Bài tập phần tử hữu hạn (ôn tập) Dạng tấm khung

ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Các bước để giải một bài tập
1. Chia nhỏ phần tử, đánh số nút, số bậc tự do.
2. Xác định ma trận độ cứng từng phần tử ke . Vectơ tải phần tử fe (nếu cần)
3. Ghép nối để tạo ma trận độ cứng chung: K
4. Xác định vectơ lực chung: F
5. Suy ra hệ phương trình: K.Q=F
6. Dùng điều kiện biên: loại bỏ các hàng và cột không cần thiết.
7. Giải hệ phương trình đã rút gọn, tính chuyển vị, lực, biến dạng, ứng suất, …
Bài 1. Cho một khung chịu lực như Hình vẽ. Biết E = 200x109 N/m2,A=0.006m2, J =
410-4 m4, L= 2m, p = 24 kN/m. P=16kN. Xác định chuyển vị tại B.
p

B

(2)
2

C

L/2

(1)

P
L/2
A

1
L

1. Chia nhỏ phần tử, đánh số nút, số bậc tự do (SV tự thao tác)
2. Xác định ma trận độ cứng từng phần tử ke
Phần tử 1: E1 = 200x109 N/m2; A1=0.006m2 ; J1 = 410-4 m4, l1= 2m,
12 J1
E
 0.0012; 1  1011
2
l1
l1
Bl
Bl
 A  B  lm  e m   Al 2  Bm 2    A  B  lm  e m 
2
2

Bl
Bl
2
2
2
2
e
e
Am  Bl
l
  A  B  lm   Am  Bl 
l 
2
2 


Ble
Bl
4J
m
 el
2J 
2
2


Bl
e
Al 2  Bm 2
m
 A  B  lm
2

Ble 
2
2
Am  Bl

l
2 
4 J 

=900; l=cos=0; m=sin=1; B1 
 2
2
 Al  Bm





E
ke  
le 





 DX

3


1

2

3

4

5

6

 12 0 12 12 0 12  1


60 0
0 60 0  2


16 12
0
8 3
k 1  107 
 ;
12
0
12  4


60
0 5


16  6
 DX

4

5

6

7

8

9

0 4
 60 0 0 60 0

12 12 0 12 12  5


16 0 12 8  6
k 2  107 

60
0
0 7


12 12  8


16  9
 DX

Phần tử 2: E2 = 200x109 N/m2; A2=0.006m2 ; J2 = 410-4 m4, l2= 2m,
=00; l=cos=1; m=sin=0; B2 
* Vectơ lực phần tử:

12 J 22
E

 0.0012; 2  1011
2
l2
l2

Phần tử 1: (Lực tập trung P ở giữa dầm, xét trên hệ tọa độ địa phương Ox’y’ , P +)
 l m
m l

0 0
T
L1  
0 0
0 0

0 0


f  0

'1

P
2

0
0
1
0

0
0
0
l

0 m
0 0

Pl1
8

0

0
0
0
m
l
0

0   0 1
0  1 0
 
0  0 0

0  0 0
0  0 0
 
1  0 0

0
0
1
0

0 0
0 0
0 0
0 1

P
2

Pl 
T
 1    0 8000 4000 0 8000 4000
8 

0 1
0 0

0
0

0

0
0

1

0
0

T

f 1  L1T f '1   8000 0 4000 8000 0

T

4000

Phần tử 1: (Lực phân bố, hệ tọa độ địa phương Ox’y’ trùng với Oxy)

f  f '  0

2

2

ple
2

pl 2 e
12

0

ple
2

T

pl 2 e 
T

   0 24000 8000 0 24000 8000
12 

Điều kiện biên: Q1=Q2=Q3=Q7=Q8=Q9=0
6
72 0 12  Q4   8000 
Q4   7.14 x10   m 

  

  

 107  0 72 12  Q5   24000   Q5    29.5 x106   m 
Q   23.8 x106   rad 
12 12 32  Q6  12000 
 6 




Bài 2-3. Cho một khung chịu lực như Hình vẽ. Biết E = 200x109 N/m2,A=0.001m2, J =
210-4 m4, L= 4m, p = 12 kN/m. P=24kN. Xác định chuyển vị tại B.
p

P

B

C

B

C

3L/4
p

L

P
L/4

A

A
L

Đáp số:

L/2

L/2

5

Q4   8.77 x10   m 

  

2 / Q5   39.5 x105   m  ;
Q   8.61x105   rad 
 6 



4
Q4  3.50 x10   m 

  

3 / Q5    1.41x104   m 
Q   2.58 x104   rad 
 6 



Bài 4. Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 4m, cách chia phần tử và đánh số nút
như hình vẽ. Biết E = 200 gPa;  = 0,3; t = 0,01 ; P=50kN, p=30kN/m.
y
3

a/ Xác định ma trận B, D của từng phần tử.

P

4
2

b/ Xác định các bậc tự do, điều kiện biên và vectơ lực chung F.

p

1
T

c/ Giải sử : q1  10 6  0 0 25 0 0 25 (m)

1

2

Tính ứng suất trong phần tử 1.
Phần tử e

Nút 1

Nút 2

Nút 3

Phần tử 1

1

2

3

Phần tử 2

2

4

3

 y23
1 
B
0
det J 
 x32

0
x32
y23

y31
0
x13

0
x13
y31

y12
0
x21

0
x
x21  ; J   21
 x31
y12 

y21 
;
y31 

xij  xi – x j
yij  yi  y j

x


 4
1 
B1   0
16
 4
0
1 
B2   0
16
 4

Phần tử 1 :

Phần tử 2 :

0 4 0 0 0
4 0
4 0 0 0 4  ; J1  
;
0 4 

4 0 0 4 4 
0 4 0 4 0 
 0 4
4 0 4 0 0  ; J 2  
;
4 4 

0 4 4 0 4 



1 
0 
 220 66 0 

E 
D1  D2  D 
 1
0   109  66 220 0 

2 


1 

 0
1  
0 77 
0 0


2 
b/ Xác định các bậc tự do : tự vẽ trên mô hình.
Điều kiện biên : Q1 = Q2 = Q4 = Q5 =0
Phản lực :

f   f1

Ngoại lực :


0 0

Ngoại lực :

F   f1

f2

pl

2
f2

0

f4

T

0 0 0

f5

T

0 0 0

pl
T

 P 0    0 0 60000 0 0 0 110000 0
2

f4

60000

f5

T

0 11000 0

c/ Tính ứng suất trong phần tử 1.

 x  1.79x106 
 55 16 55 0 0 16 

  
D1B1  109  16 55 16 0 0 55 ;  1  D1B1q1   y   1.79x106   N / m 2 
  

 19 19 0 19 19 0 
0
 xy  

Bài 5-6. Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 2m, cách chia phần tử và đánh số
nút như hình vẽ. Biết E = 200 gPa;  = 0,3; t = 0,01 ; P=100kN, p=70kN/m. Xác định ma
trận B, D của từng phần tử. Xác định các bậc tự do, điều kiện biên và vectơ lực chung F.
y

P

y

4

3

3

4

2

P

2

p

1
1

P/2

p

1
2

x
1

2

x