Luận văn Thạc sĩ Toán học Bài toán ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến tính

Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------

VŨ TRỌNG ĐẠI

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA
PHẢN HỒI ĐẦU RA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2012

Footer
SốPage
hóa bởi
1 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1


Header Page 2 of 89.

i

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài ...........................................................................................................1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................................2
2.1. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................2
3. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................................2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................................2
Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC........................................................................................4
1.1. Phương trình vi phân .................................................................................................4
1.2. Lý thuyết ổn định phương trình vi phân .............................................................6
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov................................................................................13
1.4. Bài toán ổn định hóa ............................................................................................... 17
1.4.1. Ổn định hóa phản hồi trạng thái.................................................... 17
1.4.2. Ổn định hóa phản hồi đầu ra ......................................................... 24
1.5. Một số bổ đề cơ bản ................................................................................................ 26
Chương 2: ỔN ĐỊNH HÓA PHẢN HỒI ĐẦU RA CÁC HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ..................................................................................27
2.1. Điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng tiếp cận bất
đẳng thức ma trận .............................................................................................................27
2.2. Ổn định hóa phản hồi đầu ra và phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ ......31
KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................39

Footer
SốPage
hóa bởi
2 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

Header Page 3 of 89.

ii

MỘT SỐ KÝ HIỆU
    ;   : tập các số thực;
     0;   : tập các số thực không âm;
  nr : không gian các ma trận n  r chiều ;
 n : không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích
vô hướng là .,. và chuẩn véc tơ là . ;
   a; b  ,  n  : tập tất cả các hàm liên tục trên  a; b  và nhận giá
trị trên  n .


L2  a; b  ,  m  : tập tất cả các hàm khả tích bậc hai trên  a; b  và

lấy giá trị trong  m .


AT : ma trận chuyển vị của ma trận A , ma trận A được coi là
đối xứng nếu A  AT ;

 I : ma trận đơn vị ;
   A  : tập các giá trị riêng của ma trận A ;
 max  A   max Re  :     A  ;
 min  A  min Re  :     A ;


A  0 : ma trận A xác định dương ;



A  0 : ma trận A xác định không âm ;



A B: A B 0 ;

Footer
SốPage
hóa bởi
3 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3


Header Page 4 of 89.

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng dụng quan trọng mới xuất hiện và phát triển trong những thập kỷ gần
đây. Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định
tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý
toán, kỹ thuật, kinh tế, ... Một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu

của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỉ
XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov, từ những năm 60 của thế kỉ XX, song
song với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các
tính chất chất định tính của hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu
các tính chất ổn định của hệ thống điều khiển hay còn gọi là ổn định hóa của
hệ. Trải qua quá trình nghiên cứu và phát triển, đến nay lý thuyết ổn định, ổn
định hóa các hệ phương trình vi phân đã được nghiên cứu và phát triển như
một lý thuyết toán học độc lập và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán
học ứng dụng, điều khiển kỹ thuật, kinh tế, ....
Trong thực tế, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đế các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với
thời gian liên tục hay rời rạc dạng:

x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  0
x  k  1  f  k , x  k  , u  k   , k  0,1, 2,...
trong đó x . là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u . là biến điều khiển
mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển trong mô
hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động ở

Footer
SốPage
hóa bởi
4 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4


Header Page 5 of 89.

2

mức độ này hay mức độ khác có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra
của hệ thống.
Một trong những mục đích quan trọng của của bài toán điều khiển hệ
thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho hệ thống đầu ra có tính chất mong
muốn. Vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển
phản hồi (feedback controls) sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó
trở thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng.
Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số điều kiện đảm bảo
tính ổn định và ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến
tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về bài toán ổn định hóa
phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái và ổn
định hóa phản hồi đầu ra.
- Trình bày một số kết quả về ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ
phương trình vi phân tuyến tính.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định.
- Kế thừa phương pháp và kết quả của Lyapunov.
4. Bố cục của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo. Cụ thể là:
Chương 1: Cơ sở toán học.

