Tính toán dao động của tấm trên nền

MỤC LỤC
MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG BIỂU
DANH MỤC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ........................................................................... 4

1.1 Mục đích, tầm quan trọng, các vấn đề cơ bản của tính toán dao động của
tấm trên nền ................................................................................................. 4
1.2 Lý thuyết tấm và lý thuyết nền (mô hình nền)........................................ 5
1.2.1 Lý thuyết tấm ................................................................................... 5
1.2.2 Lý thuyết nền ................................................................................. 12
1.2.3 Lý thuyết tấm trên nền ................................................................... 18

1.3 Bài toán dao động ................................................................................ 30
1.3.1 Khái niệm và phân loại bài toán dao động .................................... 30
1.3.2 Các bài toán dao động ................................................................. 33

1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn. .................................................... 44

CHƯƠNG II: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM TRÊN NỀN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ..................................................... 47
2.1 Phương pháp phân tử hữu hạn trong tính toán kết cấu ......................... 47
2.1.1 Tính kết cấu theo mô hình tương thích .............................................. 49
2.1.2 Tính kết cấu chịu tải trọng động........................................................ 53

2.2 Tính kết cấu tấm trên nền chịu tác dụng của tải trọng động ................. 53
2.3 Phần mềm Sap 2000 – tính kết cấu theo phương pháp PTHH .............. 54

2.3.1 Xác định tần số dao động riêng bằng Sap 2000 ............................. 54

2.3.2 Trình tự phân tích kết cấu chịu tải trọng động bằng Sap2000 ....... 54

2.5 Tính toán dao động của tấm trên nền bằng phần mềm sap2000 ........... 56


CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA DAO
ĐỘNG ĐẾN CÔNG TRÌNH TRẠM BƠM ĐỒNG KỴ VÀ TRẠM BƠM
LÀNG VÕ.................................................................................................... 58
3.1 Giới thiệu công trình trạm bơm Đồng kỵ và trạm bơm làng Võ. ......... 58

3.1.1 Giới thiệu trạm bơm Đồng kỵ và làng Võ ...................................... 58

3.1.2 Đặc điểm địa chất tỉnh Bắc Ninh. .................................................. 58
3.1.3 Đặc điểm kết cấu trạm bơm làng Võ và Trạm bơm Đồng Kỵ ......... 60

3.2 Mô hình hóa bài toán và các số liệu đầu vào. ....................................... 61
3.2.1 Mô hình bài toán ........................................................................... 61
3.2.2 Các điều kiện biên của bài toán: ................................................... 62

3.3 Tính toán dao động của trạm bơm Làng Võ và trạm bơm Đồng Kỵ ..... 62

3.3.1 Tính toán dao động cho hai trạm bơm ........................................... 62
3.3.2 Tấn số dao động tự do ................................................................... 67

3.3.3 Dao động cưỡng bức của tấm dưới tác dụng của lực kích thích .... 69

3.4 Phân tích ảnh hưởng củ các yếu tố đến sự làm việc của kết cấu. .......... 72

3.4.1 Phân tích sự ảnh hường của hệ số nền đến tần số dao động riêng
của tấm. ................................................................................................. 72

3.4.2 Phân tích sự ảnh hưởng của kích thước đến tần số dao động riêng
của tấm .................................................................................................. 73

3.4.3 Phân tích sự ảnh hưởng của hình dạng tấm đến tần số dao động
riêng của tấm. ........................................................................................ 79
3.4.4 Phân tích sự ảnh hưởng của tương quan độ cứng của tấm dao động
riêng....................................................................................................... 84

3.5 Tổng hợp các kết quả tính toán, phân tích mối liên hệ giữa các thông số
ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm. .......................................... 87
KẾT LUẬN.................................................................................................. 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 91


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1: Hệ số nền ko ................................................................................ 14
Bảng 1.2: Giá trị của các hằng số đàn hồi của nền tạo bởi các vật liệu khác
nhau ............................................................................................................. 27
Bảng 3.1: Bảng chu kỳ và tần số dao động riêng của trạm bơm Làng Võ. .... 67
Bảng 3.2: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH3 .................................... 72
Bảng 3.3: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH4 .................................... 72
Bảng 3.4: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH5 .................................... 73
Bảng 3.5: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH6 .................................... 74
Bảng 3.6: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH7 .................................... 74
Bảng 3.7: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH8 .................................... 74
Bảng 3.8: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH9 .................................... 75
Bảng 3.9: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH10 .................................. 77
Bảng 3.10: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH11 ................................ 77
Bảng 3.11: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH12 ................................ 77

Bảng 3.12: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH13 ................................ 78
Bảng 3.13: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH14 ................................ 79
Bảng 3.14: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH15 ................................ 79
Bảng 3.15: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH16 ................................ 80
Bảng 3.16: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH17 ................................ 81
Bảng 3.17: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH18 ................................ 81
Bảng 3.18: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH19 ................................ 82
Bảng 3.19: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH20 ................................ 82
Bảng 3.20: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH21 ................................ 82
Bảng 3.21: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH22 ................................ 83
Bảng 3.22: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH23 ................................ 85
Bảng 3.23: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH24 ................................ 86
Bảng 3.24: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH25 ................................ 86
Bảng 3.25: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH26 ................................ 86


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Mô hình tấm ................................................................................... 5

Hình 1.2: Sơ đồ mạng lưới sai phân ............................................................... 8
Hình 1.3: Mô hình nền ................................................................................. 13
Hình 1.4: Mô hình nền Winkler .................................................................... 13
Hình 1.5: Quy luật phân bố hệ số nền ........................................................... 17
Hình 1.6: Tấm chữ nhật trên nền đàn hồi...................................................... 20
Hình 1.7: Mô hình tính độ võng của tấm chữ nhật chịu tải trọng ngang........ 23
Hình 1.8: Mô hình tính của tấm chữ nhật chịu tải cách đều nhau.................. 26

