Tài liệu ôn thi Giải tích 12 học kỳ 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.5 MB, 80 trang )
Header Page 1 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ II
LỚP 12- NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: GIẢI TÍCH
Quảng Nam, tháng 2 năm 2017
Trần1Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 2 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
A. TÍCH PHÂN
PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Nguyên hàm
1.Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số
F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x) f ( x) , với mọi x K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G( x) F ( x) C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x)
= F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là
f ( x)dx F ( x) C , trong đó
F ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thƣờng gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp u u( x)
kdx kx C, k R
kdu ku C, k R
x
dx
1
.x 1 C ( 1)
1
u
du
1
.u 1 C ( 1)
1
dx
ln x C ( x 0 )
x
du
ln u C ( x 0 )
u
dx
2 x C
x
du
2 u C
u
e dx e
x
x
a dx
x
e du e
C
u
ax
C (0 a 1).
ln a
u
a du
u
C
au
C (0 a 1).
ln a
cos xdx sin x C
cos udu sin u C
sin xdx cos x C
sin udu cos u C
dx
cos
2
x
tan x C ;
dx
sin
2
x
cot x C .
Trần2Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
du
cos
2
u
tan u C ;
du
sin
2
u
cot u C
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 3 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Ngoài ra còn một số công thức thƣờng gặp là.
k
(ax b) dx
1 (ax b) k 1
C , (a 0, k 1);
a k 1
1
1 ax b
e
C;
a
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
e
ax b
1
ax b dx a ln ax b C , a 0.
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
dx
2. Một số tính chất của nguyên hàm
Định lý. Nếu F ( x), G( x) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x) thì
a.
f '( x)dx f ( x) C
b. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx F ( x) G( x) C ;
c. a.f(x)dx a f ( x)dx aF( x) C (a 0) .
3. Một số phƣơng pháp đổi nguyên hàm
a. Phƣơng pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u u( x) có đạo hàm
liên tục trên K và hàm số y f (u) liên tục sao cho f [u ( x)] xác định trên K. Khi đó
nếu
F
là
một
nguyên
hàm
của
f,
tức
là
f (u)du F (u) C
thì
f [u( x)]dx=F[u( x)]+C .
b. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Một số dạng thƣờng gặp:
Dạng 1.
P( x).e
ax b
dx , P( x)sin(ax b)dx , P( x) cos(ax b)dx
Cách giải: Đặt u P( x), dv eax b dx (dv sin(ax b)dx, dv cos(ax b)dx)
Dạng 2.
P( x) ln(ax b)dx
Cách giải: Đặt u ln(ax b), dv P( x)dx.
II. Tích phân
1.Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F ( x)
là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b) F (a) được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b
b
và ký hiệu là
f ( x)dx . Trong trường hợp a b thì
a
b
f ( x)dx
là tích phân của f trên a; b .
a
2.Tính chất Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
Trần3Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 4 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
a
b
f ( x)dx 0
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
b
a
a
k . f ( x)dx k f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
3.Một số phƣơng pháp tính tích phân
Phƣơng pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số
b
u (b )
a
u (a)
f [u( x)]u '( x)dx
f (u )du . Trong
đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp
f [u ( x)] xác định trên J; a, b J .
Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u u( x) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x x(t ) ( x là một hàm số của t).
Đối với nguyên hàm nói chung và tích phân nói riêng cần chú ý một số dấu hiệu dẫn tới việc
lựa chọn ẩn phụ như sau:
Dấu hiệu
Có thể chọn
Hàm số có mẫu
Đặt t là mẫu
Hàm f ( x, ( x))
Đặt t ( x)
Hàm f ( x, n ( x), m ( x))
Đặt t mn ( x)
Hàm f ( x)
asin x b cos x
c sin x d cos x e
Đặt t tan
x
2
Hàm lẻ với sinx
Đặt t cos x
Hàm lẻ với cosx
Đặt t sin x
Hàm chẵn với sinx và cosx
t =tanx
a2 x2
Trần4Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
x | a | sin t , 2 t 2
x | a | cost , 0 t
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 5 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
x2 a2
|a|
x sin t , 2 t 2 ; t 0
x | a | , 0 t ;t
cost
2
x2 a2
x | a | tan t , 2 t 2
x | a | cott , 0 t
ax
hoặc
ax
Đặt x a cos 2t
ax
ax
Đặt x a (b a)sin 2 t
( x a)(b x)
Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số
b
b
a
a
thuộc K thì u ( x)v '( x)dx u ( x)v( x) ba v( x)u '( x)dx
4. Ứng dụng của tích phân
Tính diện tích hình phẳng
Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
b
thị hàm số y f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là S f ( x) dx .
a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) và hai đường
b
thẳng x a, x b là S f ( x) g ( x) dx
a
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .
b
b
a
a
b
b
a
a
Nếu f ( x) 0 , x a ; b thì S f ( x) dx f ( x)dx
Nếu f ( x) 0 , x a ; b thì S f ( x) dx f ( x) dx
Chú ý Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai
cách làm như sau :
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét
dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn
a ; b
Trần5Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 6 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì
f ( x) 0 , x a ; b
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì
f ( x) 0 , x a ; b
b
-Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : S f ( x) dx
a
b
f ( x)dx
a
Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
b
Ox tại các điểm a, b là V S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị
a
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x a; b và S(x) là
một hàm liên tục.