Footer
SốPage
hóa bởi
5 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5


Header Page 6 of 89.

3

Chương 2: Ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ phương trình vi phân
tuyến tính.
Chương một trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân, ổn
định phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov và đặc biệt
là bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa
phản hồi trạng thái và ổn định hóa phản hồi đầu ra.
Trong chương hai chúng tôi xin giới thiệu và chứng minh một số định
lý cơ bản về điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng
phương thức tiếp cận bất đẳng thức ma trận, ổn định hóa phản hồi trạng thái
và ổn định hóa đầu ra cho hệ tuyến tính có trễ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc Phát, nhân dịp này em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Viện Toán học và trường

Đại học sư phạm Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy em trong quá trình học
cao học. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa sau đại học trường
Đại học sư phạm Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ tạo điều khiện cho tôi hoàn
thành kế hoạch học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè
đồng nghiệp đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Footer
SốPage
hóa bởi
6 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6


Header Page 7 of 89.

4

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ phương
trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm
Lyapunov, bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính và
phương trình vi phân tuyến tính có trễ dựa trên các tài liệu 1 ,  2  ,  4  .
1.1. Phương trình vi phân

 Xét phương trình vi phân có dạng :

 x  f  t , x  , t  I  t0 , t0  b  ,

n
 x  t0   x0 , x   , t0  0

1.1

trong đó f  t , x  : I  D   n , D   x   n : x  x0  a .
Nghiệm phương trình vi phân 1.1 là hàm số x  t  khả vi liên tục
thỏa mãn:
i,  t , x  t    I  D ,
ii, x  t  thỏa mãn phương trình vi phân 1.1 .
Giả sử hàm f  t , x  liên tục trên I  D , khi đó nghiệm x  t  cho bởi
t

dạng tích phân sau: x  t   x0   f  s, x  s   ds .
t0

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân 1.1 .
1.1.1. Định lý (Định lý Picard - Lindeloff)
Xét phương trình vi phân 1.1 trong đó giả sử hàm

f  t, x  : I  D  n
là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x :

Footer
SốPage

hóa bởi
7 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7


Header Page 8 of 89.

5

K  0 : f  t , x1   f  t , x2   K x1  x2 , t  0.
Khi đó với mỗi  t0 , x0   I  D sẽ tìm được số d  0 sao cho 1.1 luôn
có nghiệm duy nhất trên khoảng t0  d , t0  d  . Hay nói cách khác, qua mỗi
điểm  t0 , x0   I  D có một và chỉ một đường cong tích phân chạy qua.
Định lý sau đây, với giả thiết nhẹ hơn, cho sự tồn tại nghiệm đối với
một lớp các hệ phương trình vi phân tương đối phổ biến và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết điều khiển.
1.1.2. Định lý (Định lý Caratheodory)
Giả sử f  t , x  là hàm đo được theo t  I và liên tục theo x  D nếu
tồn tại hàm khả tích m  t  trên  t0 , t0  b  sao cho

f  t , x   m  t  ,   t , x   I  D.
Khi đó hệ 1.1 có nghiệm trên khoảng t0 , t0    nào đó.
Định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không
duy nhất.
Bây giờ ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân:
 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm dạng:

 x  Ax  g  t  , t  0,

 x  t0   x0 , t0  0

1.2 

trong đó A là n  n  ma trận hằng số, g  t  :  0,    n là hàm khả tích thì
hệ 1.2  luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau

x t   e

A t t0 

t

x0   e

A t  s 

g  s  ds, t  0

t0

Footer
SốPage
hóa bởi
8 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

Header Page 9 of 89.

