SKKN - PP Toa Do - Hoa

x
y
Sáng kiến kinh nghiệm
ứng dụng của phơng pháp toạ độ
Đặt vấn đề
1. Lý do chọn chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy toán tôi nhận thấy phơng pháp toạ độ chiếm một vị trí
quan trọng trong chơng trình toán ở bậc học PTTH.
- Học sinh thờng chỉ sử dụng phơng pháp toạ độ để giải các bài toán trong hình
học giải tích hoặc dùng phơng pháp toạ độ để khảo sát hàm số, các emcòn ngờ
rằng đây là một phơng pháp rất hay, bằng việc khai thác triệt để các tính chất hình
học tiềm ẩn trong một số các bài toán ta có thể giải quyết những khó khăn mà khi
giải bằng phơng pháp khác có thể gặp phải.
- Phơng pháp toạ độ cho phép ta không những giải đợc các bài toán hình học mà
còn có thể giúp ta giải đợc một số bài toán: Số học, đại số, tổ hợp và suy luận lôgíc
một cách dễ dàng, trực quan, tránh đợc cả những lý luận dài dòng và thoát ra khỏi
những ảnh hởng không có lợi cho trực giác.
2. Mục đích:
- Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ xin phép đợc trình bày một
số ứng dụng của phơng pháp này để giải một số bài, dạng toán đại số về bất phơng
trình, hệ bất phơng trình, phơng trình, và hệ phơng trình mà học sinh PTTH thờng
gặp.
- Và mục đích giúp các em hiểu thêm về phơng pháp này. Và từ đó có thể giải
quyết đợc những khó khăn gặp phải khi làm toán.
I) Phơng pháp toạ độ để giải bất phơng trình - hệ bất phơng trình chứa tham số:
a) Cơ sở lý thuyết:
Xét bất phơng trình: f(x) < g(x) (1) TXĐ: D
Ta đã biết: Gọi S là tập nghiệm S = {x
0
D f(x
0

) < g(x
0
)}
Phơng pháp toạ độ:
Bớc1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đồ thị: y = f(x) và g(x)
Bớc2: Tìm những phần đồ thị: y = f(x) nằm dới đồ thị: y = g(x)
Bớc3: Tìm hình chiếu của phần đồ thị đó trên trục Ox giao của nó với tập xác
định D chính là nghiệm của bất phơng trình (1)
Chẳng hạn: cần giải: f(x) < g(x) (1)
đồ thị: y = f(x), y = g(x) có dạng nh hình vẽ :
Trang: 1
x
1
x
2
x
3
Sáng kiến kinh nghiệm
Khi đó nghiệm của bất phơng trình là:



<<
<
32
1
xxx
xx
Nhận xét trên Oxy: y = m là đờng thẳng // Ox hoặc Ox.
1/ Bất phơng trình:

( )





Dx
mxf
có nghiệm
( )
mxf
D

max
2/ Bất phơng trình:
( )





Dx
mxf
có nghiệm
( )
mxf
D

min
3/

4/
VD: Xác định m để:
( )( )
mxxxx
+++
6363
có nghiệm
Bài giải:
TXĐ: D = [-3; 6]
Cách1:
Đặt: t =
xx
+
63

t' =
xx
x
+

634
32
x
-
-3
2
3
6
-
t' + 0 -

t
3
3
2
3
Vậy: -3 x 6 thì: 3 t 3
2
t
2
= 9 + 2
( )( )
xx
+
63

( )( )
xx
+
63
=
2
9
2

t
Trang: 2
t
1
t
2

Sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán trở thành: Xác định m để: t
2
-2t 9 - 2m có nghiệm t
[ ]
23;3
Cách1:
Ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai
Bằng cách: Xét f(t) = t
2
- 2t + 2m - 9
TH1: ' 0
1 - 2m + 9 0
m
2
10
f(t) 0 t R
bất phơng trình (1) có nghiệm t
[ ]
23;3
TH2: Nếu








<

>
0)3(
3
2
0
f
S








>
+
<
lý) (Vô 231
02629
3
10
m
m
KL: Vậy với m [3; +) thoả mãn
Cách2: Bằng phơng pháp toạ độ:
Xét: f(t0 = t
2
- 2t Trên
[ ]

23;3
Ta có: f'(t) = 2t - 2 = 0 t = 1
[ ]
23;3
f(3) = 3
f
( )
261823
=
> 3

[ ]
( )
mtf

23;3
min
18 - 6
2
9 - 2m
3 9 - 2m
2m 6 m 3
Xét bất phơng trình 1 ẩn chứa tham số m:
( ) ( )
( )