Hình 2.1. Sơ đồ giải bài toán kết cấu theo phương pháp PTHH .................... 52
Hình 2.2 Định nghĩa tải trọng ....................................................................... 55
Hình 2.3 Định nghĩa hàm lực kích thích ....................................................... 55

Hình 2.4 Định nghĩa tải trọng lực kích thích................................................. 56
Hình 3.1: Cắt ngang tổ máy trạm bơm làng Võ ............................................ 60
Hình 3.2: Mặt bằng trạm bơm làng Võ ......................................................... 60
Hình 3.3: Cắt ngang tổ máy trạm bơm Đồng Kỵ .......................................... 61
Hình 3.4: Mặt bằng trạm bơm Đồng Kỵ ....................................................... 61
Hình 3.5: Mô hình hóa tấm trong Sap2000 ................................................... 63
Hình 3.6: Bảng thuộc tính vật liệu ................................................................ 63
Hình 3.7: Bảng thuộc tính mặt cắt ................................................................ 64
Hình 3.8: Bảng định nghĩa tải trọng.............................................................. 64
Hình 3.9: Bảng định nghĩa hàm tải trọng động ............................................. 65
Hình 3.10: Bảng định nghĩa tải trọng động ................................................... 65
Hình 3.11: Bảng gán liên kết cho đối tượng ................................................. 66
Hình 3.12: Bảng gán giá trị tải trọng động................................................... 66
Hình 3.13 Dạng dao động thứ nhất của sàn trạm bơm làng Võ ..................... 67
..................................................................................................................... 68
Hình 3.14 Dạng dao động thứ hai của sàn trạm bơm làng Võ ...................... 68
..................................................................................................................... 68
Hình 3.15 Dạng dao động thứ ba của sàn trạm bơm làng Võ ....................... 68
Hình 3.16 Dạng dao động thứ tư của sàn trạm bơm làng Võ ........................ 69


Hình 3.17: Mô men uốn M11 của tấm móng trạm bơm làng Võ................... 70
Hình 3.18: Mô men uốn M11 của tấm móng trạm bơm làng Đồng Kỵ khi
chưa xử lý nền .............................................................................................. 70
..................................................................................................................... 71
Hình 3.19: Mô men uốn M11 của sàn trạm bơm làng Đồng Kỵ khi đã xử lý
..................................................................................................................... 71
Hình 3.20: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ số nền và tần số dao động riêng 73
Hình 3.21: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dài một cạnh hình vuông của
tấm và tần số dao động riêng ........................................................................ 76

Hình 3.22: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dày của tấm và tần số dao
động riêng .................................................................................................... 78
Hình 3.23: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa kích thước của tấm và tần số dao

động riêng .................................................................................................... 80
Hình 3.24: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hình dạng của tấm và tần số dao động
riêng ............................................................................................................. 83
Hình 3.25: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa độ cứng của tấm và tần số dao động
riêng ............................................................................................................. 87


1

1. Tính cấp thiết của đề tài:

MỞ ĐẦU

Bài toán dao động công trình rất hay gặp trong xây dựng và đã được

nghiên cứu qua rất nhiều công trình khoa học về mặt lý thuyết cũng như bằng
thực nghiệm. Đặc biệt việc nghiên cứu càng trở nên quan trọng dao động

công trình ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của công trình, tuổi thọ của công
trình, sức khỏe của người làm việc và sử dụng của công trình đó.

Với những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm,

tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bề mặt của cống, tác dụng
của gió, động đất… Tính chất tải trọng động nói chung và tải trọng dao động
nói riêng tác dụng lên CTLT thường rất lớn và liên tục trong thời gian dài gây

ra những bất lợi cho công trình như làm tăng nội lực, ứng suất, biến dạng rất
lớn và gây hiện tượng mỏi làm giảm tuổi thọ. Để hạn chế ảnh hưởng của dao

động đến công trình có rất nhiều phương pháp, ví dụ như: lắp thêm các thiết
bị chống rung, thay đổi độ cứng các liên kết, xử lý điều chỉnh thiết bị động

cơ… Tuy nhiên độ ổn định của nền ảnh hưởng đến sự làm việc của công trình

đặt trên nó. Thực tế đã xẩy ra rất nhiều các hư hỏng; sụt lở các công trình thủy
lợi mà nguyên nhân chủ yếu là do kết cấu nền móng yếu… Vì vậy các công

trình xây dựng trên các nền đất yếu cần phải xử lý để đảm bảo hệ số nền đủ
lớn để giữ cho nó làm việc bình thường dưới tác dụng của tải trọng động.

Xuất phát từ thực tế đó luận văn tiến hành đi sâu nghiên cứu, tính toán dao

động của tấm trên nền trong công trình thủy lợi, trong đó nghiên cứu tính toán

với các hệ số nền khác nhau. Từ đó áp dụng vào các

công trình thủy lợi

thực tế của nước ta.

