Ảnh hưởng của tán sắc và biến điệu tần số đối với xung secant hyperbolic trong thông tin quang sợi

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

ĐẶNG THỊ HÀ

ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ
ĐỐI VỚI XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ HỘI- 2015
Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

---------------------

ĐẶNG THỊ HÀ

ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ
ĐỐI VỚI XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI

Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60 440109

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trịnh Đình Chiến

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015
Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận văn này là công trình
nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Đình Chiến.
Các số liệu, kết quả trong bản luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa ai
công bố trong bất cứ luận văn nào hoặc các công trình nào khác.

Học viên

Đặng Thị Hà

Footer Page 3 of 16.


Header Page 4 of 16.

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Trịnh Đình Chiến, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo,

người đã đặt đề tài, dẫn dắt tận tình và động viên học viên trong suốt quá trình
nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Học viên xin được chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo, và các bạn học
viên cao học bộ môn Quang Học, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo Sau đại học
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã đóng
góp những ý kiến khoa học bổ ích cho nội dung luận văn, tạo điều kiện và giúp
đỡ học viên trong thời gian học tập và nghiên cứu
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân trong gia
đình đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Đặng Thị Hà

Footer Page 4 of 16.


Header Page 5 of 16.

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC VIẾT TẮT……………………………………………………………i
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ BẢNG BIỂU………………………………………ii
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………….1
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ SỰ LAN TRUYỀN XUNG SÁNG
TRONG SỢI QUANG………………………………………………………………4

1.1 Hệ phương trình Maxwell………………………………………………………4
1.2 Các mode sợi……………………………………………………………………6
1.2.1 Phương trình trị riêng………………………………………..………………6
1.2.2 Điều kiện đơn mode……………………………………….…………………8
1.2.3 Các đặc trưng của mode cơ bản………………………….………………….9
1.3 Phương trình lan truyền xung sáng………………………….…………………10
1.3.1 Sự lan truyền xung phi tuyến……………………………...………………...11
1.3.2 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao……………………………..……………...16
1.4 Kết luận………………………………………………………………………...20
CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT VỀ TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ TỰ BIẾN
ĐIỆU PHA…………………………………………………………………………22
2.1 Lý thuyết về tán sắc vận tốc nhóm…………………………………………….22
2.1.1 Các chế độ lan truyền khác nhau……………………………..……………...22
2.1.2 Sự mở rộng xung do tán sắc .......................................................................... 24
2.1.2.1 Xung Gauss…………………………………………….…………………..25
2.1.2.2 Xung Gauss có chirp …………………………………….………………...27
2.1.2.3 Xung Secant-Hyperboli ……………………………………..……………..29
2.1.2.4 Xung super Gauss………………………………………….………………30

Footer Page 5 of 16.


Header Page 6 of 16.

2.2 Lý thuyết tự biến điệu pha - sự mở rộng xung do SPM…………....…………...31
2.2.1 Sự dịch pha phi tuyến………………………………………..……………….31
2.2.2 Những thay đổi trong phổ xung…………………………………..………….34
2.2.3 Ảnh hưởng của dạng xung và chirp ban đầu………………………………37
2.3. Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha đến sự tiến triển của
xung………………………………………………………………………………..38

2.4. Kết luận………………………………………………………………………..41
CHƯƠNG III: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM
VÀ CHIRP TẦN SỐ LÊN XUNG SÓNG DẠNG SECANT HYPERBOLIC……42
3.1 Các soliton sợi………………………………………………………………….42
3.1.1 Phương pháp tán xạ ngược…………………………………………………42
3.1.2 Soliton cơ bản………………………………………………………………..45
3.2 Khảo sát ảnh hưởng của tham số tán sắc và chirp tần số lên xung sóng dạng
secant hyperbolic…………………………………………………………………..47
3.2.1 Ảnh hưởng của tham số tán sắc

……………………………....…………..47

3.2.2 Ảnh hưởng của tham số chirp C………………………………..…………....51
3.2.3 Ảnh hưởng của chiều dài tán sắc Lao động……………………....………….53
3.2.4 Ảnh hưởng độ rộng xung ban đầu To……………………………...………...54
3.3 Tương tác soliton………………………………………………………………56
3.3.1 Phương trình Schrodinger phi tuyến……………………………...………….57
3.3.2 Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước………………..……………....58
3.3.3 Tương tác hai soliton……………………………………………….………..60
3.3.3.1 Tương tác của hai soliton cùng pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ
thuộc vào khoảng phân cách ban đầu…………………………..........…………….62
3.3.3.2 Tương tác của hai soliton khác pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ
thuộc vào độ lệch pha ban đầu……………………………………........………….65
3.3.3.3 Tương tác của hai soliton khác biên độ – khảo sát tương tác của hai soliton
phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu………………………………..............………72
3.3.3.4 Thảo luận………………………………………………………………….83

Footer Page 6 of 16.

Header Page 7 of 16.

3.3.4 Tương tác ba soliton………………………………………………………...86
3.3.4.1 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu……….86
3.3.4.2 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào pha ban đầu………………………..89
3.3.4.3 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào các biên độ ban đầu…………………93
3.5 Kết luận………………………………………………………………………...96
KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………………..………..99
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………....………...101
PHỤ LỤC……………………………………………………………………………

Footer Page 7 of 16.


Header Page 8 of 16.

DANH MỤC VIẾT TẮT

NLS

Nonlinear Schrodinger

GVD

Group Velocity Dispersion

CW

Continuous wave

SPM

Self - Phase Modulation

RMS

Root mean square

SRS

Stimulated Raman Scattering

SBS

Stimulated

XPM

Cross - Phase Modulation

FWHM

Full Width at Half Maximum

i
Footer Page 8 of 16.

Brillouin

Scattering

Header Page 9 of 16.

