giải tích hiện đại (các không gian )

Trờng Đại Học hồng đức
Khoa: Tự nhiên
====&====
Giải tích hiện đại
Thanh Hoá, tháng 8 năm 2006
Chơng I
Không gian Hilbert
.i1 Không gian tuyến tính
Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu không gian Hilbert, trớc
hết ta nhắn lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vectơ).
Các khái niệm này đã đợc đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên ở đó
ta chủ yếu xét các không gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngợc lại, mối quan tâm của
ta dành chủ yếu cho các không gian vô hạn chiều.
1. Không gian tuyến tính
Tập hợp L (khác ) đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có
xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử
của L với một số thuộc tính K thoả mãn các điều kiện sau:
1. Với mọi a, b L đều có: a + b = b + a;
2. Với mọi a, b, c L đều có: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Trong L tồn tại (duy nhất) một phần tử O (gọi là phần tử không) sao cho:
a + 0 = a với mọi a L;
4. Với mỗi a L đều có một phần tử a L (gọi là đối của a) sao cho: a + (- a) = 0;
5. Với mọi , K, a L đều có: (a) = ()a;
6. Với mọi , K và a L đều có: ( + )a = a + a).
7. Với mọi K, a, b L đều có: (a+b) = a + b
8. 1a = a với mọi a L
Chú ý: 1. Trờng K đợc hiểu là trờng số thực K hoặc trờng số phức C. Trong trờng
hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thức; trong trờng hợp sau - không gian tuyến tính
phức tạp. Sau này ta sẽ chỉ nói đơn giản: L là không gian tuyến tính. Trong trờng hợp
cần thiết sẽ nói rõ đó là không gian thực hay phức.
2. Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với 0 R.

3. Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử, với n nguyên dơng tuỳ ý.
Bài tập: Chứng minh rằng mọi không gian tuyến tính (trừ không gian tầm thờng chỉ
gồm đúng một phần tử) đều có lực lợng không dới contimum (tức là có số phần tử
không ít hơn tập hợp R).
2
2. Sự phụ thuộc tuyến tính
Trớc hết, ta nên ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến tính L. Giả sử I
là một tập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm đợc hoặc không đếm đợc) và với mỗi I ta có t-
ơng ứng một (và chỉ một) phần tử X

L. Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức X


=
X

khi . Nhng về hình thức, ta sẽ phân biệt X

với X


nếu . Khi đó, tập
hợp A các ký hiệu X

với I sẽ đợc gọi là hệ phần tử của L. Nói chung, không thể
coi A là tập hợp của L.
Hệ phần tử A của L đợc gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn tại a , a
n
A và
1

,
n
0 sao cho

=
=
n
k
kk
x
1
0

hệ không phụ thuộc còn gọi là hệ độc lập (tuyến tính).
Nếu a
1
a
n
L thì với mỗi bộ số
1
,
n
, biểu thức

=
n
k
kk
a
1

đợc gọi là một tổ
hợp (tuyến tính) của a
1
, a
n
. Tổ hợp 0a
1
+ 0a
2
+ 0a
n
gọi là tổ hợp khác gọi là không
tầm thờng. Tổ hợp tầm thờng luon là phần tử 0.
Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng.
a. Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là
bằng 0, ngoài tổ hợp tầm thờng.
b. Nếu trong hệ số phần tử bằng 0 hoặc hai phần tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc.
c. Nếu hệ A chứa hệ B mà B phụ thuộc thì A phụ thuộc.
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau:
d. Hệ A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của A biểu thị tuyến
tính qua một số hữu hạn các phần tử khác a, tức là biểu thị dới dạng tổ hợp tuyến tính
của các phần tử đó.
Thật vậy, giả sử A là phụ thuộc khi đó tồn tại a
1
a
n
A và
1
,

n
sao cho
00
11
2
=

==
n
k
kk
n
k
k
ava

. Trong đó các số
k
phải có ít nhất một số khác 0, ví dụ
k0
.
Khi
đó:


=
0
0
0
kk

ak
k
k
k
a


tức là a
k0
biểu thị thuyết tính qua các phân tử a
k
(k = 1,...,n; k
k
0
).
Ngợc lại, giả sử trong A có các phần tử a, a
1
a
n
sao cho

=
=
n
k
kk
aa
1

khi đó,

0
1
1
=

+
=
n
k
kk
a

với
k+1
= -1 và a
k+1
= a. Rõ ràng
0
1
1
2


+
=
n
k
k

. Vậy hệ A

phụ thuộc.
3
3. Cơ sở và số chiều
Tập con A (tức là h gồm các phần tử khác nhau từng đôi mt) đợc gọi là cơ sở của
không gian tuyến tính L, nếu:
1. A là độc lập tuyến tính
2. Mỗi phần tử của L đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử
thuộc A.
Từ đại số tuyến tính, ta biết rằng nếu không gian tuyến tính L có một cơ sở với n
phần tử (hay n vectơ) thì mỗi cơ sở khác cũng phải có đúng n phần tử. Trong trờng hợp
này ta nói L là không gian n chiều. Nh vậy, nếu L có một cơ sở vô hạn thì mọi cơ sở
khác đều là vô hạn, và trong trờng hợp đó ta nói L là vô hạn chiều.
Bài tập: 1. Chứng minh rằng với mọi trờng hợp M( ứ) đều tồn tại một không gian
tuyến tính L sao cho cơ sở của nó tơng đơng với M (tức là có cùng lực lợng).
2. Chứng minh rằng hai cơ sở của cùng một không gian luôn cùng lực lợng.
Ví dụ đơn giản nhất là không vô hạn chiều là không gian R

gồm mọi dãy số thực
vô hạn, với phép cộng và phép nhân dãy với một số xác định nh sau:
(a
1
, a
2
) + (b
1
, b
2
, a
2
+ b

2
) (a
1
, a
2
, ) = ( a
1
, a
2
, )
4. Không gian con
Tập nghiệm M (không rỗng) của L đợc gọi là không gian con, nếu với mọi a, b
M và K đều có a + b M và a M. Điều này tơng đơng với việc mọi tổ hợp
tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử trong M cũng thuộc M. Đơng nhiên, chính
không gian con của L cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp t-
ơng ứng từ L lên M). Trong số các không gian con luôn có tập hợp [c] và toàn bộ L,
(các không gian con tầm thờng).
Với A là bộ phận khác

của L, tập hợp L(A) mọi tổ hợp tuyến tính của những hệ
con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A. Đây chính là không gian con hẹp nhất
chứa A và là giao của mọi không gian con chứa A. Nếu A là hệ độc lập thì nó chính là
cơ sở của L(A).
Bài tập: 1. Chứng minh rằng giao (khác

) của (một số tuỳ ý) các không gian con
của L cũng là không gian con.
2. Đối với A. B L, ký hiệu A + B = [x + y x A, y B). Chứng minh ràng nếu
A và B là không gian con thì A + B là không gian con.
4

5. Không gian thơng
Cho A là không gian của L. Trong L xét quan hệ hai ngôi. S nh sau: aSb khi và chỉ
khi a-b A. Dễ thấy S là quan hệ tơng đơng.
Hiệu A-b có thể định nghĩa nh là tổng của a với phần tử đối của b, tức là -b (-1)b)
Dễ thấy lớp tơng đơng chứa phần tử a chính là tập hợp a + A = [a+x x A] Nh
vậy, a + A = b + A. Lớp tơng đơng chứa 0 chính là không gian con A (A= 0 + A = a +
A với mọi a A). Các lớp tơng đơng khác đơng nhiên không phải là không gian con (vì
sao?)
B, C L/S khi đó, tập hợp B + C = {x + y x B, y C} cũng là một lớp tơng đ-
ơng. Thật vậy, lấy a, a B + C khi đó a = x + y và a = x + y với x, x B và y, y
C. Do đó a a = (x x) + (y y) là tổng của hai phần tử thuộc A nên a a
A hay a S a. Mặt khác, lấy a B + C và a L sao choi a a A, ta còn phải chứng
tỏ rằng a B + C. Thật vậy, ta có a = x + y với x B, y C. Lấy x tuỳ ý từ B và đặt
y = a x. Khi đó a = x + y; ngoài ra y y = (a x) (a x) = (a a) +
(x x) là tổng của hai phần tử thuộc A nên cũng thuộc A. Vậy y C, nghĩa là a
B + C. Vậy B + C là lớp tơng đơng. Dễ thấy B + C = (b+c) + A với b và c lấy tuỳ ý tơng
ứng từ B và C.
Tơng tự, nếu B = {