Tính thể tích khối tròn xoay.
Hàm số y f ( x) liên tục và không âm trên a; b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo nên
b
một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V f 2 ( x)dx .
a
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g ( y) , trục tung và hai đường thẳng
y c, y d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi
d
công thức V g 2 ( y )dy .
c
PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ
2
Bài 1: Tính tích phân I
1
x2
x 2 7 x 12
dx
2
2
16
9
Hƣớng dẫn: I 1
dx = x 16 ln x 4 9 ln x 3 1 = 1 25ln2 16ln3 .
x 4 x 3
1
2
Bài 2: Tính tích phân I
1
Hƣớng dẫn: Ta có:
dx
x5 x3
1
1 1
x
3
2
x x
x ( x 1)
x 1
3
2
2
1
1
3
1
3
I ln x 2 ln( x 2 1) ln 2 ln 5
2
2
2
8
2x
1
Trần6Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 7 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
xdx
0
( x 1)3
Bài 3: Tính tích phân I
Hƣớng dẫn:
1
1
x
x 11
( x 1)2 ( x 1)3 I ( x 1)2 ( x 1)3 dx
Ta có:
0
8
( x 1)3 ( x 1)3
Bài 4: Tính nguyên hàm I
( x 1)2
(2 x 1)4
1 x 1
Hƣớng dẫn: Ta có: f ( x ) .
3 2x 1
1
x7
Bài 5: Tính tích phân I
2 5
0 (1 x )
dx
2
3
x 1
1 x 1
.
I
C .
9 2x 1
2x 1
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 x 2 dt 2 xdx I
1 2 (t 1)3
1 1
dt .
5
21 t
4 25
1
Bài 6: Tính tích phân I x 5 (1 x 3 )6dx
0
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 x 3 dt 3x 2dx dx
dt
3x 2
I
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
.
30
3 7 8 168
1
Bài 7: Tính tích phân I x 5 (1 x 3 )6dx
0
11 6
1 t 7 t8
1
I t (1 t )dt
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 x dt 3x dx dx
.
2
30
3 7 8 168
3x
3
2
x 2001
Bài 8: Tính tích phân I
2 1002
1 (1 x )
Hƣớng dẫn: Ta có: I
dt
2
.dx
11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t 1 x 2 dt 2 xdx
2
2000
2
2
2 0 (1 x )
(1 x )
1000
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Bài 9: Tính tích phân I
1 5
2
1
x2 1
x4 x2 1
Trần7Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 8 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
x 1
Hƣớng dẫn: Ta có:
1
I
4
1
1
2
2
x x 1
x2
x2
1
x2
. Đặt t x
1
1
1
dt 1 dx
x
x2
dt
2
du
. Đặt t tan u dt
4
I du
4
cos u
0
Dạng 2: Tích phân hàm vô tỷ
x
dx
Bài 1: Tính nguyên hàm I
2
3x 9 x 1
x
dx x(3x 9 x 2 1)dx 3x 2dx x 9 x 2 1dx
Hƣớng dẫn: Ta có I
2
3x 9 x 1
0t
1
2
Lại có I1 3x 2dx x 3 C1
3
1
1
I 2 x 9 x 1dx 9 x 2 1 d (9 x 2 1) (9 x 2 1) 2 C2
18
27
2
3
1
I (9 x 2 1) 2 x 3 C
27
Bài 2: Tính nguyên hàm I
Hƣớng dẫn: Ta có
Lại có I1
x2 x
1 x x
x2 x
1 x x
x2
1 x x
dx
x2
dx
1 x x
dx
x
1 x x
dx .
dx .
4
Đặt t= 1 x x t 2 1 x x x 3 (t 2 1)2 x 2dx t(t 2 1)dt
3
3
4 2
4 3 4
4
4
(
t
1)
dt
t
t
C
=
1
x
x
1 x x C1
3
9
3
9
3
4
x
2 d (1 x x )
1 x x C2
dx =
Đối với I 2
=
3
3
1 x x
1 x x
4
Vậy: I
9
1 x
x
3
3
Bài 3: Tính tích phân I
C
x 3
dx
3
x
1
x
3
0
Trần8Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 9 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Hƣớng dẫn:
2
2t 3 8t
1t
2
Đặt t x 1 2tdu dx I
3
Bài 4: Tính tích phân I
0
2
2x x 1
x 1
3t 2
2
2
3
1
dt 3 6 ln
2
t 1
1
dt (2t 6)dt 6
1
dx
x 1 t x t 2 1 dx 2tdt
Hƣớng dẫn: Đặt
2
5
x2 1
1
x 3x 1
Bài 5: Tính tích phân I
2
2
4t 5
54
2 (2t 4 3t 2 )dt
2t 3
5
1 5
1
2(t 2 1)2 (t 2 1) 1
2tdt
I
t
1
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t 3x 1 dx
2tdt
3
2
t2 1
1
4
4
4 3
21 3
t 1
100
9
2tdt
t t ln
ln .
