Diện tích hình phẳng (Giải tích 12)

ứng dụng hình học
và vật lý của tích
phân
Phần 1: diện tích hình phẳng


Diện tích hình phẳng

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. HÃy
tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b ?
y
Tính diện tích
phần bị gạch
như thế nào ?

y=f(x)

a

O
x=a

b x
x=b


Diện tích hình phẳng
y

A

TH1: Nếu f(x) 0 trên đoạn [a; b] th×
b

b

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
a

a

TH2: NÕu f(x) ≤ 0 trên đoạn [a; b] thì

S = S*
b

O

M

y

S* =  − f ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx


a

a
O M

b

⇒ S = ∫ f ( x ) dx
a

S
a

B
N
b

x

b
N

x

y= - f(x)

b

a

y=f(x)

A

S*

S
y=f(x)

B


Diện tích hình phẳng
TH3: Nếu đồ thị hàm số y=f(x)
cắt trục hoành tại một điểm có
hoành độ c(a; b) thì

S = S1 + S2
c

S1 = ∫ f ( x ) dx
a

b

S2 = ∫ f ( x ) dx

y
A
a
O M

S1

y=f(x)
c

C

S2

b
N
B

c

c

b

b

a

c

a

⇒ S = S1 + S2 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

x


TH4: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại nhiều điểm
có hoành độ thuộc (a; b) thì

y

y=f(x)
a

x=a

O

c

d

c

d

b

a

c

d

S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

b x
x=bb

= f ( x ) dx
a

Tóm lại: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] khi đó diện tích
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai
đường thẳng x=a, x=b được xác định bằng công thức sau:
b

S = f ( x ) dx
a


Diện tích hình phẳng
Ví dụ 1: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=-x2+3x+4, trục hoành và hai đư
ờng thẳng x=0, x=2.
2

Giải: S = x 2 + 3 x + 4 dx

y

6

5

4

3

0

2

= ∫ (− x 2 + 3 x + 4)dx

2

1

0

 x3
 2 34
x2
=  + 3 + 4 x ữ = (đvdt)
2
3
0 3

O
-1

2
2

4

x

Diện tích hình phẳng
Ví dụ 2: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y=x2-4x+3, trục
hoành và hai đường thẳng
x=0, x=2.

Giải:

2

S = x 2 4 x + 3 dx
0

1

4.5

y

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

2

= ∫ x − 4 x + 3 dx + ∫ x − 4 x + 3 dx
2

2

0

1

0.5

O

1
1

2

2

3

4

-0.5

1

2

= ∫ ( x − 4 x + 3)dx + ∫ (− x + 4 x − 3)dx
2

0

2

1

-1

 x3
 1  x3
 2 4  2
2
2
=  − 2 x + 3 x ÷ −  − 2 x + 3 x ữ = ữ = 2(đvdt)
3
0  3
1 3  3

x

Diện tích hình phẳng

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=cos x, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.

y
1
1

0.5

O

1

-0.5

/2


2

3

3/2

4

5

6

2 x

-1
-1

S=

2

2

3
2

cos x dx = ∫ cos x dx + ∫
0

= ∫ cos xdx −
0

π
2

3π
2

∫

π
2

0

cos xdx +

2π

∫

3π
2

π
2

cos x dx +
π
2
0

2π

∫

3π
2

cos x dx
3π
2
π
2

cos xdx = sin x | − sin x | + sin x |2π = 4(®vdt)
3π
2


Diện tích hình phẳng
Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x)
liên tục trên đoạn [a; b] ?
TH1. Nếu đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) không cắt
nhau trên khoảng (a; b) thì f(x)>g(x) x(a;b) hoặc f(x)x(a;b). Ta chỉ cần xét cho f(x)>g(x) x(a;b).
1) Nếu cả f(x) và g(x) đều dương
trên [a; b] th×
b

y=f(x)

S

b

a

y

a

S = S f − Sg = ∫ f ( x )dx − ∫ g( x )dx
b

b

a

a

= ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx



y=g(x)
O

a

b

x


2) NÕu cã Ýt nhÊt mét trong hai
hµm sè f(x) và g(x) không dư

ơng trên [a; b] thì ta tịnh tiến
trục hoành xuống dưới sao cho
trong hệ toạ độ mới cả f(x) và
g(x) đều dương trên [a; b].
b

S = ( f ( x ) + k ) − ( g ( x ) + k ) dx

y

y=f(x)+k

S
O a

b x

k

y=g(x)+k

a

b

= ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a

VËy nếu hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g( x ) không cắt nhau trên (a; b)
thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g( x ),

b

đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a


Diện tích hình phẳng
TH2. Nếu đồ thị hai hàm số y=f(x)
và y=g(x) cắt nhau tại điểm có
hoành độ c trên (a; b) th×:

y
O a

y=f(x)

