Phương pháp hằng số biến thiên

Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia I
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Phơng pháp hằng số, tham số biến thiên
Ví dụ1: Giải phơng trình
( ) ( )
( )
3 2 2
4 3 4 2 4 1 0x a x a a x a + + + =
(1)
Giải: (1)
( ) ( )
( )
2 3 2
4 1 4 2 3 4 0x a x x a x x + + =
(2)
Nếu
1x =
thì (2)
1
4 2 0
2
a a + = =
.
Nếu
1x
thì (2) là phơng trình bậc hai có
( )
2
'
4 2 0
a

x =
.
Do đó (2) có nghiệm
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
4 1 2
2 2 2 2 2 1
4 1 2 1
x x x
x
a
x
x x x x x
a
x x



= =




+ +

= =



TH1:
2
2 2
2
x
a x a

= = +
.
TH2:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 1
2 1 2 1 0
2 1
x x
a x a x a
x
+
= + + =

(3)
Phơng trình (3) có

2
4 4 9 0
x
a a a = + >
. Do đó (3) có nghiệm
( )
2
1,2
2 1 4 4 9
2
a a a
x
+ +
=
Vậy phơng trình (1) có nghiệm
( )
2
1,2
2 2
2 1 4 4 9
2
x a
a a a
x
= +


+ +

=

.
Ví dụ 2: Giải phơng trình
a)
( )
( )
3 2 2
2 5 1 2 1 0x ax a a x a a + + =
b)
( ) ( )
3 2 2
2 3 5 6 10 15 30 0x a x a ax a

+ + + + + =

.
Đặc biệt: Gpt
( ) ( )
3 2
4 5 3 4 5 5 2 16 0x x x + + + =
Ví dụ 3: Gpt
( )
4 2 2
2 6 4 2 0x a x x a a + + + + =
(1)
Giải: (1)
( ) ( )
2 2 4 2
2 1 6 4 0a x a x x x + + =

( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 2 1
2 0
2 2 0
1 2 1
a x x
x x a
x x a
a x x

=

=




+ =

= +


Ví dụ 4: Gpt

( ) ( )
4 3 2 2
10 2 11 2 5 6 2 0x x a x a x a a + + + + =
(1)
Giải: (1)
( ) ( )
2 2 4 3 2
2 5 1 10 22 12 0a x x a x x x x + + + =

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
6 4 2 0 6 4 2 0a x x a x x x x a x x a

= =

.
Ví dụ 5: Gpt
2
5 5x x+ + =
(1)
Giải: (1)
( )
2
2
2
5 0
5 5 (*)
x
x x

+ =


Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia I
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Đặt
5 t=
ta có
( ) ( )
2
2
2 2 2 4
2
(*) 2 1 0
1
t x x
x t t x t x t x x
t x x

=
+ = + + =

= + +


Ví dụ 6: Gpt

4 3 2
2 9 9 0x x x x+ =
(1)
Giải: Đặt
3 t
=
ta có (1)
2 4 3 2
3 2 0t xt x x x + + =
Ví dụ 7: Gpt
3 2
2 2 2 2 1 0x x x+ + + =
(1)
Giải: Đặt
2 t=
ta có (1)
( )
2 2 3
2 1 1 0xt x t x + + + =
(2). Dễ thấy
0x

.
Phơng trình (2) có
( ) ( )
( )
2
2
2 3 2
2 1 4 1 4 4 1 2 1x x x x x x = + = + + = +

Do đó (2) có nghiệm
2
1
1
t x
x x
t
x
= +


+ +

=


Ví dụ 8: Gpt
4 3
2 8 16 0x x x+ + =
(1)
Giải: Cách 1: (1)
( )
( )
2
2
2
4 0x x x + =
Cách 2: (1)
2 4 3
4 2 .4 2 0x x x =

(2)
Đặt
4 t=
ta có (2)
2 4 3
2 2 0t xt x x =
(3)
(3) có
( )
2
2
' 1x x = +
. Suy ra (3) có nghiệm
2 2
2 2
4
2 2 4
t x x
t x x x x

= =


= + + =


Ví dụ 9: Gpt
( )
2
2 2

2 6 4 4 0x x x + + =
(1)
Giải: (1)
( ) ( )
2 4 2
4 2 1 2 6 4 0x x x x + + =
Đặt
2 t=
ta đợc
( ) ( )
2 2 4 2
2 1 6 4 0t x t x x x + + =
Ví dụ 10: Cho phơng trình
( )
2 3 2 2
3 2 0m x mx m x m + + =
a) Giải phơng trình khi
2m =
.
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm dơng phân biệt.