Hiện nay có nhiều phương pháp tính toán dao động của tấm trên nền,

trong đó có xét sự làm việc đồng thời giữa đất nền và hệ kết cấu công trình
bằng phương pháp phần tử hữu hạn với việc sử dụng kết hợp cùng một số
phần mềm chuyên dụng như SAP2000, Plaxis; Geo slope… cho ta kết quả

2

chính xác với các bài toán phức tạp với nhiều dạng dao động phức tạp. Qua

những kiến thức đã học trong chương trình đào tạo cao học, tác giả đưa ra

hướng nghiên cứu trong luận văn: kết hợp giữa môn học động lực học công

trình; môn học phương pháp số và địa kỹ thuật xử lý nền móng để có được
cái nhìn tống quát bài toán dao động của tấm trên nền đàn hồi. Áp dụng kết

quả nghiên cứu cho công trình trạm bơm Đồng Kỵ và Làng Võ đề làm sáng tỏ
thêm các luận cứ mà luận văn đưa ra.
2. Mục đích của Đề tài:

Nghiên cứu sự làm việc của công trình khi chịu tải trọng động. Ảnh

hưởng của dao động đến tải trọng tác dụng lên công trình. Sự thay đổi nội lực,

ứng suất, biến dạng của kết cấu khi chịu tải trọng dao động. Nghiên cứu ảnh
hưởng của hệ số nền đến khả năng chịu lực của công trình khi chịu tải trọng

động. Nghiên cứu bài toán dao động bằng phương pháp số.
3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu:

- Áp dụng kiến thức đã học trong chương trình đào tạo cao học để giải

quyết các bài toán trong thực tế.

- Vận dụng kiến thức động lực học công trình nghiên cứu các bài toán

dao động.

- Kết hợp với môn học phương pháp số đưa ra công cụ giải quyết bài

toán dao động.

- Từ kiến thức địa kỹ thuật đánh giá trạng thái, tính chất của nền đất khi

chịu tải trọng động.

4. Kết quả dự kiến đạt được:

- Giới thiệu được tổng quan về bài toán dao động của tấm trên nền.
- Tính toán dao động của tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

- Sử dụng được phần mềm SAP2000 để tính dao động của tấm trên nền.

- Tính toán dao động cho công trình cụ thể là trạm bơm Đồng Kỵ và

trạm bơm Làng Võ.


3

- Từ kết quả tính toán đưa ra các nhận xét, lưu ý trong việc tính toán

công trình khi chịu tải trọng dao động.

4

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
1.1 Mục đích, tầm quan trọng, các vấn đề cơ bản của tính toán dao động
của tấm trên nền
Bài toán dao động công trình rất hay gặp trong xây dựng và đã được

nghiên cứu qua rất nhiều công trình khoa học về mặt lý thuyết cũng như bằng
thực nghiệm. Đặc biệt việc nghiên cứu càng trở nên quan trọng dao động

công trình ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của công trình, tuổi thọ của công
trình, sức khỏe của người làm việc và sử dụng của công trình đó.

Với những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm,

tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bề mặt của cống, tác dụng
của gió, động đất… Tính chất tải trọng động nói chung và tải trọng dao động
nói riêng tác dụng lên CTLT thường rất lớn và liên tục trong thời gian dài gây

ra những bất lợi cho công trình như làm tăng nội lực, ứng suất, biến dạng rất
lớn và gây hiện tượng mỏi làm giảm tuổi thọ. Để hạn chế ảnh hưởng của dao

động đến công trình có rất nhiều phương pháp, ví dụ như: lắp thêm các thiết
bị chống rung, thay đổi độ cứng các liên kết, xử lý điều chỉnh thiết bị động

cơ… Tuy nhiên độ ổn định của nền ảnh hưởng đến sự làm việc của công trình

đặt trên nó. Thực tế đã xẩy ra rất nhiều các hư hỏng; sụt lở các công trình thủy

lợi mà nguyên nhân chủ yếu là do kết cấu nền móng yếu… Vì vậy các công

trình xây dựng trên các nền đất yếu cần phải xử lý để đảm bảo hệ số nền đủ
lớn để giữ cho nó làm việc bình thường dưới tác dụng của tải trọng động.

Bài toán dao động của tấm trên nền là một vấn đề phức tạp, liên quan

đến nhiều yếu tố như tính chất tải trọng, hình dạng kích thước vật thể, và tính

chất của nền. Cho đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu về lý thuyết cũng như

thực nghiệm về vấn đề này. Các nghiên cứu lý thuyết tập trung giải quyết các

bài toán tổng quát về lý thuyết tấm và tấm trên nền đàn hồi. Các bài toán dao

động của tấm thường dựa trên lời giải của bài toán tĩnh bổ sung thêm hàm

thời gian. Các nghiên cứu thực nghiệm đi sâu nghiên cứu các bài toán cụ thể,


5

trong những trường hợp cụ thể về tính chất tải trọng điều kiện nền và hình

dạng của tấm. Do đó rất khó có thể khái quát thành một quy luật, lời giải tổng
quát.
Trong lĩnh vực công trình thủy lợi nói riêng mặc dù các bài toán dao

động của tấm trên nền rất hay gặp trên thực tế. Nhưng các nghiên cứu về vấn
đề này vẫn còn rất ít. Các tiêu chuẩn quy phạm phần lớn đều chưa đề cập đến

vấn đề này. Những điều đò đòi hỏi phải cần nhiều thêm các nghiên cứu về dao

động của tấm trên nền trong các công trình thủy lợi tại thời điểm hiện nay.
1.2 Lý thuyết tấm và lý thuyết nền (mô hình nền)
1.2.1 Lý thuyết tấm [3]

Tấm là vật thể có một chiều nhỏ hơn rất nhiều so với 2 chiều còn lại.

Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai đáy. Bề dày h là chiều cao hình
lăng trụ.

Hình 1.1: Mô hình tấm
Có thể phân ra các loại bài toán tấm sau:
+ Phân loại theo tải trọng tác động:

Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi khi các tải trọng nằm trong mặt

phẳng trung bình, gồm bài toán ứng suất phẳng (tấm tường, đĩa mỏng) và bài
toán biến dạng phẳng (tường chắn, vỏ hầm, ống dầy...).

Bài toán uốn tấm khi tải trọng có phương vuông góc mặt trung bình. Thí

dụ bài toán các bản sàn, vách thân và đáy tầu...

