Những bài toán tích phân, và áp dụng tính diện tích, thể tích và các bài toán liên quan

Header Page 1 of 16.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ THÚY

NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH,
THỂ TÍCH,VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ CAO HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội – 2017

Footer Page 1 of 16.

1


Header Page 2 of 16.

LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong
chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc. Tuy nhiên các em
học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai,
chưa chính xác. Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép

nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật
toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan. Khắc phục được khó
khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi
và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán
cũng như các môn học khác. Xuất phát từ thực tế trên, tôi tổng hợp một một số phương pháp tính tích
phân cơ bản, áp dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn xoay, và một số bài toán liên quan.
Với sáng kiến “Phân loại các bài tập tích phân, ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12
nâng cao” tôi chủ yếu đi vào khai thác một số bài toán về ứng dụng của tính phân để diện tích và thể tích
trong chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao và các bài toán trong các đề thi đại học trong những
năm gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài toán một cách chính xác, lôgíc và khoa học. Mục đích
nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng, hệ thống lại các dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện
tích, thể tích cho học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên có cái nhìn toàn diện hơn về ứng dụng của tích
phân trong hình học tránh nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bài toán. Trên cơ sở đó học sinh có thể tự
tìm tòi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều bài toán khác.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:




Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp.
Chương 2: Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể.
Chương 3: Một số bài toán liên quan.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không
tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của
quý thầy cố và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 17tháng 1năm 2017
Học viên

Vũ Thị Thúy

Footer Page 2 of 16.

2


Header Page 3 of 16.

NỘI DUNG
Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp
I.
Cơ sở khoa học
1.
Nguyên hàm
- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) =f(x) với mọi x thuộc K.
Kí hiệu:

 f ( x)dx  F ( x)  C

- Tính chất:
Tính chất 1: ( f ( x)dx) '  f ( x)


Tính chất 2:  kf ( x)dx  k  f ( x)dx
Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
2.
-

Tích phân

Định nghĩa :Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz
b

b



f ( x) dx  F ( x )

a

 F (b)  F ( a )
a

-

Tính chất:
b

Tính chất 1:



a

f ( x)dx    f ( x )dx

a

Tính chất 2:

b

b

b

a

a

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx ∀ 𝑘 ∈ 𝑅
b

a

II.

b

a

a

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx

Tính chất 3:

Tính chất 4:

b

c

b

c

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân

Footer Page 3 of 16.

3


Header Page 4 of 16.

1.
Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
1.1.
Phương pháp: Chúng ta có thể sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp để xác định được
các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.

1. kdx  kx  C



2.


 x dx 

x 1
C
 1

( (  R,   1)

dx
 ln x  C
x
ax
4.  a x dx 
C
ln a
5.  e x dx  e x  C
3.



6.

 1 x

dx

2

 arctanx+C ( hoặc có thế đặt x= tant/2)

dx

7.



9.

 cosx dx= sinx

 arcsinx+C
1  x2
8.  sinx dx= - cosx + C
+C

1.2. Các ví dụ
2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
2.1 . Phương pháp đổi biến số dạng 1
2. 1.1. Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
v (b )

b



Bước 4: Tính



f ( x)dx 

a





g (t )dt  G(t )

v(a)

Bước 5: Kết luận : I= G (t )

v(b)
v(a )

v(b)
v(a )

2. 1.2. Nhận dạng :

Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu
Cách chọn




 x  a sin t   2  t  2

 x  a cost  0  t  

a
  
 t   ; 
x 
sin t
 2 2


a
 
 t   0;   \  
x 
cost
2


a2  x2

x2  a2

Footer Page 4 of 16.

4


Header Page 5 of 16.

a2  x2


  
 x  a tan t  t    2 ; 2 



 x  a cot t  t   0;  

ax
ax

ax
ax

x=a.cos2t
2
x=a+  b  a  sin t

 x  a  b  x 
- Chú ý : Trong dạng phân thức hữu tỷ :



*





1
1
1
1
dx   2
du
 ax 2  bx  c dx    0   
2
2
a
u

k




b


a  x+   
 

 2a   2a  


b

Với :  u  x+
,
k

,
du

dx
 .

2a
2
a




áp dụng để giải bài toán tổng quát :

-




dx

a

2

x



2 2 k 1

k  Z  .