b b B} cũng là lớp tơng đơng và

B = (

b) + A
Nh vậy, trên L/S có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một số có thể chứng
minh rằng các phép toán đó thoả mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính.
Không gian L/S xác định theo cách đó gọi là không gian thơng của L theo không gian
con A và thờng ký hiệu alf L/A
Bài tập: 1. chứng minh rằng nếu L là không gian n chiều và A là không gian k
chiều thì L/A là n-k chiều.

5
.i2 ánh xạ tuyến tính
Liên qụan mật thiếu với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính hay,
nh phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính. Cách gọi thứ hai thờng đợc dùng khi
nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ.
1. Định nghĩa và ví dụ
ánh xạ tuyến tích từ không gian tuyến tích L vào không gian tuyến thích M đợc gọi
là ánh xạ tuyến tích, nếu với mọi a, b L và hia số

, đều có:
(

a + b) =

(a) + (b)
Nếu M chính là trờng số (coi nh không gian tuyến tính trên chính nó) thì đợc gọi
là phiếm hàm tuyến tính trên L. Sau đây là vài ví dụ.
1. ánh xạ từ không gian tuyến tính đợc C[a,b] vào R biến mỗi hàm C
[a,b]
thành

b
a
x)(

dx là phiếm hàm tuyến tính.
2. Một ánh xạ khác từ C
[a,b])
vào R biến thành (a), cũng là phiếm hàm tuyến tính
[a, b] x [a, b]. ánh xạ biến mỗi C

[a, b]
thành g C
[a, b]
xác định nh sau:
g(x) =


x
a
bxadyyfyx )(,)(),(

cũng là ánh xạ tuyến tính.
2. Các tính chất cơ bản
1. ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 là 0.
2. ảnh của x qua ánh xạ tuyến tính là -(x).
3. ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ phụ thuộc.
4. Đơn ánh tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ độc lập.
Thật vậy, giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ L vào M và A là hệ độc lập trong L, B =
f(A) = {f(x) x A}. Giả sử

=
=
n
k
kk
b
1
0

với b

1
, . b
n
B. Do f là đơn ánh nên với mỗi
b
k
thì chỉ có một phần tử a
k
duy nhất từ A sao cho b
k
= f(a
k
) (chú ý: hệ độc lập không
chỉ có hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của L). Đẳng thức

=
=
n
k
kk
b
1
0

có
nghĩa là
00)(
11
=

=

==
n
k
kk
n
k
kk
afhayaf

.
Do f(0) = 0 và f là đơn ánh nên

=
=
n
k
kk
b
1
0

. Từ tính độc lập của A suy ra
1

=
2

n
= 0, nên B độc lập.
5. ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp
f
1
{0} {x L f(x) = 0} chỉ chứa đúng một phần tử 0.
Tập hợp này đợc gọi là nhân của ánh xạ tuyến tính f và ký hiệu là Kerf.
6. Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian n chiều vào một không gian n chiều thì
có tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh là trùng nhau.+
Bài tập: Chứng tỏ rằng nếu L là vô hạn chiều thì đơn ánh tuyến tính từ L vào L có
thể không phải toàn ánh.