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ BẢNG BIỂU
Hình 1.1: Sự thay đổi của tham số độ rộng mode w với V thu được bằng cách khớp
các mode sợi cơ bản với một phân bố Gauss. Đường bên phải hiển thị độ phù hợp
cho V = 2.4…………………………………………………………………………………..10
Hình 1.2: Thay đổi theo thời gian của hàm đáp ứng Raman R (t) thu được bằng
cách sử dụng phổ khuếch đại Raman thực tế của sợi silica…………….…………….18
Hình 2.1: Sự mở rộng xung do tán sắc cho một xung Gauss bên trong sợi tại
z=2LD, và 4LD. Đường nét đứt là xung tới tại z=0………………….……………26
Hình 2.2: Hệ số mở rộng cho một xung Gauss có chirp như một hàm của khoảng
cách. Đường cong nét đứt tương ứng với trường hợp của một xung Gauss không
chirp. Đối với

< 0 nếu dấu của C bị đảo ngược, ta sẽ thu được các đường cong

như vậy…………………………………………………………………….........…………..28

Hình 2.3: Hình dạng xung tại z = 2LD và z = 4LD của một xung tại z = 0 (đường
đứt nét) được mô tả bằng một xung dạng "sech". So sánh với hình 3.1chỉ ra trường
hợp của một xung Gaussian……………………………………………..............…30
Hình 2.4: Dạng xung tại z = LD và z = 2LD của một xung dạng Super Gauss tại z
=0…………………………………………………………………………………..31
Hình 2.5: Thay đổi theo thời gian của SPM gây ra sự dịch pha

và chirp tần số

δω cho xung Gauss (đường đứt nét) và super Gaussian (đường cong liền).............34

Hình 2.6: Phổ SPM-mở rộng cho một xung Gauss có chirp……………...……….35
Hình 2.7: Các quan sát thực nghiệm phổ [9] xung gần như xung Gauss T0 ≈ 90

thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi
3.35

……………………………………………………………..............………35

Hình 2.8: So sánh phổ mở rộng SPM cho xung Gauss có chirp và Super Gaussian ở
năng lượng đỉnh tương ứng với

= 4.5 ………………….......................….36

Hình 2.9: Ảnh hưởng của chirp tần số ban đầu vlên sự mở rộng phổ SPM của một
xung Gauss có chirp cho C = 5 và C = -5 với trường hợp

= 4: 5π…..........37

Hình 2.10: Sự tiến triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ (hình thấp hơn)

ii
Footer Page 9 of 16.


Header Page 10 of 16.

trên một khoảng cách 5LD cho một xung Gauss ban đầu có chirp lan truyền trong
chế độ tán sắc thường của sợi quang (β2> 0) với các thông số với N = 1...............39
Hình 2.11: Sự phát triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ quang (hình
thấp hơn) trong điều kiện giống hệt với hình. 4.7 ngoại trừ việc lan truyền xung

Gauss trong chế độ tán sắc dị thường (β2 <0)………………………….…………40
Hình 3.1: Ảnh hưởng của tham số tán sắc lên sự lan truyền xung sáng trong sợi
quang khi tham số chirp bằng 0 tại khoảng cách truyền chuẩn hóa nhỏ…....…….48
Hình 3.2: Ảnh hưởng của tham số tán sắc lên sự lan truyền xung sáng trong sợi
quang khi tham số chirp bằng 0………………………………………..…………..50
Hình 3.3: Ảnh hưởng của tham số tán sắc lên sự lan truyền xung sáng trong sợi
quang khi tham số chirp khác 0……………………………………..……………..51
Hình 3.4: Ảnh hưởng của tham số chirp lên sự lan truyền xung sáng trong sợi
quang……………………………………………………………….………………52
Hình 3.5: Ảnh hưởng của tham số chiều dài tán sắc lên hình dạng xung sech trong
quá trình truyền trong sợi quang………………………………………...........…...53
Hình 3.6: Ảnh hưởng của tham số độ rộng xung ban đầu lên hình dạng xung sech
trong quá trình truyền trong sợi quang………………………………..........……..55
Hình 3.7: Ảnh hưởng của tham số chirp lên hình dạng xung sech trong quá trình
truyền trong sợi quangkhi độ rộng xung ban đầu không đổi……………....……....56
Hình 3.8: Tương tác hai solion tại

=1(pw) và

=4(pw)…………………...…...58

Hình 3.9: Tương tác hai solion tại r=1.1và r=1.2………………………..………..59
Hình 3.10: Tương tác hai soliton………………………………………..…………59
Hình 3.11: Tương tác hai solion tại

=3.5(pw)………………………..…………59

Hình 3.12: Tương tác hai solion tại

=3.5(pw),

Hình 3.13: Tương tác hai solion tại

=3.5(pw), r=1.1……………………..…….60

= ……………………..…....60

Hình 3.14: Tương tác ba và bốn soliton……………………………………..…….60
Hình 3.15: Sơ đồ thuật toán của phương pháp tán xạ ngược………………....…...62
Hình 3.16: Tương tác hai soliton phụ thuộc khoảng phân cách ban đầu…….........64
Hình 3.17: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu…........65

iii
Footer Page 10 of 16.


Header Page 11 of 16.

