Toán 9 : Chuyên đề chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn (có đáp án)

[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

PHẦN 7 . CHỨNG MINH 5 ĐIỂM CÙNG THUỘC ĐƯỜNG TRÒN
Hãy tự làm trước khi tham khảo đáp án em nhé
Bài 1. Cho  ABC nội tiếp đường trong tâm O. Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ
đường thẳng song song với AB, cắt đường tròn tại E và F. Cắt AC tại I
a) Chứng minh rằng các điểm B, O, I, C, D cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh IE = IF
c) Khi A chuyển động trên cung BAC, thì I chuyển động trên đường nào?
Bài 2. Cho (O, R). Đường thẳng d cắt (O) tại C, D. Lấy điểm M tùy ý trên d, (M ở ngoài (O)). Từ M
kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới (O). Gọi I là trung điểm của CD
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc 1 đường tròn
b) Gọi H là trực tâm tam giác MAB. Tứ giác OAHB là hình gì?
c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố đinh
Bài 3. Cho  ABC nhọn. M nằm trên cạnh BC. Qua M vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và
đường tròn tâm O’ tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại điểm thứ 2 là N.
Gọi E là giao của BO và O’C. Chứng minh rằng
a) 5 điểm A, B, N, E, C cùng thuộc một đường tròn
b) MN luôn đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên BC
Bài 4. Cho  ABC nhọn với AB < AC. Vẽ đường cao AD và phân giác trong AO của tam giác ABC.
Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N
a) Chứng minh rằng các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh BDM  CDN
c) đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I, đường thẳng AI cắt đường thẳng BC tại
K. Chứng minh rằng K là trung điểm của cạnh BC
(THPT chuyên ngữ, 2010-2011)

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 1


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Bài 5. Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các
đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng EF
và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D trên AC, E
trên AB). Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D, I cắt nhau tại K (K
khác I).
a)

̂
̂ = CEK
Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và BDK

b)

Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

LUYỆN TẬP CT2
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của đường
tròn đó. Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB. Chứng minh
rằng:

BC AC AB


DH DI DK

Bài 8. Cho đường tròn (O). Qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD (B, D là
các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC.
a) Chứng minh rằng AB.CD  AD.BC
b) Vẽ dây CN song song với BD. Gọi I là giao điểm của AN và BD. Chứng minh rằng I là
trung điểm của BD.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác AD. Gọi H, K theo thứ tự là
tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD. Chứng minh rằng OH  OK
Bài 10. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động trên
cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là giao điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường
thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh rằng PQ
vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
Bài 12. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn,
qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M và N tương
ứng. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:
19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 2


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn

PHẦN 7

b) *O là trung điểm MN

Bài 13. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.
Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía đối với
BC). I là điểm trên cạnh BC và 3BI  2IC , MI cắt (O’) tại N khác M. Chứng minh rằng tâm O của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định.

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 3


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

PHẦN 7 . CHỨNG MINH 5 ĐIỂM CÙNG THUỘC ĐƯỜNG TRÒN
Hãy tự làm trước khi tham khảo đáp án em nhé
Bài 1. Giải

A

F
O
I

B

C
E
D

a) Ta có CID  CAB  COD nên 4 điểm O, I, C, D cùng thuộc một đường tròn
mà OBD  OCD  90o Suy ra 5 điểm B, O, I, C, D thuộc đường tròn đường kính OD
b) OI  EF nên IE=IF
c) I thuộc cung BOC của đường tròn đường kính OD
Bài 2. Giải

B

D

C

I
O

M

H
A

a) Ta có BMO  MAO  MIO  90o
Suy ra B, A, I cùng thuộc đường tròn đường kính MD
19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 1


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

b) Tứ giác BHAO là hình thoi vì BH // OA (cùng MA )
AH // OB (cùng  MB )
OA = OB
c) Kéo dài AB cắt DI ở N; AB cắt OM ở F
Dễ thấy OIM  OFN  90o   OIM

 OFN 

OI OM

OF ON

 OI .ON  OM .OF
Mà OM .OF  OB 2  R 2  OI .ON  R 2
Suy ra N cố định
Vậy AB luôn đi qua điểm N cố định
Bài 3. Giải

A

S

M
C

B
O
N

E

O'

a) Xét đường tròn (O) ta có BNM  ABM 
Xét (O’) có MNC  MCA 

1
sđ BM
2

1
sđ MC
2

 BNC  BNM  NMC  MBA  MCA  BNC  A  180o

 A, B, N,C thuộc một đường tròn
19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 2