Bài toán gồm cả hai loại tải trọng trên: trong phạm vi tuyến tính (biến
dạng bé) có thể sử dụng nguyên lý cộng tác dụng tách riêng hai bài toán,
trong bài toán phi tuyến (biến dạng lớn) phải xét đồng thời.

6

+ Phân loại theo chiều dày tấm:
Tấm dầy khi

h 1
> , đây là bài toán ba chiều (độ lớn của ứng suất theo
a 5

ba phương là cùng cấp).
Tấm mỏng khi

h 1
≤ , ứng suất theo phương bề dầy của tấm là nhỏ hơn
a 5

rất nhiều so với ứng suất theo hai phương còn lại và có thể bỏ qua trong tính

toán (bỏ qua các ứng suất σzz so với σxx, σyy). Tuỳ thuộc tính chất làm việc
của tấm khi chịu tải trọng ngang và tải trọng trong mặt trung bình, có thể chia
tấm mỏng ra làm các loại khác nhau:

Tấm mỏng cứng: khi chịu tác động của tải trọng ngang mặt trung bình

của tấm chỉ chịu uốn, thay đổi độ cong, không chịu kéo hoặc nén. Biến dạng
của tấm là bé.

Tấm mềm: khi chịu tải trọng ngangmặt trung bình không chỉ thay đổi độ

cong, chịu uốn, mà còn cả biến dạng màng. Biến dạng của tấm là lớn.

Tấm tuyệt đối mềm, màng mỏng: tấm không có khả năng chịu uốn, chỉ

tồn tại các ứng lực kéo.

+ Phân loại theo lĩnh vực nghiên cứu

Tĩnh học (tính toán ứng suất biến dạng khi chịu tải trọng không kể lực
quán tính của các khối lượng vật chất).

Động lực (phản ứng của tấm khi chịu các tải trọng có kể lực quán tính

của các khối lượng vật chất, dao động tự do).

Ổn định (khả năng bảo toàn trạng thái phẳng khi chịu các lực nằm trong

mặt phẳng trung bình)
a. Các giả thiết của lý thuyết tấm mỏng, biến dạng bé
Chuyển vị và biến dạng của tấm là bé. Bỏ qua chuyển vị u, v của mặt
trung bình (không có biến dạng trong mặt trung bình).
Pháp tuyến thẳng và vuông góc mặt trung bình (giả thuyết Kirchoff),

đoạn chiều dài nằm trong bề dầy là không thay đổi.


7

Ứng suất pháp σzz theo phương vuông góc mặt trung bình là rất nhỏ so

với các ứng suất khác nên có thể bỏ qua trong tính toán.

Những giả thiết này trong Lý thuyết tấm hoàn toàn tương tự với những
giả thiết trong lý thuyết uốn thanh của môn Sức bền vật liệu như là giả thiết
tiết diện phẳng Bernoulli, giả thiết thớ dọc không tác dụng tương hỗ.
b. Phương trình Sophie- Germain
Phương trình cần bằng:
2
∂2M x
∂2H ∂ M y
+2
+
+ p=0
∂x∂y
∂x 2
∂y 2

Ứng lực

Mx = -D (

∂2w
∂2w
+
µ
)
∂x 2
∂y 2

My = -D (

∂2w
∂2w
+
µ
)
∂y 2
∂x 2

H = -(1-µ)D

(1.1)

(1.2)

∂2w
∂x∂y

Qx = − D

∂
(∇ 2 w)
∂x

Qy = − D

∂
(∇ 2 w)
∂y

Thay ứng lực (1.2) vào phương trình cân bằng (1.1) ta nhận được

phương trình mang tên Sophie-Germain, là phương trình để giải của bài toán
tấm mỏng cứng:
∇ 4 w = ∇ 2∇ 2 w =

∂4w
∂4w
∂4w p
+
2
+
=
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D

(1.3)

c. Phương trình Marcus:
Đặt mômen thu gọn
M = − D[

M =M =

Mx +My

1+ µ

.

∂2w ∂2w

+
] = − D∇ 2 w
∂x 2 ∂y 2

(1.4)

Như thế, kết hợp với (1.3), ta nhận được hệ hai phương trình vi phân

cấp hai, gọi là phương trình Marcus để giải bài toán tấm cứng :


8
M

D
∇ 2 M = P 
∇2w = −

(1.5)

Cấp của phương trình vi phân giảm nhưng số phương trình lại nhiều hơn.
d. Phương pháp sai phân (PPSP)

PPSP là một phương pháp số, gần đúng để giải phương trình vi phân.

Nội dung là thay đạo hàm bằng tỷ số các lượng hữu hạn, do đó, thay việc giải
phương trình vi phân bằng việc giải các phương trình đại số, thay việc tìm ẩn

số dưới dạng hàm giải tích bằng việc tìm giá trị ẩn số tại một số hữu hạn các

điểm.

Giả thử cho hàm f(x,y) xác định trong miền S. Phủ miền S bằng một

mạng lưới chữ nhật cạnh ∆x, ∆y như trên hình vẽ (2-12). ∆x, ∆y gọi là bước sai

phân, chúng có thể đều nhau hoặc thay đổi. Đạo hàm của f tại điểm 0 được

thay bằng các tỷ số hai lượng hữu hạn
∂n f
∂x n

=
0

∆( n ) f 0
∆x n

và

∂n f
∂y n

=
0

∆( n ) f 0
.
∆y n

Tử số ∆(n)f gọi là sai phân cấp n, mẫu số ∆x, ∆y là các bước sai phân.
Phương pháp sai phân trong bài toán phăng gọi là phương pháp lưới.