Hình 3.18: Tương tác hai soliton cùng biên độ, độ phân cách ban đầu phụ thuộc
theo độ lệch pha………………………………………………………….………...68
Hình 3.19: Tương tác hai soliton cùng biên độ, cùng pha ban đầu phụ thuộc độ
phân tách ban đầu………………………………………………………….………69
Hình 3.20: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào độ lệch pha tại một vài giá trị
khoảng phân cách ban đầu………………………………………………….……..70
Hình 3.21: Độ tách xung của hai soliton tại

= 2.2 pw theo khoảng cách truyền z

tại một vài giá trị độ lệch pha………………………………………………...……72
Hình 3.22: Tương tác của hai soliton phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu…......75

Hình 3.23: Khảo sát sự biến đổi dạng xung theo tỉ lệ biên độ ban đầu……....……77
Hình 3.24: Khảo sát sự biến đổi dạng xung theo tỉ lệ biên độ ban đầu r=1.05 đến
r=1.15……………………………………………………………...………………79
Hình 3.25: Khảo sát độ đối xứng của hai soliton theo khoảng phân cách ban đầu tại
các tỉ lệ biên độ khác nhau……………………………………….......…………….80
Hình 3.26: Độ tách xung của hai soliton tại

= 3.2 pw theo khoảng cách truyền z

tại một vài giá trị tỉ lệ biên độ……………………………………...………………83
Hình 3.27: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ r=1 và
r=1.025…………………………………………………………………………….83
Hình 3.28: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ và pha ban
đầu tại khoảng phân cách ban đầu là 2.2pw…………………….........…………...85
Hình 3.29: So sánh tương tác hai soliton với sự khác nhau tỉ lệ biên độ và pha ban
đầu tại khoảng phân cách ban đầu là 3.2pw………………….........……………...86
Hình 3.30: So sánh tương tác ba soliton cùng pha và tỉ lệ biên độ ban đầu thay đổi
theo khoảng phân cách ban đầu của chúng……………………….........………….88
Hình 3.31: Tương tác ba soliton cùng khoảng phân cách và biên độ ban đầu thay
đổi theo pha ban đầu của chúng………………………………..………………….92
Hình 3.32: Tương tác ba soliton cùng khoảng phân cách và pha ban đầu thay đổi
theo tỉ lệ biên độ ban đầu của chúng…………………………………..…………..95
Bảng 1: Sự phụ thuộc của chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu…...64

iv
Footer Page 11 of 16.


Header Page 12 of 16.

Bảng 2: Giá trị chu kỳ tương tác phụ thuộc vào độ lệch pha tại một số giá trị
khoảng phân cách ban đầu………………………………………………………………..69
Bảng 3: Độ tách xung của hai soliton tại

= 2.2 pw theo khoảng cách truyền z tại

một vài giá trị độ lệch pha………………………………………………………………...70
Bảng 4: Độ đối xứng của hai soliton theo khoảng phân cách ban đầu tại các tỉ lệ
biên độ khác nhau……………………………………………………...……………................……..79
Bảng 5: Giá trị độ tách xung của hai soliton tại

= 3.2 pw theo khoảng cách

truyền z tại một vài giá trị tỉ lệ biên độ………………………………………………….80

v
Footer Page 12 of 16.


Header Page 13 of 16.

MỞ ĐẦU
Ngay từ xa xưa loài người đã biết sử dụng ánh sáng để báo hiệu cho nhau. Từ
việc sử dụng lửa, khói… Theo chiều dài của lịch sử phát triển nhân loại, các hình
thức thông tin trở nên phong phú dần và ngày càng được phát triển thành hệ thống
thông tin hiện đại như ngày nay. Dù bạn ở nơi đâu trên trái đất này, bạn vẫn có thể
liên lạc với bạn bè người thân một cách thuận lợi và nhanh chóng. Ở trình độ phát
triển cao về thông tin như hiện nay, các hệ thống thông tin quang đã nổi lên và là hệ
thống thông tin tiên tiến bậc nhất, nó đã được triển khai nhanh trên mạng lưới viễn
thông của các nước trên thế giới với đủ mọi cấu hình linh hoạt, ở các tốc độ và các

cự ly truyền dẫn phong phú, bảo đảm chất lượng dịch vụ viễn thông tốt nhất.
Sự phát minh ra sợi quang – môi trường phi tuyến có chiết suất thay đổi theo
cường độ của ánh sáng mạnh lan truyền trong nó. Sự ra đời của laser năm 1960 tạo
nguồn phát quang đặc biệt đã mở ra một thời kỳ mới có ý nghĩa to lớn trong lịch sử
kỹ thuật thông tin sử dụng dải tần số ánh sáng. Bức tranh của quá trình tiến triển
xung laser ngắn, cực ngắn trong sợi quang dưới tính chất tán sắc và phi tuyến của
sợi quang đã giải thích cho hàng loạt hiện tượng quan trọng trong thực tế. Theo lý
thuyết xung laser khi lan truyền trong sợi quang cho phép con người thực hiện
thông tin với lượng kênh rất lớn vượt gấp nhiều lần các hệ thống viba hiện có.
Những sợi quang ban đầu có hệ số hấp thụ cao, nhược điểm này đã tạo tiền đề cho
một sợi quang có cấu trúc đơn mode ra đời khi áp dụng các phương trình toán lý Maxwell. Song song với quá trình tính toán tạo ra sợi quang có suy giảm thấp, quá
trình nghiên cứu các bước sóng ít bị hấp thụ trong sợi quang cũng được tính toán.
Việc nghiên cứu này đã tạo nên các thế hệ thông tin quang với thành tựu vượt bậc.
Thế giới bước vào thời đại cạnh tranh trong lĩnh vực thông tin. Việc gia tăng
nhanh chóng của ứng dụng trên internet, đa phương tiện, truyền hình, xử lý ảnh đòi
hỏi băng thông ngày càng cao với khoảng cách xa, mật độ cao, độ rủi ro thấp. Càng
phát triển những yêu cầu cần được đáp ứng càng nhiều, do vậy nhiều bài toán cần
có lời giải và phương pháp cho thế hệ thông tin quang thứ năm mà ở đó, xung
soliton được coi như “bit” của thông tin quang sợi với những lợi thế ưu việt.
Thuật ngữ Soliton được đưa ra từ năm 1965 để mô tả tính chất giống như hạt

1
Footer Page 13 of 16.


Header Page 14 of 16.

