Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Hằng

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:TS.Phạm Văn Quốc

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian theo học ở trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia
Hà Nội và đặc biệt là trong khoảng thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp, tôi đã nhận đƣợc sự
giúp đỡ hết lòng về mặt vật chất, tinh thần, kiến thức và những kinh nghiệm quí báu từ gia đình,
thầy cô và bạn bè. Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Mẹ và các Anh Chị trong gia đình đã luôn giúp đỡ tôi về mặt vật chất lẫn tinh thần để
chúng tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ một cách tốt nhất;

Quí Thầy, Cô trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đặc biệt là
quí thầy, cô khoa Toán Cơ-Tin, những ngƣời đã hết lòng truyền đạt kiến thức và những kinh
nghiệm quí báu trong suốt thời gian chúng tôi theo học ở trƣờng để chúng tôi có thể tự lập đƣợc
trong công việc sau này;
Thầy giáo Phạm Văn Quốc - thuộc Khối phổ thông chuyên, trƣờng Đại học Khoa Học Tự
Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp;
Các anh chị học viên trong lớp Cao học khóa 14 và các bạn đồng nghiệp đã ủng hộ, giúp
đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm và tài liệu cho tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận
văn này;
Trƣờng THPT Thanh Oai A đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn này;
Cuối cùng xin kính chúc sức khỏe quí thầy cô, gia đình và các anh chị học viên.
Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Hằng
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và dƣới sự hƣớng
dẫn củaTS Phạm Văn Quốc.

Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và mọi tham khảo điều
đƣợc trích dẫn và ghi gõ nguồn gốc.
Mọi sao chép không hợp lệ, quy phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin

chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả

Nguyễn Thị Hằng

Footer Page 3 of 16.


Header Page 4 of 16.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................6

1. ................................................................................................ Lý do chọn đề tài
2. ..................................................................... Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3. ..................................................................... Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4. ................................................................................... Phƣơng pháp nghiên cứu
5. .................................................... Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
6. ....................................................................................................... Đặt tên đề tài
7. ................................................................................................... Bố cục luận văn

6
7
7
7
7
8
8

CHƢƠNG 1. NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN .............................................................9

1.1 ........................................................................................... CÁC KHÁI NIỆM.
1.1.1
1.1.2

1.2 .............................................................. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN
1.2.1
1.2.2

9

Khái niệm về phƣơng trình một ẩn .....................................................9
Phƣơng trình vô tỷ ................................................................................9

10

Các dạng cơ bản thƣờng gặp .............................................................10
Phƣơng pháp đƣa về tích ....................................................................12

CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ ..........................15

2.1 .................................................................... PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4

15

Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển về phƣơng trình đa thức ............15
Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc hai với hai biến .18
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn ......................................22
Phƣơng pháp đặt nhiều ẩn phụ đƣa về hệ ........................................24

2.2 ............................................................. PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP

31

2.2.1 Một số hằng đẳng thức hay sử dụng .........................................................31
2.2.2 Các ví dụ minh họa .....................................................................................32

2.3 ............................................................................. PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ

Erro

2.3.1
Tính đơn điệu của hàm số ...................... Error! Bookmark not defined.
2.3.2
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốError!
Bookmark
not defined.
2.3.3
Các dạng toán liên quan ......................... Error! Bookmark not defined.
2.3.4
Các ví dụ................................................... Error! Bookmark not defined.
2.3.5
Xây dựng phƣơng trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu .............. Error!
Bookmark not defined.

2.4 ................................................................ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC
2.4.1
2.4.2

Footer Page 4 of 16.

Phƣơng pháp lƣợng giác hóa ................. Error! Bookmark not defined.
Phƣơng pháp đánh giá ............................ Error! Bookmark not defined.

Erro


Header Page 5 of 16.

2.5PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP VỚI SỰ
2.5.1
Phƣơng pháp thế trong thủ thuật sử dụng máy tính để tìm nhân tử
chung hoặc tìm biểu thức trong nhânliên hợp khi giải phƣơng trình vô tỷ
Error! Bookmark not defined.
2.5.2
Phƣơng pháp cộng dùng trong thủ thuật máy tính cầm tay trợ giúp
giải phƣơng trình vô tỷ ............................................ Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ........................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................39

Footer Page 5 of 16.