2.1.3. Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
1
2

1

a)



1  x 2 dx

b)


0

0

1
1  2x2

dx

Giải

  
;
 2 2 
 x  0  sin t  0  t  0

Ta được dx = costdt , 

 x  1  sin t  1  t  2

a/ Đặt x=sint với : t   





1


2

0

0

 f ( x)dx  

Vậy

b/ Đặt x =



1  x 2 dx  1  sin 2 tcostdt=cos 2tdt 

Do đó f(x)dx=

1
1  cos2t  dt
2


1   1   1
 2    
4
 0 2 2 2

1  cos2t  dt  1  t  1 sin 2t 
2



2

2

1
  
sin t t    ; 
2
 2 2

 x=0  sint=0  t=0
1

Ta được dx =
costdt  
1
1
1

2
 x= 2  2  2 sin t  t  2


Footer Page 5 of 16.

5


Header Page 6 of 16.
1

2



Do đó :


0



1
2




1
1
1 2
1
1
1 2
1

dx  
dx  
costdt   dt  t 2 
2 0 1 1  sin 2 t 2
20

2 0 2 2
1  2 x2
0 2  1 
2

x
 
2
 2
1

2.2. Đổi biến số dạng 2
Quy tắc :
 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
u (b )

b



Bước 4: Tính

 f ( x)dx  
a



Kết luận : I= G (t )

g (t )dt  G(t )

u (a)

u (b)
u (a)

u (b)
u (a)

2.3. Nhận dạng :


DẠNG 1 : I=

P( x)
 ax+b dx  a  0


m
m
dx

ln
ax+b
. Và nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn
 ax+b

a



Chú ý:








P( x)
m
1
dx   Q( x) 
dx   Q( x)dx  m
dx
đến 
ax+b
 ax+b


 ax+b


DẠNG 2 :


 ax

2

P( x)
dx
 bx  c

1. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt


Chú ý:



u '( x)

dx  ln u ( x)


 u ( x)

2. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có nghiệm kép


Chú ý:





u '( x)dx

 ln  u ( x) 

u ( x)

3. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c vô nghiệm

b

u  x

P( x)
P( x)
2a

Ta viết : f(x)=

;
2
2
2
2

b      a  u  k  k  
a  x    
 

2a

2a   2a  



Khi đó : Đặt u= ktant

x3  2 x 2  4 x  9
dx
0
x2  4
2

Ví dụ: Tính tích phân sau : I=

Footer Page 6 of 16.

6


Header Page 7 of 16.
Giải

x  2x  4x  9
1
 x2 2
2
x 4
x 4
2 3
2
2
2
x  2x  4x  9

1 
dx

1 2
2
dx    x  2  2  dx   x  2 x    2  6  J (1)
Do đó : 
2
x 4
x 4
2
 0 0 x 4
0
0
3




2

Ta có :

2

Tính tích phân J=

x

2

0

1
dx
4

x  0  t  0
2

 
dt; 
 Đặt : x=2tant suy ra : dx =
  t  0;   cost>0
2
cos t  x  2  t 
 4

4



2
4
1
1
1
2
14
1


 Khi đó :  2
dx  
dt   dt  t 4 
2
2
x 4
4 0 1  tan t cos t
20
2
8
0
0

 Thay vào (1) : I  6 
8

P( x)
dx
DẠNG 3:  3
2
 ax  bx  cx  d
3
2
1. Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a  0  có một nghiệm bội ba



Công thức cần chú ý :

1


 x

m

dx 

1
1 
. m1
1 m x 

3
2
2. Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a  0  có hai nghiệm :

Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3

Ví dụ: Tính tích phân sau : I=

1

  x  1 x  1

3

dx

2

Giải


A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1
A
B
C
Ta có :
Thay hai nghiệm




2
2
2
 x 1 x  1 x  1  x  1  x  1
 x 1 x  1
2

1

1

A

1


4
A


4 .
mẫu số vào hai tử số : 

1  2C
C   1

2




Khi đó (1)

 A  B  x2   2 A  C  x  A  B  C  A  B  C  1  B  A  C  1  1  1  1   1
2
4 2
4
 x 1 x  1
1 1
1
1
1 1 
dx

.


.


2  x  1 x  12
2  4 x  1 4  x  1 2  x  12  dx


3



Do đó :

Footer Page 7 of 16.