của một xung trong một môi trường phi tuyến. Dưới những điều kiện xác định,
xung không những không bị méo dạng trên đường truyền mà còn có thể va chạm
với nhau như các hạt. Bên cạnh những ưu điểm vượt bậc, ứng cử viên vàng của thế

hệ thông tin thứ năm này cũng còn rất nhiều bài toán chưa được giải quyết để đưa
thông tin soliton phổ biến. Sự va chạm của xung, ảnh hưởng của chirp tần số, sự
tương tác của các soliton liền kề…làm giảm khả năng truyền dẫn cũng như tăng tốc
độ bit. Trong giới hạn của bài khóa luận này, chúng tôi chọn một phần của các bài
toán đặt ra ở trên để làm đề tài cho luận văn của mình là:
“ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VÀ BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ ĐỐI VỚI
XUNG SECANT HYPERBOLIC TRONG THÔNG TIN QUANG SỢI”
Mục đích của luận văn:
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu sự ảnh hưởng của
hiện tượng tán sắc và chirp tần số với sự tiến triển của xung laser dạng secant
hyperbolic, khảo sát tương tác của hai - ba soliton khi lan truyền trong sợi quang.
Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng các công cụ lý thuyết đưa ra các phương trình mô tả quá trình
truyền xung ngắn trong môi trường tán sắc. Sử dụng phương pháp số, phần mềm
tính toán để mô phỏng các quá trình tiến triển, tương tác của xung sáng.
Cấu trúc của luận văn:
Bố cục của luận văn như sau: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm
có 3 chương:
Chương I: Phương trình sóng và sự lan truyền xung sáng trong sợi quang. Bắt
đầu với hệ phương trình nổi tiếng của sóng điện từ - hệ phương trình Maxwell,
chúng tôi giải quyết bài toán về mode trong sợi quang, điều kiện để có chế độ đơn
mode cũng như các đặc trưng của mode cơn bản. Cuối cùng là áp dụng phương
trình tìm được nghiên cứu sự lan truyền xung sáng trong sợi quang, giải quyết bài
toán lan truyền xung phi tuyến và các hiệu ứng phi tuyến bậc cao, từ đó đưa ra
phương trình NSL để chương sau áp dụng cho lý thuyết tán sắc và chirp tần số cũng
như ảnh hưởng của chúng lên xung sáng.
Chương II: Lý thuyết tán sắc vận tốc nhóm và sự tự biến điệu pha. Chương
này sẽ tập trung đi sâu về lý thuyết của hiện tượng tán sắc vận tốc nhóm tại các chế

2

Footer Page 14 of 16.


Header Page 15 of 16.

độ lan truyền xung khác nhau, nghiên cứu sự ảnh của hiện tượng này đối với sự mở
rộng xung của các dạng xung khác nhau: xung Gauss, xung Gauss có chirp, xung
Secant hyperbolic, xung Super Gauss. Lý thuyết tự biến điệu pha với bài toán mở
rộng xung và ảnh hưởng của dạng xung cũng như chirp tần số ban đầu. Cuối cùng là
sự ảnh hưởng của cả hai yếu tố tán sắc và tự biến điệu pha đến sự lan truyền xung
sáng.
Chương III: Khảo sát ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và chirp tần số lên
xung sóng dạng Secant Hyperbolic. Bắt đầu với một soliton quang học, bằng
phương pháp tán xạ ngược, chúng ta sẽ tìm được nghiệm dạng xung Secant
hyperbolic cho sóng sáng soliton. Bằng phương pháp số chúng tôi khảo sát ảnh
hưởng của tham số tán sắc và chirp tần số lên xung secant hyperbolic. Phương pháp
tán xạ ngược cho phép chúng tôi khảo sát tương tác của hai soliton cùng lan truyền
trong sợi phụ thuộc vào các thông số đặc trưng là khoảng phân cách ban đầu, mối
quan hệ về pha và biên độ. Cuối cùng là những khảo sát ban đầu về tương tác của
ba soliton trong sợi quang.

3
Footer Page 15 of 16.


Header Page 16 of 16.

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ SỰ LAN TRUYỀN XUNG SÁNG
TRONG SỢI QUANG
Khi ánh sáng hay trường điện từ bất kỳ truyền trong môi trường dẫn

quang (sợi quang), nó sẽ chịu tác dụng của nhiều hiệu ứng khác nhau, đặc biệt
hiệu ứng phi tuyến đối với xung ngắn và cực ngắn. Hệ phương trình Maxwell cho
các trường điện từ sẽ đưa ra phương trình tổng quát và được xem xét trong các bài
toán cụ thể là: phương trình tổng quát cho bài toán mode sợi và điều kiện tồn tại
đơn mode trong sợi quang - những đặc trưng của mode cơ bản. Phương trình tổng
quát cho bài toán lan truyền xung sáng nói chung và xung phi tuyến nói riêng những điều kiện đặc biệt của môi trường sợi quang giúp chúng ta đơn giản hóa
phương trình tổng quát phức tạp - các hiệu ứng phi tuyến bậc cao.
1.1 Hệ phương trình Maxwell
Giống như tất cả các trường điện từ, ánh sáng với bản chất là một
sóng điện từ nên sự lan truyền của nó bị chi phối bởi hệ phương trình
Maxwell. Trong hệ thống đơn vị quốc tế [2] hệ phương trình Maxwell có
dạng:
∇×

∇×
∇.

∇.

=−

(1.1.1)

= +

(1.1.2)

=

(1.1.3)

=0

(1.1.4)

Trong đó E và H là hai véc tơ cường độ điện trường và cường độ từ
trường, D và B là véc tơ cảm ứng điện và cảm ứng từ. Véc tơ mật độ dòng J và véc
tơ mật độ điện tích

đại diện cho nguồn phát của trường điện. Trong môi trường

điện tích tự do như sợi quang thì J=0 và

=0.

