Vai trò của hình vẽ trong Hình học Giải tích ở lớp 10

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Tồn

VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Footer Page 1 of 258.


1
Header Page 2 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Tồn

VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10
Chuyên ngành: Lý Luận Và Phương Pháp dạy Học
Môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Footer Page 2 of 258.


1
Header Page 3 of 258.

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, hiệu
trưởng trường TH – THCS – THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11, TP. Hồ Chí Minh, nguyên
trưởng phòng đào tạo trương Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dành
nhiều công sức hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành luận văn này
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức didactic toán. Xin trân trọng cảm ơn các
thầy cô khác đã tham gia giảng dạy lớp didactic toán khóa 19.
Tôi cũng chân thành cảm ơn:
* Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện tốt nhất về điều
kiện học tập trong suốt thời gian tôi học tập tại trường
* Phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi
hoàn tất chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn
* Ban giám hiệu trường TH – THCS – THPT Đại Việt, Gò Vấp TP. Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian để tôi hoàn thành khóa học
* Các bạn giáo viên đồng nghiệp: Nguyễn Thị Kim Cúc (trường THPT Bình
Sơn, Hòn Đất, Kiên Giang), Trần Nguyễn Quang Thái (trường THPT Thanh Bình I,

Thanh Bình, Đồng Tháp), Cao Bảo Đằng (trường THPT Thủ Khoa Nghĩa, Châu Đốc,
An Giang) đã hỗ trợ tôi hoàn thành bài thực nghiệm
* Các bạn cùng khóa didactic toán khóa 19 đã chia sẽ những niềm vui cũng
như những khó khăn trong suốt khóa học

Footer Page 3 of 258.


2
Header Page 4 of 258.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Footer Page 4 of 258.

ĐS:

đại số

HH:

hình học

HS:

học sinh

GV:

giáo viên

SBT:

sách bài tập

SGK:

sách giáo khoa

SGV:

sách giáo viên

HHGT:

hình học giải tích

THCS:

trung học cơ sở

THPT:

trung học phổ thông

[X, tr.Y]:

tài liệu tham khảo X, trang Y

X/SBT/Y:

bài tập X của SBT trang Y

X/SGK/Y:

bài tập X của SGK trangY


3
Header Page 5 of 258.

MỤC LỤC
Trang

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. 2
MỤC LỤC ................................................................................................ 3
MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 6
3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ................................................ 7
3.1. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................. 7
3.2. Cấu trúc của luận văn .................................................................................. 7
CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

9

1. Hình vẽ trong dạy hình học .................................................................................... 9
1.1. Hình hình học và hình vẽ ............................................................................. 9
1.1.1. Hình hình học ........................................................................................ 9

1.1.2. Hình vẽ ................................................................................................ 10
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu .............................................. 10
2. Hình học giải tích ................................................................................................. 13
CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ DẠY – HỌC HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH LỚP 10 .......................................................................... 16
A. Phân tích chương trình ......................................................................................... 16

Footer Page 5 of 258.


4
Header Page 6 of 258.

B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10 ....................................................................... 17
I. Tìm hiểu SGV ................................................................................................ 17
II. Tìm hiểu SGK ............................................................................................... 20
1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm ...................................................... 20
2. Hình vẽ trong dạy - học các bài tập ........................................................... 26
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 67
1. Mục đích ............................................................................................................... 67
2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm. .......................................................................... 67
3.1. Các chiến lược ............................................................................................ 68
3.2. Phân tích các bài toán thực nghiệm ............................................................ 68
4. Phân tích a posteriori ............................................................................................ 80
4.1. Thống kê bài toán 1 ................................................................................... 80
4.2. Thống kê bài toán 2 .................................................................................... 81
4.3. Thống kê bài toán 3 .................................................................................... 84
4.4. Phân tích bài toán 4 .................................................................................... 86
KẾT LUẬN ............................................................................................ 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 92

PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………96

Footer Page 6 of 258.


5
Header Page 7 of 258.

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong chương trình toán trung học ở Việt Nam hiện hành, các phương pháp để
tiếp cận hình học đã giới thiệu đầy đủ. Ở cấp THCS, phương pháp tổng hợp là duy
nhất. Đến cấp THPT, bên cạnh phương pháp tổng hợp (lớp 11 và 12) HS được giới
thiệu thêm phương pháp vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ (lớp 10, 12).
- SGV HH10 có ghi nhận sau:
”Trong chương trình Hình học 10, HS làm quen với một phương pháp tư duy
mới: tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu tính chất của các đường thẳng,
đường cong, đường elip thông qua phương trình của chúng
Việc đưa “vectơ và phương pháp tọa độ” vào chương trình Hình học lớp 10
giúp cho học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại mang tính khoa
học cao, giúp cho HS có thêm những công cụ mới để suy luận và tư duy một cách chặt
chẽ và chính xác, tránh được các hiểu lầm do trực giác mang tới”[19, tr 8]
- Trong thực tế giảng dạy bài toán: “Cho tam giác ABC biết đỉnh B(4; − 1) ,
phương trình đường cao CH : −2 x + 3 y − 12 =
0 . Lập
0 và trung tuyến CK : 2 x + 3 y =
phương trình các cạnh của tam giác ABC ” chúng tôi nhận thấy có hiện tượng sau:
+ Khi giải bài toán này, phần lớn HS đều có sử dụng đến hình vẽ. Khi được hỏi
lí do tại sao lại dùng hình vẽ vào làm bài toán này, HS cho rằng chưa xác định được
điểm đi qua cũng như vectơ pháp tuyến của các đường thẳng trong đề bài. Do đó, hình