y

o

x

Hình 1.2: Sơ đồ mạng lưới sai phân

Phương trình Sophie Germain đối với độ võng w đúng trên toàn bề mặt S

nên cũng đúng tại các nút lưới, chẳng hạn tại điểm “0” sẽ có ∇ 4 w0 =
Phương trình viết dưới dạng sai phân khi lấy ∆x = ∆y= ∆ sẽ là

p
.
D


9
20 w0 − 8( w1 + w2 + w3 + w4 ) + 2( w5 + w6 + w7 + w8 ) + w9 + w10 + w11 + w12 =

p∆4
. (1.6)
D

Viết phương trình tương tự cho tất cả n nút nằm bên trong tấm, ta nhận

được hệ n phương trình đại số tuyến tính chứa n ẩn số w tại các nút, một số
giá trị của w tại những nút nằm trên chu vi tấm và tại những nút nằm ngoài

cách chu vi một bước sai phân. Những trị số trên và ngoài chu vi được xác
định theo các điều kiện biên.

e. Phương pháp biến phân

Phiếm hàm là một đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào một hoặc

nhiều hàm số cuả một hoặc nhiều biến số độc lập.

Các hàm được gọi là các đối số hoặc đối số suy rộng, miền xác định của

phiếm hàm là miền xác định của các đối số. Phiếm hàm thường được biểu

diễn dưới dạng tích phân xác định.

Phiếm hàm một đối số y(x) của một biến số độc lập x
I = ∫ F ( x, y, y ' )dx
xB

(1.7)

xA

Thí dụ: chiều dài đường cong từ A đến B

I=

∫

xB

1 + y ' 2 dx

(1.8)

1 M2
dz
2 ∫L EJ

(1.9)

xA

TNBDĐH của thanh chịu uốn

I=

Phiếm hàm nhiều đối số yi(x1,x2,.. xn) của nhiều biến độc lập xi

∫ ∫ F(x , x

x1 B x2 D

I=

1

2

, y1 , y 2 , y 3 )dx1 dx 2

(1.10)

x1 A x2 C

Bài toán biến phân là bài toán tìm cực trị của phiếm hàm. Chẳng hạn bài

toán tìm đường ngắn nhất nối hai điểm A, B nằm trên mặt phẳng trong phiếm
hàm (1.8); bài toán đường trắc địa xác định đường ngắn nhất nối hai điểm A,

B nằm trên mặt cho bởi phương trình ϕ(x, y, z) = 0 trong hệ toạ độ Descartes;
bài toán đường đoản thời của I. Bernouilli: Tìm đường nối hai điểm A, B


10

không nằm trên một đường thẳng đứng sao cho điểm vật chất trượt theo
đường này từ A tới B sẽ mất thời gian ngắn nhất.

f. Phương pháp trực tiếp giải bài toán biến phân
Nội dung của các phương pháp trực tiếp là: thay thế việc giải các phương
trình vi phân Euler của bài toán biến phân, ta sẽ tìm cách thiết lập trực tiếp

các điều kiện cực trị của phiếm hàm khảo sát bằng cách giả thiết dạng của các
hàm dừng.
+Phương pháp Ritz-Timoshenko
Giả thử cần tìm cực trị của phiếm hàm I[y(x)].

Chọn nghiệm dưới dạng:
y ( x) = ∑ ai y i ( x)
n

(1.11)

i =1

Với: ai là các hằng số tạm thời chưa xác định, yi(x) là những hàm số tự chọn

miễn là thoả mãn các điều kiện biên của bài toán (nằm trong miền xác định

của phiếm hàm). Các hàm yi(x) gọi là hàm cơ sở, hay hàm toạ độ.Thay (1.11)

vào biểu thức của phiếm hàm, sau khi tích phân ta nhận được giá trị phiếm

hàm I phụ thuộc vào các hằng số ai, hoặc đại lượng I là một hàm của các trị số
ai. Điều kiện cực trị của I được biểu diễn bởi hệ các phương trình đại số
∂I
=0
∂ai

i = 1, 2, ..., n.

(1.12)

Giải hệ phương trình, ta có các trị số ai, thay chúng trở lại quan hệ

(1.11), ta tìm được nghiệm y(x) của bài toán biến phân.
+Phương pháp Bouvnov-Galerkin

Đây là một phương pháp để giải các phương trình vi phân. Cơ sở của

phương pháp là việc sử dụng khái niệm về hàm trực giao.
Các hàm trực giao: Hai hàm số u(x), v(x) là trực giao trong khoảng [a,b] nếu

∫ u ( x)v( x)dx = 0 .
b

a


11

g. Nguyên lý biến phân trong bài toán đàn hồi

Trong Cơ học, nói chung, và trong Lý thuyết đàn hồi, nói riêng, năng

lượng của hệ là những phiếm hàm của các đối số nội lực, chuyển vị và biến

dạng. Nguyên lý biến phân của lý thuyết đàn hồi là những điều kiện cực trị
của những phiếm hàm năng lượng này.

Trong nguyên lý tổng quát thì trường ứng suất, biến dạng, chuyển vị

thực là trường làm phiếm hàm năng lượng toàn phần (NLTP) đạt giá trị cực
tiểu. Biểu thức NLTP của cả vật thể bằng tích phân trên toàn bộ thể tích vật
thể của năng lượng toàn phần riêng (NLTP trong một đơn vị thể tích). NLTP

riêng là phiếm hàm của nhiều đối số suy rộng: ứng suất, chuyển vị, biến dạng

của các biến số độc lập là các toạ độ x, y, z.