2 Dx
1 0; mxf
Bớc1: Vẽ hệ trục Oxm (coi m nh biến tung độ)
Giả sử S là miền biểu diễn các điểm: (x, m) thoả mãn (1), (2).
Khi đó ta có định lý: là một giá trị của tham số m để hệ (1) - (2) có nghiệm
m = bằng miền S
CM:
Trang: 3
Sáng kiến kinh nghiệm
() Giả sử m = cắt S tức (x
0
;) S:
( )





Dx
mxf
0
0
0;
Vậy x
0
là nghiệm của hệ (1), (2)
() Giả sử hệ
( )

Dx
mxf
0
0
0;
có nghiệm tức x
0
D:
( )





Dx
mxf
0
0
0;
Theo định nghĩa (x
0
, ) S nghĩa là m = cắt (S)
Định lý trên là một cơ sở cho việc giải và biện luận bài toán chứa tham số trong đó
trao đổi biến tham số m thành 1 ẩn của bài toán mới.
VD: Tìm m để hệ:

++

31
0626
0
22
x
mmxx
xm
có nghiệm
Nhận xét: với yêu cầu của bài toán. Việc ? bằng phơng pháp đại số thuần tuý gặp
rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu vận dụng phơng pháp toạ độ thì ta đợc lời giải
gọn gàng thuận lợi hơn nhiều.
II) Phơng pháp toạ độ để giải phơng trình - hệ phơng trình:
1/ Cơ sở lý luận:
ĐL: Giải sử hàm số f(x) lt trên D
Nếu
( )
xf
D
max
và
( )
xf
D
min

.
Khi đó phơng trình: f(x) = m có nghiệm
( )
xf
D
min
m
( )
xf
D
max
Nếu: hàm số f(x) có tập giá trị là
( ) ( )( )

ff ;
Thì phơng trình: f(x) = m có nghiệm f() < m < f()
VD: 1/ Xác định m để:
mxxxx
=+++
11
22
có nghiệm?
2/ Xác định m để: (x - 1)
2
= 2x - m có 4 nghiệm phân biệt
Bài giải:
Hệ (I)
( ) ( )

+

(3)
(2)
(1)
31
413
0
2
22
x
mx
mx
Trang: 4
Sáng kiến kinh nghiệm
Các điểm M(x; y) thoả mãn hệ (1), (2), (3) đợc biểu diễn bằng miền gạch trên hình
vẽ:
áp dụng định lý (2) suy ra hệ (1), (2), (3) có nghiệm 1 m 3.
NX: Nếu bài toán trên có thể yêu cầu Giải và biện luận theo m.
x
2
- 6x + m
2
- 2m + 6 0 với 1 x 3 và m x
Ta đi đến kết luận:

<
>
1
3
m
m
bất phơng trình vô nghiệm
m=3 bất phơng trình có nghiệm x = 3
m = 1 bất phơng trình có nghiệm x = 1
1 < x < 3 bất phơng trình có nghiệm 1 < x < 3
VD: Cho hệ





+++
+++
(2)
(1)
012
012
22
22
myxx
myyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
Bài giải:

Ta có hệ (1), (2)
( )
( )





++
++
myx
myx
2
2
2
2
1
1
Cách1:
nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm
nếu m = 0 khi đó:
( )
( )





++
++

01
01
2
2
2
2
yx
yx
Trang: 5
Sáng kiến kinh nghiệm








=
=+
=+
=
0
01
01
0
y
x

y
x
vô nghiệm
Nếu m > 0 vẽ trên hệ trục Oxy đờng tròn: O
1
(0, -1) bán kính R
1
=
m
đờng tròn: O
2
(-1; 0) bán kính R
2
=
m
Bài toán trở thành xác định m để
(O
1
) tiếp xúc ngoài với (O
2
)
R
1
+ R
2
= O
1
O
2

a22
=
a =
2
1
Cách2:
Học sinh thờng làm bài này bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Điều kiện cần: Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x
0
, y
0
)
(y
0
, x
0
) cũng là nghiệm của hệ . Hệ có nghiệm duy nhất x
0
= y
0
Thay vào (1) ta đợc: 2x
0
+ 2x
0
+ 1 - a 0
' = 1 - 21 - a = -1 + 2a
có nghiệm duy nhất = 0 a =
2
1
Điều kiện đủ: Khi a =

2
1
hệ có dạng:
( )
( )





++
++
(2)
(1)
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
yx
yx
x
2
+ (x + 1)
2

+ (y + 1)
2
+ y
2
1 (3)
Nhận thấy (3) là hệ quả của hệ (1) (2)

0
2
1
2
2
1
2
22







++






+

yx






=
=
2
1
2
1
y
x
Trang: 6
x
O
y