DAP AN BAI 5 HSG TOAN 9 THANH HOA 2016 2017

ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1 (4 điểm)

1/Cho biểu thức
biểu thức P

4
1  x+2 x 

P = 1 +
+
÷
÷: 
x −1 x −1   x −1 


2/ Cho biểu thức
trình

F ( x ) = x 8 + 12x + 12 − 3x

x2 − x −1 = 0

với

x > 0; x ≠ 1

. Rút gọn

. gọi x0 là một nghiệm của phương

. Tính giá trị của F(x0).

Câu 2 (4 điểm)
1/ Cho phương trình

nghiệm phân biệt

mx 2 + x + m − 1 = 0

x1 , x 2

2/ Giải hệ phươn trình

thỏa mãn

. Xác định m để phương trình có hai

1 1
−
>1
x1 x 2



1 
2 x 1 +
÷= 3

 x+ y


2 y 1 − 1  = 1
 x+y÷





Câu 3 (4 điểm)
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x 2 ( y − 5) − xy = x − y + 1

2/ Tìm các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
x+y+z là số nguyên tố.
Câu 4 (6 điểm)

x 3 + y3 = 2z 3

và


Cho góc ABx cố định, trên tia Bx lấy điểm C sao cho ABĐường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần
lượt tại I,J,K. Tia BO cắt các đường thẳng JK, AC lần lượt tại M và D.

1/ Chứng minh rằng
một đường tròn.

1·
·

AOB
= 900 + ACB
2

và 5 điểm A,I,O,M,K cùng nằm trên

2/ Chứng minh rằng DK.BM=DM.BJ và đường thẳng JK luôn đi qua một điểm
cố định khi điểm C di động trên tia Bx thỏa mãn giả thiết.
3/ Gọi P là giao điểm của đường thẳng KI và đường thẳng BC, đường thẳng AJ
cắt cắt đường trong (O) tại điểm thứ hai N. Chứng minh PN là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
Câu 5 (2 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương. Tính giá trị của biểu thức
P=

( a + b + c)

2

30 ( a 2 + b 2 + c 2 )

2
2
2
a 3 + b3 + c3 131( a + b + c )
+
−
4abc
60 ( ab + bc + ca )

Đáp án câu 5
Cho a,b,c là các số thực dương. Tính giá trị của biểu thức
P=

( a + b + c)

2

30 ( a 2 + b 2 + c2 )

Giải
Ta có

2
2
2
a 3 + b3 + c3 131( a + b + c )
+
−
4abc
60 ( ab + bc + ca )


a 3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )

2
2
2
a 3 + b3 + c3 3 ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca )
⇒

= +
4abc
4
4abc
3 1  1
1
1 
= + . + + ÷( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
4 4  ab bc ca 
3 1
9
≥ + .
.( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
4 4 ab + bc + ca
2
2
2
2
2
2
3 1 9( a + b + c ) 9 1 9( a + b + c ) 3
= + .
− = .
−
4 4 ab + bc + ca
4 4 ab + bc + ca
2

9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 131( a 2 + b 2 + c 2 ) 3
1

ab + bc + ca
P≥
+
+
−
−
30 15 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 4 ( ab + bc + ca ) 60 ( ab + bc + ca ) 2
a 2 + b 2 + c2 )
(
1 3
ab + bc + ca
=
− +
+
30 2 15 ( a 2 + b2 + c 2 ) 15 ( ab + bc + ca )

≥
Suy ra

1 3 2 −4
− + =
30 2 15 3

Dấu = xay ra khi và chỉ khi a = b = c
MinP =
Vậy

−4
3

khi và chỉ khi a = b =c