Bai tap tong hop on thi vao lop 10 mon toan

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

ÔN TẬP CUỐI ĐỢT
A: HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = mx + 2m - 3 (1)
1) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
2) Với m = -1 thì đồ thị hàm số (1) đi qua những điểm nào trong các điểm sau
đây (0; 5), (-1; 6), (1; 6), (2; -7)
3) Vẽ đồ thị với m = 2.
4) Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định với
mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định đó
5) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là.
x = 1; x = 2 , x = − 2
1
2

6) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x − 5 tại một điểm nằm trên trục
tung.
7) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -2x + 1.
1
2

8) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Oy tại A, cắt Ox tại B sao cho OB = OA
9) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng

3
đơn vị diện tích.
2

HD:

8) Để đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B nên m ≠ 0.
A ( 0; 2m − 3) ⇒ OA = 2m − 3
 − ( 2m − 3) 
2m − 3
B
;0 ÷ ⇒ OB =
m
m



Theo bài ra ta có 2m − 3 = 2
2m − 3
9) 2m − 3 .
=3 ⇔
m
2 m − 3)
* (
m

2


2m − 3
2 
3
⇒ 2m − 3 1 − ÷
= 0 ⇒ m = ; m = ±2
÷
m

m
2


( 2m − 3 )
m

2

( 2m − 3)
=3⇔
m

= 3 ⇒ 4m 2 − 15m + 9 = 0 ⇔ m = 3; m =

1

3
4

2

=3

2m − 3)
hoặc (
m

2

= −3


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.
2m − 3)
* (
= −3 ⇒ 4m 2 − 9m + 9 = 0 PT vô nghiệm
2

m

Bài 2: Cho hàm số y = -2x + m - 1 (1)
1) Vẽ đồ thị hàm số với m = 3.
2) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua những điểm sau đây.
(-1; 3),

(

)

2; −2 2 , (-3; 5), (2; -7)

3) Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số y = -3x + 2 tại điểm nằm
trong góc phần tư thứ II trong hệ trục toạ độ.
4) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = (m2 - 3m)x + 1.
5) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng 4 đơn vị diện tích
6) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x - 2 tại điểm có hoành độ bằng -1.
7) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x + m cắt nhau tại một điểm
nằm trong góc phần tư thứ III của hệ trục tọa độ.

8) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho ∆ AOB cân tại O
Bài 3: Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 1 (1)
1) Tìm m để đường thẳng (1) đi qua điểm

(

2;3

)

2) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (1) luôn đi qua với mọi m.
3) Tìm m để đường thẳng (1) và hai đường thẳng y = 2x + 5; y = -x - 1 đồng qui.
4) Tìm m để đường thẳng (1) cắt Ox tại x = -2
5) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho 2.OB = 3.OA
Bài 4: Cho hàm số y = (1 - 2m)x + m - 2 (1)
1) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x - 3.
2) Tìm m để đồ thị hàm số đồng biến.
3) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 2x - 1 và
y = -x - 4
4) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -1.
5) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua khi m thay đổi.
6) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho OB = OA
2


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

Bài 5: Cho hai điểm A(1; 4), B(-2; 1)
1) Lập PT đường thẳng đi qua A và B
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ.

3) Tìm m để đường thẳng y = (m2 - 2m - 2)x + m + 4 song song với đường thẳng
AB.
Bài 6: Cho hai điểm M(-1; 1), N(-3; -3)
1) Lập PT đường thẳng đi qua M và N
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục toạ độ.
3) Tìm m để đường thẳng y = (m2 + m)x + 2m2 + 3m - 2 song song với đường
thẳng MN đồng thời đi qua điểm C(-3; -6).
Bài 7: Cho hàm số

y = (2m + 1)x + m – 2

1) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua (-1;-5); (m; 2)
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có x = 2 ; x = - 2
4) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm 2 đường thẳng
2x + y = 3 và x + y = 4
5) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y =

1
x–3
2

6) Tìm điểm cố định mà đường thẳng hàm số luôn qua với mọi m
7) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục toạ độ tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện
tích bằng

9
2

8) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho tam giác OAB cân

Bài 8: Cho hàm số

y = (m + 1)x + m + 3 (1)