vẽ là cần thiết để biểu diễn các quan hệ mà từ đó ta chỉ ra được điểm đi qua và vectơ
pháp tuyến. Chẳng hạn, khai thác giả thiết về đường trung tuyến CK, hình vẽ sẽ chỉ ra
hai đặc điểm của điểm K: trung điểm của AB, giao điểm của AB và CK. Giải hệ
phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng CK và AB (vừa tìm ra). Khi

Footer Page 7 of 258.


6
Header Page 8 of 258.

đó ta tìm được tọa độ của điểm K, rồi suy ra tọa độ của A. Khi đó, viết phương trình
đường thẳng AC là viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và C (tìm được
ban đầu).
+ Khi trao đổi với đồng nghiệp về việc hướng dẫn giảng dạy bài toán này cho
HS chúng tôi ghi nhận được ý kiến là nên dùng hình hình vẽ để hướng dẫn HS. Theo
họ, hình vẽ sẽ mang đến cho HS yếu tố trực quan dể tiếp thu kiến thức. Tính “đại số”
trong hình học giải tích là mỗi đường gắn với một phương trình. Họ cũng khẳng định
là hình vẽ cũng cần thiết trong dạy hình học giải tích đặc biệt là hình học giải tích
phẳng (hình học giải tích lớp 10). Và thực tế là họ đã thành công khi gợi ý (nếu HS
làm không được khi không dùng hình vẽ) cho HS dùng một hình vẽ để phân tích bài
toán.
Như vậy, ta thấy mục đích của chương trình HH10, đặc biệt phần phương pháp
tọa độ, thể chế có đưa ra một phương pháp khác để nghiên cứu HH mà không phụ
thuộc vào hình vẽ. Tuy nhiên trong quá trình dạy – học thực tế về nội dung này chúng
tôi lại thấy sự xuất hiện của hình vẽ trong bài làm của HS, trong bài giảng của GV. Từ
thực tế này làm nảy sinh một số câu hỏi: Hình vẽ là gì? Hình vẽ có vai trò như thế nào
trong dạy và học hình học? Đặc trưng khoa học luận của hình học giải tích là gì? Hình
vẽ có được thể chế đưa ra khi nghiên cứu hình học giải tích lớp 10 không? Nếu có, các
hình vẽ được các tác giả SGK lựa chọn đưa ra trong tình huống nào? Mục đích của

việc đưa ra các hình vẽ là gì? Trong quá trình đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên
tạo điều kiện cho chúng tôi có một nghiên cứu “vai trò của hình vẽ trong hình học giải
tích ở lớp 10”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi được nêu ra ở trên.
Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
-

Q1: Những kiểu nhiệm vụ nào của thể chế sẽ tạo điều kiện cho học sinh sử
dụng hình vẽ trong hình học giải tích ? Khi đó hình vẽ được sử dụng với
chức năng nào ?

Footer Page 8 of 258.


7
Header Page 9 of 258.

Q2: Điều kiện ràng buộc của thể chế lên việc dạy – học hình học giải tích là gì?
Cụ thể là vai trò của hình vẽ trong dạy – học hình học giải tích lớp 10.
Các câu hỏi này sẽ được được đề cập đến trong thể chế dạy - học toán hình học
giải tích lớp 10. Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi cần sử dụng lí thuyết nhân chủng
học (mối quan hệ thể chế, quan hệ các nhân) làm lí thuyết tham chiếu. Bên cạnh đó,
chúng tôi chọn thêm lí thuyết tình huống làm lí thuyết tham chiếu.
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
4.1. Phương pháp nghiên cứu:
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, để trả lời các câu hỏi đã đề ra,
chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:
- Tìm hiểu một vài đặc trưng khoa học luận của hình vẽ
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu về vai trò của hình vẽ trong nghiên cứu

hình học
- Tìm hiểu chương trình, SGK toán HH10 để làm rõ mối quan hệ thể chế đối
với đối tượng hình vẽ
- Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra
hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu
4.2. Cấu trúc của luận văn
- Mở đầu: chúng tôi trình bày vài ghi nhận ban đầu, mục đích của đề tài, khung
lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
- Chương 1: chúng tôi trình bày về vai trò của hình vẽ trong dạy - học hình học.
Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày thêm một vài đặc trưng khoa hoc học luận của hình
học giải tích

Footer Page 9 of 258.