I
.
2
93
t 1 2 27
5
3
t 1
2
2
.t
3
5
Bài 5: Tính tích phân I
x2 1
1 x 3x 1
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t 3x 1 dx
2tdt
3
2
t2 1
1
4
4
4 3
21
t 1
100
9
2tdt
t 3 t ln
ln .
I 2
.
93
t 1 2 27
5
3
t 1
2
2
.t
3
1
Bài 6: Tính tích phân I ( x 1)3 2 x x 2 dx
0
1
1
0
0
Hƣớng dẫn: I ( x 1)3 2 x x 2 dx ( x 2 2 x 1) 2 x x 2 ( x 1)dx . Đặt t 2 x x 2
I
2
.
15
2
Bài 7: Tính tích phân I
0
2 x 3 3x 2 x
x2 x 1
Trần9Thông
Footer Page
of 258.sưu tầm và biên soạn
dx
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 10 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Hƣớng dẫn:
Ta có I
1
1
1 x 1 x2
1 (1
x )2 (1 x 2 )
1
1 x 1 x2
1 11
1 x2
dx 1 dx
dx
2
x
2
x
2
x
1
1
1
dx
1 11
1
+ I1 1 dx ln x x |11 1
2 1 x
2
+ I2
1
1
1 x2
dx . Đặt t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2 xdx I2=
2x
Vậy: I 1 .
2
1
2
4 x2
Hƣớng dẫn: Ta có Ta có: I
x
1
I=
t(tdt )
3
4 t2
t 2dt
2
2 2(t 1)
0
4 x2
dx
x
Bài 8: Tính tích phân I
0
2
0
2
xdx . Đặt t =
0
t2
4 x 2 t 2 4 x 2 tdt xdx
t 2
dt (1
)dt t ln
2
t2
t2 4
3 t 4
3
3
4
x2
Bài 9: Tính tích phân I
2
2
0 (1 1 x ) (2 1 x )
0
2 3
.
= 3 ln
2
3
3
dx
4
42 36
4
dt 12 42 ln
Hƣớng dẫn: Đặt 2 1 x t I 2t 16
t
3
t2
3
1
dx
Bài 10: Tính tích phân I
0 (1
3
x 3 ). 1 x 3
3
3
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 x 3 I
3
2
1
3
dt
2
3
1
t 2 . t 3 1 3
t
2
1
2
t2
2
1 4 3
t .(t 1) 3
dt
2
3
1
t 4 1 3
t
Trần10
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
3
dt
1
3
2 1 3
t
t4
1
2
dt
1
2
t .(t
3
2
1) 3
2
3
dt
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 11 of 258.
Đặt u 1
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
3dt
du
t3
1
2
I
t4
0
2 2
Bài 11: Tính tích phân I
2
u 3
3
du
3
1
2
1 2 3
u du
3
0
1
1 u3
1
2
3 1
3 0
1
1 2
u3
0
1
3
2
x4
dx
1 2
x x x 1
Hƣớng dẫn: Đặt t x 2 1
3
I
2
(t 2 1)2
dt =
t2 2
3 4
t 2t 2 1
t2 2
2
Bài 12: Tính tích phân I
27
x x
1
2
2
3
dt t dt
2t
2
x 2
3
3
1
2
2
dt
19
2 4 2
ln
3
4 4 2
dx
Hƣớng dẫn:
3
6
Đặt t x I 5
3
t3 2
2
2 5
2t
1
dt 5 1
dt 5 3 1 ln
2
2
3 12
t t 1 t 1
t(t 1)
1
2
1
Bài 13: Tính tích phân I
2
(x
5
x 2 ) 4 x 2 dx
2
2
( x 5 x 2 ) 4 x 2 dx =
Hƣớng dẫn: I =
2
2
+ Tính A =
x
2
x 5 4 x 2 dx +
2
2
x
2
4 x 2 dx = A + B.
2
5
4 x 2 dx . Đặt t x . Tính được: A = 0.
2
4 x 2 dx . Đặt x 2sin t . Tính được: B = 2 .
2
2
+ Tính B =
x
2
Vậy: I 2 .
3
2
Bài 14: Tính tích phân I
2x4
1
2
3
Hƣớng dẫn: I
4
1 2x
2
+ Tính I1 =
3
1 2x
2
+ Tính I 2
1
4
2
dx
dx =
4 x2
2x4
4 x 2 dx
1
2
4 x2
2x4
dx .
3 4
7
x dx .
21
16
dx . Đặt x 2sin t dx 2cos tdt .
