chuyên đề giới hạn hàm số lớp 11

CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1. Tính các giới hạn sau (dạng vô định

1) lim

x →1

4) lim

x →3

x3 − x2 − x + 1
x 2 − 3x + 2
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
x 4 − 8x 2 − 9

0
mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức)
0
2) lim

x →1

5) lim

x4 −1
x3 − 2x2 + 1
x − 5x 5 + 4 x 6

(1 − x )2

x →1

x4 −1
x →1 x 2 + 2x − 3

8) lim

(1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) − 1
x →0
x

x + x 2 + ... + x n − n
11) lim
x →1
x −1

x 3 − 3x + 2
x →1 x 4 − 4x + 3

14) lim

7) lim

10) lim

13) lim

Bài 2. Tính các giới hạn sau (dạng vô định

x 3 − 4x 2 + 4x − 3
x →3
x 2 − 3x

x100 − 2x + 1
x →1 x 50 − 2x + 1

3)

6)

x5 + 1

lim

x3 + 1

x →−1

x 4 − 16

lim

x3 + 2 x 2

x →−2

9) lim1
x→

2

8x 3 − 1
6x 2 − 5x + 1

2x 4 − 5x 3 + 3x 2 + x − 1
x →1
3x 4 − 8x 3 + 6x 2 − 1

12) lim

15) lim
x →a

xn − an
x−a

0 ∞
;
; ∞−∞)
0 ∞

2.1. Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai, căn bậc ba)
1) xlim
→ −1

4) lim
x→2

7) lim

x →1

x +1
6 x + 3 + 3x
2

x2 + 5 − 3
.
x−2
3

x + x3 − 2 x
x 3 − 3x 2 + 2

1+ x + x2 −1
x

2) lim
x →0

x

5) lim

1+ x −1

x →0

8) lim

x →2

3

2 + 2x − 2
2

2 x − 5x + 2

x+4 −3
x 2 − 25

3) lim
x →5

6) lim

3

x2 − 1

x →1

9) lim

x3 − 9 x + 2

4x − 2

x−2

3

x →2

2.2. Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
1) lim

5+ x − 5− x
x

2) lim

4) lim

1+ x − x2 + x + 1
x

5) lim

x →0

x →0

x →0

x →0

1 − 3x + x 2 − 1 + x

x
3

1 + 2 x − 3 1 + 3x
x

Trang 1

3) lim
x →1

6) lim

x →1

3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
x 2 − 3x + 2
3

3

x − 2 + 1 − x + x2
x2 − 1


CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

7) lim

2x − 1 − 3 x
x −1

8) lim

x −1 + 3 x +1
2x + 1 − x + 1

9) lim

10) lim

9 + 2x − 5
3
x −2

11) lim

x −1
x − 2 +1

12) lim

x +1
x −7 +2

3) lim

5 − x3 − 3 x2 + 7
x2 −1

3
x →1

x →8

3
x →0

3

x →−1

3

x →1 3

x + x2 + x +1
x +1
3

x →−1 3

2.3. Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
2)

2 1− x − 3 8 − x
x →0
x

1) lim

3x − 2 − 3 4 x 2 − x − 2
x 2 − 3x + 2

lim
x →1

4) lim

3

x →1

x + 7 − 5 − x2
x −1

5) lim

1+ x − 3 1+ x
x

8) lim

7) lim

x →0
3

10) lim

x →0

3

1+ x − 1− x

11) lim

x →−1

6) lim

x2

x →0

x +1

x + 2 − 3 x + 20
x 2 − 8x + 7

12) lim
x →7

x2 + 3 − 2

1 + 2x − 1 + 7x
x

1+ 4x − 3 1+ 6x

9) lim

x 2 − 3x + 2
3

3

x→0

8 x + 11 − x + 7

x →2

1− x − 1+ x

x →0

3x + 4 − 3 8 + 5x
x

x →1

2.4. Nhân lượng liên hợp (giới hạn tại vô cực)
1)
lim

x2 + 2x + 3 + 4 x + 1

3)

lim  x 2 + x − x ÷
x →+∞ 


lim  2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 ÷
x →+∞ 


4x2 + 1 + 2 − x

x →±∞

4)

2)

3
lim  x 2 + 1 − x 3 − 1 ÷
x →+∞ 


7) xlim
→+∞

(

x +1 − x

)