Mật độ thông lượng D và B phát sinh tương ứng với trường điện, E và H
tương ứng với trường từ lan truyền bên trong môi trường. Mối liên hệ giữa chúng
là:
D=

E+P

(1.1.5)

B=

H +M

(1.1.6)

4
Footer Page 16 of 16.


Header Page 17 of 16.

là hằng số điện môi trong chân không,
là độ từ thẩm trong chân không,
P và M là véc tơ phân cực điện và phân cực từ. Trong một môi trường phi từ tính
như sợi quang thì M=0.
Phương trình Maxwell có thể được sử dụng để tìm các phương trình sóng,
mô tả sự lan truyền ánh sáng trong các sợi quang. Bằng cách lấy rota của phương
trình (1.1.1), sử dụng phương trình (1.1.2), (1.1.5), (1.1.6), ta có thể bỏ qua B và D,
sử dụng mối liên hệ µ0

0

∇×∇×

=1/c2 ta thu được phương trình cho E và P là:
−

=−

(1.1.7)

Trong đó c là tốc độ của ánh sáng trong chân không. Khi tần số quang học
xấp xỉ tần số của môi trường cộng hưởng thì P và E liên hệ theo phương trình:
=

(

( )

.

+

( )

:

+

( )

⋮

ứng phi tuyến bậc ba được chi phối bởi
phần là:
( , )=

( , )+

+ ⋯ ). Nếu chúng ta chỉ xem xét các hiệu
( )

thì véc tơ phân cực gây ra bởi hai thành

( , )

(1.1.8)

Trong đó PL là thành phần tuyến tính, thành phần phi tuyến là PNL. Hai thành
phần này liên hệ với trường điện E :
( , )=

( , )=

∫

∭

( )

( − ). ( , ) ′
( )

( −

, −

, −

(1.1.9)
) ⋮× ( , ) ( ,

) ( ,

)

.

(1.1.10)

Các phương trình (1.1.7) - (1.1.10) đưa ra một dạng thức chung để nghiên cứu
các hiệu ứng phi tuyến bậc ba trong sợi quang. Vì sự phức tạp của các phương trình
trên, chúng ta thực hiện một vài phép xấp xỉ đơn giản hóa. Xấp xỉ lớn nhất là phân
cực phi tuyến PNL trong phương trình (1.1.8) được coi là một biến đổi nhỏ so với toàn
bộ sự phân cực. Điều này hợp lý vì các hiệu ứng phi tuyến là tương đối yếu trong các
sợi silic. Do đó bước đầu tiên ta giải phương trình (1.1.7) với PNL = 0:

Trong đó

∇×∇× ( , )− ( )

(1.1.11)

( , ) là biến đổi Fourier của ( , ) và được định nghĩa là:
( , )=∫

( , ) exp(
5

Footer Page 17 of 16.

( , )
)

(1.1.12)

Header Page 18 of 16.

Các hằng số điện môi phụ thuộc vào tần số xuất hiện trong phương trình
(1.1.12) được định nghĩa:

Trong đó
( )

( )

( )

( )=1+

( )

(1.1.13)

( ) là biến đổi Fourier của

( )

( ). Cũng giống như ( ),

( ) thường là số phức. Phần thực và phần ảo có thể liên hệ với chỉ số khúc xạ

n( ) và hệ số hấp thụ ( ) bởi liên hệ:

⁄2 ) .

=( +

(1.1.14)

Từ phương trình (1.1.13) và (1.1.14), n và

liên hệ với

trình:
( )=1+

( )=

[

( )

( )

( )

( )

bằng các phương

(1.1.15)

( )]

(1.1.16)

Trong đó Re và Im là phần thực và phần ảo tương ứng. Có hai phép đơn giản
hóa hơn nữa có thể được thực hiện trước khi giải phương trình (1.1.11): thứ nhất, vì
trong vùng bước sóng sử dụng, hao phí sợi quang thấp, phần ảo của ε (ω) là nhỏ so
với phần thực. Vì vậy, chúng ta có thể thay thế ε (ω) bởi

( ). Thứ hai, n ( )

thường độc lập với các tọa độ không gian trong cả lõi và lớp vỏ của sợi quang chiết
suất bậc, nên ta có thể sử dụng:
∇×∇×

≡ ∇(∇. ) − ∇

Trong đó mối liên hệ ∇.

= ∇.

= −∇

(1.1.17)

= 0 đã được sử dụng từ phương trình

(1.1.3) Với những phép đơn giản hóa đó phương trình (1.1.11) có dạng đơn giản là:
∇

+

( )

= 0.

(1.1.18)

Phương trình này sẽ được giải sau đây trong bài toán mode sợi với những
điều kiện cụ thể.
1.2 Các mode sợi
Tại bất kỳ tần số ω, sợi quang có thể tạo ra một số hữu hạn các mode định
hướng, có sự phân bố không gian

( , ) là một nghiệm của phương trình sóng

(1.1.18) và đáp ứng tất cả các điều kiện biên thích hợp. Ngoài ra, sợi quang có thể tạo
ra một chế độ bức xạ liên tục của các mode [6].
1.2.1 Phương trình trị riêng

6
Footer Page 18 of 16.


Header Page 19 of 16.