6

 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm dạng

 x  A  t  x  g  t  , t  0,

 x  t0   x0 , t0  0

1.3

trong đó A  t  là n  n  ma trận các hàm đo được hoặc liên tục theo t và

At   m t , t  0
m  t  là các hàm khả tích và g  t  cũng là các hàm khả tích, thì hệ 1.3  cũng
có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên nghiệm của hệ này không biểu diễn như công
thức nghiệm Cauchy mà thông qua ma trận nghiệm cơ bản   t , s  của hệ
thuần nhất:

x  A  t  x, t  0, x  t0   x0 ,

1.4 

nghiệm hệ 1.3  cho bởi:
t

x  t     t , t0  x0     t , s  g  s  ds, t  0
t0

trong đó   t , s  là ma trận nghiệm cở bản của hệ 1.4  thỏa mãn phương
trình ma trận

d
   t , s   A  t    t , s  , t  s,
 dt
  t , t   I , t  0

1.2. Lý thuyết ổn định phương trình vi phân
1.2.1. Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

 x  f  t , x  , t  0

 x  t0   x0 , t0  0

1.5

trong đó x  t    n là véc tơ trạng thái của hệ, f :     n   n là hàm véc tơ
cho trước. Giả thiết f  t , x  là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm

Footer
SốPage
hóa bởi
9 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

Header Page 10 of 89.

7

của bài toán Cauchy hệ 1.5  với điều kiện ban đầu x  t0   x0 , t0  0 luôn
có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức
t

x  t   x0   f  s , x  s   ds, t  t0 .
t0

1.2.1.1. Định nghĩa
Nghiệm x  t  của hệ 1.5  gọi là ổn định nếu với mọi số   0 ,
t0  0 sẽ tồn tại số   0 (phụ thuộc vào  ,t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y  t  ,

y  t0   y0 của hệ thỏa mãn y0  x0   thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

y  t   x  t    , t  t0 .
Nói cách khác nghiệm x  t  là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có
giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x  t  thì vẫn đủ gần nó trong
suốt thời gian t  t0 .
Giả sử x . là một nghiệm ổn định của 1.5 , xét phương trình

x  x  f  t , x   f  t , x 
Đặt y  x  x thì phương trình trên trở thành

y  g  t , y 

1.6 

trong đó g  t , y  : f  t , y  x   f  t , x  và g  t ,0   0 .
Ta nhận thấy nếu x . là một nghiệm của 1.5 thì x .  x . là
nghiệm của 1.6  . Mặt khác lại có x .  x . là một nghiệm của 1.5  nên

y  .  0 là một nghiệm của 1.6  và hơn thế nữa dễ dàng kiểm tra được rằng
x . là một nghiệm ổn định của 1.5  khi và chỉ khi y .  0 là một nghiệm
ổn định của 1.6  .
Do đó từ nay về sau ta chỉ xem xét sự ổn định của nghiệm y .  0 của

Footer
SốPage
hóa bởi
10 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10


Header Page 11 of 89.

8

phương trình vi phân dạng y  g  t , y  với giả thiết g  t ,0   0 .
Giả sử x  0 là một nghiệm của 1.5  ta định nghĩa:
Nghiệm x  0 của hệ 1.5 được gọi là ổn định nếu   0, t0  0 đều
tồn tại    ,t0  sao cho mọi nghiệm x  t , t0 , x0  của hệ thỏa mãn

x0     , t0 
thì x  t , t0 , x0    , t  t0 .
1.2.1.2. Định nghĩa
Nghiệm x  0 của hệ 1.5  gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và
hơn nữa với mỗi t0  0 tồn tại   t0   0 sao cho với mọi x0   n thỏa mãn

x0   thì
lim x  t , t0 , x0   0
t 

Nếu số   0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian
ban đầu t0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều
(hay ổn định tiệm cận đều).
1.2.1.3. Định nghĩa
Nghiệm x  0 của 1.5  là ổn định mũ nếu tồn tại các số M  0 ,   0
sao cho mọi nghiệm của hệ 1.5  với x  t0   x0 thỏa mãn

x  t   Me

   t  t0 

, t  t0

Vậy khi nghiệm x  0 của hệ 1.5  ổn định mũ thì nó là ổn định tiệm cận và
mọi nghiệm ổn định tiệm cận của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số
mũ. Để ngắn gọn, từ sau đây từ sẽ nói hệ 1.5 ổn định thay cho nghiệm

x .  0 của hệ là ổn định.

Footer

SốPage
hóa bởi
11 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11


Header Page 12 of 89.