Nguyên lý biến phân riêng của bài toán đàn hồi chỉ khảo sát những năng

lượng là phiếm hàm của một số các đối số (hoặc là các ứng suất hoặc là các

chuyển vị, biến dạng). Phương trình Euler Ostrogradski của bài toán biến
phân sẽ cho ta toàn bộ (khi dùng nguyên lý tổng quát) hoặc một phần (khi

dùng nguyên lý riêng) các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi.
+ Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange

Chuyển vị thực phát sinh trong vật thể là những hàm dừng của phiếm
hàm thế năng toàn phần (TNTP)
trong đó:

E=U - A

(1.13)

U thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể
A công của ngoại lực.
Trong bài toán tấm, khi tải trọng là lực phân bố vuông góc mặt trung
bình thì công ngoại lực:

A = ∫∫ p ( xy) wdxdy
S

Thế năng biến dạng đàn hồi của tấm:

(1.14)


12
U=

D
∂2w 2 ∂2w ∂2w
2
2
(
∇
w
)
dxdy
−
(
1
−
µ
)
D
[(
∫∫S ∂x∂y ) − ∂x 2 ∂y 2 ]dxdy
2 ∫∫
S

(1.15)

E=

D
∂2w 2 ∂2w ∂2w 2 p
2
2
{(
∇
w
)
−
2
(
1
−
µ
)[
(
) − 2
]−
w}dxdy
2 ∫∫
∂x∂y
D
∂x ∂y 2
S

(1.16)

Thế năng toàn phần F là phiếm hàm một đối số độ võng w của hai biến số độc
lập x, y.

E=

∫∫ F [ x; y; w; w,

xx

; w, yy ; w, xy ]dxdy

(1.17)

S

Điều kiện dừng δE = 0 là phương trình Euler-Ostrogradski dạng
∂F ∂ 2 ∂E
∂ 2 ∂E
∂2
∂E
+ 2(
)+ 2 (
)+
(
)=0
∂w ∂x ∂w, xx
∂x∂y ∂w, xy
∂y ∂w, yy

(1.18)

∂E
p

= −2
∂w
D

∂E
∂2w
∂ 2 ∂E
∂4w
∂4w
∂4w
= 2∇ 2 w + 2(1 − µ )(− 2 ) ⇒
(
)
=
2
[
+
−
(
1
−
µ
)
]
∂w, xx
∂y
∂x 2 ∂w, xx
∂x 4 ∂x 2 ∂y 2
∂x 2 ∂y 2
∂E

∂2w
∂ 2 ∂E
∂4w
∂4w
∂4w
= 2∇ 2 w + 2(1 − µ )(− 2 ) ⇒
(
)
=
2
[
+
−
(
1
−
µ
)
]
∂w, yy
∂x
∂y 2 ∂w, yy
∂y 4 ∂x 2 ∂y 2
∂x 2 ∂y 2
∂E
∂2w
⇒
= 4(1 − µ )
∂w, xy
∂x∂y

∂2
∂E
∂4w
(
) = 4(1 − µ ) 2 2
∂x∂y ∂w, xy
∂x ∂y

Điều kiện dừng (1.18) trở thành phương trình Sophie-Germain
∇4w =

∂4w
∂4w
∂4w p
+
2
+
=
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D

(1.3)

Nghiệm của phương trình phải nằm trong miền xác định của phiếm hàm,

nghĩa là phải thoả mãn tất cả các điều kiện biên của tấm. Trong các thí dụ

dưới đây ta sử dụng phương pháp trực tiếp để giải bài toán.
1.2.2 Lý thuyết nền

Mô hình nền là các mô hình tính toán biểu diễn các quan hệ giữa độ lún

của nền và các phản lực nền, thể hiện cơ chế làm việc (biến dạng) của nền
dưới tác dụng của ngoại lực dưới dạng các phương trình toán học.


13

Hình 1.3: Mô hình nền

Để xây dựng nên các mô hình nền, chúng ta phải chấp nhận một giả

thiết chung, đó là việc tính toán nền móng phải dựa trên giả thiết nền biến

dạng đàn hồi tuyến tính. Để điều này chấp nhận được chúng ta phải khống
chế áp lực nền móng trong một mức nhỏ hơn Rtc (cơ học đất đã đưa ra điều

kiện Rtt
Có nhiều cách xây dựng quan hệ giữa độ lún S(x) và phản lực của nền

p(x) khác nhau cho nên cũng có nhiều phương pháp khác nhau để tính toán,
tuy nhiên hiện nay về cơ bản có 3 nhóm mô hình phổ biến:
- Mô hình nền biến dạng cục bộ (mô hình nền Winkler)
- Mô hình nửa không gian biến dạng tổng thể.
- Mô hình lớp không gian biến dạng tổng thể.

Ở đây chúng ta không đi sâu phân tích các mô hình mà chỉ giới thiệu mô

hình của Winkler, là một mô hình đơn giản nhưng khá phù hợp với các bài
toán kĩ thuật. Mô hình này quan niệm nền là một hệ vô số các lò xo (các lò xo

này không liên kết với nhau). Cơ chế của mô hình này được biểu diễn bằng
quan hệ:

C

C

C

C

Hình 1.4: Mô hình nền Winkler
P(x)= C.S(x)

(1.19)


14

trong đó:

+ C: hệ số tỷ lệ, gọi là hệ số nền.
+ S(x): độ lún.

+ p(x): Phản lực nền.

