2, ..., n)

(1.2.11)

Chứng minh:
+∞

+∞

xeixt dF (x)

|x|dF (x) thì tích phân

Lấy F(x) là hàm phân phối của ξ . Nếu tồn tại
−∞

−∞

+∞

hội tụ đều theo t. Khi đó ta có: ϕξ (t) =

ixeixt dF (x) Trường hợp đặc biệt:
−∞

(1.2.12)

ϕξ (0) = iM1

Bằng việc lặp lại phép toán ta tìm được:
+∞
(k)

ϕξ (t) = ik

xk eixt dF (x)

(k = 1, 2, ..., n)

(1.2.13)

−∞

Từ đó khi t=0 ta thu được công thức (1.2.11).
Định lí 1.2.8. Giả sử hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ξ là liên tục tuyệt
đối. Nếu hàm mật độ f(x) của ξ là khả vi k lần (k=0,1,2...) và nếu tồn tại
+∞

f (j) (x) dx với j=1,2,...,k.

Cj =
−∞

Thì ta có 1 :
lim |t|k ϕξ (t) = 0

|t|→∞
1:

(1.2.14)

Chỉ cần giả thiết hữu hạn của ck , điều này bao gồm sự hữu hạn của

c1 , c2 , ..., ck−1

Chứng minh:
Từ tích phân
+∞

f (x) eixt dx

ϕξ (t) =
−∞

13

(1.2.15)


thực hiện k lần tích phân từng phần và xét đến giả thiết : lim f (j) (x) = 0 với
|x|→∞

j=1,2,...,k-1
Ta thu được :
ϕξ (t) =

i
k

+∞

k

f (k) (x) eixt dx

(1.2.16)

−∞

Từ (1.2.16) suy ra :
ϕξ (t) ≤

ck
|t|k

(1.2.17)

Từ giả thiết f (k) (x) khả tích trên (−∞; +∞); công thức (1.2.14) được suy ra
từ công thức (1.2.16) theo bổ đề Riemann’s về tích phân Fourier.
Bất đẳng thức (1.2.17) là hiển nhiên chỉ quan trọng trong nghiên cứu hoạt động
của ϕξ (t) với các giá trị |t| lớn.
Nhận xét:
Theo định lý 1.2.7, "tính trơn" (khả vi) của ϕξ (t) được xác định bởi hoạt
động của f(x). Khi |x| → +∞, theo định lý 1.2.8 "tính trơn" của f(x) xác định
bởi hoạt động của ϕξ (t) với |t| → ∞, do đó 2 định lý trong một nghĩa nhất định
là đối ngẫu của nhau.
Định lí 1.2.9. Nếu tồn tại n Moment gốc đầu tiên của ξ : Mk = E ξ k

(k = 1, 2, ..., n),

ta có: (với M0 = 1) khi t−→0 thì:
n

ϕξ (t) =
k=0

Mk (it)k
+ o (tn )
k!

(1.2.18)

Chứng minh: Điều này được suy ra trực tiếp từ định lý 1.2.7 và công thức
Taylor

Định lí 1.2.10. Nếu tồn tại tất cả các Moment của ξ : Mk = E ξ k

(k = 1, 2, ...)

và nếu :
lim sup

n→∞

n

|Mn |
1
=
n!
R

14

(1.2.19)


là hữu hạn.
Thì miền xác định của ϕξ (t) có thể mở rộng tới t-giá trị phức. Với |t| < R
∞

ϕξ (t) =
n=0

Mn (it)n
n!