9

Ví dụ 1.1.
Xét phương trình vi phân trong 
x  ax, t  0.

Nghiệm x  t  , với x  t0   x0 cho bởi công thức

x  t   x0e at , t  0.
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a  0 .
Nếu a  0 thì hệ là ổn định.
Hơn nữa, hệ sẽ ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số   0
được chọn sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 .
1.2.2. Ổn định các hệ tuyến tính
Xét hệ tuyến tính ô tô nôm

x  t   Ax  t  , t  0,

1.7 

trong đó A là  n  n   ma trận. Nghiệm của hệ 1.7  xuất phát từ trạng thái
ban đầu x  t0  cho bởi

x  t   x0e

A t t0 

, t  t0 .

1.2.2.1. Định lý (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov).
Hệ 1.7  là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị
riêng của A là âm, tức là:

Re   0,     A  .
Ví dụ 1.2.
Xét tính ổn định của hệ

 x1   x1

 x2  2 x2

 1 0 
Ta có A  

 0 2 

Footer
SốPage
hóa bởi

12 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12


Header Page 13 of 89.

10

 1  
 A  I  
 0

0 
2   

A  I   0     1   2   0
   1

   2

 Re   0,     A .
Do vậy hệ ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ tuyến tính ô tô nôm 1.7  có liên quan tương
đương với sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận tuyến tính, thường
gọi là phương trình Lyapunov dạng

AT X  XA  Y ,

(LE)

trong đó X , Y là các ma trận  n  n  chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE).
1.2.2.2. Định lý  2
Hệ 1.7  là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối
xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác
định dương X .
Chứng minh:
Giả sử  LE  có nghiệm là ma trận X  0 với Y  0 . Với x  t  là một
nghiệm tùy ý của 1.7  với x  t0   x0 , t0    , ta xét hàm số

V  x  t    Xx  t  , x  t  , t  t0
Ta có

d
V  x  t    Xx  t  , x  t   Xx  t  , x  t 
dt



 XA  A X  x  t  , x  t 
T

Footer
SốPage
hóa bởi
13 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13


Header Page 14 of 89.

11

  Yx  t  , x  t  .
Do đó
t

V  x  t    V  x  t0      Yx  s  , x  s  ds
t0

Vì X là xác định dương nên V  x  t    0, t  t0 và do đó
t

ds  V  x0   Xx0 , x0 .

 Yx  s  , x  s 
t0

Mặt khác, vì Y là xác định dương, nên tồn tại số   0 sao cho
2

Yx, x   x , x   n ,
do đó
t



Xx0 , x0
.


2

x  s  ds 

t0

Cho t   ta được


 x s

2

1.8

ds  

t0

Ta sẽ chứng minh rằng Re   0,     A  . Thật vậy, giả sử có một
số 0    A mà Re 0  0 , lấy x0   n ứng với giá trị riêng 0 này, thì
nghiệm của hệ 1.7  sẽ cho bởi

x1  t   e0t x0

và do đó


 x t 
1

t0

2


2

dt   e 2Re 0t x0 dt   ,
t0

vì Re   0 , vô lý với điều kiện 1.8 .
Ngược lại, giả sử Re   0,     A  . Với bất kì ma trận Y đối xứng

Footer
SốPage
hóa bởi
14 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14


Header Page 15 of 89.

12

xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây

 Z  t   AT Z  t   Z  t  A, t  t0

 Z  t0   Y .

1.9 

Nhận thấy rằng hệ 1.9  có một nghiệm riêng là
T

Z  t   e A tYe At
Đặt
t

X  t    Z  s  ds .
t0

Vì Re   0,     A  nên dễ kiểm tra được tích phân


X   Z  s  ds  
t0

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác lấy tích
phân hai vế 1.9  từ t đến t0 ta có

Z  t   Y  AT X  t   X  t  A, t  t0 .
Cho t   để ý rằng Z  t   0 khi t   và vì Re   0,

    A  , nên ta được
Y  AT X  XA
hay là các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn  LE  . Ta chỉ còn chứng minh

X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có
T

Xx, x   Ye A t x, e At x dt.
Do Y  0 và e At là không suy biến nên

Xx, x  0 nếu x  0 .
Định lý được chứng minh.