8
Header Page 10 of 258.

- Chương 2: chúng tôi tiến hành tìm hiểu chương trình và phân tích SGK HH10
để làm rõ mối quan hệ thể chế với hình vẽ trong hình học giải tích. Tổng hợp kết quả
chương 1, chương 2 để đề xuất giả thuyết nghiên cứu
- Chương 3: chúng tôi tiến hành một thực nghiệm: mục đích nhằm kiểm chứng
tính hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu
- Kết luận: chúng tôi tóm tắt các kết quả đã đạt được trong chương 1, 2, 3 và
nêu lên hướng mở ra từ luận văn này

Footer Page 10 of 258.


9

Header Page 11 of 258.

CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC.
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Mục đích của chương: Tổng hợp lại các công trình nghiên cứu về hình vẽ
trong dạy – học hình học chúng tôi sẽ tóm tắt lại các vai trò của hình vẽ trong dạy –
học hình học mà các công trình nghiên cứu trước đã chỉ ra. Bên cạnh đó, trong chương
này chúng tôi còn có một nghiên cứu về hình học giải tích.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để tóm tắt
- Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT của PGS.TS Lê Thị Hoài
Châu
- Nghiên cứu didactique về hình vẽ trong dạy học hình học trường hợp: bước
chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở của Trần Thị Kim Nhung (luận văn thạc sĩ)
- Các chức năng của hình vẽ trong dạy học hình học không gian. Trường hợp:
các bài toán dựng hình và mối quan hệ của giáo viên đối với những bài toán này của
Abdelhamid Chaachoua, người dịch TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên
- Hình học và không gian, Đoàn Hữu Hải (bài giảng trong chương trình thạc sĩ
didactic toán, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh)
1. Hình vẽ trong dạy hình học
1.1. Hình hình học và hình vẽ
1.1.1. Hình hình học
- Hình học là một khoa học về không gian, sinh ra từ việc giải quyết những vấn
đề của không gian. Mọi khái niệm cơ sở của hình học – đường thẳng, sự song song,
khoảng cách, góc, quan hệ vuông góc, … đều được hình thành từ những tình huống,
những hiện tượng rất đa dạng của không gian vật lý. [4, tr203]

Footer Page 11 of 258.


10

Header Page 12 of 258.

- Đối tượng nghiên cứu của hình học là các hình hình học. Chúng được mô tả
qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. [4, tr.203]
- Hình hình học là tập hợp các điểm khác rỗng của không gian. Hình hình học
là một đối tượng lí tưởng, tất cả những hình vẽ cụ thể của nó có thể vẽ được chỉ là
những phép biểu diễn không hoàn chỉnh. [3, tr.188]
1.1.2. Hình vẽ
- Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học, là hình biểu diễn phẳng của
các hình hình học. Hình vẽ là hình được vẽ cụ thể trên một tờ giấy, là bản vẽ vật chất
của các hình hình học, đối với các hình vẽ này các số đo giữ vị trí trung tâm. [15, tr.1]
- Hình vẽ không phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với bài
toán. Vị trí của hình vẽ trên tờ giấy là không thích đáng đối với bài toán hình học,
hình vẽ chỉ là một vị trí cụ thể của một đối tượng hình học [15, tr.1]
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu
- Hình vẽ - đối tượng vật chất: hình vẽ là đối tượng nghiên cứu, người học phải
làm việc trên các hình vẽ. Ta xem hình vẽ thuộc về thế giới cảm nhận. Vai trò này
thường xuất hiện ở giai đoạn dạy và học cấp tiểu học
- Hình vẽ - mô hình: Hình vẽ dùng để biểu diễn cho một đối tượng tổng quát,
trừu tượng. Ở đây hình vẽ được xem như mô hình của đối tượng hình học.
+ Trong lĩnh vực lý thuyết, hình vẽ được xem là mô hình của đối tượng hình
học, hình vẽ cho phép nhận ra các tính chất của đối tượng hình học, trong trường hợp
này hình vẽ gắn với những tính chất của một đối tượng hình học và biểu diễn cho một
đối tượng trừu tượng, tổng quát
+ Trong lĩnh vực cảm nhận thế giới: hình vẽ được xem là mô hình của đối
tượng vật chất, trong trường hợp này hình vẽ được sử dụng như một là mô hình của
đối tượng vật chất để hình thành cho HS những tính chất của đối tượng hình học

Footer Page 12 of 258.

