Hình học Lobasepsky n chiều

Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
Chơng II
hình học hyperbolic
.1 trắc địa và không gian con hyperbolic
I.Trắc địa và không gian con Hyperbolic trong mô hình Hyperboloid.
1.Trắc địa Hyperbolic
Định lý 1.1 Cho x
1:;
)1,(
=
n
n
x
n
yyITyI
. Khi đó đờng trắc địa trên
n
I
bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của
n
I
với không gian con tuyến tính
của
1
+
n
R
sinh bởi x và y . Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá

ytshxtchtR ).().(
+

.
Chứng minh
Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của
n
I
sinh bởi x và
y , w là đờng trắc địa cực đại của
n
I
bắt đầu tại x với vận tốc y .
Xét
)(
n
IO

là phép đối xứng qua W, suy ra
)(
n
n
IIsom
I

.
Vì
id
W
;id
W
==

nên
)(w

là đờng trắc địa bắt
đầu tại
xx
=
)(
với vận tốc
yyd
x
=
)(
. Do đó
w
là

bất biến suy
ra
n
IWwWw

.
Mặt khác dễ thấy
ytshxtchtR ).().(:
+

là một tham số hoá của
n
IW

thoả mãn
yx
=

=
)0(,)0(

nên

là tham số hoá của w.
Nhận xét 1.2
Từ định lý trên suy ra mọi đờng trắc địa cực đại trong H
n
xác định
trên toàn bộ R nên theo định lý Hopf-Rinow H
n
là đa tạp Riemann đầy đủ.
Hệ quả 1.3 Tồn tại một và chỉ một đờng trắc địa đi qua hai điểm phân
biệt của H
n
.
Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid)
Vì qua hai điểm phân biệt của I
n
tồn tại duy nhất một không gian
con tuyến tính hai chiều của R

n+1
nên theo định lý 1.1 ta có điều
phải chứng minh .
Mệnh đề 1.4 Cho
1:,
=
yySTySx
n
x
n
,khi đó đờng trắc địa trên S
n
bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của
n
S
với không gian con tuyến tính
hai chiều của
1
+
n
R
sinh bởi x và y . Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá

ytxttR ).sin().cos(
+

.
Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
Chứng minh
Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của

1
+
n
R
sinh bởi x
và y , w là đờng trắc địa cực đại của
n
S
bắt đầu tại x với vận tốc y .
Xét

là phép đối xứng tuyến tính trực giao qua W suy ra
)(
n
n
SIsom
S

. Vì
id
W
;id
W
==


nên
)(w

là đờng trắc địa bắt đầu tại

xx
=
)(
với vận tốc
yyd
x
=
)(
. Do
đó
w
là

bất biến suy ra
n
SWwWw

.
Mặt khác dễ thấy
ytxttR ).sin().cos(:
+


là một tham số hoá
của
n
SW

thoả mãn
yx

=

=
)0(,)0(

nên

là tham số hoá của w .
2.Không gian con Hyperbolic
Định nghĩa 1.5 Tập con N của H
n
là một không gian con Hyperbolic nếu
nó chứa trắc địa đầy (trắc địa cực đại) đi qua hai điểm bất kỳ của nó.
Định lý 1.6
n
IN

là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là
giao của
n
I
với một không gian con tuyến tính của
1
+
n
R
.
Chứng minh
Giả sử M là một không gian con tuyến tính của
1

+
n
R
. Khi đó qua
hai điểm bất kỳ của
n
IM

tồn tại một không gian con tuyến tính hai
chiều W của
1
+
n
R
. Hiển nhiên
MW

suy ra trắc địa đầy qua hai điểm
đó là
nn
IMIW

. Suy ra
n
IM

là một không gian con Hyperbolic .
Đảo lại, giả sử N là không gian con Hyperbolic của
n
I

. Gọi M
là bao tuyến tính của N thì hiển nhiên
n
IMN
=
.
Nhận xét 1.7
(1) Các điểm và các trắc địa đầy là các không gian con Hyperbolic .
(2) Từ định lý 1.6 suy ra không gian con Hyperbolic là đa tạp con của H
n
,
do đó số chiều của không gian con Hyperbolic đợc xác định .
(3) Cho M là không gian con Hyperbolic ,

,Ma

là cung trắc địa qua a và

M

. Khi đó
M


gồm duy nhất một điểm.
Thực vậy
Nếu
M

chứa 2 điểm phân biệt thì
M


và do đó
Ma

Vô lý.