Do tính đối xứng hình trụ của các sợi quang nên ta có thể biểu diễn phương
trình sóng (1.1.18) trong tọa độ hình trụ ρ, φ và z:

Trong đó

+

+

+

⁄ = 2 ⁄ và

=

( , )=

=0

+

là biến đổi Fourier của trường điện E

( , ) exp(−

∫

(1.2.1)

)

(1.2.2)

Mối quan hệ tương tự tồn tại trong trường từ H(r; t). E và H thỏa mãn phương
trình Maxwell (1.1.1) - (1.1.4) và chỉ có hai trong sáu thành phần là độc lập. Đó là

nguyên tắc để chọn

,

trong số hạng cuả

và

phương trình sóng cho

như các thành phần độc lập và biểu diễn
. Cả

,

,

∅,

,

∅

đều thỏa mãn phương trình (1.2.1). Các

được giải dễ dàng bằng cách sử dụng phương pháp tách

biến, kết quả ta thu được dạng thức chung sau đây:
( , ) = ( ) ( ) exp(±

Trong đó A là hằng số chuẩn hóa,
( ) là nghiệm của phương trình:

+

) exp(

)

(1.2.3)

là hằng số truyền, m là một số nguyên và

+

−

−

=0

(1.2.4)

Trong đó chỉ số chiết suất n = n1 khi ρ<=a cho một sợi bán kính lõi a, giá trị n2
áp dụng cho bên ngoài lõi sợi (ρ> a).
Phương trình (1.2.4) là phương trình khác biệt cho các hàm Bessel. Nghiệm
tổng thể của nó bên trong lõi có thể được viết như
( )=

(

)+

(

)

(1.2.5)

Trong đó Jm là hàm Bessel, Nm là hàm Neumann, và
Ƙ=(

−

)

⁄

(1.2.6)

Các hằng số C1 và C2 được xác định bằng cách sử dụng điều kiện biên.
Nm(κρ) có một điểm kỳ dị tại ρ = 0, C2 = 0 cho một nghiệm rất có ý nghĩa vật lý [2].
Hằng số C1 có thể được chứa trong A khi xuất hiện trong phương trình (1.2.3). Do đó,
( )=

(

),

≤

(1.2.7)

Tại vùng vỏ sợi (ρ>=a), các nghiệm F(ρ) bị phân rã theo cấp số nhân khi ρ
lớn. Do đó,
( )=

(

),

≥
7

Footer Page 19 of 16.

(1.2.8)


Header Page 20 of 16.

Trong đó
=(

⁄

)

−

(1.2.9)

Theo cách như vậy ta cũng có được các thành phần từ trường
biên ta thấy rằng các thành phần tiếp tuyến của
từ lõi đến vỏ ,

,

,

∅

và

∅

và

. Từ điều kiện

là liên tục trên mặt cắt chéo

là tương tự khi ρ = a được tiệm cận từ bên trong hoặc

bên ngoài lõi. Các phương trình thành phần trường tại ρ = a dẫn đến một phương
trình trị riêng có nghiệm xác định hằng số truyền β của các mode sợi.
Khi đó, chúng ta viết phương trình trị riêng một cách trực tiếp:
(

(

)

)

+

(

(

)

(

)

(

)

)

(

+

(

)

)

=

(

(1.2.10)

Trong đó chúng tôi sử dụng mối liên hệ quan trọng:
Ƙ +

=(

−

)

(1.2.11)

Phương trình trị riêng (1.2.10) nói chung có một số nghiệm β tại mỗi giá trị
nguyên của m. Nó thể hiện các nghiệm này bởi hệ số βmn, trong đó cả m và n có giá trị
nguyên. Mỗi trị riêng βmn tương ứng với một mode cụ thể được phát ra trong sợi
quang. Các trường phân bố tương ứng thu được từ phương trình (1.2.3). Điều đó có
nghĩa là có hai loại mode sợi, được xem như HEmn và EHmn. Khi m = 0, các mode
tương tự như trường điện ngang (TE) và trường từ ngang (TM), là mode của một ống
dẫn sóng phẳng bởi vì thành phần trục dọc của điện trường, hoặc từ trường bằng 0 [6],
[7]. Tuy nhiên, m> 0, các mode sợi trở thành hybrid, cả sáu thành phần của trường
điện từ là khác không.
1.2.2 Điều kiện đơn mode

Số lượng các mode phát ra bởi một sợi quang cụ thể ở một bước sóng nhất
định phụ thuộc vào các thông số của nó, cụ thể là bán kính lõi a và chỉ số khác biệt
giữa lõi, sợi n1 - n2. Một thông số quan trọng cho mỗi mode là tần số cut-off. Tần số
này được xác định bởi điều kiện γ = 0. Giá trị của κ khi γ = 0 xác định một tần số cutoff từ phương trình (1.2.11). Định nghĩa một tần số chuẩn hóa V bằng mối liên hệ:
=

=

(

−

)

⁄

(1.2.12)

Trong đó κc thu được từ phương trình (2.2.11) bằng cách thiết lập γ = 0.
Phương trình trị riêng (1.2.10) có thể được sử dụng để xác định các giá trị của
V tại các mode sợi khác nhau. Một sợi đơn mode chỉ phát ra mode HE11, còn được gọi

8
Footer Page 20 of 16.


Header Page 21 of 16.

là mode cơ bản. Tất cả các mode khác đều nằm ngoài vùng cut-off nếu tham số Vtrong đó Vc là nghiệm nhỏ nhất của

V là một tham số ban đầu quan trọng.