11
Header Page 13 of 258.

* Trong dạy học hình học, hình vẽ giữ một vai trò nhất định “hình vẽ là những
công cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại bậc tiểu học” [29]
* Theo Trần Thị Kim Nhung hình vẽ có các vai trò sau: ” Hình vẽ tạo điều kiện
cho HS nắm tình huống học tập, hiểu được khái niệm toán học trừu tượng, giúp khám
phá, tìm ra đường lối trong quá trình giải các bài toán hình học, hình vẽ là công cụ
thích hợp để truyền đạt các tri thức hình học” [26, tr.12]
* Theo Bessot [29], hình vẽ có các vai trò sau:
- Trong học tập“ Hình vẽ tạo điều kiện cho HS nắm bắt tình huống học tập một
cách cụ thể, hầu như mang tính chất vật chất, như vậy ngay từ giai đoạn đầu tiếp cận
với hình học, HS có thể vận dụng khả năng của mình thông qua hành động. HS có
điều kiện học tập tích cực hơn thông qua việc sử dụng hình và thực hành về hình”
- Trong giải toán:”phần thì chúng minh họa cho các tình huống học tập, phần
khác chúng là điểm tựa trực giác trong quá trình nghiên cứu khi cho thấy rõ các quan
hệ hay giả thuyết về quan hệ trên một đối tượng trông thấy được, trong khi chỉ phát
ngôn thôi thì các quan hệ hay giả thuyết về quan hệ lại không được rõ ràng lắm”
* Theo Duval, trong giai đoạn nghiên cứu, hình vẽ có chức năng phát hiện.
Hình vẽ cho phép nhìn thấy và hiểu ngay vấn đề nêu trong bài toán, giúp cho việc tìm
ra lời giải bài toán: Hình vẽ được xem như công cụ khám phá để giải toán, đặc biệt
trong các bài toán chứng minh. “ Hình vẽ tạo điều kiện cho ta thấy ngay tổng thể tình
huống. Hình vẽ là phương tiện trực tiếp để giúp ta khảo sát nhiều khía cạnh của vần
đề, dự đoán kết quả của phương pháp sử dụng và chọn một lời giải” [29]
* Abdelhamid Chaachoua [29] lại có những nghiên cứu về vai trò của hình vẽ
trong dạy – học một bài toán hình học phẳng. Ở đây, hình vẽ có các chức năng sau:
- Chức năng của hình vẽ trong đề bài toán: Thứ nhất là minh họa cho đề bài
toán, điều này có ý nghĩa cho bài toán có giả thiết phức tạp, hay đề toán có nhiều giả
thiết. Thứ hai là thể hiện giả thiết của bài toán

Footer Page 13 of 258.


12
Header Page 14 of 258.

- Chức năng của hình vẽ trong giải bài toán: Dự đoán kết quả và tìm đường lối
giải bài toán. Đây là chức năng đặc thù của giai đoạn phát hiện trong hoạt động giải
toán và gọi là chức năng thực nghiệm.
- Chức năng của hình vẽ trong lời giải của HS:
+ Minh họa các giai đoạn: trên hình vẽ, HS thực hiện các đường kẻ phụ,
để lại dấu compa để chỉ em đã dựng đường trung trực như thế nào chẳng hạn, ghi số
đo các cạnh, tô màu các phần trong hình ….
+ Hình vẽ trong lời giải toán: đối với một số dạng toán, vấn đề là thực
hiện đường kẻ. Trong trường hợp này, hình vẽ là thực hiện một phần của lời giải.
*Theo Parzysz [4, tr.205], thì lại có một nghiên cứu về vai trò của hình vẽ
trong dạy - học hình học không gian. Tóm tắt, chứng tỏ, phỏng đoán là ba chức năng
cơ bản của hình vẽ trong dạy –học hình học mà Parzysz đã đề cập đến.
Tóm tắt: hình vẽ là một bản tóm tắt rõ ràng và

S

trực quan nhất cho một bài toán, nếu HS biết cách thể
hiện. Nó bộc lộ hết những giả thiết, những mối liên hệ
giữa các yếu tố, tạo điều kiện giúp HS giải toán một
cách dễ dàng.

K

Cũng lưu ý, trong hình học phẳng, ta chỉ quan
tâm đến hai đối tượng là “điểm” và “đường thẳng”,

C

A

trong khi trong hình học không gian xuất hiện thêm
một đối tượng thứ ba là “mặt phẳng”. Do đó, các mối

H

quan hệ trong hình vẽ của một hình không gian sẽ phức
tạp hơn.
Mặt khác, một đối tượng hình học trong không

B

Hình 1.1: Hình minh họa phản ví

gian được chuyển sang hình vẽ bằng sự phiên dịch các tính chất hình học của nó sang
các quan hệ trên hình. Việc phiên dịch này thực hiện qua các phép chiếu song song.
Chính vì thế, hình vẽ chỉ giữ lại một số tính chất của đối tượng hình học ban đầu như

Footer Page 14 of 258.


