Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯƠNG TRUNG DUYÊN

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ
XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.10.13

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG - NĂM 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 2: TS. HUỲNH QUANG TUYẾN

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12
năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lịch sử phát triển loài người đã chứng tỏ rằng toán học là đỉnh cao của
trí tuệ, xuất hiện rất nhiều trong các ngành khoa học.
Như chúng ta đã biết, đa thức là một chuyên đề trọng tâm của chương
trình toán trung học phổ thông. Đa thức không chỉ là đối tượng nghiên cứu
quan trọng của đại số mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực giải
phương trình, bất phương trình và các ứng dụng khác.
Trong các kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic Toán
sinh viên giữa các trường đại học, các bài toán liên quan đến đa thức thường
xuyên được đề cập và xem như là những dạng toán khó. Do đó, đa thức tuy
là vấn đề cổ điển nhưng đối với tôi, đa thức vẫn có sức cuốn hút và hấp dẫn
vô cùng.
Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài
"Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số"
Đề tài này nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù
hợp, có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường
phổ thông.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nhằm hệ thống và tổng quan các dạng toán về
xác định đa thức theo các yếu tố đại số và giải tích.
Nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích tác giả có thể hoàn thiện kiến

thức và nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này tập trung nghiên cứu về các dạng toán xác định đa thức theo
các yếu tố đại số và giải tích.
b. Phạm vi nghiên cứu


2

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu về các bài toán xác định đa thức đại số
trên tập số thực.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn
Văn Mậu, các trang web toán học từ đó trao đổi với thầy hướng dẫn các kết
quả đang nghiên cứu. Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài gần gũi và phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng
học sinh giỏi trung học phổ thông.
Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các chuyên đề toán trung
học phổ thông, qua đó đem lại niềm say mê sáng tạo từ những bài toán cơ
bản nhất.

6. Cấu trúc của luận văn
Bài toán xác định về đa thức thường gặp khi giải phương trình hàm
trên tập các đa thức. Ta có thể trước hết xác định bậc của đa thức rồi lần
lượt xác định các hệ số hoặc sử dụng các tính chất của vành các đa thức.

Thật khó để phân chia các bài toán xác định về đa thức theo một biên giới
rạch ròi như tiêu đề của từng chương, và đâu đó trong một vài vấn đề của
bài này vẫn có xuất hiện bóng dáng của vấn đề kia.Tuy nhiên, người viết đã
cố gắng trình bày một cách mạch lạc, hệ thống các bài tập xoay quanh chủ
đề của từng chương luận văn.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương I. Những kiến thức bổ trợ.
Trong chương này, người viết trình bày tóm tắt các kiến thức cơ bản về
đa thức và đa thức hệ số nguyên, một số bất đẳng thức được dùng trong các
chương sau.
Chương II. Xác định đa thức theo các yếu tố đại số.
Chương này trình bày tổng quan các bài toán xác định đa thức theo các


3

yếu tố đại số như đặc trưng số học, tính chất nghiệm, đặc trưng nội suy, đặc
trưng hàm với các biến tự do, với các phép biến đổi đối số . . .
Chương III. Xác định đa thức theo các yếu tố giải tích.
Chương này trình bày tổng quan các bài toán xác định đa thức theo các
yếu tố giải tích như là các đặc trưng giới hạn, tích phân, vi phân . . .


4

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC ĐẠI SỐ
Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa về đa thức một biến, [4]). Giả sử A = R
hoặc A = C. Ta gọi đa thức bậc n biến x trên A là một biểu thức (hàm số)
có dạng

Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

(an = 0) ,

trong đó ak được gọi là hệ số theo xk , an là hệ số bậc cao nhất, a0 là hệ số
tự do của đa thức.
Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy trong A được kí hiệu là A [x].
Chú ý 1.1. Trong luận văn này, ta chỉ xét đa thức thực đại số, tức là
đa thức một biến trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.2 (Bậc của đa thức, [4]). Cho

Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
trên trường số thực R.
Nếu an = 0 thì n được gọi là bậc của đa thức Pn (x), kí hiệu degP = n.
Nếu ak = 0 (k = 1, . . . , n) và a0 = 0 thì ta có bậc của đa thức là 0. Ta
gọi đa thức Pn (x) = a0 là đa thức hằng.
Nếu ak = 0 (k = 0, . . . , n) thì ta gọi Pn (x) là đa thức không và người
ta định nghĩa bậc đối với đa thức không là âm vô cùng.
Định nghĩa 1.3 (Đồng nhất thức, [7]). Cho hai đa thức f, g ∈ R [x],

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , an = 0,
g (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , bm = 0.
Đa thức f (x) và g (x) được gọi là đồng nhất với nhau nếu

f (x) = g (x) ,

∀x ∈ R,

tức là f ≡ g ⇔ n = m và ai = bi với i = 0, 1, . . . , n.