(1.2.20)

hơn nữa ϕξ (t) là một hàm giải tích chính quy trong giải |v| < R của mặt phẳng
phức: t=u+iv
Chứng minh:
Nếu giả thiết của định lý được thỏa mãn, thì theo công thức (1.2.11) tại điểm
t=0 hàm ϕξ (t) khả vi vô hạn lần và ta có: ϕnξ (0) = in Mn điều này được suy ra
trực tiếp từ công thức (1.2.20). Và theo công thức (1.2.13), với mọi số thực t0
và với ∀ n: ta nhận được
(2n)

ϕξ

(t0 ) ≤ M2n

(1.2.21)

Do vậy: theo bất đẳng thức Schwarz
+∞
(2n+1)

ϕξ

|x|2n+1 dF (x) ≤

(t0 ) ≤

M2n M2n+1 ≤

M2n + M2n+2
2

(1.2.22)

−∞

Ta thu được từ công thức (1.2.19) (1.2.21) (1.2.22); với ∀ số thực t0 :
lim sup

n→∞

n

ϕ(n) (t0 )
1

≤
n!
R

(1.2.23)

Do đó: ϕξ (t) là chính quy trong đường tròn |t − t0 | < R, điều này dẫn tới điều
đã khẳng định của chúng ta.
Nhận xét 1.2.2: Điều đưa ra từ định lý 1.2.10 là: bất cứ khi nào công thức
(1.2.19) đúng thì hàm ϕξ (t) là xác định duy nhất bởi dãy Mn (n=1,2,...). Từ
công thức (1.2.20) hàm ϕξ (t) là xác định bởi dãy Mn trong hình tròn |t| < R,
do đó giá trị của ϕξ (t) với mọi số thực t có thể xác định duy nhất được bởi
nó là hàm giải tích. Trong phần sau ta sẽ thấy là : một hàm phân phối là xác
định duy nhất bởi hàm đặc trưng của nó. Do vậy, nếu công thức (1.2.19) được
thỏa mãn thì hàm đặc trưng của ξ là xác định duy nhất bởi dãy các moment
Mn = E(ξ n ) với n=(1,2,....)
15


Câu hỏi là các moment: Mn = E(ξ n ) có xác định duy nhất hàm phân phối
F(x) của ξ hay không; điều này được gọi là bài toán moment của Stieltjes. Nói
chung, F(x) không xác định duy nhất bởi dãy các moment.
Định nghĩa 1.2.1. Biến ngẫu nhiên ξ gọi là có phân phối dàn nếu nó chỉ nhận
giá trị dạng: dk+r (k = 0; ±1; ±2; ....) ; trong đó r là hằng số thực.
Định lí 1.2.11. Nếu ξ có phân phối dàn với khoảng cách d thì ϕξ

2πn
d

=1

với (n = 0; ±1; ±2; ....).
Nếu ξ không có phân phối dàn, thì ϕξ (t) < 1 với ∀t = 0
Chứng minh:
Nếu tất cả các giá trị của ξ được lấy từ công thức: dk+r và nếu P (ξ = dk + r) = pk
k = 0, ±1, ±2, .... thì ta có: với mọi số nguyên n
ϕξ

2πn
d

+∞

=

(1.2.24)

pk = 1
k=−∞

Ngược lại với một giá trị t = 0 ta có: ϕξ (t0 ) = eiα với α là số thực.
Ta kết luận :
+∞

+∞
i(t0 x−α)

e

dF (x) = 1 =

−∞

dF (x)
−∞

Vì vậy :
+∞

[1 − cos (t0 x − α)]dF (x) = 0
−∞

Từ [1 − cos (t0 x − α)] là dương, trừ trường hợp x =

k2π
t0

+

α
t0

k = 0; ±1, ±2, ... (cho

trường hợp = 0). Tất cả các bước nhảy của F(x) phải thuộc cấp số cộng: dk+r
và r =

α
t0

Định lí 1.2.12. Nếu phân phối của ξ là hỗn hợp của các phân phối của các biến
ngẫu nhiên ξk và trọng số pk (k=1,2,...) thì :
ϕξ (t) =

pk ϕξk (t)
k

16


Chứng minh:
Lấy F(x) là hàm phân phối của ξ , Fk (x) là hàm phân phối của ξk
Ta biết rằng : F (x) =

pk Fk (x). Điều này được đưa ra trực tiếp từ định lý1.2.
k

12.
Nhận xét 1.2.3: Hàm đặc trưng có thể được xem như là một toán tử mà nó
gán giá trị đến hàm phân phối F(x), hàm ϕ(t). Từ đó định lý 1.2.12 nhấn mạnh
sự thật rằng toán tử này là tuyến tính.