1

3

7


Header Page 8 of 16.
1
1
1 3 1
3
 I   ln  x  1 x  1  .
  ln 8  ln 2

2  x  1  2 4
4
4
-

3. Phương pháp tích phân từng phần
Một số lưu ý:


+

Công thức tính tích phân từng phần :I=

 u.dv  uv



 
 v.du (*)
 



+

Khi tính tích phân : I 

 f ( x)dx. , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng



trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản , phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta phải sử
dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I.


+

Đối với phương pháp tính tích phân từng phần có dạng: I 



 f ( x)dx.   u  x  dv  x . Hay viết






tắt : I  u.dv . Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó nhất là chọn hàm số u(x) và


vi phân dv(x) sao cho nguyên hàm v(x) dễ tìm nhất và phải kết hợp với vi phân du sao cho tích phân


 v.du

có thể tính trực tiếp bằng các phương pháp đã trình bày trên.





ax
 I   P  x  e dx




Tích phân dạng :  I   P  x  sin axdx




 I  P x cosaxdx
  




Trong đó : P(x) là một đa thức, a là hằng số
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chọn :
u=P(x) suy ra du = P'(x)dx

eax dx

dv  sin axdx
cosax


 1 ax

a e

1
 v    cosax . Sau đó thay vào công thức (*)
 a

 1 sin ax
 a

3.1.2. Các ví dụ




3.2. Tích phân dạng : P( x).ln k xdx


3.2.1. cách giải :

Footer Page 8 of 16.

8


Header Page 9 of 16.

- Đặt : u  ln k x  du  k .ln k 1 x.

dx
, dv   P( x)dx

x

3.2.2. Cách giải
* Chú ý :
Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng phần không
phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x).
Ví dụ: Tính các tích phân sau :
3

a.

3  ln x

  x  1

2

dx . ( KB-2009 )

1

Giải
3

a.

3  ln x

  x  1

2

1

3

- Với :

3

dx  
1

3

  x  1

2

3

3

 x  1

dx  

1

2

dx  
1

ln x

 x  1

2

dx 1 .

3 3 3

x 1 1 4

27
ln
3
3
ln x 3
1
ln3  1 1 
ln3
x 3 16
- Với : 
dx  

dx      


 dx    ln
2
x  1 1 1 x  x  1
4 1  x x 1 
4
x 1 1 4
1  x  1
3

ln x

Thay vào (1) : I 

3

4

ln

27
27
3  ln
16 
16
4
4


* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng :

ln x

dx , vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân

 P( x)





dạng : I  P( x) ln xdx










3.3. Tích phân dạng : I  e sin bxdx  J  eax cosbxdx


ax



Cách giải
 Gọi hai tích phân như trên . Sau đó ta đi tính tích phân I bằng cách : Đặt

u  eax  du 

1 ax
1
e ; dv  sin bxdx  v   cosbx , ta sẽ có được kết quả dạng :
a
b

I= A+mJ  I-mJ=A (1)
 Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự bằng cách : Đặt

u  eax  du 

1 ax
1
e ; dv  cosbxdx  v  sin bx , ta sẽ có được kết quả dạng :
a
b

J=B+nI  J-nI = B (2)
 Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được I và J .
2. Ví dụ minh họa

Footer Page 9 of 16.

9


Header Page 10 of 16.

Chương 2: Diện tích hình phẳng, thể tích vật thể
2.1. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thi hàm số và trục hoành
2.1.1. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng
x=a,x=b
2.1.1.1.Một số chú ý về tích phân chứa giá trị tuyệt đối
- Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .



b

b

Nếu f ( x)  0 , x a ; b thì S 


a

a

Nếu f ( x)  0 , x a ; b thì S 

b

b



f ( x) dx   f ( x)dx

f ( x) dx    f ( x) dx

a

a

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như
sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu
thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn a ; b
-

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

f ( x)  0 , x a ; b



Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì

f ( x)  0 , x a ; b

b

Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : S 

b



f ( x) dx 

a

 f ( x)dx
a

2.1.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
0

Ví dụ 1 : Tính I 

 2 x  4 dx

2

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x
-∞
+∞
f(x)=2x + 4
-

-2

0
+ +

0

Suy ra 2 x  4  0 , x  - 2;0
0

Do đó I 

0

 2x  4 dx   (2x  4)dx  ( x

2

2.1.2.