S1

c

S2 b

x

y=g(x)
c

b

b

a

c

a

S = S1 + S2 = ∫ f ( x ) − g( x ) dx + ∫ f ( x ) − g( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
Tóm lại: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên
tục trên đoạn [a; b] được tính bởi công thức:
b

S = f ( x ) − g( x ) dx
a


Diện tích hình phẳng
b

Cách tính diện tích theo công thức

S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a

Bước 1: Tìm các nghiệm của phương trình f(x)=g(x) thuộc đoạn [a; b]. Giả sử
có tất cả n nghiệm c1;c2 ;….;cn thuéc [a;b] vµ
a ≤ c1 < c2 <….< cn ≤ b.

B­íc 2: Ta cã

c1

c2

b

a

c1

c1
c2

cn

a

c1

S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx + ∫ f ( x ) − g( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) − g( x ) dx
=

b

∫ ( f ( x ) − g( x)) dx + ∫ ( f ( x ) − g( x )) dx + ... + ∫ ( f ( x ) − g( x ) ) dx

B­íc 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n

ck +1

cn

) kÕt
∫ ( f ( x ) − g( xvµ) dx luËn.

ck


Diện tích hình phẳng

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = x 3 − 3 x, y = x vµ hai đường thẳng x = -2, x = 1.
1

Giải: S =

(x

−2

3

− 3 x ) − x dx

3

2
2

Ta cã x 3 − 3 x = x ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔ x = ± 2, x = 0

1

Do ®ã S =

∫

0

x 3 − 4 x dx =

−2
0

=

∫(

−2

∫

−2

)

x 3 − 4 x dx +

1

∫(

0

y

1

1

x 3 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx -2
0

O 1

-2

)

x 3 − 4 x dx

-1

-2
-2

 x4
0
 x4
2
21
=  − 2x ÷

+  − 2x ÷
 4
 −2  4
0
7
7 15
 16   1

= 0 −  − 8 ÷ +  − 2 ÷− 0 = 4 + − = 4 + = ( ®vdt )
2
2 2
 4
 4


2x
2


Diện tích hình phẳng

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị các hàm số y = 3 − 2 x − x 2 , y = 1 − x .
Gi¶i: Ta cã 3 - 2 x - x 2 = 1 − x ⇔ x = −2, x = 1
1

Do ®ã S =
1

=

∫

−2

∫

−2

3 − 2 x − x 2 ) − ( 1 − x ) dx
(

2 − x − x 2 dx =

1

∫(

−2

y
4

)

2 − x − x 2 dx

4

3


x2 x3  1
9
=  2x − ữ
= ( đvdt )
2 3 2 2


2

1

-2
-2

O
-1

1

x
2


Diện tích hình phẳng

Ví dụ 3: Tính diện tích hình tròn bán kính R .
Giải: Ta chọn đường tròn tâm O(0;0) bán kính R
Phương trình đường tròn là x 2 + y 2 = R 2

Suy ra nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành

y

S*

là đồ thị hàm số y = R 2 − x 2
R

Do ®ã S = 4 S * = 4 ∫ R − x dx
2

2

0

 
Đặt x = R sin t t ∈ - ;  ÷
  2 2 

⇒ dx = R cos tdt; R 2 − x 2 = R cos t
π
§ỉi cËn x = 0 ⇒ t = 0; x = R ⇒ t =
π
π
2

y = R2 − x2

O

R x

π
sin 2t 
2
2
2
2
⇒ S = 4 ∫ R cos tdt = 2 R ∫ ( 1 + cos 2t ) dt = 2 R  t +
= π R 2 ( đvdt )
2
2 ữ

0
0
0
2

2


Diện tích hình phẳng

x2 y2
Ví dụ 4: Tính diện tích hình Elip (E): 2 + 2 = 1
a
b
Giải: Nửa đường Elip nằm phía trên trục hoành
b 2

y
b 2
là đồ thị hµm sè y =
a − x2
y=
a − x2
a a
b
a
b 2
2
Do ®ã S = 4 S * = 4 ∫ a x dx
a
S*
0

ax
O
Đặt x = a sin t  t ∈ - ;  ÷
  2 2 
b 2
⇒ dx = a cos tdt;
a − x 2 = b cos t
a
π
§ỉi cËn x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t =
π
π
2
π

2
2
 sin 2t 
2
⇒ S = 4 ∫ ab cos tdt = 2 ab ∫ ( 1 + cos 2t ) dt = 2ab  t +
÷ 2 = π ab ( đvdt )
2

0
0
0

Bài tập 1, 2, 3 (SGK)