Header Page 6 of 16.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhiều kỳ thi, các đề thi bao gồm nhiều kiến thức với yêu cầu ngƣời học cần
học rộng hiểu sâu. Một trong những kiến thức thƣờng xuyên đƣợc nhắc tới và cũng là
phần kiến thức tƣơng đối khó luôn thách thức ngƣời học đó chính là “ phƣơng trình vô
tỷ”. Phƣơng trình vô tỷ hay là những phƣơng trình có chứa căn thức là phần kiến thức
rộng và cũng xuất hiện dƣới nhiều hình thức dạng toán khác nhau biến đổi khó lƣờng.
Nhƣng nếu đào sâu và nhìn dƣới nhiều khía cạnh khác nhau thì có thể thấy đƣợc nó
thƣờng xoay quanh một số dạng và ta có thể đƣa ra một số phƣơng pháp giải cho các
phƣơng trình dạng này.
Thực tế cho thấy việc giảng dạy phần phƣơng trình vô tỷ ở bậc trung học phổ thông
có thời lƣợng rất ít các dạng toán ở mức độ rất cơ bản và dễ nhƣng khi ngƣời học muốn
giải quyết các bài toán trong đề thi thì không dễ dàng chút nào. Vì vậy khi có một hệ
thống các phƣơng pháp làm bài và bài tập thì sẽ khiến cho ngƣời học dễ dàng hơn trong
việc giải quyết các vấn đề liên quan đến phần kiến thức này.
Ngoài ra từ các phƣơng pháp cụ thể ta có thể tạo ra đƣợc những phƣơng trình vô tỷ
hay, khó nhƣng cũng không kém phần thú vị khi đi tìm lời giải. Đây là một trong những
cách phát triển tƣ duy sáng tạo của ngƣời học. Mỗi ngƣời học có thể trao đổi các bài toán
của riêng mình với các học viên khác để mở rông thêm kiến thức cũng nhƣ tiếp cận với
nhiều ý tƣởng hay và lạ. Đặc biệt nếu là một giáo viên bạn có thể kích thích tƣ duy sáng
tạo tìm tòi của học snh từ đó khiến cho học sinh không còn thấy khó khăn khi bắt gặp
dạng toán này trong đề thi.
Hiện nay, phần phƣơng trình vô tỷ vẫn còn xuất hiện với tần số khá dày trong các
đề thi nhất là trong hình thức thi trắc nghiệm cần nhanh và chính xác vì vậy nếu nhìn ra
phƣơng pháp làm bài sẽ giúp ngƣời học biến đổi nhanh hơn và không bị lúng túng.Xuất
phát từ những lợi ích thực tế mà việc tìm hiểu về phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ

Footer Page 6 of 16.

Header Page 7 of 16.

mang lại, tôi đã quyết định chọn đề tài tốt nghiệp cho mình là: “ Một số phương pháp giải
phương trình vô tỷ”
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tiến hành thực hiện những nhiệm vụ sau: nghiên
cứu các vấ n đề liên quan đế n

phƣơng trình vô tỷ, nghiên cứu các phƣơng pháp giải

phƣơng trình vô tỷ, nghiên cứu các tiêu chí có thể áp dụng các phƣơng pháp sao cho hợp
lý và nhanh gọn. Thiết kế một số phƣơng trình vô tỷ mới từ các cơ sở ban đầu. Dạy thử
nghiệm trên các học sinh của trƣơng THPT Thanh Oai A, đánh giá kết quả thử nghiệm.
Tất cả những kết quả nghiên cứu ở trên đều nhằm bổ sung cơ sở l‎ý luận về việc tìm hiểu
các phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Hệ thống đƣợc xây dựng nhằm hỗ trợ cho việc giảng dạy và nâng cao trình độ cho
học sinh của trƣơng THPHƢƠNG TRÌNH Thanh Oai A. Từ đó giúp tôi xác định đƣợc
các đối tƣợng sử dụng hệ thống, cũng nhƣ xác định đƣợc phạm vi nghiên cứu của mình.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để xây dựng đƣợc một hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ thực sự hiệu
quả, tôi đã tiến hành vớihai phƣơng pháp nghiên cứu đó là: nghiên cứu l‎ý thuyếtvà cuối
cùng là phƣơng pháp thực nghiệm. Phƣơng pháp nghiên cứu l‎ý thuyết, với phƣơng pháp
này tôi tiến hành: nghiên cứu lý thuyết về phƣơng trình có chứa căn thức và các phép
biến đổi tƣơng đƣơng liên quan đến căn, thực trạng dạy học phần phƣơng trình vô tỷ
trong các trƣờng THPHƢƠNG TRÌNHở trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH. Phƣơng pháp
thực nghiệm: thử nghiệm với học sinh lớp 10 và 12 trƣơng trung học phổ thông Thanh
Oai A. Cảhai phƣơng pháp đã giúp tôi có cái nhìn chung nhất về một hệ thống phƣơng
trình vô tỷtừ đó đƣa ra đƣợc một số phƣơng pháp giải và sáng tạo phƣơng trình vô tỷ.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
Việt Nam đang trong giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập
sâu rộng với thế giới trên tất cả các lĩnh vực. Một trong những nhân tố quan trọng để đạt
Footer Page 7 of 16.