Trần11
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 12 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
I2
2
2
2
1 cos tdt 1
12
3
2 1
cot
t
dt
cot 2 t.d (cot t )
2
4
8 sin t
8
8
8
sin t
6
6
6
1
Vậy: I 7 2 3
16
Bài 15: Tính tích phân I
3
x 2 1dx
2
x
u x 2 1 du
dx
2
Hƣớng dẫn: Đặt
x 1
dv dx
v x
I x x2 1
5 2
3
2
I
3
2
3
x.
2
x 2 1dx
x
x2 1
3
2
dx 5 2
dx
x2 1
2
x 1
2
3
dx
x 2 1
1
5 2 I ln x x 2 1
3
2
5 2
1
ln 2 1 ln 2
2
4
Dạng 3: Tích phân hàm lƣợng giác
8cos2 x sin 2 x 3
dx
Bài 1: Tính nguyên hàm I
sin x cos x
Hƣớng dẫn:
(sin x cos x )2 4 cos2 x
dx sin x cos x 4(sin x cos x dx 3cos x 5sin x C .
sin x cos x
cot x tan x 2 tan 2 x
dx
Bài 2: Tính nguyên hàm I
sin 4 x
2 cot 2 x 2 tan 2 x
2 cot 4 x
cos 4 x
1
Hƣớng dẫn: I
dx
dx 2
dx
C
sin 4 x
sin 4 x
2sin 4 x
sin2 4 x
cos2 x
8
dx
Bài 3: Tính nguyên hàm I
sin 2 x cos2 x 2
Hƣớng dẫn:
1 cos 2 x
1
4 dx
I
2 2 1 sin 2 x
4
I
Trần12
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 13 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
cos 2 x
1
dx
4
dx
2
2 2 1 sin 2 x
sin x cos x
4
8
8
cos 2 x
1
dx
4 dx 1
2 2
3
2 2 1 sin 2 x
sin x
4
8
1
3
ln 1 sin 2 x cot x
4
8
4 2
Bài 4: Tính tích phân I
2
C
dx
3 sin x cos x
3
Hƣớng dẫn: I
1
dx
1
dx
= I
=
.
4
4
3
2 x
1 cos x
2sin
3
3
3
2 6
1
2
Bài 5: Tính tích phân I
6
1
2sin x
0
Hƣớng dẫn: I
0
sin x sin
1
2
6
0
6
6
0
1
sin x sin
cos
3
dx
1
2
6
3
3
dx
6
0
dx
1
2
dx
0 sin x sin
3
3
x x
cos
2 6 2 6 dx
x
x
2 cos .sin
2 6
2 6
x
x
cos
sin
6
2 6 dx 1
2 6 dx ln sin x
x
20
x
2 6
sin
cos
2 6
2 6
6
0
x
ln cos
2 6
6
0
.....
2
Bài 6: Tính tích phân I cos2 x(sin 4 x cos4 x )dx
0
Trần13
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 14 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
2
1
1 2 1
Hƣớng dẫn: I cos2 x 1 sin2 2 x dx 1 sin2 2 x d (sin 2 x ) 0
2 0 2
2
0
Bài 7: Tính tích phân I 2
0
4sin3 x
dx
1 cos x
Hƣớng dẫn:
Ta có
4sin3 x 4sin3 x(1 cos x )
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2 x
1 cos x
sin2 x
I 2 (4sin x 2sin 2 x )dx 2
0
Bài 8: Tính tích phân I
2
1 sin xdx
0
Hƣớng dẫn: I
2
0
2
2
2
x
x
x
x
x
sin cos dx sin cos dx 2 sin dx
2 4
2
2
2
2
0
0
3
2
2
x
x
2 sin dx sin dx 4 2
2 4
2 4
0
3
2
sin 2 xdx
Bài 9: Tính nguyên hàm I
3 4sin x cos2 x
2sin x cos x
t sin x
Hƣớng
dẫn:
Ta
có:
Đặt
I
dx .
2sin2 x 4sin x 2
1
I ln sin x 1
C
sin x 1
dx
Bài 10: Tính nguyên hàm I
sin3 x.cos5 x
dx
dx
Hƣớng dẫn: I 3
8 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
3
1
3
1
C
Đặt t tan x . I t 3 3t t 3 dt tan4 x tan2 x 3ln tan x
t
4
2
2 tan2 x
Bài 11: Tính nguyên hàm I
2011
sin2011 x sin2009 x
sin5 x
cot xdx
Hƣớng dẫn:
2011 1
Ta có: I
1
sin2 x cot xdx
sin 4 x
Trần14
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
2011
cot 2 x
sin 4 x
cot xdx
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 15 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Đặt t cot x I
2
2011
t
(1 t 2 )tdt
4024
8046
2011 2011 2011 2011
t
t
C
4024
8046
4024
8046
2011
2011
cot 2011 x
cot 2011 x C
=
4024
8046
Bài 12: Tính tích phân I sin2 x(2 1 cos2 x )dx
2
Hƣớng dẫn:
2
2
Ta có: I 2sin2 xdx sin2 x 1 cos2 xdx H K
2
+ H 2sin xdx (1 cos2 x )dx
2
2
2
2
2
2
2
+ K sin2 x 2 cos2 x 2 sin2 x cos xdx 2 sin2 xd (sin x )
I
2
2
3
2
3
2
Bài 13: Tính tích phân I
0
sin 2 x
2 sin x
Hƣớng dẫn: I
2
2
dx
sin 2 x
(2 sin x)2
0
3
Đặt t 2 sin x . I 2
2
2
dx 2
0
t 2
t2
sin x cos x
(2 sin x )2
dx .