13
Header Page 15 of 258.

tính song song, tính thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Có thể thấy,
trong hình học phẳng, ta luôn luôn vẽ được một hình chính xác với những mối liên hệ:
thuộc, song song, vuông góc, bằng nhau,… Nhưng đối với hình học không gian, điều
này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ, hai đường thẳng vuông góc nhau
theo tính chất, nhưng trên hình vẽ có thể là không, hai đường thẳng chéo nhau trên
thực tế, nhưng trên hình, ta lại thấy chúng cắt nhau,…
Vì vậy, để thực hiện tốt chức năng tóm tắt của hình vẽ, HS cần phải có một số
kĩ năng vẽ hình nhất định. Bên cạnh đó, việc sử dụng các phần mềm vẽ hình cũng là
một cách giúp HS tìm được những hình vẽ rõ ràng, trực quan nhất có thể.
Chứng tỏ: Trong một số trường hợp, hình vẽ có thể cung cấp cho ta các phản
ví dụ để bác bỏ một mệnh đề nào đó. Ví dụ, ta có thể bác bỏ mệnh đề “trong không
gian, đường thẳng vuông góc với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng thì vuông
góc với mặt phẳng ấy” bằng một hình vẽ. Đây là một mệnh đề mà HS hay nhầm lẫn
(phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì mệnh đề mới đúng).
Nhìn vào hình vẽ 1.1, ta thấy KH ⊥ AB, AB ⊂ ( ABC ) nhưng KH không thể
vuông góc mặt phẳng (ABC).
Phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan giúp HS phát hiện ra các tính chất của
hình và hình thành những phán đoán hoặc tìm hướng giải quyết bài toán.
2. Hình học giải tích
- Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến các
đường cong, mặt cong phức tạp. Chính vì thế mà việc nghiên cứu hình học bằng
phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế, do sử dụng hình vẽ như một công cụ.
Điều này khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một lời giải mang tính tổng
quát mà không phụ thuộc vào hình vẽ.
- Và sự ra đời của hình học giải tích đã đáp ứng được các yêu cầu đó. Hình học
giải tích – sự kết hợp giữa hình học và đại số. Có hai hướng hiểu cho sự kết hợp này là
sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số.

Footer Page 15 of 258.

14
Header Page 16 of 258.

Descartes và Fermat đều thiên về cách sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học vì hai
ông cho rằng phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học
và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học. Tư tưởng cơ bản của phương pháp
do Descartes và Fermat xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những
phương trình đại số thông qua trung gian là hệ trục tọa độ. Ta thay thế các đối tượng
và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số, rồi sau đó “dịch”
các tính chất hình học thành tính chất đại số, quy bài toán hình học về bài toán đại số.
Do đó việc giải bài toán hình học được dẫn đến việc giải một hay nhiều phương trình.
Tính toán trên các số trở thành “hạt nhân” của lời giải bài toán hình học. Phương pháp
mới này (phương pháp giải tích) xác lập mối quan hệ giữa hình học và đại số, đem lại
khả năng khái quát cho lời giải của bài toán hình học. Theo Descartes “đại số có thể
nghiên cứu những phương trình thuộc mọi dạng mà không cần quan tâm đến nghĩa
hình học của nó”.
Trong hình học giải tích, hình học được nghiên cứu bằng công cụ “véctơ –toạ
độ” – nghiên cứu hình học với công cụ vectơ được gắn vào hệ tọa độ. Nó cho phép
thiết lập mối quan hệ giữa phương pháp giải tích và phương pháp vectơ. “Với phương
pháp vectơ người ta có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học
không thoát ly khỏi phạm vi hình học và vì thế vừa tận dụng được công cụ đại số, vừa
khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải cho bài toán” [4,
tr.59]. Đặc trưng của phương pháp giải tích là lấy hệ trục tọa độ làm trung gian để
chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số. Như vậy, với công cụ véctơ trong
phương pháp của mình, hình học giải tích sẽ không thoát ly hoàn toàn với hình vẽ.
Với những ưu điểm là không lệ thuộc vào hình vẽ, đem lại khả năng khái quát
cho lời giải. Nhưng về phương diện sư phạm ta cần quan tâm tổ chức dạy - học như
thế nào để HS tiếp cận nhanh nhất và tốt nhất. Bởi lẽ, vấn đề nghiên cứu chính của
hình học là các hình hình học. Và các hình hình học này được biểu diễn bằng các hình

vẽ. Chúng đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu hình học vì đây là điểm tựa
trực giác cho việc tìm tòi lời giải cho bài toán. Thế nhưng trong hình học giải tích thì
lời giải mang tình tổng quát vì nó không lệ thuộc vào hình vẽ. Khai thác yếu tố trực

Footer Page 16 of 258.