1.3

Một số định lý cơ bản của hàm đặc trưng

Trong phần này tính chất của hàm đặc trưng được nói đến rất là cần thiết
cho chứng minh của định lý phân phối giới hạn của lý thuyết xác suất
Định lí 1.3.1. a. Nếu ϕ(t) là hàm đặc trưng của hàm phân phối F(x) và nếu a
và b là điểm liên tục của F(x) (a

+∞

1
F (b) − F (a) =
2π

ϕ (t)

e−ita − e−itb
eita − eitb
− ϕ (−t)
dt
2it
2it

(1.3.1)

−∞

b. Mọi hàm phân phối là xác định duy nhất bởi hàm đặc trưng của chúng.
Định lý 1.3.1.b được suy trực tiếp từ Định lý 1.3.1.a;
Thật vậy; nếu ϕ(t) là hàm đã biết, (1.3.1) chỉ sự gia tăng của F(x) trên mỗi
khoảng chứa các điểm liên tục của F(x). Tập hợp các điểm gián đoạn của F(x)
là đếm được; a dần đến −∞ thông qua một dãy chỉ gồm các điểm liên tục của
F(x); do đó (1.3.1) chỉ giá trị của F(b) tại mọi điểm liên tục của b. F(x) là liên
tục trái, giá trị của F(x) tại các điểm gián đoạn có thể tìm được bằng cách cho
b dần tới phía trái của một điểm.
Từ tính duy nhất của định lý 1.3.1.b được đưa ra từ công thức nghịch đảo
(1.3.1), điều đó đủ cho chứng minh sau này. Trước khi bắt đầu chứng minh
chúng ta có vài nhận xét. Ở mục 1.2 ta đã biết rằng ϕ (−t) = ϕ (t), do đó nếu

Rez biểu thị phần thực của số phức z, thì công thức (1.3.1) có thể viết lại dưới

17


dạng:
+∞

1
F (b) − F (a) =
2π

Re ϕ (t)

e−ita − e−itb
dt
it

(1.3.2)

−∞

Phần thực của ϕ(t) và của

e−ita −e−itb
2it

là hàm chẵn, trong khi phần ảo là hàm lẻ.

Do đó cũng tương tự cho :

ψ (t) = ϕ (t)

e−ita − e−itb
it

(1.3.3)

Vì vậy: ψ (−t) = ψ (t).
Nếu Imz biểu thị phần ảo của z thì ta có:
+T

1
2π

∀T > 0

Im{ψ (t)}dt = 0

(1.3.4)

−T

Từ công thức (1.3.2)
+T

1
F (b) − F (a) = lim
x→∞ 2π

ϕ (t)

e−ita − e−itb
dt
2it

(1.3.5)

−T

Trong vài sách giáo trình thì công thức nghịch đảo là có dạng công thức (1.3.5).
Tuy nhiên, trong khi tích phân suy rộng (1.3.1) luôn tồn tại, thì tích phân :
+∞

1
2π

ϕ (t)

e−ita − e−itb
dt
it

(1.3.6)

−∞

chưa chắc đã tồn tại. Nhưng nếu tích phân này tồn tại thì giá trị của nó xác
định bởi công thức (1.3.5) và bằng F(b)-F(a).
Để chứng minh công thức (1.3.2) ta cần tới hai bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. Đặt :

T

2
S (α, T ) =
π

sin αt
dt
t

(1.3.7)

Thì với mọi số thực α và với mọi t dương ta có:
|S (α, T )| ≤ 2
18

(1.3.8)


Hơn nữa:
∞

2
lim S (α, T ) =
x→∞
π

+1
0
−1

sin αt
dt =
t
0

khi α > 0
khi α = 0
khi α < 0

(1.3.9)

và hội tụ đều khi |α| ≥ δ > 0; ở đây δ là một số dương bé tùy ý.
Chứng minh bổ đề:
Nếu ta đặt :

x

sin u
du
u

2
S (x) =
π
0

ta có:
(1.3.10)

S(α, T ) = S (αT )

Đặt:
(n+1)π

cn =

2
π

sin u
du
u
nπ

khi đó ta có:
π

sin u
du
nπ + u

2
cn = (−1)n
π

(n = 0, 1, 2, ...)