Header Page 8 of 16.

đƣợc mục tiêu trên là xây dựng một xã hội học tập, đƣợc đào tạo liên tục, tự học, học ở
trƣờng, học trên mạng, thƣờng xuyên trau dồi kỹ năng, kiến thức, phát triển trí tuệ và
sáng tạo. Trong đó, việc xây dựng một hệ thống các phƣơng pháp giải phƣơng trình vô
tỷlà một trong những giải pháp có nhiều tiềm năng và hứa hẹn đem lại hiệu quả cao trong
việc học tập bộ môn toán và giúp ngƣời học vƣợt qua các kì thi. Với đề tài là: “ Một số
phương pháp giải phương trình vô tỷ” tôi đã làm sáng tỏ đƣợc vai trò của phƣơng trình
vô tỷ trong các đề thi hiện nay. Từ đó xây dựng thành công hệ thống phƣơng pháp giải
phƣơng trình vô tỷ và sáng tạo phƣơng trình vô tỷ.
6. Đặt tên đề tài
“ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ”
7. Bố cục luận văn
Nội dung của luận văn đƣợc chia thành 2 chƣơng , cụ thể nhƣ sau:
Chƣơng 1: Nghiên cứu tổng quan
Giới thiệu một số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vô tỷ.
Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ
Giới thiệu về một số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ và cách sáng tạo các
phƣơng trình vô tỷ từ các phƣơng pháp đã có.

Footer Page 8 of 16.


Header Page 9 of 16.

CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
1.1

CÁC KHÁI NIỆM.

1.1.1

Khái niệm về phƣơng trình một ẩn

a.

Khái niệm
Cho A  x  , B  x  là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A  x   B  x  gọi là phƣơng trình một ẩn.

Trong đó:
+ x đƣợc gọi là ẩn.
+ A  x  , B  x  gọi là hai vế của phƣơng trình.
+ Quá trình tìm x gọi là giải phƣơng trình.
+ Giá trị tìm đƣợc của x gọi là nghiệm của phƣơng trình.
+ S: Tập hợp nghiệm của phƣơng trình.
+ Tập xác định: Tập xác định của phƣơng trình.
b. Tập xác định của phƣơng trình
Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phƣơng trình có nghĩa.
c. Các khái niệm về hai phƣơng trình tƣơng đƣơng
+ Hai phƣơng trình đƣợc gọi là tƣơng đƣơng khi chúng có cùng tập nghiệm.
Hoặc nghiệm của phƣơng trình này đều là nghiệm của phƣơng trình kia và ngƣợc lại.
1.1.2

Phƣơng trình vô tỷ

a. Định nghĩa
Phƣơng trình vô tỷ là phƣơng trình chứa ẩn ở dƣới dấu căn.
Ví dụ: x  1  3  x  x  7 .
b. Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỷ
+ Tìm tập xác định của phƣơng trình.

Footer Page 9 of 16.


Header Page 10 of 16.
+ Biến đổi đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình đã học.
+ Giải phƣơng trình vừa tìm đƣợc.
+ So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
c. Các kiến thức cơ bản về căn thức
+ Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là
một số không âm.
+ Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phƣơng trình đảm bảo nhận đƣợc phƣơng
trình tƣơng đƣơng.
+

A2  A

1.2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN
1.2.1

Các dạng cơ bản thƣờng gặp

Dạng 1:

f ( x)  g ( x)

(1)

Đây là dạng đơn giản nhất của phƣơng trình vô tỷ.
Phƣơng pháp giải:

(2)
 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
2
 f ( x)  g ( x) (3).
Giải phƣơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp rồi suy ra nghiệm của phƣơng
trình (1).
Ví dụ 1.1.Giải phƣơng trình

x  1  x 1

(1).

Giải

x  1
x  1
x  1

(1)  
 2
   x  3  x  3.
2

 x  1  ( x  1)
 x  3x  0
 x  0

Vậy x  3 là nghiệm của phƣơng trình (1).
Dạng 2:

f ( x)  g ( x)  h( x)

Footer Page 10 of 16.

(2) .


Header Page 11 of 16.
Phƣơng pháp giải:
+ Tìm điều kiện của phƣơng trình

 f ( x)  0

 g ( x)  0
h( x)  0.