1) Tìm điểm cố định mà đường thẳng hàm số luôn qua với mọi m
2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua (-2; 3); (1; 6); (m; 2)
3) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -2x + 7; y =

1
x +5
3

4) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có x = 2 +1; x = - 3

3


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

5) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục toạ độ tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có
diện tích là 4 đvdt (hoặc bằng

1
)
2

6) Tìm m để đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x + 5 đồng
qui
7) Tìm m để hàm số đồng biến
Bài 9: Cho hàm số

y = (m – 2)x – 2m + 1

1) Tìm điểm cố định mà đường thẳng hàm số luôn qua với mọi m
2) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có x =

2 -1; x = - 1; x = 2;

4) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua (-2; 1); ( 2 ; 1); ( 2 ; -1); (m; 2); ( 2 -1;-3) ;
(m ;– 3)
5) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục toạ độ tạo với 2 trục 1 tam giác có diện tích
bằng

3
2

6) Tìm m đồ thị hàm số và các đường thẳng 2x - y =5 ; x + 2y = 0 đồng qui
7) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -

1
x +5
3

Bài 10: Cho hàm số: y (m – 2)x + m – 1
1) Tìm điểm cố định mà đường thẳng hàm số luôn qua với mọi m
2) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có x = 2 -1; x = 2
4) Tìm m để để đồ thị hàm số đi qua (3;5); (-2;1); ( 3 +1;1); (m; 5)
5) Đường thẳnghị hàm số cắt trục toạ độ tạo với 2 trục 1 tam giác vuông có

8
3

diện tích bằng 2 (đvdt); ( )
6) Tìm m để đồ thị hàm số và đồ thị các đường thẳng 2x+ 2y =1 ; 3x - y = -5
đồng qui
7) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -

4

2
x–3
3


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

Bài 11: Cho hàm số y =

−1 2
x (P)
2

1) Trong các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số.
A(2; -2), B(4; 8), C(-4; -8), D( ( 2; −1) , E( ( − 2; −1)
2) Với giá trị nào của x thì hàm số nhận giá trị: -2; 8; -18; -4
3) M, N là hai điểm trên (P) có hoành độ lần lượt là -1; -2. Viết PT đường thẳng
đi qua M, N
4) Viết PT đường thẳng đi qua D(-1; 4) và tiếp xúc (P)
1

2

Bài 12: Cho hàm số y = x 2 (P) và điểm A(2; -6)
1) Lập PT đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua A. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt M, N.
2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ hai điểm M, N. Tìm m để x12 + x22 = 36
3) Tìm m để biểu thức Q = x12 + x22 + 8x1x2 - 7 đạt GTNN.
4) Tìm m để x1 - x2 = -6
5) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 13: Cho hàm số y = x 2 (P)
1) Hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2; -1. Viết PT đường thẳng
MN
2) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm E(-1; 2) có hệ số góc m cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
3) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm m thoả mãn x12 + x22 = 7
4) Tìm m để x12 + x22 - 2x1x2(x1 + x2) đạt GTLN.
Bài 14: Cho hàm số y = − x 2 (P)
1) Hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2;

−1
. Viết PT đường thẳng MN
2

2) Tìm toạ độ giao điểm của MN với hệ trục toạ độ.
3) Tìm m để đường thẳng MN cùng với hai đường thẳng y = x - 6 và
y = (2m + 1)x - 2m - 4 đồng qui.
 3



1

Bài 15: Cho hàm số y = x 2 (P) và điểm A 1; ÷
2
2
5


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.
 3



1) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm A 1; ÷ có hệ số góc m luôn luôn
2
cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N với mọi m.
2) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ của M, N. Tìm m để Q = x12 + x22 + x1x2 đạt
GTNN.
3) Tìm m để B = 2(x1 + x2) - x12x22 đạt GTLN.
4) Tìm m để x12 + x22 = 14
5) Tìm m để x1 - x2 = 3
Bài 16: Cho hàm số y = 2 x 2 (P)
1) Gọi A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số. Có hoành độ lần lượt là -1;

1
. Viết
2

PT đường thẳng đi qua hai điểm A, B
2) Xác định toạ độ gaio điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ.