( ) = 0) hoặc

≈ 2.405. Giá trị thực tế của

1.2.3 Các đặc trưng của mode cơ bản
Sự phân bố trường E(r, t) tương ứng với mode HE11 có ba thành phần khác 0
Eρ,

∅

và Ez, hoặc trong hệ tọa độ Đề-các là Ex, Ey, và Ez. Trong số này, một trong hai

thành phần hoặc Ex,hoặc Ey chiếm ưu thế. Như vậy, khi xấp xỉ, mode sợi cơ bản phân
cực tuyến tính theo phương x hoặc y tùy thuộc vào việc Ex hay Ey chiếm ưu thế. Về
mặt này, ngay cả một sợi quang đơn mode cũng không phải là đơn mode thực sự vì
nó có thể phát ra hai mode phân cực trực giao. Các ký hiệu LPmn đôi khi được dùng để
biểu thị chế độ phân cực tuyến tính, đó là nghiệm gần đúng của phương trình (1.2.1).
Các mode cơ bản HE11 tương ứng với LP01 trong ký hiệu này.
Hai mode phân cực trực giao của một sợi đơn mode bị suy biến (ví dụ, chúng
có hằng số truyền giống nhau) trong điều kiện lý tưởng. Trong thực tế, các điều kiện
dị thường như sự ngẫu nhiên xuất hiện trong hình dạng và kích thước lõi dọc theo
chiều dài sợi phá vỡ sự suy biến này một chút. Như ta đã biết, sợi duy trì phân cực có
thể duy trì sự phân cực tuyến tính nếu ánh sáng được đưa ra phân cực dọc theo một
trong những trục chính của sợi. Giả sử rằng ánh sáng tới bị phân cực dọc theo một
trục chính (được lựa chọn để trùng với trục x), điện trường cho mode sợi cơ bản HE11
được đưa ra xấp xỉ bằng:
( , )= { ( ) ( , )

[ ( ) ]}

(1.2.13)

Trong đó A (ω) là một hằng số chuẩn hóa. Sự phân bố ngang bên trong lõi sợi
được tìm thấy là:
( , )=

(

),

≤

(1.2.14)

Trong đó ρ = (x2 + y2) 1/2 là khoảng cách xuyên tâm. Bên ngoài lõi sợi sẽ phân
rã theo cấp số nhân như [4]
( , )=( ⁄ )

⁄

(

) exp[− ( − )] ,

≥

(1.2.15)

Trong đó Km (γρ) trong phương trình (1.2.8) được xấp xỉ bởi các số hạng đầu
trong khai triển tiệm cận của nó và một hệ số không đổi được bổ sung để đảm bảo sự
cân bằng F(x, y) tại ρ = a. Các hằng số truyền β(ω) trong phương trình (1.2.13) thu

9
Footer Page 21 of 16.


Header Page 22 of 16.

được bằng cách giải phương trình trị riêng (1.2.10). Kết quả, sự phụ thuộc tần số của
nó không chỉ từ sự phụ thuộc tần số của n1 và n2 mà còn từ sự phụ thuộc tần số của κ.
Phần trước được gọi là tán sắc vật liệu trong khi phần sau được gọi là tán sắc ống dẫn
sóng. Tán sắc vật liệu thường chiếm ưu thế trừ khi bước sóng ánh sáng gần bước sóng
không tán sắc. Việc đánh giá β (ω) thường đòi hỏi một nghiệm số của phương trình
(1.2.10), phương trình phân tích gần đúng có thể thu được trong trường hợp cụ thể.
Chỉ số mode hiệu dụng liên quan đến β bằng neff = β/k0.
Như việc sử dụng phương trình phân bố F(x, y) được đưa ra bởi phương trình
(1.2.14) và (1.2.15) khá cồng kềnh trong thực tế, mode sợi cơ bản thường được xấp xỉ
bởi một phân bố Gaussian có dạng:
( , )≈

[− (

+

)⁄

]

(1.2.16)
Hình 1.1: Sự thay đổi
của tham số độ rộng
mode w với V thu được
bằng cách khớp các
mode sợi cơ bản với một
phân bố Gauss. Đường
bên phải hiển thị độ phù
hợp cho V = 2.4.

Trong đó w là tham số độ rộng được xác định bằng cách khớp các phân bố
chính xác để có một dạng Gaussian hoặc bằng cách làm theo một quy trình biến phân.
hình1.1 cho thấy sự phụ thuộc của w/a với tham số sợi V xác định bởi phương trình
(1.2.12). Sự so sánh các trường phân bố thực tế với các hàm khớp Gaussian cũng
được chỉ ra cho một giá trị cụ thể V = 2.4. Sự phù hợp khi khớp hàm nói chung là khá
tốt [8], đặc biệt là cho các giá trị V lân cận 2.
1.3 Phương trình lan truyền xung sáng
Hầu hết các nghiên cứu về các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang đều liên
quan đến việc sử dụng các xung ngắn với độ rộng xung từ 10 ns đến 10 fs. Khi xung
sáng lan truyền trong một sợi quang, cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến đều ảnh
hưởng đến hình dạng, phổ của xung. Bắt đầu với phương trình sóng (1.1.7). Bằng
cách sử dụng phương trình (1.1.8) và (1.1.17), có thể được viết dưới dạng

10
Footer Page 22 of 16.


Header Page 23 of 16.

∇

−

=

+

,

(1.3.1)

Trong đó các thành phần tuyến tính và phi tuyến của sự phân cực liên hệ với
trường điện qua phương trình (1.1.9) và (1.1.10) tương ứng.
1.3.1 Sự lan truyền xung phi tuyến
Trước khi giải phương trình (1.3.1) ta có thể tiến hành một số bước đơn giản
hóa như sau.
Thứ nhất, PNL được coi là thay đổi nhỏ so với sự thay đổi của PL. Điều này có
được là do sự thay đổi phi tuyến trong chỉ số khúc xạ thường <10^-6 trong thực tế.
Thứ hai, trường quang được giả thiết là giữ phân cực dọc theo chiều dài sợi
quang, trường hợp này không hoàn toàn đúng trừ khi sử dụng sợi quang duy trì phân
cực. Nhưng khi lấy xấp xỉ thì khá phù hợp với thực tế.
Thứ ba, trường quang học giả thiết là gần như đơn sắc, tức là phổ của xung sẽ
tập trung ở
Khi

và có một độ rộng phổ ∆ với ∆ ⁄

~10

≪ 1.