(3)

+Với điều kiện số (3) hai về của phƣơng trình không âm nên bình phƣơng hai vế, ta có:

f ( x).g ( x) 

1
(h( x)) 2  f ( x)  g ( x) 
2

(4) .

Phƣơng trình số 4 có dạng (1) vì vậy ta quay lại làm nhƣ dạng trên.
Ví dụ1.2.Giải phƣơng trình.

16x  23  1  2 3x  5

(1).

Giải

(1)  16 x  23  1  2 3x  5 .

16 x  23  0
5
x
3
3x  5  0

Điều kiện 

(*) .

Với điều kiện (*) phƣơng trình có hai vế không âm nên ta bình phƣơng hai vế ta có:

16 x  23  1  12x  20  4 3x  5  4x  4  4 3x  5

 x  1  3x  5  x2  2x  1  3x  5

x  2
 x 2  5x  6  0  
 x  3.
Kiểm tra lại ta thấy x  2, x  3 là nghiệm của phƣơng trình.
Dạng 3:

f ( x)  h( x)  g ( x)

Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là

g ( x) nên cách giải tƣơng tự nhƣ dạng 2.

Ví dụ1.3.Giải phƣơng trình.

x  1  12  x  x  7.
Giải

Footer Page 11 of 16.

(1) .


Header Page 12 of 16.
Điều kiện 7  x  12

(*) .

Với điều kiện (*) phƣơng trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phƣơng hai vế.

(1)  x  1  12  x  x  7  2 (12  x)( x  7)
 x  4  2 (12  x)( x  7)
x  4
 2
2
 x  8x  16  4( x  19x  84)
x  4

x  4
44

 2
  x 
55
5 x  84x  352  0

  x  8.
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm x  8 .
Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất x  8 .
Dạng 4:

f (x)  h(x)  g (x)  k (x) .

Phƣơng pháp giải:
Điều kiện

 f ( x)  0
 g ( x)  0



 h( x )  0
k ( x)  0.

(*)

Bình phƣơng hai vế ta có

f ( x)  h( x)  2 f ( x).h( x)  g ( x)  k ( x)  2 g ( x).k ( x)
F ( x)  G( x)  H ( x).
Khi đó tùy từng trƣờng hợp mà ta sử dụng phƣơng pháp sao cho phù hợp.
1.2.2

Phương pháp đưa về tích

Dạng 1: Sử dụng đẳng thức

u  v  1  uv   u  1 v  1  0

au  bv  ab  vu   u  b  v  a   0
Ví dụ 1.4. Giải phƣơng trình : 3 x  1 

Footer Page 12 of 16.

3

x  2  1  3 x 2  3x  2 .


Header Page 13 of 16.

Giải
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình



3



x 1 1

3

x  0
x  2 1  0  
 x  1.



Ví dụ 1.5.Giải phƣơng trình : 3 x  1 

3

x2  3 x  3 x2  x .

Giải
+ x  0 , không phải là nghiệm .
+ x  0 , ta chia hai vế cho x khi đó ta có đƣợc phƣơng trình

3

 x 1 
x 1 3
 x  1 3 x 1   3
 1
x
x



Ví dụ 1.6.Giải phƣơng trình:



3



x  1  0  x  1.

x  3  2x x  1  2x  x2  4x  3 .

Giải
Điều kiện của phƣơng trình là x  1 .
Khi đó phƣơng trình 



x  3  2x

Ví dụ 1.7. Giải phƣơng trình :



x3 

x  1
x 1 1  0  
 x  0.



4x
4 x.
x3

Giải
Điều kiện x  0 .Chia cả hai vế cho

x  3 ta đƣợc:
2


4x
4x
4x 
1
2
 1 
  0  x  1.

x3
x3
x

3


Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức

Footer Page 13 of 16.


Header Page 14 of 16.

A  B
 A  B

Ta có đẳng thức A2  B 2  

Biến đổi phƣơng trình về dạng : A  B , khi đó A  B nếu k là số lẻ và A   B nếu k chẵn.
k

Ví dụ 1.8. Giải phƣơng trình :

k

3x  x

3x.

Giải
Điều kiện: 0  x 

3 khi đó phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng :
3

3
1 
10
10  1



x

x  3x  x  3  0   x 
.

3 3 3
3

3

2

 3 10  1 
Vậy tập nghiệm của phƣờng là S  
.
3 


Ví dụ 1.9. Giải phƣơng trình sau : 2 x  3  9 x  x  4 .
2

Giải
Điều kiện x  3 . Khi đóphƣơng trình tƣơng đƣơng :

1 

3 x



2

x  1
 x  3  1  3x
 9x  

 x  5  97 .
 x  3  1  3x

18
2

Ví dụ 1.10. Giải phƣơng trình sau : 2  3 3

9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2  .
2

Giải

Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với 

Footer Page 14 of 16.