(1.3.11)

0

Do cn có dấu xen kẽ và trị tuyệt đối của chúng giảm dần nên chuỗi số

cn là

hội tụ.
Từ :
n−1

S (x) =
k=0

x

2
ck +
π

sin u
du
u

khi

nπ ≤ x ≤ (n + 1) π

(1.3.12)

0

nó kéo theo rằng với n là chẵn:
n−1

n

ck ≤ S (x) ≤
k=0

ck

khi

k=0

19

nπ ≤ x ≤ (n + 1) π

(1.3.13)


và với n là lẻ:
n

n−1

ck ≤ S (x) ≤
k=0

ck

khi

nπ ≤ x ≤ (n + 1) π

(1.3.14)

k=0

Do vậy trong mọi trường hợp :
0 ≤ S(x) ≤ c0 ≤ 2

khi

x≥0

(1.3.15)

Từ S(−x) = −S(x), ta có với mọi số thực x :
|S (x)| ≤ 2

(1.3.16)

Do đó (1.3.8) đã được chứng minh. (1.3.9) được suy ra tư công thức quen thuộc
|S (x)| ≤ 2

(1.3.17)

Sự hội tụ đều được suy ra từ công thức(1.3.10)

Bổ đề 1.3.2. Đặt
+T

sin t (z − a) − sin t (z − b)
dt
t

1
D (T, z, a, b) =
2π

(1.3.18)

−T

và
+T

sin t (z − a) − sin t (z − b)
dt
t

1
D (z, a, b) = D (+∞, z, a, b) =
2π

(1.3.19)

−T

Với mọi số thực z,a,b và mọi T dương
|D (T, z, a, b)| ≤ 2

(1.3.20)

Hơn nữa: nếu a1
lim D (T, z, a, b) = D (z, a, b) =

T →∞

khi
khi z = a
khi z < a

1
2

0

ahay z = b
hay b < z

là hội tụ đều với |z − a| ≥ δ và |z − b| ≥ δ ( δ >0 bé tùy ý).
20

(1.3.21)

Chứng minh bổ đề:
Từ D (T, z, a, b) =

1
2

[S (z − a, T ) − S (z − b, T )] Bổ đề 2 là một hệ quả trực tiếp

của bổ đề 1.
Bây giờ ta quay trở lại chứng minh Định lý 1.3.1a
Ta có:
+∞

1
2π

Re ϕ (t)

e−ita − e−itb
1
dt =
it
2π

−∞



 +∞

+∞


−∞

sin t (z − a) − sin t (z − b)
dF (z)dt
t

−∞

(1.3.22)
Mặt khác, do a,b là điểm liên tục của F(x), ta có theo bổ đề 1.3.2
+∞

F (b) − F (a) =

(1.3.23)

D (z, a, b) dF (z)
−∞

Do đó để chứng minh (1.3.2) nó cũng đủ để chứng minh rằng thứ tự của tích
phân có thể được lấy nghịch đảo vế phải của (1.3.22). Khó khăn ở đây là tích
phân (1.3.19) đại diện là D(z,a,b) không hội tụ tuyệt đối. Nhưng theo bổ đề
1.3.2 ta biết rằng D(T,z,a,b)-D(z,a,b) dần tiến về 0 trên toàn bộ trục số thực;
trừ các khoảng a − δ < z < a + δ và b − δ < z < b + δ ở đây δ là số dương bé. Xa
hơn nữa trên khoảng |D (T, z, a, b)| ≤ 2. Từ a,b là các điểm liên tục của F(x) ta
có:

+∞

lim

x→∞
−∞

+∞

D (T, z, a, b) dF (z) =

D (z, a, b) dF (z) =F (b) − F (a)

(1.3.24)