3) Tìm m để đường thẳng y = 4x + 2m - 6 cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2
thoả mãn x12x22 + x12 + x22 = 4
4) Tìm m thoả mãn. 2x1 - x2 = -5
Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương
trình y = −3x + m (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:
1

a) Đường thẳng ( d ) đi qua điểm A 1; − ÷ .


2

b) Đường thẳng ( d ) cắt các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng
9. (Chuyên Vĩnh Phúc: 2015 - 2016)
HD:
1
1

a) Đường thẳng ( d ) đi qua điểm A 1; − ÷ ⇔ − = −3 + m


⇔m=

2

2

1
5
5


. Vậy, m = thì ( d ) đi qua điểm A 1; − ÷ .
2
2
2




b) ( d ) cắt các trục toạ độ tại các điểm A ( 0; m ) và B  ;0 ÷
3 
m

S ∆OAB = 9 ⇔ OA.OB = 18 ⇔ m .

m
= 18 ⇔ m 2 = 54 ⇔ m = ±3 6
3

6


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

B: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
Bài 1: Cho PT x2 - 2(2m + 1)x + 3m2 + m - 2 = 0
1) Chứng minh rằng PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2) Tìm m thoả mãn 3x1 - x2 = -10.
3) Tìm m thoả mãn x12 x2 + x1x22 = 2
4) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lấp với m.

5) Tìm m x1 − x2 = x1 + x2
6) Tìm m để biểu thức A = x1 ( x2 − m ) − mx2 + 7 đạt GTLN
HD:
 x1 + x2 ≥ o


5) x1 − x2 = x1 + x2 ⇒ 

( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 )
2

2

1

1

2 ( 2m + 1) ≥ 0
m ≥ − 2
m ≥ −
⇔
⇔
⇔m=2
2

2
4 x2 x2 = 0
 4 ( 3m + m − 2 ) = 0 m = −1; m = 2

2

2
6) A = x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + 7 = 3m + m − 2 − m ( 4m + 2 ) + 7 = − m − m + 5

Bài 2: Cho PT. x2 - 2(m - 1)x + m2 - m - 3 = 0
1) Tìm m để PT có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT. Tìm m để biểu thức A = x12 + x22 - x1x2 đạt
GTNN.
3) Tìm m để B = x1 + x2 - x1x2 + 3 đạt GTLN.
2
2
4) Tìm GTNN của biểu thức A = x1 + 2 ( m − 1) x2 − 2m

A = m 2 − 3m + 7

Bài 3: Cho PT. x2 - 2mx + m - 7 = 0
1) Chứng minh rằng PT luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2) Tìm m thoả mãn 5x1 + x2 = 6
3) Tìm m thoả mãn x12 + x22 = 26
4) Tìm m để x12 + x22 + x1 + x2 đạt GTNN
5) Tìm m để 7 - 3x1 - 3x2 - x12x22 đạt GTLN
6) Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu.
7) Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dấu dương.
7


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

8) Tìm m để x1(2 - x2) + x2(2 - x1) - 5 > 0
9) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập đối với m
10) Tìm m để x1 − x2 = 6 (ĐS: m = -1; m =2)

11) Tìm m để x12 + 2mx2 < 3m 2 + 2m + 5
12) Tìm m x1 − x2 = x1 + x2
2

13) Tìm m để biểu thức Q = x 2 + ( 3x + 2m ) x − 5 đạt GTLN
1
1
2
Bài 4: Cho PT. x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 Có hai nghiệm x1, x2.
1) Tìm m thoả mãn 3x1 - x2 = 6
2) Tìm m thoả mãn x12 + x22 + x1x2(x1 + x2) = 4
3) Tìm m để x12 + x22 - x1 - x2 + 5 đạt GTNN
4) Tìm m để x1 + x2 - x12x22 + 2011 đạt GTLN
5) Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu.
6) Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dấu âm.
7) Tìm m để x1(1 - x2) + x2(1 - x1) > 6
1

1

8) Tìm m ∈ Z để biểu thức A = x + x ∈ Z
1
2
9) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập đối với
10) Tìm m để x1 − x2 = 4
2
11) Tìm m để x1 + 2 ( m − 1) x2 = 7