3
3
1 2
3 2
2
dt 2 dt 2 ln t 2 ln
2 3
t t2
t 2
2
Bài 14: Tính tích phân I
4
0
sin 4 x
6
sin x cos x
Hƣớng dẫn: I
4
0
6
sin 4 x
3
1 sin2 2 x
4
dx
1
4
4
3
2 1
dx . Đặt t 1 sin2 2 x I =
dt = 3 t
4
3 t
1
Trần15
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
1
1
4
2
3
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 16 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Bài 15: Tính tích phân I
cos2 x
Hƣớng dẫn:
I
sin x 1 cos2 x
4
3
4
4
sin x
1 cos2 x .dx
2
cos x
=
0
sin2 x
cos2 x
4
dx
0
sin x
3
dx
sin2 x
cos2 x
2
cos x
sin x dx
dx
sin x
3
0
2
cos x
sin x dx
4
sin x
2
0 cos x
sin x dx
3
7
3 1
12
3
Bài 16: Tính tích phân I
2
3sin x 2 cos x
(sin x cos x )3 dx
0
Hƣớng dẫn:
Đặt x
2
t dx dt I
2
2
3cos t 2sin t
0
2I I I
0
2
2
3sin x 2 cos x
(sin x cos x )3
dx
0
Bài 17: Tính tích phân I
3cos x 2sin x
(cos t sin t)3 dt (cos x sin x)3 dx
3cos x 2sin x
(cos x sin x )3
dx
0
x sin x
2
0 1 cos
x
2
1
(sin x cos x )2 dx 1
0
I
1
2
dx
Hƣớng dẫn:
Đặt x t dx dt I
0
( t )sin t
1 cos2 t
dt
sin t
2
0 1 cos t
dt I
2
2I
dt
I
2
2
4 4
8
0 1 cos t
0 1 cos t
sin t
d (cos t )
Bài 18: Tính tích phân I
3
sin x
0
cos x 3 sin2 x
dx
Hƣớng dẫn:
Đặt t 3 sin2 x =
4 cos2 x . Ta có: cos2 x 4 t 2 và dt
Trần16
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
sin x cos x
2
3 sin x
dx .
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 17 of 258.
I=
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
3
3
sin x
.dx =
cos x 3 sin2 x
0
15
2
1 t2
= ln
4 t2
=
3
sin x.cos x
cos2 x 3 sin2 x
0
1
15 4
ln
ln
4
15
4
15
2
dx =
3
dt
4t
2
=
1
4
15
2
3
1
1
dt
t 2 t 2
3 2
1
=
ln 15 4 ln 3 2
2
3 2
4
tan x
cos x 1 cos2 x
Bài 19: Tính tích phân I
6
Hƣớng dẫn:
Ta có: I
dx
4
6
tan x
2
cos x
1
cos2 x
Đặt u tan x du
4
tan x
cos2 x tan2 x 2
dx
1
6
1
cos2 x
1
dx I
u
2
u 2
1
dx
dx . Đặt t u2 2 dt
u
2
u 2
du .
3
I
3
7
3
dt t
3
7
3
7
3
3
3 7
.
3
Bài 20: Tính tích phân I
3
3
x sin x
cos2 x
dx
Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
I
3
1
x 3
xd
cos x cos x
3
3
3
dx
4
J , với J
cos x
3
3
Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó J
3
Vậy I
3
3
2
dx
cos x
3
dx
cos x
3
1 t 1
1 t 2 2 ln t 1
3
2
dt
3
2
3
2
ln
2 3
2 3
4
2 3
ln
.
3
2 3
Trần17
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 18 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
2
1 sin x x
Bài 21: Tính tích phân I
.e dx
1
cos
x
0
x
x
1 sin x 1 2sin 2 cos 2
1
x
tan
Hƣớng dẫn: Ta có:
x
x
1 cos x
2
2 cos2
2 cos2
2
2
2
x
2
e dx
x
I
e tan dx = e 2
x 0
2
0 2 cos2
2
x
Dạng 3: Tích phân hàm mũ logarit
Bài 1: Tính nguyên hàm I
e2 x
1 e
x
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t e x e x t 2 e x dx 2tdt .