−∞

Mặt khác:
+∞

D (T, z, a, b) dF (z) =
−∞

+T

1
2π

 +∞


−T


sin t (z − a) − sin t (z − b)
dF (z)dt (1.3.25)
t

−∞

Ở đây hiển nhiên thứ tự tích phân có thể đổi chỗ được do sự khả tích tuyệt
đối của tích phân trong miền −∞ < z < +∞, |t| ≤ T . Nếu cho T tiến tới +∞
thì công thức (1.3.25) dẫn tới Định lý 1.3.1a vì theo công thức (1.3.22) (1.3.23)
21


(1.3.24). Nếu ta tìm được a, b là những điểm không liên tục của F(x), theo biến
thể yếu của định lý :
+∞

F (b + 0) + F (b) F (a + 0) + F (a)
1
−
=
2
2
2π

Re ϕ (t)

e−ita − e−itb
dt (1.3.26)
it

−∞

Hiển nhiên hàm mật độf (x) = F (x) của hàm phân phối F(x) có thể biểu diễn
được theo ϕ(t). Ở đây ta giới hạn trường hợp, tồn tại tích phân
+∞

|ϕ (t)|dt

(1.3.27)

−∞

thì
+∞

1
F (x + h) − F (x − h)
= lim
f (x) = lim
2h
h→0 4π
h→0

sin th
ϕ (t) e−itx + ϕ (−t) e−itx dt
th

−∞

(1.3.28)
Do (1.3.27) tồn tại và
sin th
ϕ (t) e−itx + ϕ (−t) e−itx
th

≤ 2 |ϕ (t)|

theo định lý Lebesgue, giới hạn và tích phân có thể trao đổi được cho nhau nên:
+∞

1
f (x) =
2π

ϕ (t) e−itx dt

(1.3.29)

−∞

Điều này dễ dàng cho thấy tính toán tích phân ở vế phải của(1.3.29) là một
hàm liên tục đều và bị chặn của x. Điều này dẫn tới định lý tiếp theo
Định lí 1.3.2. Nếu ϕ (t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ξ và tồn tại tích
+∞

|ϕ (t)|dt thì ξ có hàm mật độ liên tục xác định bởi :

phân
−∞

+∞

1
f (x) =
2π

ϕ (t) e−itx dt
−∞

Bây giờ ta sẽ chứng minh:
22

(1.3.30)


Định lí 1.3.3. Các hàm phân phối Fn (x) (n = 1, 2, ...) hội tụ tới hàm phân phối
F(x) tại mọi điểm liên tục của F(x) khi và chỉ khi hàm đặc trưng ϕn (t) của Fn (x)
n → ∞ hội tụ đến hàm ϕ(t) là hàm liên tục tại t = 0. Trong trường hợp này ϕ(t)

là hàm đặc trưng của F(x) và hàm ϕn (t) hội tụ đều tới ϕ(t) trên mọi khoảng hữu
hạn.
Chứng minh:
Ta thấy rằng điều kiện đầu tiên là điều kiện cần, hay ta thấy nếu tại mọi
điểm liên tục của hàm phân phối F(x):
lim Fn (x) = F (x)

(1.3.31)

lim ϕn (t) = ϕ (t)

(1.3.32)

x→∞

thì
x→∞

ở đây :
+∞

eitx dF (x)

ϕ (t) =

(1.3.33)

−∞

và sự hội tụ trong công thức (1.3.32) là đều trong mọi khoảng hữu hạn t.
Chọn một số λ > 0 sao cho +λ và −λ là các điểm liên tục của F(x) và
ε
F (−λ) < ;
8

F (+λ) > 1 −

ε

8

trong trường hợp này :
eitx dF (x) <

ε
4

(1.3.34)

|x|>λ

Với n ≥ n1 , ở đây n1 chỉ phụ thuộc ε, bất đẳng thức:
ε
F (−λ) < ;
8

F (+λ) > 1 −

ε
8

vẫn đúng, do đó :
eitx dFn (x) <

ε
4

|x|>λ

23

khi

n ≥ n1

(1.3.35)


Vì vậy, khi n ≥ n1 :
+λ

eitx d [Fn (x) − F (x)] +

|ϕn (t) − ϕ (t)| ≤

ε
2

(1.3.36)