3

12) Tìm m để biểu thức A = x ( m − x ) + m ( x + 1) đạt GTLN
1
2
2
HD:
3

32

12) A = m ( x + x ) − x x + m = 2m 2 + 3
1
2
1 2
Bài 5: Cho phương trình (ẩn x) : x 2 − 3(m + 1) x + 2m 2 + 5m + 2 = 0 .Tìm giá trị m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 thỏa mãn x1 + x2 = 2 x1 − x 2 .
(Chuyên Ngữ: 2014 -2015)
HD:
8


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

∆ = ( m − 1) ≥ 0∀m
2

x 1 + x2 = 2 x 1 − x2 ⇒ ( x1 + x2 ) = 4 ( x1 − x2 ) ⇔ 3x12 + 3x2 2 − 10 x1 x2 = 0
2

2

⇔ 3 ( x1 + x2 ) − 16 x2 x2 = 0 ⇔ 27 ( m + 1) − 16 ( 2m 2 + 5m + 2 ) = 0
2

2

⇔ 5m 2 + 26m + 5 = 0 ⇔ m1 =

−1
−5
; m2 =
10
2

Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 − 5x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thoả mãn x12 − 2x1 x2 + 3x2 = 1 (1). (Vào lớp 10 HD năm 2016 - 2017)

HD:
Có: ∆ = 37 - 4m, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ m <

37
4

Theo Vi-et có : x1 + x2 = 5 (2) và x1x2 = m - 3 (3)
Từ (2) suy ra x2 = 5 - x1, thay vào (1) được 3x12 - 13x1 + 14 = 0, giải phương trình tìm
được x1 = 2 ; x1 =

7
.
3

+) Với x1 = 2 tìm được x2 = 3, thay vào (3) được m = 9.
+) Với x1 =

7
8
83
tìm được x2 = , thay vào (3) được m =
.
3
3
9

Bài 7: Cho PT. x2 - 7x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2
1) Lập PT bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
2) Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x1 − x2 − 2 x2 − x1
Bài 8: Cho PT. 2x2 - 5x + 1 = 0 có hai nghiệm là x1; x2
1) Không giải PT hãy tính giá trị của biểu thức.
A = x1 + x2

B = x1 x2 + x2 x1

C = x1 x1 + x2 x2
x1

x2

2) Lập PT bậc hai có hai nghiệm là x12 - x2 và x22 - x1; x − 1 và x − 1
2
1
C: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

 x + y = 2m − 1
3 x − y = 2m + 5

Bài 1: Cho hệ PT 

1) Giải hệ PT với m = 3
9


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn.
a) A = x2 + y2 đạt GTNN.
b) B = 2x - y2 đạt GTLN.
c) C = xy đạt GTNN.
 mx + 4 y = m + 2
có nghiệm duy nhất (x; y)
 x + my = m

Bài 2: Cho hệ PT 

1) Tìm m ∈ Z để x ∈ Z ; y ∈ Z
2x + y

2) Tìm m ∈ Z để 2 y − x nhận giá trị nguyên.
3) Tìm m để y2 - 2x = 2
4) Tìm m để 3x - y > 2
5) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
D: Phương trình.
Bài 1: Giải các phương trình sau.

1) 4 x 2 − 4 x + 1 = 2011
2) x 2 − 6 x + 9 = 2011
3) x 2 + 4 x + 4 = 2012
4) 4 x 2 − 12 x + 9 = 2015
5) 9 x 2 − 6 x + 1 = 2013
Bài 2: Giải các phương trình sau.
1)

x +1 = 2

2) 3x 2 + 2 x + 4 = 3
3) 14 − x − 2 x 2 = 2
4) 2 x 2 + 5 x + 6 = 3
5) x 2 + 5 x − 9 − 5 = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau.
1) 7 − 3x = 2 + x
2) 6 − x + 2 x + 3 = 0
10


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

2x + 5 = 2x - 1
4) 2x + 8 2x - 1 = 21
5) x - 2 x - 1 = 16
3)