Xác định hệ số nền ko

Hệ số nền ko là một đặc trưng cơ học rất quan trọng của nền. Với mỗi

loại nền khác nhau, hệ số nền ko phải được xác định chính xác bằng thực
nghiệm hiện trường (khoan nền để lấy mẫu phân tích), hoặc có thể lấy gần

đúng bằng cách tra bảng có sẵn trong Bảng 1.1. [7]
Bảng 1.1: Hệ số nền ko
Đặc tính chung của nền
Đất có độ chặt kém
Đất có độ chặt trung bình

Đất chặt

Đất rất chặt

Tên đất nền

Đất chảy

Hệ số nền ko (MN/m3)

Đất mới đắp

1÷5

Sỏi đắp (nhân tạo)

5 ÷ 10

Đất sét ướt và mềm nhão
Đất sét ẩm

Cát đầm chặt

Sạn, sỏi
Đá dăm

50 ÷ 100

Đất sét có độ ẩm bé

Đất sét pha cát đầm kỹ
Đất sét cứng

100 ÷ 200

Đá mềm có vết nứt
Nền cứng

Đá vôi

Nền rất cứng

Đá rất rắn

Nền nhân tạo

Nền cọc

Đá sa thạch

Gạch

Nền từ vật liệu xây dựng

Đá xây
Bê tông và bê tông cốt
thép

200 ÷ 1000
1000 ÷ 15000
50 ÷ 150
4000 ÷ 5000
5000 ÷ 6000
8000 ÷ 15000


15

Với kết quả nghiên cứu thực nghiệm của Bowles, Tschebotarioff năm

1949 và của Rowe đã xác định được giá trị của hệ số nền tăng theo độ sâu Z.
Công thức tính hệ số nền ko như sau:
ko = As + Bs.Zn

(1.20)

trong đó:

As - Hệ số phụ thuộc vào góc ma sát trong φ, lực dính C và dung trọng

của đất γ.

Bs - Hệ số biến đổi theo chiều sâu.

Z - Độ sâu hữu ích phía dưới đất.

n - Số mũ để đưa ra ko phù hợp nhất, với giới hạn trên n = 1.

Ngoài ra có thể kể thêm một số kiến nghị khác để xác định ko theo những
công thức sau:

( )
+ B . (Z D )

ko = As + Bs. tg −1 Z D
Hay
trong đó:

ko = As

n

s

(1.21)
(1.22)

( D) - tính theo radian

tg −1 Z

n - luôn luôn dương (không thể âm hoặc bằng không)

Theo giả thiết Winkler có thể tính Ks theo công thức gần đúng như sau:
ko =
trong đó:
k=

q gh
qa

q
k.q a
;Hay ko = gh
∆H
∆H

(1.23)

- Hệ số an toàn, với đất rời k = 2; với đất dính k = 3.

qgh - sức chịu tải giới hạn của nền đất.
qgh = C.Nc + q .Nq + 0,5.γ.B.Nγ

C - lực dính của đất

(1.24)

16

q - áp lực thẳng đứng do trọng lượng đất ở phía trên và phụ tải gây

ra.

γ - dung trọng của đất.
B - bề rộng của tường cừ.
Nc; Nq; Nγ - hệ số sức chịu tải của nền, phụ thuộc vào góc nội ma

sát φ và góc ma sát trong giữa trường và đất δ.

qa - sức chịu tải tính toán ở độ sâu trong phạm vi đóng tường cừ.

∆H - độ lún của nền.

Thường giả thiết ∆H= 0,0254m ≈ 1 inch. Thay vào công thức (1.23) ta có:
ko =

q gh

∆H

=

1
[ C.Nc + q .Nq + 0,5.γ.B.Nγ ]
0,0254

ko = 40.[C.Nc + q .Nq + 0,5.γ.B.Nγ]

(1.25)
(1.26)

Có thể viết dưới dạng:
ko = 40.[ CNc + 0,5.γ.B.Nγ] + 40.[γ.Nq.Z]

(1.27)

Khi B = 1m, ta có:
ko = 40.[ CNc + 0,5.γ.Nγ] + 40.[γ.Nq.Z]

Đặt As = 40.[ CNc + 0,5.γ.Nγ] và Bs = 40.[γ.Nq.Z];
ta có:
ko = As + Bs.

(1.28)

Khi sử dụng mô hình nền Winkler, thì việc xác định đúng đắn quy luật

phân bố của hệ số nền theo chiều sâu là vấn đề quan trọng nhất. Có thể xác

định theo các cách sau:

(1) Biểu diễn giá trị và quy luật phân bố của hệ số nền bằng một hàm náo

đó. ở Liên xô (cũ), Pháp và một số nước thuờng chọn quy luật phân bố tăng
tuyến tính theo chiều sâu.
ko = k.Z

(1.29)

k - Hệ số tỷ lệ của hệ số nền lấy theo XNIP II.17.77 của Liên xô, nó

được rút ra từ thực nghiệm, và có phạm vi biến đổi rộng.


17

Một số kiến nghị khác trình bày trên Hình 1.4. Trong đó:

(

)

ko’ = 0,5. K + Z Z *

Với: Z* = 2B - đối với đất dính

(1.30)

Z* = 4B - đối với đất rời

B – Chiều rộng của tường cừ

Hình 1.5: Quy luật phân bố hệ số nền

Cũng có thể đối với đất rời thì dùng quy luật tăng tuyến tính, đối với đất

dính thì Ks = const. Ngoài ra một số tác giả đề nghị giới hạn trên của ko là áp

lực bị động.

(2) Thiết lập mối quan hệ giữa hệ số nền với các đặc trưng cơ học của

mô hình bán không gian biến dạng tuyến tính là E và µ.

Việc xác định quy luật phân bố hệ số nền theo các hướng trên tương đối

khó khăn vì phạm vi biến đổi của nó khá rộng.

Công thức ko của Bowles trên cơ sở phân tích những mô hình thực

nghiệm là phù hợp hơn cả. Nó xét đến những tính chất cơ lý của các loại đất

cũng như khả năng chịu tải giới hạn của nền. Vì thế mà nó đang được sử dụng
rộng rãi trong tính toán dầm trên nền đàn hồi.


18

1.2.3 Lý thuyết tấm trên nền
a. Các mô hình nền

Trong nhiều bài toán, môi trường ở mặt dưới tấm có thể là liên tục: Nền

đất, nước hoặc vật thể liên tục nào đó mà tấm được đặt trên đó, ta gọi chung

là nền. Nền có thể là đàn hồi, đàn dẻo...