Footer
SốPage
hóa bởi
15 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15


Header Page 16 of 89.

13

Ví dụ 1.3.
Xét hệ x  Ax , trong đó

 1 1 
A

 2 3 
Ta có

 1  
A  I  
 2

1 
3   

A  I  0
    1   3  2  0
   2  i

   2  i
 Re   0,     A  .
Do vậy hệ ổn định tiệm cận.
Ngoài ra với ma trận đối xứng xác định dương

4 2
Y 

2 3
dễ dàng tìm được nghiệm X của phương trình  LE  là một ma trận đối xứng

xác định dương

 23
 10
X 
 3

 20

3 
20 
.
9 

20 

Theo định lí 1.2.2 thì hệ là ổn định tiệm cận.
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov
 Xét hệ phương trình phi tuyến ô tô nôm

x  f  x  ,

f  0   0, t    .

Footer
SốPage
hóa bởi
16 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.10 

16


Header Page 17 of 89.

14

Hàm V  x  :  n   là xác định dương nếu:
i, V  x   0, x   n .
ii, V  x   0  x  0 .
1.3.1. Định nghĩa
Hàm khả vi liên tục trên  n V  x  :  n   , gọi là hàm Lyapunov của
hệ 1.10  nếu:
i, V  x  là hàm xác định dương.
ii, D f V  x  :

V
f  x   0, x  D.
x

Hàm V  x  gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm
vào đó nó thỏa mãn điều kiện :
iii, c  0 : D f V  x   c x  0, x  D \ 0.
1.3.2. Định lý  4 
Nếu hệ 1.10  có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu hàm
Lyapunov đó là hàm chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.4.

Xét hệ phương trình vi phân:
z  Az

1.11

trong đó

 x
z   ,
 y

 1 1 
A

 2 1 

Chọn V  z   2 x 2  y 2 , a  t     t   t 2 , b  t   2t 2

Footer
SốPage
hóa bởi
17 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17


Header Page 18 of 89.

15

Suy ra:

V  0   0, a  z   V  z   b  z  .
D f V  z   4 x   x  y   2 y  2 x  y   4 x 2  2 y 2
  x 2  y 2    z  , z   2 .
Vậy hàm V  z  là hàm Lyapunov chặt, nên hệ phương trình 1.11 ổn định
tiệm cận đều.
Ví dụ 1.5.
Xét hệ phương trình
4
 x  4 xy

4
 y  yx

1.12 

Chọn

1
V  x, y   x 4  y 4 , a  t   t 4 , b  t   t 4
2
ta có

a

  x, y    V  x, y   b   x, y   ,

V  0,0   0

D f V  x, y   4 x 4 y 4  4 x 4 y 4  0,   x, y    2
Vậy hàm V  x, y  là hàm Lyapunov và thỏa mãn điều kiện  iii ,  trong định
nghĩa 1.3.1 nên hệ phương trình 1.12  ổn định đều.
 Xét hệ phi tuyến không ô tô nôm :

 x  t   f  t , x  t   , t  0,

 x  t0   x0 , t0  0,

1.13

trong đó

f t, x  :   n   n
là hàm phi tuyến cho trước, f  t ,0   0, t    .
Xét lớp hàm  là tập các hàm liên tục tăng chặt a . :      , a  0   0 .

Footer
SốPage
hóa bởi
18 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18


Header Page 19 of 89.