3

x  2  3 3x



3

 0  x  1.


Header Page 15 of 16.

CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Ngoài những bài toán về phƣơng trình vô tỷ ở dạng đơn giản có thể nhìn thấy ngay cách giải hoặc chỉ đơn
thuần qua một vài biến đổi tƣơng đƣơng là có đáp án thì còn có những phƣơng trình vô tỷ mà thoạt nhìn
ta không thể sử dụng đƣợc các biến đổi thông thƣờng. Để từ đó dẫn đến cần tìm ra các phƣơng pháp hợp
lý cho từng dạng bài và đƣa ra đƣợc những hƣớng sáng tạo các phƣơng trình vô tỷ mới từ những phƣơng
trình đơn giản.
Để tìm hiểu thêm về các loại phƣơng trình vô tỷ này ta có thể đi vào một số phƣơng pháp giải phƣơng
trình vô tỷ và tìm cách xây dựng nên những phƣơng trình vô tỷ mới.
2.1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1.1

Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển về phƣơng trình đa thức
Đối với nhiều phƣơng trình vô vô tỷ , để giải chúng ta có thể đặt t  f  x  và chú ý điều kiện

của t nếu phƣơng trình ban đầu trở thành phƣơng trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải
đƣợc phƣơng trình đó theo t thì việc đặt phụ xem nhƣ “hoàn toàn ”.Nói chung những phƣơng trình mà
có thể đặt hoàn toàn t  f  x  thƣờng là những phƣơng trình dễ .
Ví dụ 2.1.1.Giải phƣơng trình:

x  x 2  1  x  x 2  1  2.

Giải
Điều kiện x  1.

Nhận xét

Đặt

x  x 2  1. x  x 2  1  1 .

1
t  x  x2  1 thì phƣơng trình có dạng t   2  t  1 . Thay vào tìm đƣợc x  1.
t

Ví dụ 2.1.2.Giải phƣơng trình: 2 x  6 x  1 
2

Giải
Điều kiện: x  

Footer Page 15 of 16.

4
.
5

4 x  5.


Header Page 16 of 16.

Đặt t 

4 x  5 (t  0) thì x 

t2  5
. Thay vào ta có phƣơng trình sau:
4

t 4  10t 2  25 6 2
2.
 (t  5)  1  t  t 4  22t 2  8t  27  0
16
4
 (t 2  2t  7)(t 2  2t  11)  0 .
Ta tìm đƣợc bốn nghiệm là: t1,2  1  2 2; t3,4  1  2 3 .
Do t  0 nên chỉ nhận các gái trị t1  1  2 2, t3  1  2 3 .
Từ đó tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình l: x  1  2 ; x  2  3 .
Cách khác:
Ta có thể bình phƣơng hai vế của phƣơng trình với điều kiện 2 x  6 x  1  0 .
2

Ta đƣợc: x ( x  3)  ( x  1)  0 , từ đó ta tìm đƣợc nghiệm tƣơng ứng.
2

2

2

Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y  3 

4 x  5 và đƣa về hệ đối xứng.

Ví dụ 2.1.3.Giải phƣơng trình sau:

x  5  x  1  6.

Giải
Điều kiện 1  x  6 .
Đặt y 

x  1( y  0) thì phƣơng trình trở thành:

y 2  y  5  5  y 4  10 y 2  y  20  0 ( với y  5)

 ( y 2  y  4)( y 2  y  5)  0  y 

Footer Page 16 of 16.

1  21
1  17

(l), y 
.
2
2


Header Page 17 of 16.

Từ đó ta tìm đƣợc các giá trị của x 

11  17
.
2



Ví dụ 2.1.4.(THTT 3-2005) Giải phƣơng trình sau : x  2004 



x 1 1 x

Giải
Điều kiện 0  x  1.
Đặt

y  1  x ( y  0 ) khi đó phƣơng trình trở thành
2 1  y   y 2  y  1002   0  y  1  x  0.
2

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  0.

Ví dụ 2.1.5. Giải phƣơng trình sau : x 2  2 x x 

1
 3x  1.
x

Giải
Điều kiện 1  x  0 .
Chia cả hai vế cho x ta nhận đƣợc: x  2 x 

Đặt t  x 

1
1
 3 .
x
x

1
, ta giải đƣợc phƣơng trình.
x

Ví dụ 2.1.6. Giải phƣơng trình : x 
2

3

x 4  x 2  2 x  1.