2

2

 4 x)





0
 0  (2) 2  4(2)  4
2

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a ; b .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x =
b có diện tích là S và được tính theo công thức :

Footer Page 10 of 16.

10


Header Page 11 of 16.

b

S   f ( x) dx

(1)

a

Ví dụ 1:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường
thẳng x = - 2 , x = 0 .

Giải
0

Diện tích S của hình phẳng trên là S 

 2 x  4 dx

2

Từ hình vẽ , suy ra 2 x  4  0 , x  - 2;0
Do đó S 

0

0

2

2

2
 2 x  4 dx   (2 x  4)dx  ( x  4 x)





0
 0  (2) 2  4(2)  4 (đvdt)
2

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây :
Chú ý:
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …,
xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ;
b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .

b

Khi đó để tính tích phân S 



f ( x) dx ta có thể tính như

a

sau :
b

S   f ( x) dx 
a

x1



f ( x)dx 

a

x2



b

f ( x)dx  ... 

x1
3

Diện tích S của hình phẳng trên là S 


xk

 x dx

3

0

0

S   x dx   xdx  (

Footer Page 11 of 16.

2

2

2

x 3 3
0

9
) 


2 0 2
2 2

Giải : Hình phẳng trên được giới
hạn bởi bốn đường y = x ,trục
hoành và hai đường thẳng x = 0 , x
= 3.

Vì x  0 , x  0;3

0
3

f ( x)dx

(đvdt)

11


Header Page 12 of 16.

2.1.3. Diện tích hình tròn , hình elip
- Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương
x2 + y2 = r2 ( r > 0)
Khi đó hình tròn đó có diện tích là : S  r 2

Giải :Ta có

x2  y2  r 2  y   r 2  x2

Với y ≥ 0 ta có :

y  r 2  x2
r

Và có diện tích

S1 



r

có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
r

r  x dx  2 r  x dx 
2

2

2

2

0

 .r 2
2

Do đó S  2S1   .r 2
- Diện tích của elip
Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương

Diện tích của elip là : S  a.b

x2 y2
trình : 2  2  1
a
b

,

0ba

(đvdt)

2.2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
2.2. 1. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (aHình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
b

S   f ( x)  g ( x) dx .
a

Ví dụ 12:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x
=1 ,x=e
Giải :

Footer Page 12 of 16.

12


Header Page 13 of 16.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :

x ln x  x  x ln x  x  0  x(ln x  1)  0
Vì x > 0 nên x(ln x  1)  0  ln x  1  0  ln x  1  x  e
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Trên đoạn 1 ; e phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng
x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức:
e

S   x ln x  x dx
1

Vì x ln x  x  0 x  1; e nên S 

e


1



e

e

e

1

1

1

x ln x  x dx   ( x ln x  x)dx    x ln x   xdx

e 1 x e
e 1 e
1 e 3



 
(đvdt)
4
2 1
4
2 2
4

2

2

2

2

2

2.2.2. Bài tập tự luyện
2.3.Thể tích của vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục hoành
Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a <
b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể
tròn xoay .
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

= 0 , x = 1.

2

b

Ví dụ 16
Tính thể tích của vật thể tròn
xoay tạo bởi khi quay hình phẳng
giới hạn bởi bốn đường sau
quanh trục hoành Ox.

a. y = x3 – 3x , y = 0 , x =
0 , x = 1.
b. y  x 2  2 x , y = 0 , x

V     f ( x) dx

c. y 
= 0 , x = 1.

a

Giải:
a.
1

1

x7
x5
x3 1
V    ( x  3x) dx    ( x  6 x  9 x )dx   (  6  9 )
7
5
3 0
0
0
3

 (

2

6

4

1 68
x 7 6x5

 3x 3 ) 
0 35
7
5

1

1

2

(đvtt)

b. V    x 2  2 x dx    ( x 4  4 x 3  4 x 2 )dx   (
2

0

0

1

1

x5
x 3 1 38
 x4  4 )  
5
3 0 15

(đvtt)

x 3 3x 2 1 16

)  
3
2 0 11

(đvtt)

2
c. V    ( x  3x ) dx    ( x  3x)dx   (
2

0

Footer Page 13 of 16.