16

Hàm V  t , x  :     n  R gọi là hàm Lyapunov nếu :
i, V  t , x  là hàm xác định dương theo nghĩa

a .   : V  t , x   a  x  ,   t , x       n
ii, D f V  t , x  t   

V V

f  t , x  t    0,   t , x  t        n
t
x

Trường hợp V  t , x  là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm điều kiện:
iii, b .   : V  t , x   b  x  ,   t , x       n .
iv,   .   : D f V  t , x  t    

 x  t   , t   , x t   0


thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
1.3.3. Định lý  4
Nếu hệ phi tuyến không ô tô nôm 1.13 có hàm Lyapunov thì hệ là ổn
định. Nếu có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.6.
Xét hệ phương trình vi phân

x 

1 t 3
ex .
2

1.14 

Lấy hàm Lyapunov

V t , x  :   D  
trong đó

D   x : x  1 với V  t , x   x
ta có

1
3
D f V  t , x    et x
2
Hệ 1.14  ổn định với   h   h3 , vì

D f V  t , x   

1 3
1
x     x .
2
2

Footer

SốPage
hóa bởi
19 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19


Header Page 20 of 89.

17

1.4. Bài toán ổn định hóa
Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân :

 x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  0

n
m
 x  t    , u  t   

1.15

trong đó x  t    n là véc tơ trạng thái, u  t    m là véc tơ điều khiển,

f :     n   m   n là hàm véc tơ cho trước, f  t ,0,0   0, t  0 . Hàm
u . thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn  0;t  và lấy giá trị





trong  m u .  L2  0; t  ,  m  , t  0 gọi là hàm điều khiển chấp nhận được
của hệ 1.15 
1.4.1. Ổn định hóa phản hồi trạng thái
1.4.1.1. Định nghĩa
Hệ 1.15  gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h  x  :  n   m sao
cho với hàm điều khiển này thì hệ phương trình vi phân





x  t   f t , x  t  , h  x  t   , t  0 ,
là ổn định tiệm cận. Hàm u  t   h  x  t   gọi là hàm điều khiển phản hồi
trạng thái.
Trong trường hợp hệ 1.15  là hệ tuyến tính x  Ax  Bu thì hệ là ổn
định hóa được nếu tồn tại ma trận K sao cho với điều khiển được phản hồi
trạng thái u  Kx thì hệ x  Ax  BKx là ổn định tiệm cận. Điều đó tương
đương với tìm ma trận K sao cho ma trận

 A  BK 

là ổn định, tức là,

Re   A  BK   0 .
Chú ý :
Nếu ma trận A là ổn định thì hệ là ổn định hóa được với điều khiển
trạng thái u  0 .

Footer
SốPage
hóa bởi
20 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20


Header Page 21 of 89.

18

Ví dụ 1.7.
Xét hệ

 1 2 
 1
x  
x   u

 0 1
 1
Hệ có

 1 2 
 1
A

,
B


 1
 0 1
 
2 
 1  
A  I  
1   
 0

 A  I  0
  1   1     0
   1

  1

  Re   A  1  0 .
 Ma trận A không ổn định.
Ta tìm ma trận K   k1 k 2  sao cho ma trận A  BK là ma trận ổn định.

 1 2   1
A  BK  
     k1 k 2 
 0 1   1
 1 2   k1 k2   1  k1 2  k2 




1  k2 
 0 1   k1 k2   k1
Lấy k1  0, k 2  3 ta được

 4 1 
A  BK  

 0 2 
Khi đó

 4  
 0

 A  BK   I   

Footer
SốPage
hóa bởi
21 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1 
2   

21


Header Page 22 of 89.

19

  A  BK   I   0
  4    2     0
   4

   2

 Re   0     A  BK 
 ma trận  A  BK  là ma trận ổn định.

Vậy hệ là ổn định hóa với điều khiển ngược trạng thái là :

x 
u  t    k1 k2   1   k1x1  t   k 2 x2  t 
 x2 
 0.x1  t   3 x2  t   3 x2  t 
Sau đây là một số tiêu chuẩn cơ sở để hệ là ổn định hóa được theo điều khiển
trạng thái:
1.4.1.2. Định lý  2
Hệ

x  Ax  Bu

là điều khiển được hoàn toàn về

0

nếu

rank  B, AB,..., An1B   n .
1.4.1.3. Định lý  2 
Xét hệ tuyến tính

x  t   Ax  Bu , t  0

1.16 

Hệ ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn và điều khiển
phản hồi trạng thái là u  t   T1 BT LT11 x  t  .
Chứng minh:
Giả sử 1.16  là điều khiển được hoàn toàn về 0  GNC  , (không mất
tính tổng quát ta giả sử t0  0 ), khi đó sẽ có một số T  0 sao cho ma trận
T
T

LT   e  At BBT e  A t dt
0

Footer
SốPage
hóa bởi
22 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

Header Page 23 of 89.

