Đáp án một đề HSG Toán 9

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN
GV: Phạm Thị Hằng - Trường THCS Ngọc Trung
Câu ý Nội dung
Thang
điểm
1
a
Điều kiện: x≠3
3x
x35
)3x(
)3x)(x35(
A
2
−
−
=
−
−−
=
0,5
1
b
Ta có:
210)15(416206416x −=+−=+−=
3210
231035
3210
)210(35
A
−−

−−
=
−−
−−
=⇒
1
1
c
2
3x
x35
2A =
−
−
⇔=
(*). Điều kiện:






∈⇔≥
−
−
3;
3
5
x0
3x

x35
7
17
x)3x(4x35(*) =⇔−=−⇔
Kết luận:
7
17
x =
thì
2A =
0,5
0,5
0,5
2
a
Pt:
33 =++ xx
Điều kiện:
0
≥
x
Đặt:
3 x t;(t 3)+ = ≥
khi đó ta có hệ
( )( )









=+
=+−+
⇔
=+
=+
3
01
3
3
tx
txtx
tx
tx






=
=
⇔
=++
+=
⇔
1
4

31
1
x
t
xx
xt
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
0,5
0,5
0.5
0,5
b
3
x y 9
3x y 6

=

+ =

Dễ thấy x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
3
4 4
4
6
6 3x + y 4. x y 4. 9 9
4
= ≥ = ⇒ ≥
. Vô lí.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

0,5
1
0,5
3
K
H
M
B
A
C
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường cao AK của tam giác
cân AMC.
ΔABH vuông, có
µ
B
= 30
0
nên AH =
1
2
AB (1)
ΔAMC cân tại A nên AK là đường phân giác và đường trung tuyến,
do đó
·
0
1
CAK 50 ,CK CM
2
= =
(2). Hai tam giác vuông AHC và CKA

có AC là cạnh chung,
· ·
0
ACH CAK 50= =
, do đó ΔAHC = ΔCKA ⇒
AH = CK (3).
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu ý Nội dung
Thang
điểm
Từ (1), (2), (3) ta có AB = CM.
0,5
4
a
Ta có
·
·
ABC ADB=
cùng chắn cung AB.
·
·
ACB ABD=
cùng chắn cung AB
⇒ ΔABC đồng dạng với ΔADB (g.g) (1)
(1) ⇒
AB AC

AD AB
=
⇒AB
2
= AC.AD
0,25
0,25
0,25
0,25
b
C
D
B
O
A
O'
E
(1) ⇒
2
2
BC AC AB BC AC AB AC
.
BD AB AD BD AB AD AD
= = ⇒ = =
Ta lại có
·
·
· ·
·
0

OBC OBD CBD 90 CBD BDO'= − = − =
⇒ΔCOB đồng dạng với ΔDO'B (g.g)
⇒
BC OC R
BD O'D R '
= =
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Ta có
·
·
·
·
CAB DAB EAC DAE= ⇒ =
Mặt khác:
AC AB
AB AD
=
, mà AE = AB ⇒
AC AE
AE AD
=
⇒ ΔCAE đồng dạng với ΔEAD (g.g)
⇒
·
·
AEC ADE=

Do đó
·
·
·
· ·
·
CED CEA DEA ADE DAE BAD= + = + =
Mà
· · ·
·
· ·
·
·
0
BAD ABD BAD CBA ABD BAD ADB ABD 180+ = + + = + + =
⇒
·
·
0
CED CBD 180+ =
⇒ Tứ giác CBED nội tiếp được trong đường tròn. Hay 4 điểm B, C,
E, D cùng nằm trên cùng một đường tròn.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

5
Biến đổi P trở thành P = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = x
4
+ 2x
3
+
2x
2
+ x
2
+ 2x + 1= x
4
+ 2x
2
(x + 1) + (x + 1)
2
= (x
2
+ x + 1)
2
vì
2
2 2
1 3 3

(x + x + 1) x
2 4 4
 
= + + ≥
 ÷
 
, mà x
2
+ x + 1 > 0
nên min(x
2
+ x + 1) =
3 1
x
4 2
⇔ = −
Vậy MinP =
2
3 9 1
x
4 16 2
 
= ⇔ = −
 ÷
 
1
1
0,5
0,5