II.Trắc địa và không gian con hyperbolic
trong mô hình đĩa và mô hình nửa không gian .
Chú ý 1.8 1) Không gian con Affin Y của
1
+
n
R
đợc gọi là thẳng đứng nếu
nó có dạng
n
eRY .
+

trong đó
Y

là một không gian con Affin của
1
+
n
R

và
)1,0,...,0(
=
n
e
.
Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
2) Cho M
1
, M
2
là các mặt cầu hoặc các không gian con Affin
(hoặc các bộ phận của chúng ) trong
1
+
n
R
, dim M
1
= m
1
, dim M
2
= m
2
.
Khi đó
212121
, MTMTWMMxMM
xx

=
ta có
{ }
nmmW
+=
21
,0maxdim
và phần bù trực giao của W trong T
x
M
1
và T
x
M
2
là
trực giao với nhau .
3) Khi nói mặt cầu ,ta hiểu số chiều của nó có thể nhỏ hơn hoặc
bằng số chiều của siêu cầu.
Định lý 1.9
n
DN

là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N
là giao của
n
D
với một không gian con tuyến tính của
n
R

hoặc với một
mặt cầu trực giao với
n
D

.
Đặc biệt cung trắc địa trong
n
D
đợc cho bởi tham số hoá của đờng
kính của
n
D
và phần đờng tròn trực giao với
n
D

nằm trong
n
D
.
Chứng minh
Xét p là phép chiếu nổi cực
)1,0,..,0(

từ
{ }
0:
1
1

>
+
+
n
n
xRx
vào
{ }
0
ì
n
R
. Ta có
n
I
p
là vi phôi đẳng cự của
n
I
lên
n
D
.
+ Giả sử N là không gian con Hyperbolic của
n
D
chứa 0 . Khi đó
)(
1
Np

là không gian con Hyperbolic của
n
I
chứa (0,..,0,1) . Theo định
lý 1.6 ta có
n
IMNp
=

)(
1
với M là một không gian con tuyến tính của
1
+
n
R
, suy ra
nn
DMpIMpN
==
)()(
. Vì
)1,0,..,0(

M
nên p(M) là
không gian con tuyến tính của
n
R

.
+ Nếu N là không gian con Hyperbolic của
n
D
chứa
{ }
0\
n
Dx

thì xét
phép nghịch đảo i cực
2
x
x
hệ số
1
1
2

x
. Ta có
)(
n
DIsomi

và
xi
=
)0(

.
Nh vậy i sẽ biến tập các không gian con Hyperbolic của
n
D
chứa 0
thành tập các không gian con Hyperbolic của
n
D
chứa x và ngợc lại .
Khi đó
)(
1
Ni

là không gian con Hyperbolic của
n
D
chứa 0 .Theo trên
n
DYNi
=

)(
1
với Y là một không gian con tuyến tính của
n
R
,suy ra
nn
DYiDYiN

==
)()(
. Giả sử dimY = m .
*) Nếu
Yx

thì
n
DYNYYi
==
)(
.
*) Nếu
Yx

, gọi X là không gian con tuyến tính sinh bởi Y và x . Vì
Xx

nên
XXi
=
)(
suy ra
XYi

)(
. Do Y là một siêu phẳng trong X và
Yx

nên

)(Yi
là siêu cầu trong X . Suy ra
)(Yi
là mặt cầu m chiều
trong
n
R
. Mặt khác vì i bảo giác và
n
DY

nên
n
DYi

)(
.
Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
Định lý 1.10
+

,n
N
là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ
nếu N là giao của
+

,n
với một không gian con Affin thẳng đứng hoặc
với một mặt cầu trực giao với

{ }
0
1
ì

n
R
.
Đặc biệt cung trắc địa trong
+

,n
đợc cho bởi tham số hoá của
nửa đờng thẳng dựng đứng và nửa đờng tròn trực giao với
{ }
0
1
ì

n
R
nằm
trong
+

,n
.
Chứng minh
Xét vi phôi đẳng cự
+

,
:
nn
Di
ta có i biến không gian con
Hyperbolic của
n
D
thành không gian con Hyperbolic của
+

,n
.
Mặt khác i là phép ngịch đảo qua siêu cầu
)2,(
n
eS

nên i biến tập các
mặt cầu trực giao với
n
D

và các không gian con Affin qua O thành tập
các mặt cầu trực giao với
{ }
0
1
ì

n
R
và các không gian con Affin thẳng
đứng (và ngợc lại ). Do đó không gian con Hyperbolic của
+