Bài 4: Giải các phương trình sau.
2
1) x − 3 ( x − 49 ) = 0

2
2) x − 5 ( x − 81) = 0
2
3) x − 2 ( x − 16 ) = 0

Bài 5: Giải các phương trình sau.
1) x - 7 = 4
2) 5x + 2 = 7
3) - 2x + 3 = 4

8) 2 - 3x = 2(x - 3)
9) 5 − 2x = 1 − x

4) x - 2 = x + 2
5) - 2x = 4x + 5
6) 2 - 3x = 4x - 1

11) 3x - 1 − 2x + 3 = 0

10)│2 – 3x│= │5 – 2x│

12) x + 1 = x ( x + 1)

13) x 2 + 6 x + 9 = 4 x 2 − 4 x + 1
7) 7 - 3x = 3x + 2
Bài 6: Cho phương trình x 2 − mx − 1 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức : P =

x12 + x1 − 1
x1

x22 + x2 − 1
−
(Vào 10 TPHCM: 2014-2015)
x2

HD:
a) Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức :
P=

x12 + x1 − 1
x1

Do đó P =

−

x22 + x2 − 1
Ta có x12 = mx1 + 1 và x 22 = mx 2 + 1 (do x1, x2 thỏa 1)
x2

mx1 + 1 + x 1 − 1 mx 2 + 1 + x 2 − 1 (m + 1)x1 (m + 1)x 2
−
=
−

= 0 (Vì x1.x 2 ≠ 0 )
x1
x2
x1
x2

Bài 7: Cho phương trình x 2 + 2(m + 1) x − 2m 4 + m 2 = 0 (m là tham số)
11


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
(Vào 10 Nghệ An: 2014 - 2015)
HD:
b) Ta có:
2

2

1
1
1
1


∆ ' = 2 m + 2m + 1 = 2m − 2m + + 2m 2 + 2m + = 2  m 2 − ÷ + 2  m + ÷ ≥ 0, ∀m
2
2

2
2


 2 1
m − 2 = 0
Mà ∆ ' = 0 ⇔ 
vô nghiệm
m + 1 = 0

2
∆
'
>
0,
∀
m
Do đó
. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
4

4

2

2
Bài 8: Cho phương trình: x − 2 ( m − 1) x − m − 6 = 0 (với m là tham số).
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
điều kiện: B = x1 + x2 − 2 x1 x2 − x12 − 4 x22 đạt giá trị lớn nhất?
(Chuyên Tin Phú Thọ: 2014 - 2015)

HD:
Ta có ∆ / = ( m − 1) + m + 6 = m2 − m + 7
2

1 
1

=  m 2 − m + ÷+  7 − ÷
4 
4

2

1  27

= m − ÷ +
> 0, ∀m
2
4

Vậy ∆ / > 0, ∀m do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Ta có B = x1 + x2 + 2 x1x2 − ( x1 + 2 x2 )

2

Áp dụng định lý Viet ta có
 x1 + x2 = 2 ( m − 1) ( 1)

( 2)

 x1 x2 = −m − 6
Từ (1) và (2) suy ra x1 + x2 + 2 x1 x2 = −14.
Do đó B = −14 − ( x1 + 2 x2 ) ≤ −14, ∀x1 , x2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = −2 x2 ( 3)
Từ (1) và (3) suy ra x2 = −2 ( m − 1) , x1 = 4 ( m − 1) . Thay vào (2) ta được
−8 ( m − 1) = − m − 6 ⇔ 8m 2 − 17 m + 2 = 0
2

12


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu.

1
Từ đó tìm được m = 2, m = .
8
2
Bài 9: Cho PT x − 5 x + m − 2 = 0
 1

1 

+
÷= 3
Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn 2 
x2 ÷
 x1


HD:
V> 0
33

ĐK để PT có hai nghiệm dương phân biệt là  x1 + x2 > 0 ⇔ 2 < m <
4
 x .x > 0
 1 2
 1
1 
2
+
÷= 3 ⇔
 x
÷
x
2 
 1
⇔ x1 + x2 + 2 x1 x2 =

x1 + x2 =

3
x1 x2 ⇔
2

(

x1 + x2

)

2

9
9
x1 x2 ⇔ 5 + 2 m − 2 = ( m − 2 ) ⇔ m = 6
4
2

Bài 10: Cho PT

13

2

3

=
x1 x2 ÷
2