−λ

Kết hợp các phần ta thu được với |t| ≤ T
+λ

+λ

eitx d [Fn (x) − F (x)] ≤ |Fn (λ) − F (λ)| + |Fn (−λ) − F (−λ)| + T

|Fn (x) − F (x)| dx
−λ

−λ

(1.3.37)
Với |Fn (x) − F (x)| ≤ 2 và theo Định lý giới hạn Lebesgue và việc tích phân
có thể trao đổi thì vế phải của (1.3.37) và (1.3.26) ϕn (t) − ϕ (t) cũng vậy, khi
cho n → ∞ thì đều tiến về 0 nếu |t| ≤ T . Vì vậy ta chứng minh được rằng điều
kiện cần của Định lý 1.3.3.
Bây giờ ta chỉ ra điều kiện đủ cũng được thỏa mãn, đó là từ (1.3.32) và ϕ(t)
là liên tục với t = 0 được suy ra từ (1.3.31). Theo một định lý nổi tiếng của
Helly: mọi dãy Fn (x) có một dãy con Fnk (x) hội tụ tới một hàm đơn điệu tăng
F(x) tại tất cả các điểm liên tục về sau này.
Đầu tiên ta thấy rằng hàm F(x) nhất thiết là một hàm phân phối. Điều
đó đủ để cho thấy F (+∞) = 1; F (−∞) = 0 và F(x) là liên tục trái. Điều kiện
sau có thể luôn thực hiện được bởi một cải tiến phù hợp của F(x) tại những
điểm gián đoạn của nó. Từ F(x) là một giới hạn của hàm phân phối, ta luôn có
0 ≤ F (x) ≤ 1. Do đó nó đủ để chứng minh rằng F (+∞) − F (−∞) = 1. Trước

tiên ta chứng minh công thức được suy ra sau :
x

+∞

1 − cos xt
ϕn (t) dt
t2

1

[Fn (y) − F (−y)]dy =
π

khi

x>0

(1.3.38)

−∞

0

Thật vậy:
 +∞

+∞

In (x) =

+∞

1 − cos xt
1
ϕn (t) dt =
2
t
π

1

π
−∞


−∞


1 − cos xt
cos yt.dtdFn (y)
t2

−∞

(1.3.39)

24


( thứ tự của tích phân có thể thay đổi vì tính khả tích của

1−cos xt
t2

và vì |ϕn (t)| ≤ 1)

Ta có:
+∞

1 − cos xt
dt = |x|

t2

1
π

(1.3.40)

−∞

Từ (1.3.40) suy ra với x>0




+∞

1
π
−∞

0
khi y ≤ −x
x + y khi − x ≤ y ≤ 0
x − y khi
0≤y≤x
0
khi x ≤ y

1 − cos xt
cos yt.dt =

t2



(1.3.41)

Do đó theo (1.3.39)
+x

(x − |y|) dFn (y)

In (x) =

(1.3.42)

−x

Lấy tích phân bởi phần trong (1.3.42) dẫn tới (1.3.38)
Từ Fn (y) − Fn (−y) là một hàm tăng của y, ta thu được từ (1.3.38)
+∞

1
Fn (x) − Fn (−x) ≥
π

1 − cos xt
ϕn (t) dt
xt2

(1.3.43)

1 − cos u
u
ϕn
du
2
u
x

(1.3.44)

−∞

hay
+∞

1
Fn (x) − Fn (−x) ≥
π
−∞

Giả sử x và -x là 2 điểm liên tục của F(x) và n chạy qua dãy nk . Sau đó từ định
lý của Lebesgue và sự trao đổi của giới hạn và tích phân suy ra điều sau:
+∞

1 − cos xt
ϕn (t) du
xt2

1

F (x) − F (−x) ≥
π

(1.3.45)

−∞

ϕ(t) là liên tục với t = 0 và vì ϕn (0) = 1; áp dụng lại định lý Lebesgue và áp

dụng (1.3.40) vào mục này thì ta thu được :
F (∞) − F (−∞) ≥ 1
25

(1.3.46)