,n
là giao
của
+

,n
với không gian con Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu trực
giao với
{ }
0
1
ì

n
R
.
Hình 2 Trắc địa Hyperbolic trong các mô hình đĩa và nửa không gian
của không gian Hyperbolic 2 chiều
Nhận xét 1.11
Trong
+

,n

,không gian con Hyperbolic hai chiều ( mặt phẳng
Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
Hyperbolic ) là giao của
+

,n
với 2-phẳng Affin thẳng đứng hoặc với
mặt cầu Euclid 2- chiều có tâm thuộc
{ }
0
1
ì

n
R
.Từ đó qua 3 điểm phân
biệt không nằm trên cùng một trắc địa xác định duy nhất một mặt phẳng
Hyperbolic .
Hệ quả 1.12 Không gian con Hyperbolic p chiều trong
n
H
vi phôi đẳng
cự với
)(, npH
p

.
Chứng minh ( Xét mô hình
n
D

).
Vì phép nghịch đảo tâm
2
x
x
hệ số
1
1
2

x
là đẳng cự của
n
D
biến x thành 0 nên ta luôn có thể giả sử không gian con Hyperbolic của
n
D
là chứa 0 .
Giả sử không gian con Hyperbolic của
n
D
có số chiều là p, suy ra nó là
giao của
n
D
với không gian con tuyến tính p chiều của
n
R
do đó nó là
đĩa p chiều .

Mặt khác từ định lý 6.1 chơng I suy ra hạn chế của metric của
n
D
trên đĩa p chiều trùng với metric trong
n
D
. Từ đó ta có điều phải chứng
minh .
.2 Khoảng cách Hyperbolic
I.Độ dài cung và khoảng cách trên đa tạp Riemann.
1.Độ dài cung
Trên đa tạp Riemann
)(
M
..,M
cho cung tham số
[ ]
Mba

,:


)(tt


nhẵn từng khúc (lớp C
k
).
Độ dài cung

đợc xác định bởi
dtdtL
b
a
b
a
MM


=

=)(

2
1
2.Khoảng cách
Hàm khoảng cách trên
)(
M
..,M
là hàm số

{ }
)(inf),(),(
:


Lqpdqp
RMMd
=

ì

Trong đó

là cung nhẵn từng khúc trong M nối p và q.
Chú ý Mọi cung trong M nối p và q có độ dài bằng d(p,q) khi và chỉ khi
nó là cung trắc địa (và đợc gọi là cung trắc địa cực tiểu) (xem[3]).
II.Công thức khoảng cách Hyperbolic
Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội
1.Công thức khoảng cách trong
n
I
Định lý 2.1 Nếu
n
Iy,x

thì
( )
)(
=)(
1,n
I
yxachy,xd
.
Chứng minh
Gọi u là vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc cung trắc địa định hớng xy .
Khi đó xy có tham số hoá
u.tshx.tcht
)(+)(=)(

Ta có
00
000
>)(+)(=)(=
tu.tshx.tchy,x vói

.
Suy ra
)(=).(+)(=
)()(
0
1
00
1
tchutshx.tchxyx
,n,n
Mặt khác ,vì
1
=)(

I
t

nên
0
00
00
tdtdtty,xd
tt
I

==)(

=)(


.
Do đó
( )
)(
=)(
1,n
I
yxachy,xd
.
2.Công thức khoảng cách trong
n
D
.
Định lý 2.2 Nếu
n
Dy,x

thì

( )

+

=
2
1
22
21
2),(
yxyx
yx
athyxd
D
Chứng minh
*Trờng hợp
{ }
0\,0
n
Dyx

Một tham số hoá của cung trắc địa trong
n
D
đi qua 0 và y là :
v
t

thtR ).
2
(:


trong đó
n
R
y
y
v
=
Ta có
v
tch
t .
)2(2
1
)(
2
=


suy ra
1)(
)(1
2
)(
2
2

2
2
=










=

t
t
t
D



Mặt khác
0)0(
=

và với
yvttht
==
).2()(

suy ra
yathtytth 2)2(
==
Từ đó
yathdtdtt
yath
Lyd
yathyath
D
D
2)(
0
2
),0(
2
0
2
0
==

=

=


.
Hiển nhiên công thức trên đúng với y=0.
*Trờng hợp
0

x
Xét phép nghịch đảo
1
1
,:
22
0,
0
===
xx
x
xii
x


.

( )
22
2
2
2

1)(
x
x
xxz
xxz
xzi
+


=
Suy ra
)(
n
DIsomi

và
0)(
=
xi
.