Giải

1
1

x  0 không phải là nghiệm, chia cả hai vế cho x ta đƣợc:  x    3 x   2 .
x
x

Đặt t= 3 x 

1 5
1
3
.
, ta có: t  t  2  0  t  1  x 
2
x

Footer Page 17 of 16.

.
2


Header Page 18 of 16.

1  5 
.

 2 

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  

Bài tập rèn luyện
Giải các phƣơng trình sau:
a. 15 x  2 x  5 
2

b.

2 x2  15 x  11 .

( x  5)(2  x)  3 x 2  3x .

c.

(1  x)(2  x)  1  2 x  2 x 2 .

d.

x  17  x 2  x 17  x 2  9 .
3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2 .

e.
f.

x 2  x 2  11  31.

g.

2 n (1  x)2  3n 1  x 2  n (1  x)2  0 .

h.

x  (2004  x )(1  1  x )2 .

i.

( x  3 x  2)( x  9 x  18)  168x .
1  x2  2 3 1  x2  3.

j.

Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ nhƣ trên chúng ta chỉ giải quyết đƣợc một lớp bài đơn giản, đôi khi
phƣơng trình đối với t lại quá khó giải vì vậy ta cần có thêm các cách là khác để có thể giải quyết đƣợc
nhiều lớp bài toán hơn.
2.1.2

Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc hai với hai biến
Chúng ta đã biết cách giải phƣơng trình: u   uv   v  0 (1) bằng cách
2

2

2

u
u
Xét v  0 phƣơng trình trở thành :          0 và v  0 thử trực tiếp.

v
v
Các trƣờng hợp sau cũng đƣa về đƣợc (1)
 a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x 


 u   v  mu 2  nv 2

Footer Page 18 of 16.


Header Page 19 of 16.
Ngoài việc đi giải các bài toán về phƣơng trình vô tỷ có dạng nhƣ trên thì ta cũng hoàn toàn có thể đƣa ra
đƣợc các bài tập tƣơng tự tùy theo mục đích của từng cá nhân bằng việc thay các biểu thức A  x  , B  x 
bởi các biểu thức vô tỷ thì sẽ nhận đƣợc phƣơng trình vô tỷ theo dạng này .
a . Phƣơng trình dạng: a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x 
Xuất phát từ các đẳng thức :

x3  1   x  1  x 2  x  1

x 4  x 2  1   x 4  2 x 2  1  x 2   x 2  x  1 x 2  x  1







x4  1  x2  2x  1 x2  2x  1

4 x 4  1   2 x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  1.
Ta tạo ra những phƣơng trình vô tỷ dạng trên ví dụ nhƣ: 4 x  2 2 x  4 
2

x4  1

Để có một phƣơng trình đẹp, chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phƣơng trình bậc hai

at 2  bt  c  0 giải “ nghiệm đẹp”.
Ví dụ 2.1.7.Giải phƣơng trình : 2

x

2

 2   5 x3  1.

Giải
Đặt u 

x  1, v  x2  x  1 .

u  2v
Phƣơng trình trở thành : 2  u  v   5uv  
.
u  1 v
2

2

Tìm đƣợc: x 

Footer Page 19 of 16.

5  37
.
2

2


Header Page 20 of 16.
Ví dụ 2.1.8: Giải phƣơng trình sau : 2 x  5 x  1  7 x  1.
2

3

Giải
Điều kiện x  1.
Nhận xét : Ta viết

  x  1    x 2  x  1  7

 x  1  x2  x  1 .

Đồng nhất thức ta đƣợc 3  x  1  2  x  x  1  7

 x  1  x2  x  1 .

v  9u

Đặt u  x  1  0 , v  x  x  1  0 , ta đƣợc: 3u  2v  7 uv  
.
v  1 u
4

2

Ta đƣợc : x  4  6.
b.Phƣơng trình dạng :  u   v 

mu 2  nv 2

Phƣơng trình cho ở dạng này thƣờng khó “phát hiện “ hơn dạng trên, nhƣng nếu ta bình phƣơng hai vế thì
đƣa về đƣợc dạng trên.
Ví dụ2.1.9.giải phƣơng trình : x  3 x  1 
2

2

x 4  x 2  1.

Giải
2

u  x
2
2
Ta đặt : 
khi đó phƣơng trình trở thành : u  3v  u  v .
2


v  x  1

Ví dụ2.1.10.Giải phƣơng trình sau :

x2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1.

Giải
Điều kiện x 

1
. Bình phƣơng 2 vế ta có :
2

Footer Page 20 of 16.