10) xlim
→−∞

(

2x 2 + 1 + x

)

5)

lim

x →−∞

8) xlim
→+∞

(

11) xlim
→+∞

(

( 3 x3 − 1 +

x2 + 2

)

6)
3
lim  8x 3 − x 2 + 4 x 2 + 3 x ÷


x →−∞ 

3x 2 + x + 1 − x 3
3

)

x 3 + 3x − x 2 − 2x

9) xlim
→−∞

)

12)
lim

x →+∞

−6 x 5 + 7 x 3 − 4 x + 3
x →+∞ 8 x 5 − 5 x 4 + 2 x 2 − 1

13) lim

14)

(

) 

 3x 2
( 2 x − 1) 3x + x + 1
lim 
−
x →−∞ 2 x + 1
4x2


Trang 2

2



(

(

x2 + x − x2 + 4

)

x 2 + 2x + 4 − x 2 − 2x + 4

15) lim

x →−∞

x + x2 + 2
8 x 2 + 5x + 2

)


CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

( 2 x − 3) ( 4 x + 7 )

16) xlim
→+∞

( 3x

2

2

3

)(

)

+ 1 10 x 2 + 9

x2 + 4x + 5 + 2x + 1

19) lim

3x 2 − 2 x + 7 + x

x →+∞

17) lim

x →−∞

20) lim

x →−∞

22) lim

x 6 − 3x
2x 2 + 1

23) lim

25) lim

x + x2 + x

x + 10

26) xlim
→−∞

x →−∞

x →−∞

28) xlim
→−∞

(

3

x →+∞

x3 + 1 − x

)

x 2 + 2 x + 3x

18) xlim
→−∞

4x2 +1 − x + 2

21) lim

3x − x 2 + 1
x 6 − 3x
2x 2 + 1

24) lim

x 2 − 7x + 12
3 x − 17

27) lim

x4 + 4
x+4

x →−∞

3x + 1
1 − x + 4x − x
2

(

x x2 −1

5x + 3 1 − x
x →−∞
1− x

x + x2 + x

x2
29) xlim
→+∞

2x2 + x −1

x →−∞

3x 4 + 5 − 3x 4 − 2

)

30)
lim x

x →+∞

(

x 2 + 2x + x − 2 x 2 + x

Bài 3. Một số dạng giới hạn khác và giới hạn một bên.
1) lim+ ( x − 2 )

x
x −4

2)

3) lim ( x + 2 )

x −1
x3 + x

4) lim ( x + 1)

5) lim ( 1 − 2x )

3x + 1
x3 + 1

6) lim x

x+4
4−x

8) lim+

x →2

x →+∞

x →+∞

7) lim
x →2

3

( x − 2)

9) lim−
x →2

13) lim−
x →1

x →0

10) lim−
12) xlim
→ 2−

1 − x + x −1

14) lim+

x 2 − x3

x →1

Trang 3

2x + 1
x +x+2
3

2x 3 + x
x5 − x 2 + 3

x+2 x
x− x
x 2 − 7x + 12
9 − x2

x →3

x5 + x4

2

x →( −1)

x →−∞

x 2 + 3x + 2

x
x −1

lim + ( x 3 + 1)

x →−∞

4 − x2
2−x

11) lim +
x →( −1)

2

2

(x

x2 − 4
2

+ 1) ( 2 − x )

x3 −1
x2 −1

)


CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

 1
2x + 3 
.


16) lim
2
x →1
 ( x − 1) 2x − 3 

1 
 1
− 2
15) lim− 
÷
x →2  x − 2
x −4

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 5. Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn)

(

2
1) lim n + 1 − n + n

4)

)

(

lim 3n − 1 + 3 n 2 − 27 n3

 3n − 9n 2 + 4n 
÷
2) lim  3 2
 n − n3 + n ÷




)

5) lim

7) lim ( n 2 + n − n 2 + 2 )
10) lim

n 2 + 3 1 − n6
n +1 − n
4

3

6)
lim

2n3 + n 2 − n 3 2

8) lim ( 3 2n − n3 + n − 1)
11) lim

2

n 2 − 8n − n 2 + n

(

2

2
3) lim n − 9n + n + 4n + 2n

n 2 − 4n − 4n 2 + 1
3n + 1 − n
2

(

)

n 2 − 2n + 2 3 n 2 − 8n3 + 3 n 2 + n

)