Ta giả thiết rằng chuyển vị theo phương thẳng góc với mặt trung bình của nền

wn(x,y) bằng độ võng w(x,y) của tấm: wn(x,y) = w(x,y).

Trong tính toán, nền được thay bằng mô hình giả định, quy ước mang tính

chất đặc trưng của nền thực.

- Nền Winkler: Nền đàn hồi, phản lực hai chiều.

Phản lực nền phân bố trên diện tích đáy của tấm, có cường độ tỷ lệ với

độ võng f ( x, y ) = kw( x, y ) , k được gọi là hệ số nền, có thứ nguyên F/L3.
Phương trình tấm trên nền Winkler ∇ 4 w +

k
p
w= .
D
D

(1.31)

Mô hình này đơn giản, đúng với môi trường nước. Nhược điểm là không kể

đến ảnh hưởng tương hỗ chung của toàn bộ nền (hình dung môi trường như
một tập hợp vô cùng nhiều các liên kết lò xo như nhau đặt riêng lẻ theo

phương thẳng đứng không có liên hệ với nhau).

- Nền bán không gian đàn hồi

Sử dụng nghiệm bài toán Boussinessq khi coi nền là một bán không gian

đàn hồi có hằng số đàn hồi En, µn ta có quan hệ giữa lực và độ lún của mặt
nền tại điểm có khoảng cách d tới điểm đặt lực
2

1− µn P
w( x, y, z = 0) =
.
πE n d

(1.32)

Trên mặt giới hạn của bán không gian, nếu điểm đặt lực có toạ độ (xC,yC) thì
khoảng cách từ điểm tính lún (x,y) tới điểm đặt lực là
d 2 = ( x − xC ) 2 + ( y − y C ) 2 .

Độ lún tại điểm (x,y) do phản lực nền tại điểm (η,ξ) gây ra là

(1.33)


19
1− µn
f (η , ξ )
.
πE n
( x − η) 2 + ( y − ξ ) 2

2

w( x, y ) =

(1.34)

Độ lún do phản lực nền trên toàn bộ diện tích đáy tấm gây ra sẽ là
w=

1 − µ 02
πE n

∫
S

f (η , ξ )

( x − η) 2 + ( y − ξ ) 2

dηdξ

(1.35)

cùng với phương trình uốn của tấm
∇4w =

p ( x, y ) − f ( x, y )
D

(1.36)

ta có hệ 2 phương trình vi tích phân đối với 2 ẩn số là độ võng và phản lực.

Mô hình nền bán không gian đàn hồi có thể sử dụng khi nền đồng nhất có tính

chất gần với vật thể đàn hồi, tuy nhiên với nền đất thì việc xác định đặc trưng
En, µn chỉ là hết sức gần đúng.

- Mô hình nền hai hệ số

Theo mô hình này khi tính phản lực nền người ta đã kể ảnh hưởng của

ứng suất tiếp đến biến dạng, độ lún của nền. Phản lực nền được tính theo biểu
thức:

f ( x, y ) = C1 w − C 2 ∇ 2 w

(1.37)

C1 - hệ số nền thứ nhất, có thứ nguyên Lực/ Chiều dài 3;
C2 - hệ số nền thứ hai, có thứ nguyên Lực . Chiều dài.
Phương trình độ võng sẽ là:

D∇ 4 w + C1 w − C 2 ∇ 2 w = p ( x, y )

b. Tấm chữa nhật liên tục trên nền đàn hồi:

(1.38)

Ta coi dầm có dạng mặt cắt hộp chữ nhật bị ép trên nền đàn hồi bởi lực P như

trên hình 1.5 là một ví dụ về tấm trên nền đàn hồi tựa ở chu vi chữ nhật. Tấm phía

dưới của dầm chịu phản lực đàn hồi của nền và tựa vào thành thẳng đứng ngang qua

hộp. Vách này trên hình vẽ được biểu diễn bằng nét đứt. Khi nghiên cứu các tấm
chịu uốn loại tương tự như thế, cũng như trên, ta giả thiết cường độ phản lực của

nền đàn hồi tại một điểm nào đó tỷ lệ với độ võng ω tại điểm đó, tức là p =k ω ,
trong đó k là mô đun nền.


20

Hình 1.6: Tấm chữ nhật trên nền đàn hồi

Theo giả thiết này, phương trình, phương trình vi phân đối với độ võng của

tấm trên nền đàn hồi có dạng:

∂ 4ω
∂ 4ω
∂ 4ω q kω
+
2
+
= −
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D D

(1.39)

trong đó q là cường độ tải trọng ngang.

Ta bắt đầu từ trường hợp được mô tả trên hình 1.5. Nếu gọi ω 0 là độ võng ở

cạnh tấm dưới, còn ω là độ võng của tấm này so với mặt phẳng chứa các cạnh, thì

cường độ phản lực nền tại một điểm nào đó được biểu thị bằng tích k( ω 0 - ω ) và ta

viết phương trình (1.39) dưới dạng sau:
∆∆ω =

k
(ω 0 − ω )
D

(1.40)

Chọn trục tọa độ như hình vẽ, và giả sử cạnh tấm tựa tự do song song với trục

y, còn hai cạnh kia bị ngàm, ta có điều kiện biên:

 ∂ 2ω 

(ω ) x=0, x=α = 0, 
=0
2 
 ∂ x  x =0 , x = a

(1.41)

(ω )

(1.42)

b
y =±
2

 ∂ 2ω 

= 0, 
=0
2 
 ∂ y  y =± b

Có thể lấy độ võng ω dưới dạng chuỗi :

2