20

là không suy biến. Lấy bất kì T1  T và đặt
T1

T

LT1   T1  t  e  At BBT e  A t dt
0

khi đó LT1 cũng không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược LT11 . Đặt

K  T1 BT LT11
Ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm. Tức là với
điều khiển ngược

u  t   TBT LT11 x  t 
thì hệ 1.16  là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận  A  BK  là ổn
định. Để làm được điều này, lấy hàm Lyapunov dạng

V  x   LT11 x, x
với nghiệm x  t  , x  0   x0 của hệ x  t    A  BK  x  t  và bằng điều khiển

u  T1 BLT11 x ta có

d
V  x  t    LT11 x , x  LT11 x, x
dt

L

1
T1





A  AT LT11 x, x  2 Bu , LT11 x

Đặt y  LT11 x và nhận xét rằng

L

1
T1



A  AT LT11 x, x 

d
V  x t  
dt

L

T1

L

T1



AT  ALT1 y , y



AT  ALT1 y , y  2 Bu , y

Mặt khác vì
T1
T

LT1 A  ALT1   T1  t 
0

d   At T  AT t 
e BB e

dt 
T1

 T1BB   e  At BBT C  A 't dt
T

0

Footer
SốPage
hóa bởi
23 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23


Header Page 24 of 89.

21

nên

d
V  x  t    T1BBT y , y  2 Bu , y
dt
T1

T

 y,  e  At BBT e  A t ydt
0

 T1 BT y , BT y  2T1 BT y , BT y  LT1 y , y
ta được
2

d
V  x  t    T1 BT y  LT1 y, y
dt

  LT1 y , y   LT11 x, x
Hơn nữa LT11 là ma trận xác định dương nên có một số C  0 sao cho

L

1
T1



x, x  C x

2

Vậy

D f V  x   C x

2

nên hệ ổn định tiệm cận. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.8.
Xét hệ điều khiển 1.16  trong đó

0 0 
0

A
, B 

 0 2 
1
ta có

 
A  I  
 0

0 
2   

nên

  0
A  I  0  
   2

Footer
SốPage
hóa bởi
24 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24

Header Page 25 of 89.

22

Ta thấy hệ x  Ax là ổn định, do đó hệ ổn định hóa được với K  0 . Tuy
nhiên hệ không GNC vì

0 0 
rank  B, AB   rank 
 1 2
1 2 
Ví dụ trên cho thấy rằng nếu hệ ổn định hóa được thì hệ đó chưa chắc đã là
GNC. Như vậy để hệ ổn định hóa được là GNC thì đòi hỏi điều kiện mạnh
hơn tính ổn định hóa được.
1.4.1.4. Định lý  4 
Xét hệ tuyến tính không ô tô nôm

x  t   A  t  x  B  t  u, t  0 .

1.17 

Hệ 1.17  là ổn định hóa được nếu phương trình vi phân Riccati sau

P  t   A  t  P  t   AT  t  P  t   P  t  B  t  B T  t  P  t   Q  0
có nghiệm xác định dương đều P  t   0, Q  0 và P  t  bị chặn đều. Điều
khiển phản hồi trạng thái là

1
u  t    BT  t  P  t  x  t  , t  0 .
2

Chứng minh :
Lấy V  t   P  t  x, x .
Áp dụng định lí 1.3.2 thì điều kiện  iii  rõ ràng thỏa mãn vì
2

P  t  x, x  M x , M  sup P  t  .
t 0

Vì P  t   0  P  t  x, x  c x nên  i  thỏa mãn.
Kiểm tra được  iv  :

d
V  t  
P t  x t  , x t 
dt

Footer
SốPage
hóa bởi
25 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

25