=
=
n
k
kk
b
1
0

6
7. Tích hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu f: L M, f: M N thì ánh
xạ tính là ánh xạ h: L sao choi h(x) = g(f(x)). Đặc biệt, tích hai ánh xạ đẳng cấu, tức
là song ánh tuyến tính cũng là đẳng thức.

=

=
n
k
kk
b
1
0

Bài tập: 1. Chứng minh rằng tập hợp Hom(L,M) mọi ánh xạ tuyến tính từ L vào M
cũng là không gian tuyến tính với phép cộng xác định nh sau: (f+g)(x) = f(x) + g(x),
ngoài ra nếu L, M có số chiều lần lợt là l và m thì Hom(L,M) có số chiều là lm.
2. Chứng minh rằng tập hợp Hom(L) gồm mọi ánh xạ tuyến tính từ L và L là vành
có đơn vị với phép cộng (xác định nh trong bài tập 1) và phép nhân ánh xạ.
3. Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính
Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính
M thì ta có L và M đẳng thức với nhau.
Bổ đề: ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi nó biến cơ sở thành cơ sở.
Chứng minh: Giả sử f là đẳng thức từ L vào M và A là cơ sở của L, B = f(A). Do
tính đơn ánh của f nên B là hệ độc lập. Lấy một phần tử tuỳ ý y M. Khi đó tồn tại duy
nhất một phần tử x L sao cho f(x) = y. Vì A là cơ sở tron

=
=
n
k
kk
b
1
0

g L nên x =

=
n
k
kk
a
1

với a
1
, a
n
A. Nhng khi đó ta có y =
)(
1
k
n
k
kk
af

=

. Do f(a
k
) B nên kết
hợp với tính độc lập suy ra B là cơ sở.
Đảo lại: Giả sử ánh xạ tuyến tính f từ L vào M biến mỗi cơ sở thành cơ sở. Khi đó,
nếu A là cơ sở trong L thì B = f(A) là cơ sở trong M. Lấy phần tử tuỳ ý y M. Khi

đó,






===

===
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
afafby
111
)(

với a
k
A nên y có tạo ánh, tức f là toàn
ánh.
Tiếp theo giả sử f(x
1
) = f(x

2
) với x
1
, x
2
L. Vì A là cơ sở nên x
1
và x
2
sẽ biểu thị
tuyến tính qua hai h con hữu hạn A
1
và A
2
của A và ta có thể coi rằng cả x
1
và x
2
cùng
biểu thị tuyến tính qua A
1
A
2
= {a
1
a
n
} tức là x
1
=

=
n
k
kk
a
1
1

và x
2
=

=
n
k
kk
a
1
2

vì
f(x
1
) = f(x
2
) nên

==
=

n
k
kk
n
k
kk
afaf
1
2
1
1
)()(

hay
( )
0)(
1
21
=

=
k
n
k
kk
af

. Do f(A) độc lập
tuyến tính nên suy ra
)2()1(

kk

=
với mọi k = 1, n tức là x
1
= x
2
. Do đó f là đơn ánh;
suy ra f là đẳng thức (đpcm)
Định lý: Hai không gian tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi hai cơ sở tơng ứng
(tuỳ ý) của chúng là cùng lực lợng.
Chứng minh: Giả sử L và M đẳng cấu với nhau và ánh xạ đẳng cấu cụ thể từ L vào
M là f, A và B lần lợt là cơ sở của L và M. Ký hiệu C = f(A). Khi đó C là cơ sở của M
và hiển nhiên A và C cùng lực lợng nên suy ra A và B cùng lực lợng.
Đảo lại: Giả sử cơ sở A của L và cơ sở B của M là cùng lực lợng. Xét một song ánh
tuỳ ý f từ A và B. Ta mở rộng f lên toàn bộ L nh sau: với x =

=

n
k
kkk
Aaa
1
)(

, đặt f(x)
7