9) lim ( 1 + n 2 − n 4 + 3n + 1 )
12) lim

(

n n + 3 3n − n3

)

n − n 2 + 5n

Bài 6. Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn)
1) lim

1 + 2 + ... + n

n2

n 2 + 4 + ... + 2n
2) lim
3n 2 + n − 2

4) lim

n. 1 + 3 + ... + (2n − 1)
2n 2 + n + 1

5) lim

1 + 2 + ... + n
n2 + 3n

3) lim

12 + 2 2 + ... + n 2
n 3 + 3n + 2

 1
1
1 
+
+ ... +
6) lim 
÷
n(n + 1) 
 1.2 2.3

Bài 7. Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn)

1) lim

4) lim

1 + a + a 2 + ... + a n
1 + b + b 2 + ... + b n

( a < 1; b < 1)

n2 − 4n − 4 n2 + 1

2) lim

5) lim

3n2 + 1 + n

1 − 2.3n + 6 n
2n (3n+1 − 5)
(2n n + 1)( n + 3)
(n + 1)(n + 2)

3) lim

6) lim

3

n2 + 1 − n6
n 4 + 1 + n2
4 n 2 + 1 − 2n − 1
n 2 + 4n + 1 − n

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) nếu:

Trang 4


CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

Điểm x0 mà tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

f ( x ) = lim− f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
2. f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) ⇔ xlim
x → x0
→x+
x→x
0

0

3. f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy.
4. f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)

 lim+  f ( x )  = f ( a )
 x →a
và 
 f ( x )  = f ( b )
 xlim
→b− 

( )

( ) ( ) ( )

5. Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f x ± g x , f x .g x ,

f ( x)

g( x)

( g ( x ) ≠ 0)

cũng liên tục tại x0.

6. Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
7. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là
phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. BÀI TẬP
Bài 8. Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra:
x3 − x − 6
 2
x −x−2
1) f(x) = 

11

 3

tại xo = 2
khi x = 2

1 − 2 x − 3

2− x
3) f ( x ) = 
1

 3 x2 −1 − 2

5) f (x) =  x 2 − 4x + 3
 3− x


 x 2 − 3x + 2
khi x ≥ 1
 x 2 − 1
2) f(x) = 
tại xo = 1
− x
khi x < 1
 2

khi x ≠ 2

( x ≠ 2)
( x = 2)

3

 x + 2 khi x ≤ 0
4) f(x) = 
 x + 1 − 1 khi x ≥ 0
 3 1 + x − 1

tại x0 = 2

1 − 2x − 3

6) f (x) =  2 − x

1


khi x > 3
khi x ≤ 3

 2x + 1 − x + 5

Bài 9. Cho hàm số f (x) = 
x−4

a−2


khi x ≠ 4

. Tìm a để hàm số liên tục tại 4.

khi x = 4

Trang 5

tại xo = 0

3
2 tại điểm x o = 2
khi x = 2

khi x ≥


CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2016-2017.
Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:

 3 3x + 2 − 2

Bài 10. Cho hàm số f (x) =  x − 2
 ax + 2


khi x > 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại 2.

khi x ≤ 2

 3 3x + 2 − 2
khi x > 2

x
−
2
f
(x)
=
Bài 11. Tìm a để hàm số

ax + 1
khi x ≤ 2

4

liên tục trên R.

 x 2 khi x < 1

f ( x) = ax + b khi 1 ≤ x ≤ 3
4 − x khi x > 3


liên tục trên R.

Bài 12. Tìm a để hàm số

Bài 13. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
1)

x3 – 2x – 7 = 0

2) x5 + x3 – 1 = 0

3) x3 + x2 + x + 2/3 = 0

4) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0

5) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0

6) cosx – x + 1 = 0

Bài 14. Chứng minh rằng phương trình
1) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

2) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)

3) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)

4) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

5) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5]

6) 4x 4 + 2x 2 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân

biệt thuộc khoảng (-1;1).

Bài 15. Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có
nghiệm trong [0;1]
Bài 16. Chứng minh rằng các PT sau luôn có nghiệm:
1) m ( x − 1)

7

( x − 3) + 2 x − 5 = 0

3) a cos2 x + b sin x + cos x = 0

2)

(m

4)

( m + 1) x

2

2

)

+ m + 1 x4 + 2x − 2 = 0
3

− 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm Pb.

Trang 6