15
Header Page 17 of 258.

giác cho HS là vần đề cần thiết trong dạy – học hình học giải tích. Làm như vậy để
giúp HS vượt qua những khó khăn giữa một bên là ngôn ngữ hình thức với một bên là
biểu tượng không gian, giúp HS chú ý đến sự kết hợp giữa ngôn ngữ hình thức và nội
dung. Nếu chỉ chú ý vào khai thác một trong hai mặt này thì sẽ gặp những khó khăn
nhất định trong việc giải bài toán hình học giải tích. Nếu không chú trọng các biểu
thức hình thức thì HS thiếu kiến thức, kĩ năng giải bài toán bằng phương pháp tọa độ.
Nhưng nếu không chú ý mặt ngữ nghĩa của nội dung thì họ sẽ gặp khó khăn trong việc
dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức đại số hóa.
Kết luận
- Hình vẽ là một đối tượng cần thiết trong quá trình dạy – học hình học ở
trường phổ thông. Hình vẽ góp phần quan trọng trong việc dạy – học về lí thuyết và
bài tập. Trong lĩnh vực lí thuyết thì hình vẽ có vai trò là minh họa cho các khái niệm.
Trong việc dạy các bài tập thì hình vẽ sẽ chỉ ra được giả thiết cho bài toán, chỉ ra tất
cả những cái mà đề bài cho và cũng chỉ ra những dự đoán về kết quả của bài toán.
Trên cơ sở này, hình vẽ sẽ chỉ ra đường lối đi tìm lời giải cho bài toán. Nhờ trực giác
về hình vẽ của bài toán ta đang đề cập mà phương hướng đi tìm lời giải được vạch ra.
Hình vẽ cho ta trực giác ban đầu để đi tìm lời giải cho bài toán. Với cách tiếp cận này
ta thấy hình vẽ là cần thiết cho một bài toán hình học. Hình vẽ là yếu tố quan trọng
trong việc đưa ra lời giải một bài toán hình học
- Hình học giải tích là một phương pháp nghiên cứu của hình học với đối tượng

nghiên cứu cũng là các đường (đường thẳng, đường tròn,…). Các đường này được
nghiên cứu một cách tổng quát thông qua phương trình của các đường. Tuy nhiên khi
nghiên cứu hình học giải tích ta không thoát ly hoàn toàn khỏi hình vẽ
Như vậy xét về mặt sư phạm và tâm lí lứa tuổi của HS, bên cạnh cung cấp cho
HS một phương pháp mới nghiên cứu hình học thì vấn đề cần quan tâm là HS sẽ tiếp
cận các kiến thức đó như thế nào? Các hình vẽ có được thể chế khai thác trong việc
dạy – học hình học giải tích không? Các hình vẽ có phát huy được vai trò của mình
trong việc dạy – học hình học giải tích không?

Footer Page 17 of 258.


16
Header Page 18 of 258.

CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ
DẠY – HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10

Vần đề nghiên cứu: Ở cấp độ lớp 10, việc đưa vào lần đầu tiên “ phương pháp
nghiên cứu hình học thông qua đại số”. Nghiên cứu những đối tượng hình học và các
quan hệ của chúng mà HS đã được học trong hình học: đường thẳng, đường tròn, …,
tính song song, tính vuông góc,… HS đã quen làm việc trên các hình vẽ. Bây giờ,
người ta biểu diễn đường thẳng bằng một phương trình, biểu diễn quan hệ vuông góc
bằng một đẳng thức vectơ,… Trong những tình huống mới này, đối tượng hình vẽ có
còn xuất hiện không? SGK khai thác hình vẽ trong việc trình bày khái niệm mới, quan
hệ mới như thế nào? Khai thác hình vẽ trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ ra sao?
Hiệu ứng của việc khai thác này là gì?
Để làm sáng tỏ các vấn đề trên, chúng tôi dùng các tài liệu sau để phân tích:
- Chương trình môn toán trung học năm 2006
- SGK Toán hình học lớp 10

- SBT Toán hình học lớp 10
- SGV Toán hình học lớp 10
A. Phân tích chương trình
Qua tìm hiểu “chương trình giáo dục phổ thông môn toán”, nhận thấy: Đối
tượng hình vẽ không được chương trình yêu cầu trong việc tiếp thu các kiến thức về
phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip. Chúng
tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu xem việc triển khai những yêu cầu mà chương trình qui định
như thế nào? Yếu tố hình vẽ có được các tác giả SGK quan tâm không? Nếu được
quan tâm thì nó được thể hiện cụ thể như thế nào?

Footer Page 18 of 258.


17
Header Page 19 of 258.

B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10
I. Phân tích SGV
* Theo SGV, phương pháp tọa độ được đưa vào giảng dạy nhằm mục tiêu:
-

Hiểu: đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng

-

Biết:

+ Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng. Lập
phương trình đường tròn khi biết các điều kiện xác định của nó. Nắm được định nghĩa
và lập được phương trình chính tắc của elip.

+ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng phương trình của chúng.
+ Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng.
+ Xác định được tâm và bán kính khi biết phương trình đường tròn. Xác định
được các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của nó.
+ Lập được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết tiếp điểm.
* SGV có đưa vào các hình vẽ trong hướng dẫn giảng dạy các khái niệm: liên
hệ giữa hệ số góc với vectơ chỉ phương, các trường hợp đặc biệt của đường thẳng,
hình dạng của elip. Về bài tập, SGV có đưa ra các hình vẽ trong quá trình gợi ý giải
các bài tập sau: trong ôn tập chương III (bài 1; 4; 5; 7; 9; 10); ôn tập cuối năm (bài 6;
7; 9). Bên cạnh đó SGV còn đưa ra thêm hình vẽ trong phần “kiến thức bổ sung” về:
phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng, phương trình
tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn. Với cách đưa vào các hình vẽ trong
HHGT10 của SGV có thể hiểu:
- Hình vẽ được thể chế chú ý khai thác trong dạy – học cả khái niệm và bài tập.
Mặc dù không gợi ý đưa vào trong mọi tình huống, mọi bài tập. Điều này được hiểu,
có thể là do khuôn khổ của một chương trình dạy học.
- Yếu tố trực quan của hình vẽ vẫn còn giá trị trong dạy – học HHGT10. Chẳng
hạn:

Footer Page 19 of 258.


18
Header Page 20 of 258.

+ Khi hướng dẫn dạy các dạng đặc biệt của đường thẳng, SGV có gợi ý như
sau “hoạt động 7 giúp HS hiểu một cách trực quan các dạng phương trình đường
thẳng. Các đường thẳng d1 , d 2 , d 3 , d 4 được thể hiện trên h.3.5”. Như vậy tính trực
quan của hình vẽ vẫn còn được thể chế chú ý khai thác trong HHGT10

+ Khi gợi ý về “phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
thẳng” (trong phần bổ sung kiến thức) SGV cũng có đưa ra hình vẽ.

Hình vẽ tạo thuận lợi cho việc hình thành công thức. Nếu không có hình vẽ HS
gặp một số khó khăn sau: không định hướng được cách giải (do không biết điểm đi
qua và vectơ pháp tuyến), có thể không trả lời đầy đủ các kết quả của bài toán (bài
toán luôn có hai đường thẳng cần tìm, đó là hai đường thẳng vuông góc với nhau).
- Các bài tập mà SGV có đưa ra hình vẽ một cách tường minh gợi ý trong
hướng dẫn giảng dạy là các bài tập ôn tập chương III. Đây là các bài tập mang tính

Footer Page 20 of 258.


19
Header Page 21 of 258.

tổng hợp (không áp dụng được công thức tính toán một cách trực tiếp mà phải phân
tích, tổng hợp để đưa ra kết quả bài toán). Trong việc hướng dẫn giải các bài tập còn
lại, SGV không có sử dụng hình vẽ. Tuy nhiên, một số trong các bài tâp đó, hướng
dẫn của SGV thì hình vẽ được hiểu là sử dụng một cách ngầm ẩn. Hay nói cách khác
SGV có chú ý việc sử dụng hình vẽ trong dạy – học các bài tập HHGT10. Hình vẽ này
tạo cho HS yếu tố trực quan trong việc đi tìm lời giải cho bài toán. Hình vẽ cũng là
một công cụ trong việc đưa ra lời giải cho bài toán. Chẳng hạn:
+ Khi gợi ý giải bài tập 3b/SGK/ SGV trình bày như sau: (hình vẽ được xuất
hiện ngầm ẩn)
“ Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6;2)
….
b. Lập phương trình tổng quát của đường cao AH…”
“Ta có AH ⊥ BC ⇒ AH : x + y + c =
0

A ∈ AH ⇒ 1 + 4 + c =0 ⇒ c =−5

Vậy ta có phương trình đường cao AH là x + y − 5 =
0”
+ Khi gợi ý giải bài tập 4/SGK/93 (SGV có đưa ra một hình vẽ)
“Cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 =
0 và hai điểm O (0; 0), A(2; 0) .
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ∆
b. Tìm điểm M trên ∆ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất”

Footer Page 21 of 258.


20
Header Page 22 of 258.

Hình vẽ này tạo thuận lợi cho HS trong việc định hướng lời giải cho bài toán.
Nếu không khai thác hình vẽ trong trường hợp này, HS sẽ gặp các khó khăn sau trong
việc đi tìm lời giải cho bài toán: Tùy theo đặc điểm của hai điểm O và A (nằm cùng
phía hay khác phía đối với đường thẳng ∆ ) mà có những lời giải khác nhau. Trong
trường hợp O và A nằm khác phía có thể HS không biết phải xác định đường thẳng đi
qua O và vuông góc với ∆ . Bên cạnh đó cũng không chỉ ra được điểm M cần tìm là
ba điểm O’, M, A thẳng hàng và M là giao điểm của O’A và ∆ .
Như vậy, tình huống đưa hình vẽ vào dạy – học HHGT10 của SGV rất phong
phú từ việc dạy các khái niệm đến hướng dẫn giải các bài tâp. Sự góp mặt của hình vẽ
ở các tình huống này cho thấy những ưu thế trong việc giới thiệu các khái niệm,
hướng dẫn gợi ý giải các bài tập. Tình huống đưa hình vẽ của SGV vào hướng dẫn
giải bài tập vừa nêu có thể tạo cho HS thói quen dùng hình vẽ phân tích bài toán khi
không áp dụng được các công thức (trực tiếp).
II. Phân tích SGK

1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm
1.1. Khi đưa ra các định nghĩa: vectơ chỉ phương, đường elip SGK có đưa vào
hình vẽ dẫn dắt trước khi đưa ra khái niệm. Chẳng hạn

Tình huống này được các tác giả SGK đưa vào trước khi đưa ra khái niệm
vectơ chỉ phương. Hình vẽ được giới thiệu kèm với hoạt động sau:

Footer Page 22 of 258.