2
2
t3
dt t3 t 2 2t 2 ln t 1 C e x e x e x 2 e x 2 ln e x 1 C
1 t
3
3
( x 2 x )e x
Bài 2: Tính nguyên hàm I
dx
x e x
Hƣớng dẫn:
I 2
I
( x 2 x )e x
xe
x
dx =
xe x .( x 1)e x
x
xe 1
dx . Đặt t x.e x 1 I xe x 1 ln xe x 1 C .
ln(1 x 2 ) x 2011x
Bài 3: Tính nguyên hàm I
dx
2
ln (ex 2 e) x 1
x ln( x 2 1) 2011
dx . Đặt t ln( x 2 1) 1
Hƣớng dẫn: I
2
2
( x 1) ln( x 1) 1
1 t 2010
1
1
1
dt t 1005ln t C = ln( x 2 1) 1005ln(ln( x 2 1) 1) C
I
2
t
2
2
2
e
xe x 1
Bài 4: Tính tích phân J
x
1 x (e ln x )
e
Hƣớng dẫn: J
1
d (e x ln x )
e x ln x
Bài 5: Tính tích phân I
ln 2
0
dx
e
ln e x ln x ln
1
2e3 x e2 x 1
e3 x e2 x e x 1
Trần18
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
ee 1
e
dx
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 19 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
Hƣớng dẫn: I
ln 2
3e3 x 2e2 x e x (e3 x e2 x e x 1)
e3 x e2 x e x 1
0
3ln 2
3 ex 2
0
Hƣớng dẫn: I
x
3
e dx
x
0
3 x
3
e
e
Bài 7: Tính tích phân I
0
2
2
2
. Đặt t
x
3
e
x
1
3 3 1
dt e 3 dx I ln
4 2 6
3
ln15
e2 x 24e x dx
3ln 2
e x e x 1 5e x 3 e x 1 15
1dx
3x 2 x
e e ex 1
dx
3ln 2
3e3 x 2e2 x e x
14
ln 2
ln 2
= ln11 – ln4 = ln
x
0
0
4
= ln(e3 x e2 x – e x 1)
Bài 6: Tính tích phân I
dx =
ln 2
Hƣớng dẫn:
Ta có
4sin3 x 4sin3 x(1 cos x )
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2 x
1 cos x
sin2 x
I 2 (4sin x 2sin 2 x )dx 2
0
Bài 8: Tính tích phân I
2
1 sin xdx
0
Hƣớng dẫn: Đặt t e x 1 t 2 1 e x e x dx 2tdt .
4
4
4
3
7
2
dt 2t 3ln t 2 7ln t 2
3
t 2 t 2
t2 4
3
3
2 3ln2 7ln6 7ln5
ln 3
e2 x dx
Bài 9: Tính tích phân I
x
x
ln 2 e 1 e 2
I
(2t 2 10t )dt
Hƣớng dẫn: Đặt t =
1
I = 2
0
e x 2 e2 x dx 2tdt
1
1
1
d (t 2 t 1)
2t 1
= 2 t 1
dt = 2 (t 1)dt + 2 2
t2 t 1
t2 t 1
0 t t 1
0
0
(t 2 2)tdt
1
1
= (t 2 2t ) 0 + 2 ln(t 2 t 1) 0 = 2ln3 1 .
Bài 10: Tính tích phân I
ln3
2e3 x e2 x
0
e x 4e x 3 1
dx
Hƣớng dẫn:
Đặt t 4e3x 3e2 x t 2 4e3 x 3e2 x 2tdt (12e3x 6e2 x )dx (2e3 x e2 x )dx
Trần19
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
tdt
3
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 20 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
8 ln 5
1 9 tdt 1 9
1
.
I
(1
)dt (t ln t 1) 19
3
3
3 1 t 1 3 1
t 1
Bài 11: Tính tích phân I
ln 5
e2 x
x
e 1
ln 2
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t e x 1 t 2 e x 1 dx
2
2 x 2 x
14
x
Bài 12: Tính tích phân I
4 x 2
2tdt
ex
2
2
t3
20
I 2 (t 2 1)d 2 t
3
1 3
1
dx
Hƣớng dẫn: Đặt t 2 x 2 x 4 x 4 x 2 (2 x 2 x )2 4 I
1
81
ln
4ln 2 25
1
6 x dx
9 x 3.6 x 2.4 x
0
Bài 13: Tính tích phân I
x
3
2 dx
1
Hƣớng dẫn: I
03
2x
2
x
3
3 2
2
e
3
2
x
3
ln15 ln14
1
dt
. Đăt t . I
ln3 ln 2
ln 3 ln 2 1 t 2 3t 2
2
3
ln x 2 ln2 x
dx
x
1
Bài 14: Tính tích phân I
Hướng dẫn Đặt t 2 ln2 x dt
Bài 15: Tính tích phân I
e2
e
Hƣớng dẫn: I
e
2
e
2 ln x
3
13
dx I 3 tdt
x
8
22
dx
x ln x.ln ex
2
e
dx
d (ln x )
=
x ln x(1 ln x ) e ln x(1 ln x )
e
Bài 16: Tính tích phân I
1
3 34 3 24
log32 x
2
x 1 3ln x
e2
1
1
ln x 1 ln x d (ln x ) = 2ln2 – ln3
e
dx
Hƣớng dẫn:
e
log32 x
e
ln x
ln 2
3
e
ln2 x.
ln xdx
2
2
x
ln 1 1 3ln2 x
1 x 1 3ln x
1 x 1 3ln x
1
dx 1
Đặt 1 3ln2 x t ln2 x (t 2 1) ln x. tdt .