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Suy ra N thuộc đường tròn ngoại tiếp  ABC
Mà EBA  ECA  180o
Suy ra A, B, E,C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra E thuộc đường tròn ngoại tiếp  ABC
Suy ra 5 điểm A, B, N, E, C cùng thuộc một đường tròn
b) MN giao với đường tròn tai S  BNS  BCS  BCS  ABM Suy ra S cố định
Vậy MN qua điểm S cố định
Bài 4. (THPT chuyên ngữ, 2010-2011) Giải

A
N

I

E
M

F
O

B

D

J

C

a) các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường tròn đường kính AO

b) Xét đường tròn đường kính AO
AM = AN  AM  AN  ADM  ADN  90o  ADM  90o  ADN  BDM  CDN
c) Kẻ EF  OI , OMEI và OINF là các tứ giác nội tiếp nên
OMI  OEI , ONI  OFI

Mặt khác,  MON cân tại O nên OMI  ONI Suy ra OEI  OFI
Suy ra  EOF cân tại O  IE  IF
Do EF//BC 

EI
AI
FI


BK AK OK

Mà IE  IF  BK  CK
19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 3


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Bài 5. Hsg TP HN.Bài giải

a) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp, tức A, F, H, E đã nằm trên 1 đường tròn.
Ta chứng minh tứ giác AMFH,
AMFE hoặc MEHF nội tiếp sẽ có đpcm.
Ta chứng minh AMFE nội tiếp.
Thật vậy, theo dấu hiệu tích IM .IA  IB.IC  IF.IE Đpcm.
b) Ta chứng minh HN, HM cùng vuông góc với AI, khi đó M, H, N thẳng hàng. Thật vậy
HMA  1800  HAE  900

Sử dụng bài toán cơ bản. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường kính AD.
Khi đó DH cắt BC tại trung điểm mỗi đường
Áp dụng. Nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng. Khi đó NH vuông góc với IA
Thầy Hồng Trí Quang
19006933
Trang | 4


HOCMAI THCS & Tiểu Học


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Vậy HM, HN cùng vuông góc với IA nên H, M, N thẳng hàng
c) Sử dụng định lí P tô lê mê (xem chi tiết về Định lí P tô lê mê trong chuyên đề tứ giác nội tiếp)
Bài 6. Bài giải

a) Chứng minh 2 tứ giác AEKD, AEHD nội tiếp
b) 5 điểm A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH nên HK  AI (1)
AKE  EKI  1800 nên A, K, I thẳng hàng.
ICK  DEK nên MEKC nội tiếp  MEC  MKC

Mặt khác MEB  AED  MKI  BEC  900  MK  AI (2)
Từ (1) và (2) thì M, H, K thẳng hàng.
LUYỆN TẬP
Bài 7. Bài giải

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 5


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

HD ý tưởng của bài toán là tìm điểm M trên BC để tách tỉ số:

PHẦN 7

BC BM MC



, và từng tỉ số
DH DH DH

của tổng này ứng với tỉ số cần chứng minh.
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BMD  ADC
BMD

ADC ( g .g ) 

Chứng minh tương tự thì:

DH BM
AC BM


(tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng) 
DI DH
DI
AC

AB CM

DK DH

Cộng lại ta có Đpcm.
Bài 8. Bài giải

a) KDA ~ KCD (g.g) 

KA AD

KD DC

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 6


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

Tương tự

KA AB
AD AB


 AD.BC  AB.CD
mà KD  KB 
KB BC
DC BC

b) AIB ~ ADC 
Tương tự

Do

PHẦN 7

AI AD

IB DC

AI AB

ID BC

AD AB
AI AI



 IB  ID
DC BC
IB ID

Bài 9. Bài giải

Gọi giao điểm của OH và AB là I, OK và AC là N, HK và AD là M  I là trung điểm của AB,
N là trung điểm của AC, M là trung điểm của AD.
Ta có AIHM, AMNK là các tứ giác nội tiếp và A1  A2 nên dễ dàng chứng minh được
OKH  OHK  OH  OK

Bài 10.
Bài giải

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 7


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO
Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau
NDE  NBE

Thật vậy, NDE  NBE  EDC  EBA  EKB  EBA  AEO  DEO  OA  OD (luôn đúng)
Ta có : END  NBD  END  BCD  EN / / BC
Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC.
Bài 11. Bài giải
19006933