Header Page 21 of 16.

x

2

 2 x   2 x  1  x 2  1 

x

2

 2 x   2 x  1   x 2  2 x    2 x  1


1 5
v
u 
u  x  2 x
2
2
2

Ta có thể đặt : 
khi đó ta có hệ : uv  u  v 

1 5
v  2 x  1
v
u 
2

2

Do u, v  0 và u 

1 5
1 5
v  x2  2x 
 2 x 1 .
2
2

Phƣơng trình có nghiệm x 

1  5
3 5
;x 
.
2
2

Kết hợp với điều kiện của bài toán ta thấy phƣơng trình vô nghiệm.
Ví dụ2.1.11.Giải phƣơng trình : 5 x  14 x  9 
2

x 2  x  20  5 x  1.

Giải
Điều kiện x  5 .
Chuyển vế bình phƣơng ta đƣợc: 2 x  5 x  2  5
2

Nhận xét : Không tồn tại số

x

2

 x  20   x  1

 ,  để : 2 x 2  5x  2    x 2  x  20     x  1 vậy ta không thể

u  x 2  x  20
đặt 
v  x  1.
Nhƣng may mắn ta có

x

2

 x  20   x  1   x  4  x  5 x  1   x  4   x 2  4 x  5 .

Ta viết lại phƣơng trình

2  x 2  4 x  5  3  x  4   5 ( x 2  4 x  5)( x  4) .

Đến đây bài toán đƣợc giải quyết .

Footer Page 21 of 16.


Header Page 22 of 16.
2.1.3

Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phƣơng pháp hay trong giải
phƣơng trình vô tỷ, phƣơng pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng
gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phƣơng
trình khác nhau nhƣng phổ biến nhất là dạng (ax  b) cx 2 +dx+e  px2  qx  t.
Phƣơng trình (ax  b) cx 2 +dx+e  px2  qx  t có thể giải bằng phƣơng pháp đặt ẩn

phụ.Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phƣơng trình.Mục đích
là đƣa phƣơng trình trở thành một phƣơng trình bậc hai hai ẩn có biệt thức Δ là một biểu
thức chính phƣơng.
Ví dụ 2.1.12:Giải phƣơng trình 3x2  x  3  (8x  3) 2x 2 +1  0.
Giải
Phƣơng trình tƣơng đƣơng với (3 2x 2 +1  x)( 2x 2 +1  3x  1)  0 . Đến đây phƣơng
trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp. Khi nhìn vào lời giải trên không ít ngƣời thắc
mắc về cách phân tích thành nhân tử phƣơng trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhƣng
tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.
Mặc dù máy tính Casio có thể tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình,chúng ta có thể dựa vào
nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhƣng nếu phƣơng trình không có
nghiệm vô tỷ thì sao và phƣơng pháp này có thể áp dụng cho cả hai trƣờng hợp.
Bài toán trên còn có một lời giải khác:
Đặt

2
2
2x 2 +1  t. Phƣơng trình trở thành: 3t  (8x  3)t  3x  x  0.

Ta có : t  100 x2  60 x  9  (10 x  3)2 . Từ đây dễ dàng giải tiếp.
Nhìn hai cách giải trên ta thấy có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời
giải 1.Ở cách giải thứ 2,hệ số của t 2 là 3,nếu hệ số khác có làm cho Δ chính phƣơng
không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn.Chúng ta gọi hệ số đó là m ,
khi đó phƣơng trình trở thành
mt 2  (8x  3)t  3x2  x  3  m(2 x 2  1)  0
2
2
Mong muốn của chúng ta là : 3t  (8x  3)t  3x  x  0.

Chúng ta tìm m để t chính phƣơng

Footer Page 22 of 16.


Header Page 23 of 16.

t  (8x  3)2  4m[3x2  x  3  m(2 x 2  1)]  (8m2  12m  64) x 2  (4m  48) x  4m2  4m  9
t chính phƣơng khi phƣơng trình Δ = 0 có nghiệm duy nhất,tức là:
t  0  16m(8m3  36m2  117m  243)  0.

Dễ dàng thấy phƣơng trình trên có nghiệm m  3 ,từ đó suy ra cách biến đổi phƣơng trình
để có hai lời giải trên.
Tổng quát:
Phƣơng trình (ax  b). cx 2 +dx+e  px2  qx  z. Viết lại phƣơng trình thành:
px2  qx  z  (ax  b). cx 2 +dx+e  0. Đặt

cx 2 +dx+e  t.