21
Header Page 23 of 258.

1
2

“Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm số y = x
a/. Tìm tung độ của hai điểm M 0 và M nằm trên ∆ có hoành độ lần lượt là 2 và
6






b/. Cho vectơ u = ( 2;1) . Hãy chứng tỏ M 0 M cùng phương với u ”
Với cách xây dụng tình huống như thế này, hình vẽ dẫn dắt, tạo tình huống cho
HS đi vào khái niệm vectơ chỉ phương. Hình vẽ tạo thuận lợi cho HS khi tiếp cận khái
niệm một cách trực quan. Vectơ chỉ phương ở đây được giới thiệu thông qua hai vectơ


cùng phương. Cụ thể, hình vẽ cho ta biết giá của u và đường thẳng ∆ là hai đường


thẳng song song nhau. Từ đó có kết luận về u là vectơ chỉ phương của ∆ . Hình vẽ ở
đây đóng vai trò là điểm tựa trực giác dẫn dắt cho việc tiếp cận khái niệm. Do vectơ
chỉ phương được giới thiệu thông qua hai vectơ cùng phương, nên theo hình vẽ SGK


đưa ra thì MM 0 có thể làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ (trong trường
hợp này là đường thẳng đi qua hai điểm M , M 0 . Đường thẳng này có vectơ chỉ
phương là vectơ được xác định bởi hai điểm mà đường thẳng đi qua. Như vậy nếu
không khai thác hình vẽ trong trường hợp này sẽ gây ra khó khăn cho HS khi tiếp cận
một khái niệm mới.
* Phán đoán 1: Các hình vẽ được đưa vào nhằm tạo trực quan dẫn dắt HS đi
vào khái niệm.
1.2. Khi giới thiệu các kiến thức: liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc
của đường thẳng; các trường hợp đặc biệt của đường thẳng; phương trình đường tròn
có tâm và bán kính cho trước; phương trình chính tắc của elip; hình dạng của elip;
liên hệ giữa đường tròn và đường elip SGK giới thiệu đi kèm với một hình vẽ minh
họa.
Xét về liên hệ giữa vec tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng SGK có
đưa ra hình vẽ sau:

Footer Page 23 of 258.


22
Header Page 24 of 258.

Hệ số góc của đường thẳng là khái niệm đã được tiếp cận ở HH9. Hình 3.4 tạo
thuận lợi cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng và vectơ chỉ
phương của đường thẳng một cách trực quan bằng quan hệ hình học đó là tan α (trong
đó α : góc nhọn của tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là u1 và u2 , u2 là
cạnh đối của góc α , u1 là cạnh kề của góc α . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta sẽ có tan α =

| u2 |
.
| u1 |

Khi xét các trường hợp đặc biệt của đường thẳng, SGK cũng có những hình vẽ
minh họa đi kèm.

Footer Page 24 of 258.


23
Header Page 25 of 258.

Các hình vẽ 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 trong SGK mang lại trực quan tạo thuận lợi cho
HS hiểu về các dạng phương trình của đường thẳng. Với=
a 0; b ≠ 0 ta được phương
trình của đường thẳng là by + c =
0 , đặc điểm của đường thẳng này là cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng

−c
và song song hoặc trùng với trục hoành. Khi a ≠ 0; b =
0 ta

b

được phương trình của đường thẳng là ax + c =
0 , đặc điểm của đường thẳng này là cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

−c
và song song hoặc trùng với trục tung….
a

Tức là khi biết phương trình của một đường thẳng thì HS biết được biểu diễn của
chúng bằng một hình hình học. Ngược lại khi biết hình của một đường thẳng trên mặt
phẳng tọa độ thì HS biết được phương trình mà chúng biểu diễn.
* Phán đoán 2: Trong các trường hợp này hình vẽ được đưa vào nhằm minh
họa cho các khái niệm.
1.3. Khi trình bày các kiến thức về: phương trình tham số của đường thẳng,
phương trình tổng quát của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ
một điểm đến đường thẳng, phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước,
phương trình tiếp tuyến của đường tròn SGK đưa vào các hình vẽ
- Khi trình bày về nội dung: Phương trình tổng quát của đường thẳng, hình vẽ
minh họa cho định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (thông qua vectơ chỉ
phương) là vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . Chính hình vẽ
này sẽ tạo thuận lợi cho HS trực giác tốt về vectơ pháp tuyến, hiểu được ý nghĩa của
vectơ pháp tuyến. Hình vẽ chỉ rõ nhận định mà SGK đưa ra“một đường thẳng hoàn
Footer Page 25 of 258.