3
x 3
I
dx
Trần20
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
dx
1
3
2
.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 21 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
2
1
1 3
4
Suy ra I
t t
9 ln3 2 3
1 27ln3 2
e
x ( x 2)ln x
dx
x(1 ln x )
1
Bài 17: Tính tích phân I
e
e
e
ln x
ln x
dx = e 1 2
dx
Hƣớng dẫn: dx 2
x(1 ln x )
x(1 ln x )
1
1
1
2
t 1
ln x
dx
J
.
Đặt
t
1
ln
x
t dt 1 ln 2 .
x(1 ln x )
1
1
e
Tính J =
Vậy: I e 3 2ln2 .
Bài 18: Tính tích phân I
e3
2 x ln2 x x ln x 2 3
dx
2
x
(1
ln
x
)
e
e3
3
e
1
Hƣớng dẫn: I 3
dx 2 ln xdx 3ln 2 4e3 2e2
x(1 ln x )
e2
e2
ln( x 1 1)
dx
x 1
2 x 1
5
Bài 19: Tính tích phân I
Hƣớng dẫn: Đặt t ln x 1 1 2dt
3
e
Bài 20: Tính tích phân I
1
dx
x 1 x 1
2
(t 2 1)3
dt =
t
1
ln3
dt ln2 3 ln2 2 .
ln 2
3
ln x
dx
x 1 ln x
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 ln x 1 ln x t 2
I
I 2
dx
2tdt và ln3 x (t 2 1)3
x
2 6
2
15
t 3t 4 3t 2 1
1
dt
(t 5 3t 3 3t )dt ln 2
4
t
t
1
1
2
Bài 21: Tính tích phân I es inx .sin 2 xdx
0
2
u sin x
du cos xdx
Hƣớng dẫn: I 2 es inx .sin x cos xdx . Đặt
sin x
cos xdx v esin x
dv e
0
I
2sin xesin x 02
2
sin x
e
.cos xdx
0
Trần21
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
2e 2esin x 02
2
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 22 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
Bài 22: Tính tích phân I x ln( x 2 x 1)dx
0
2x 1
du
dx
2
u ln( x x 1)
x
x
1
Hƣớng dẫn: Đặt
2
dv xdx
v x
2
2
1
x2
1 1 2 x3 x2
I
ln( x 2 x 1)
dx
2
2
0 2 0 x x 1
3
3
1
11
1 1 2x 1
31
dx
ln 3
ln3 (2 x 1)dx
dx
12
2
20
4 0 x2 x 1
4 0 x2 x 1 4
8
ln x
Bài 23: Tính tích phân I
x 1
3
dx
Hƣớng dẫn:
u ln x
dx
8
8
x 1
du
dx
I
2
x
1.ln
x
2
dx 6 ln8 4 ln3 2J
Đặt
x
3
dv
x
v 2 x 1
3
x 1
8
+ Tính J
3
x 1
dx .
x
3
Đặt t x 1 J
3
t
2t
2
1
3
1
1
dt 2
dt
2
t
1
t
1
t
1
2
2
.2tdt 2
t 1 8
2t ln
2 ln3 ln 2
t 1 3
Từ đó I 20ln2 6ln3 4 .
2
Bài 24: Tính tích phân I =
1
ln( x 1)
x2
t2
dx
u ln( x 1) du dx
2
dx
3
x 1 I 1 ln( x 1) 2
dx
3ln 2 ln 3
Hƣớng dẫn: Đặt
dv
1
1
x
( x 1) x
2
v
1
x2
x
1
2
1 x
Bài 25: Tính tích phân I x ln
dx
1
x
0
Trần22
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 23 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
2
du
dx
1 2
1 x
2
1 x
1
2 2
(1 x )
x
dx
Hƣớng dẫn: Đặt u ln 1 x
I x 2 ln
2
1 x 2
2
2
1
x
x
0
0
dv xdx
v
2
1
2
1
2
2
ln 3
x
ln 3
1
ln 3 1 1 2
dx
1
dx
ln
2
8 0 x 1
8 0 ( x 1)( x 1)
8 2 2 3
ln 2 x e x (e x ln 2 x)
.dx
1 ex
e
Bài 26: Tính tích phân I
1
e
e
1
1e
Hƣớng dẫn: Ta có: I ln2 x.dx
e2 x
x
1
dx H K
e
e
2
+ H ln2 x.dx . Đặt: u ln x H e 2 ln x.dx e 2
dv dx
1
1
e
+ K
e2 x
1e
x
x
1
dx . Đặt t e 1 I 2
Vậy: I ee – 2 ln
ee 1
t 1
e 1
dt ee e ln
t
ee 1
e 1
e 1
ee 1
4
Bài 27: Tính tích phân I ln( x 2 9 x)dx
0
4 4
x
u ln x 2 9 x
2
Hƣớng dẫn: Đặt
I x ln x 9 x
dx 2
2
dv
dx
0
0 x 9
Dạng 4: Tích phân tổng hợp nhiều loại hàm số
1
4
3
x
Bài 1: Tính tích phân I x 2e x
dx
1
x
0
1
3
1
Hƣớng dẫn: I x 2e x dx
0
1
4
x
0 1 x
dx .