2

0

13

x 2  3x , y = 0 , x


Header Page 14 of 16.
Bài tập tự luyện
2.4. Thể tích của vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục tung

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x =
g(y) , trục tung và hai đường thẳng y = m , y = n , trong
đó ( m < n) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể
tròn xoay .

Ví dụ 18 .Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi đường cong (C ) :
x 2  4 y 2  4 , trục tung , hai
đường thẳng x = 2 , y = 2 .
Tính thể tích của vật thể tròn xoay
tạo bởi khi quay hình phẳng trên
quanh trục tung .

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :
2

n

V    g ( y ) dy

m

Giải
Ta có (C ) : x 2  4 y 2  4  4 y 2  4  x 2  y 

1
4  x2
2

,y0

Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip (E ) , trục tung
và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung .

1

 11 11
V1    (
4  x 2 ) 2 dx   (4  x 2 )dx  . 
2
40
4 3 12
0
1

1

(đvtt)

Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2 ,

trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung .
2

2

V2    2 dx    4dx  8
2

0

(đvtt)

0

Thể tích của vật thể cần tính là : V

 V2  V1  8 

11 85

(đvtt)
12 12

2.5..Thể tích của khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt
2.5.1. Thể tích của khối cầu
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2
với r> 0 và y ≥ 0 . (hình 22)
Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r .
Thể tích của mặt cầu này là : V

Footer Page 14 of 16.



4 3
 .r
3

(đvtt)

14


Header Page 15 of 16.

Giải :Ta có

x2  y2  r 2  y   r 2  x2

Với y ≥ 0 ta có :

y  r 2  x2

có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.

r

r

x3 r

V    ( r  x ) dx  2  (r  x )dx  2 (r x  )
Và có diện tích
3 0
r
0
2

r3
4 .r 3
 2 (r  ) 
3
3
3

2 2

2

2

2

(đvtt)

2.5.2. Thể tích của khối trụ
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và các đường
thẳng x = 0 ; x = h ( h > 0) .
Quay hình phẳng trên quanh trục hoành ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao h .
Thể tích của vật thể tròn xoay (khối trụ )này là :
h

h
V    r 2 dx  ( .r 2 .x)   .r 2 .h   .r 2 .0   .r 2 .h
0
0

(đvtt) .

2.5.3. Thể tích khối nón tròn xoay
Cho hình phẳng (H) (tam giác vuông) giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

r
x (r  0 , h  0) ; trục hoành
h

và hai đường thẳng x = 0; x = h. (hình 23).
Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta được một khối nón có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h
.
Khi đó thể tích của khối nón đó là :
h
r 2
r2
r 2 x 3 h  .r 2 .h 3  .r 2 .h
2
V    ( x) dx  2   x  ( 2  . ) 

2
0
h
3

3
h
h
3
.
h
0
0
h

2.5.4. Thể tích của khối nón cụt

Footer Page 15 of 16.

15

(đvtt)


Header Page 16 of 16.

Cho hình thang vuông giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

r
x , trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x =
a

b (b >a > 0; R > r > 0 ) .
Quay hình thang vuông trên quanh trục hoành ta được một khối nón cụt có bán kính đáy lớn bằng R , bán
kính đáy nhỏ bằng r và chiều cao bằng h = b – a .

Thể tích của khối nón cụt tạo thành là :

V 

 .R 2 .b  .r 2 .a
3



3




3

( R 2b  r 2 .a)

Chương 3: Các bài toán liên quan
Chúng ta đã biết các ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học, đại số.Chương này sẽ giới
thiệu một số ứng dụng cơ bản nhất của phép tính tích phân trong đời sống.
3.1. Một số ứng dụng của tích phân trong sinh học và kinh tế
3.1.1. Bài toán cơ chế hoạt động của trái tim con người
3.1.2. Bài toán về sinh lý tim mạch
3.1.3. Thặng dư tiêu dùng
3.1. Một số ứng dụng của tích phân trong vật lý
1. Công
2. Lực thủy tĩnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân và tích
phân hàm một biến, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Nguyễn Văn Mậu (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trung Học Phổ Thông:
Một số vấn đề chọn lọc về tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Nguyễn Thủy Thanh (2001), Bài tập giải tích, Tập 1, 2, Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Học và ôn tập Toán Đại số, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội.

Footer Page 16 of 16.

16


Header Page 17 of 16.

Footer Page 17 of 16.

17