, ta có giả thiết cuối cùng là xung ngắn xấp xỉ 0.1ps là khả

dụng. Sử dụng tiến triển xấp xỉ, giả thiết này cho phép tách các phần riêng biệt của
trường điện như dạng dưới đây:
( , )=

̂ [ ( , ) exp(−

)+ . .]

(1.3.2)

Trong đó ̂ là vecto phân cực đơn vị và E(r, t) là một hàm biến đổi chậm theo

thời gian. Các thành phần phân cực PL và PNL cũng có thể được thể hiện một cách
tương tự khi viết:
( , )=

̂ [ ( , ) exp(−

( , )=

̂[

)+ . .]

( , ) exp(−

(1.3.3)

)+ . .]

(1.3.4)

Thành phần tuyến tính PL có thể thu được bằng cách thay phương trình (1.3.3)
và (1.1.9) như là:
( , )=∫
=

( )

∫

( − ) ( , ) exp[
( )

( ) ( ,

−

( − )]

) exp[− ( −

11
Footer Page 23 of 16.

) ]

,

(1.3.5)


Header Page 24 of 16.

Trong đó

( , ) là biến đổi Fourier của

( , ) và xác định tương tự như

phương trình (1.1.12). Các thành phần phi tuyến PNL cũng thu được khi thay (1.3.4)
vào phương trình (1.1.10) ta có:
( )

( , )=

⋮ ( , ) ( , ) ( , ).

(1.3.6)

Giả thiết rằng các hiệu ứng phi tuyến tức thời bỏ qua sự đóng góp của các
dao động phân tử

( )

(hiệu ứng Raman). Một cách tổng quát, cả electron và hạt

nhân đều đáp ứng với trường quang trong một môi trường phi tuyến. Các hạt nhân

thường đáp ứng chậm hơn electron. Trong sợi silic, các dao động hoặc các phản ứng
Raman xảy ra trong một khoảng thời gian 60-70 fs. Như vậy, phương trình (1.3.6)
có giá trị độ rộng xung xấp xỉ >1 ps.
Khi phương trình (1.3.2) được thay vào phương trình (1.3.6), PNL(r, t) được
tìm thấy có một phần dao động tại
hòa ba bậc ba 3

và một phần khác dao động tại tần số sóng

. Trong thành phần thứ hai yêu cầu về sự phù hợp pha nói chung

là không đáng kể trong sợi quang. Bằng cách sử dụng phương trình (1.3.4) thì
PNL(r,t) có thể viết lại thành:
( , )≈

( , )

(1.3.7)

Trong đó đóng góp phi tuyến của hằng số điện môi được định nghĩa là:
=

( )

| ( , )|

(1.3.8)

Để thu được phương trình sóng cho các biên độ biến đổi chậm E(r, t), sẽ
thuận lợi hơn nếu ta dùng biến đổi Fourier. Điều này nói chung là không thể, khi

phương trình (1.3.1) là phi tuyến bởi vì cường độ phụ thuộc vào
pháp này,

. Trong phương

được coi là một hằng số trong suốt quá trình biến đổi của phương

trình. Cách tiếp cận này hợp lý khi xem sự xấp xỉ tiến triển xung biến đổi chậm
cùng với sự biến đổi tự nhiên của PNL. Khi thay phương trình (1.3.2) và (1.3.4) vào
(1.3.1) biến đổi Fourier ( ,
( ,

−

−

) được định nghĩa:

)=∫

( , ) exp[ ( −

Nó được tìm thấy khi thỏa mãn phương trình Helmholtz.
Trong đó

∇

+ ( )
=

=0

⁄ và ( ) = 1 +
12

Footer Page 24 of 16.

) ]

(1.3.9)

(1.3.10)
( )

( )+

(1.3.11)


Header Page 25 of 16.

Đó là hằng số điện môi của các thành phần phi tuyến

như được đưa ra

trong phương trình (1.3.8).
Tương tự như phương trình (1.1.14) các hằng số điện có thể được sử dụng để
định nghĩa chỉ số phản xạ

và hệ số hấp thụ

đều phụ thuộc cường độ. Trong đó
Sử dụng
tuyến

=

=( +

+

⁄2

| | ,

=

+

nên cả

| |

và

(1.3.12)

) và phương trình (1.3.8), (1.3.11) chỉ số phi

, hệ số hấp thụ hai photon

được đưa ra:

( )

=

,

( )

=

Chỉ số tuyến tính n, hệ số hấp thụ
( )

. Tuy nhiên, do

.

(1.3.13)

liên quan với phần thực và phần ảo của

như phương trình (1.1.15) và (1.1.16).

thì tương đối nhỏ trong sợi silic nên

nó thường được bỏ qua.
Phương trình (1.3.10) có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp tách biến.

Nếu chúng ta giả thiết rằng:
( ,

)= ( , ) ( ,

−

−

Trong đó ( , ) là hàm biến đổi chậm của z và

) exp(

)

(1.3.14)

là số sóng, phương trình

(1.3.10) dẫn đến hai phương trình cho F(x, y) và ( , ):
2i

+

+

+

( )

−

−

= 0,

= 0,

Phương trình (1.3.16) thu được khi coi các đạo hàm bậc hai
bỏ qua khi ( , ) giả thiết là hàm biến đổi chậm của z. Số sóng

(1.3.15)
(1.3.16)
⁄

được

được xác định

bằng cách giải phương trình trị riêng (1.3.15) cho các mode sợi. Hằng số điện môi
( )trong phương trình (1.3.15) có thể viết xấp xỉ bằng:
= ( +∆ ) ≈

+2 ∆ ,

Trong đó ∆ là một thay đổi vô cùng nhỏ
∆ =

| | +

.

(1.3.17)

(1.3.18)

Phương trình (1.3.15) có thể giải bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc
1. Đầu tiên chúng ta thay

bằng

thu được hàm phân bố F(x, y) và số sóng ( )
13

Footer Page 25 of 16.