11 t
1 1 1
1
+ Tính I1 x e dx . Đặt t x I1 e dt et e .
30
3 0 3
3
0
1
+ Tính I 2
2 x3
4
0 1
3
1
x
x
t4
2
dt 4
3 4
0 1 t
dx . Đặt t 4 x I 2 4
2
1
Vậy: I e 3
3
Trần23
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 24 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
1
x
Bài 2: Tính tích phân I
4 x
0
2
e2 x .
4 x 2 x 2 dx.
Hƣớng dẫn:
1
1
x3
I x e2 x dx
0
4 x
0
2
dx I1 I 2
1
+ Tính I1 x e2 x dx
0
1
+ Tính I 2
0
x3
e2 1
4
dx . Đặt t 4 x 2 I 2 3 3
4 x2
16
3
e2
61
I 3 3
4
12
1
x2 1
Bài 3: Tính tích phân I
2
0 ( x 1)
e x dx
Hƣớng dẫn:
2 2
Đặt t x 1 dx dt I
t 2t 2
t2
1
3
Bài 4: Tính tích phân I
x 3 .e
x 2 1
2
2 2
2 e2
et 1dt 1 et 1dt = e 1 e 1
e 2
t2 t
1
dx
1 x2
0
2
2
1
1
Hƣớng dẫn: Đặt t 1 x 2 dx tdt I (t 2 1)et dt t 2et dt et
2
+ J t 2et dt t 2et
1
2
1
J (e2 e)
2
2 2
2
2tet dt 4e2 e 2 tet et dt 4e2 e 2(tet et )
1 1
1 1
1
2
Vậy: I e2
Bài 5: Tính tích phân I
x ln( x 2 1) x 3
Hƣớng dẫn: Ta có: f ( x )
x2 1
x ln( x 2 1)
x2 1
dx
x( x 2 1) x
x2 1
x ln( x 2 1)
x2 1
x
1
1
ln( x 2 1)d ( x 2 1) xdx d ln( x 2 1)
2
2
1
1
1
= ln2 ( x 2 1) x 2 ln( x 2 1) C .
4
2
2
x
x2 1
F( x ) f ( x )dx
Trần24
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
Header Page 25 of 258.
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II
4
Bài 6: Tính tích phân I
4
Hƣớng dẫn: I
0
4
+ Tính I1
ln 9
0
x 9
x2 9
x2 9
4
dx
dx
ln x x 2 9
x2 9
0
dx . Đặt ln x
dx 34
0
x 2 9 u du
x3
x2 9
dx I1 3I 2
1
x2 9
dx
u2 ln 9 ln2 9 ln2 3
2 ln3
2
udu
+ Tính I 2
x3
x 2 9 v dv
dx . Đặt
x2 9
5
I 2 (u2 9)du (
4
ln x x 2 9
4
Vậy I
2
ln x x 2 9 3x 3
ln3
3
0
0
I1
ln x x 2 9 3x 3
x2 9
dx, x 2 v 2 9
u3
5 44
9u)
3 3
3
ln x x 2 9 3x 3
x2 9
0
x
dx I1 3I 2
ln2 9 ln2 3
44
2
e
( x 3 1)ln x 2 x 2 1
dx
Bài 7: Tính tích phân I
2 x ln x
1
Hƣớng dẫn:
e
e
1 ln x
I x dx
dx .
2 x ln x
1
1
2
e
e
x3
e3 1
+ x dx
3 1
3
1
2
e
+
e
e
e2
e3 1
e2
1 ln x
d (2 x ln x )
ln
dx
ln
2
x
ln
x
I
ln
.
Vậy:
1
2 x ln x
2 x ln x
3
2
2
1
1
ln(5 x) x3. 5 x
Bài 8: Tính tích phân I
dx
x2
1
4
ln(5 x)
Hƣớng dẫn: Ta có: I
dx x 5 x .dx K H .
x2
1
1
4
4
+ K
1
ln(5 x)
x2
4
u ln(5 x )
3
dx
dx . Đặt
K ln 4
dv
5
x2
4
+ H= x 5 x .dx . Đặt t 5 x H
1
164
15
3
164
Vậy: I ln 4
5
15
Trần25
Thông
sưu tầm và biên soạn
Footer Page
of 258.
Facebook: Hội Toán Bắc Nam