Ta sẽ biến đổi phƣơng trình thành : mt 2  (ax  b)t  P( x)  0(1)
Với P( x)  x2  qx  z  m(cx2  dx  e) và t là một biểu thức chính phƣơng,nhiệm vụ của
chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu.
Viết lại phƣơng trình (1) thành:
mt 2  (ax  b) cx 2 +dx+e  (1  mc) x 2  (q  md ) x  ( z  e)  0.

t  (ax  b)2  4m[(1  mc) x 2  (q  md ) x  ( z  e)]
 (a 2  4m  4m2 c) x 2  (2ab  4mq  4m2 d ) x  (b 2  4mz  4me)
 Ax 2  Bx  C.

Để t chính phƣơng khi phƣơng trình   0 có nghiệm duy nhất,tức t  0 hay
B2  4 AC  0  (2ab  4mq  4m2 d )2  4(a 2  4m  4mc)(b2  4mz  4me)  0 .

Khai triển vế trái của phƣơng trình trên ta đƣợc một phƣơng trình có dạng:
m(a1 x3  a2 x 2  a3 x  a4 )  0, phƣơng trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó

có một nghiệm m  0 . Sau khi tìm đƣợc giá trị m ,ta dễ dàng giải quyết phƣơng trình (1).
2
2
Ví dụ 2.1.13.Giải phƣơng trình 4 x  7  (2 x  4). 2-x  0.

Đặt

2-x 2  t. Phƣơng trình thành: 4 x2  7  (2 x  4)t  0

Viết phƣơng trình về dạng:
mt 2  4 x2  7  (2 x  4)t  m(2  x2 )  0
mt 2  (2 x  4)t  4 x2  7  m(2  x 2 )  0 .

Footer Page 23 of 16.


Header Page 24 of 16.

Bƣớc tiếp theo đi tìm m
t  (2 x  4)2  4m[4 x2  7  m(2  x2 )]  (4m2  16m  4) x 2  16x  8m2  28m  16.

t  64  (4m2  16m  4)(8m2  28m  16)  32m4  240m3  480m2  144m
 m(32m3  240m2  480m  144)  0.

Giải phƣơng trình ta tìm đƣợc nghiệm m  3 .
Phƣơng trình viết lại thành:

2
2
3t 2  (2 x  4)t  4 x2  7  3(2  x2 )  0  3t  2( x  2)t  x  1  0.

  ( x  2)2  3(1  x2 )  (2 x  1)2 .
 t  1  xt  x  13.
Vậy là bài toán đƣợc giải quyết.
Ví dụ 2.1.14. Giải phƣơng trình : x

3

 3x 2  2

 x  2

3

 6 x  0.

Giải
Nhận xét :
Đặt y 

x  2 ( y  0 ) ta hãy biến phƣơng trình trên về phƣơng trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y .

x  y
x3  3x 2  2 y 3  6 x  0  x3  3xy 2  2 y 3  0  
 x  2 y.
Phƣơng trình có nghiệm : x  2,
2.1.4

x  2  2 3.

Phƣơng pháp đặt nhiều ẩn phụ đƣa về hệ
Xuất phát từ một số hệ “đại số” đẹp chúng ta có thể tạo ra đƣợc những phƣơng trình vô tỷ mà khi

giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đƣa về hệ.
Xuất phát từ đẳng thức
Ta có

a  b  c

3

 a3  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  .

a3  b3  c3   a  b  c    a  b  a  c  b  c   0 .
3

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phƣơng trình vô tỷ có chứa căn bậc ba.

Footer Page 24 of 16.


Header Page 25 of 16.

3

7 x  1  3 x 2  x  8  3 x 2  8x  1  2; 3 3x  1  3 5  x  3 2 x  9  3 4 x  3  0.

Ví dụ2.1.15.Giải phƣơng trình x 

2  x. 3  x  3  x. 5  x  5  x. 2  x.

Giải

u  2  x

v  3  x , ta có :

 w  5  x
Giải hệ ta đƣợc: u 

 u  v  u  w   2
2  u 2  uv  vw  wu


2
3  v  uv  vw  wu   u  v  v  w   3
5  w2  uv  vw  wu


 v  w  u  w   5.

30
239
x
.
60
120

Ví dụ2.1.16. Giải phƣơng trình sau :

2 x2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2.
Giải
Ta đặt :

a 

b 

c 

d 

2 x2  1
x 2  3x  2
2x  2x  3
2

a  b  c  d

,khi đó ta có : 

2
2
2
2
a  b  c  d

 x  2.

x2  x  2
Bài tập rèn luyện:

Giải các phƣơng trình sau
1)

4 x2  5x  1  2 x2  x  1  9 x  3

2)

x  4 x 1  x   4 1  x   1  x  4 x3  4 x 2 1  x  .
3

a. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thông thƣờng.

Footer Page 25 of 16.