Thầy Hồng Trí Quang

HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 8


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

a) Gọi I là giao điểm của AH và PQ, K là giao điểm của AM và PQ.
Ta có I là trung điểm AH. Vì APHQ là hình bình hành.
Ta có : ABC



QAH ( g .g ) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

AC BC
AC MC



và ACM  IHQ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
QH AH
QH
IH

 AMC

QIH  MAC  IQH

Vậy tứ giác AKEQ nội tiếp.
b) Do tứ giác AKEQ nội tiếp nên HEB  KAQ;AEK  AQK
mà KEB  AEK  90o  KAQ  AQK  90o
suy ra đpcm.
Bài 12. Bài giải

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 9


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Gợi ý.
a) Chứng minh được OI  AB. Khi đó tứ giác OIDE nội tiếp.
b) Từ A kẻ đường thẳng song song OE cắt BC tại F; tứ giác AIDJ nt; IJ song song BC nên JA = JF,
đpcm.
Bài 13. Bài giải

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 10


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Do M là điểm chính giữa của BC nhỏ suy ra BNM  MNC
Hay NI là phân giác góc BNC 


BN BI 2


NC IC 3

NB IB BD
1


và DBN  NCE  sdAN nên NBD NCE .
2
NC IC CE

 BDN  NEC  ADN  AEN

Vậy tứ giác ADNE nội tiếp.
Tứ giác ADEN nội tiếp nên OA = ON, tức O thuộc đường thẳng cố định là trung trực của AN
LUYỆN TẬP
Bài 14.

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 11


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

HD ý tưởng của bài toán là tìm điểm M trên BC để tách tỉ số:

PHẦN 7

BC BM MC


, và từng tỉ số
DH DH DH

của tổng này ứng với tỉ số cần chứng minh.
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BMD  ADC
BMD

ADC ( g .g ) 

Chứng minh tương tự thì:

DH BM
AC BM


(tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng) 
DI DH
DI
AC

AB CM

DK DH

Cộng lại ta có Đpcm.
Bài 15.

c) KDA ~ KCD (g.g) 

KA AD

KD DC

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 12


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

Tương tự

KA AB
AD AB


 AD.BC  AB.CD
mà KD  KB 
KB BC
DC BC

d) AIB ~ ADC 
Tương tự
Do

PHẦN 7

AI AD

IB DC

AI AB

ID BC

AD AB
AI AI



 IB  ID
DC BC
IB ID

Bài 16.

Gọi giao điểm của OH và AB là I, OK và AC là N, HK và AD là M  I là trung điểm của AB,
N là trung điểm của AC, M là trung điểm của AD.
Ta có AIHM, AMNK là các tứ giác nội tiếp và A1  A2 nên dễ dàng chứng minh được
OKH  OHK  OH  OK

Bài 17.

19006933

Thầy Hồng Trí Quang

HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 13


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO
Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau
NDE  NBE

Thật vậy, NDE  NBE  EDC  EBA  EKB  EBA  AEO  DEO  OA  OD (luôn đúng)
Ta có : END  NBD  END  BCD  EN / / BC
Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC.
Bài 18.
19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 14

[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

a) Gọi I là giao điểm của AH và PQ, K là giao điểm của AM và PQ.
Ta có I là trung điểm AH. Vì APHQ là hình bình hành.
Ta có : ABC



QAH ( g .g ) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

AC BC
AC MC



và ACM  IHQ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
QH AH
QH
IH

 AMC

QIH  MAC  IQH

Vậy tứ giác AKEQ nội tiếp.
b) Do tứ giác AKEQ nội tiếp nên HEB  KAQ;AEK  AQK
mà KEB  AEK  90o  KAQ  AQK  90o
suy ra đpcm.

Bài 19.

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 15


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Gợi ý.
a) Chứng minh được OI  AB. Khi đó tứ giác OIDE nội tiếp.
b) Từ A kẻ đường thẳng song song OE cắt BC tại F; tứ giác AIDJ nt; IJ song song BC nên JA = JF,
đpcm.
Bài 20.

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 16


[TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang]

PHẦN 7

Do M là điểm chính giữa của BC nhỏ suy ra BNM  MNC
Hay NI là phân giác góc BNC 


BN BI 2


NC IC 3

NB IB BD
1


và DBN  NCE  sdAN nên NBD
2
NC IC CE

NCE .

 BDN  NEC  ADN  AEN

Vậy tứ giác ADNE nội tiếp.

Tứ giác ADEN nội tiếp nên OA = ON, tức O thuộc đường thẳng cố định là trung trực của AN

19006933

Thầy Hồng Trí Quang



HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 17