5

Định nghĩa 1.4 ([7]). Giả sử A là một trường, a ∈ A, m, n ∈ N∗ ,
f (x) ∈ A [x], m là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1.
a là nghiệm bội cấp m của f (x) khi và chỉ khi f (x) chia hết cho (x − a)m
và không chia hết cho (x − a)m+1 . Trong trường hợp m = 1, ta gọi a là
nghiệm đơn, còn khi m = 2 thì a được gọi là nghiệm kép.
Số nghiệm của một đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bội
của các nghiệm (nếu có). Vì vậy, người ta coi đa thức có một nghiệm bội cấp
m như đa thức có m nghiệm trùng nhau.
Định lý 1.1 ([8]). Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm
thực.
Hệ quả 1.1 ([4]). Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.
Hệ quả 1.2 ([1]). Nếu đa thức thực có bậc n có hơn n nghiệm thì đó
là đa thức không.
Hệ quả 1.3 ([4]). Nếu đa thức có bậc không quá n mà nhận cùng một
giá trị như nhau tại n + 1 điểm phân biệt của đối số thì đó là đa thức hằng.

Hệ quả 1.4 ([4]). Hai đa thức bậc không quá n mà nhận n + 1 giá trị
trùng nhau tại n+1 điểm phân biệt của đối số thì chúng đồng nhất với nhau.

Tính chất 1.1 (Sơ đồ Horner, [4]). Giả sử f (x) ∈ A [x] với A là một
trường,
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .

Khi đó thương gần đúng của f (x) cho x − a là một đa thức có bậc bằng
n − 1, có dạng

q (x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 ,
trong đó

bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, . . . , n − 1,
và dư số r = ab0 + a0 .


6

Định lý 1.2 ([4]). Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P (x) và Q (x)
nguyên tố cùng nhau là tồn tại cặp đa thức u (x) và v (x) sao cho

P (x) u (x) + Q (x) v (x) ≡ 1.
Định nghĩa 1.5 (Ước chung lớn nhất, [4]). Nếu hai đa thức P (x) và
Q (x) khác đa thức không, có ước chung d (x) là đa thức chia hết cho tất cả
các ước chung khác thì d (x) được gọi là ước chung lớn nhất của P (x) và
Q (x).

1.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ
SỐ NGUYÊN
Định nghĩa 1.6 ([4]). Cho L ⊂ R. Đa thức P (x) ∈ L [x] được gọi là
khả quy trên L [x] nếu tồn tại các đa thức Q (x) và T (x) cùng thuộc L [x]
và có bậc > 0, sao cho

P (x) = Q (x) .T (x) .
Trong trường hợp ngược lại, P (x) được gọi là bất khả quy trên L [x] .
Định nghĩa 1.7 ([4]). Tập tất cả các đa thức khả quy trên L [x] được

kí hiệu là L∗ [x]. Vậy P (x) khả quy trên L [x] kéo theo P (x) ∈ L∗ [x] và
P (x) bất khả quy trên L [x] kéo theo P (x) ∈
/ L∗ [x].
Tính chất 1.2 ([4]). Mọi đa thức P (x) ∈ R [x] với bậc lớn hơn 2
đều phân tích được thành nhân tử bậc nhất và bậc hai nên cũng có thể coi
P (x) ∈ R∗ [x].
Nhận xét 1.1 ([4]). Tính khả quy của đa thức thực chất chỉ có ý
nghĩa trong Q [x] và Z [x] hoặc trong L [x]. Nếu P (x) ∈ Q [x] thì gọi M là
mẫu chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số trong P (x) thì P (x) =
1
P1 (x) với P1 (x) ∈ Z [x].
M
Hiển nhiên, nếu P (x) khả quy trên L [x] thì với mọi A ∈ L, đa thức
A.P (x) cũng khả quy trên L [x] . Bởi vậy ta chỉ xét tính khả quy của các đa
thức thuộc Z [x].
Định nghĩa 1.8 ([4]). Đa thức P (x) ∈ Z [x] được gọi là đa thức nguyên
bản nếu bộ các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau (có thể không đôi một
nguyên tố cùng nhau).


7

Tính chất 1.3 ([4]). Nếu f (x) ∈ Q [x] thì tồn tại duy nhất một đa
a
thức nguyên bản f1 (x) và một phân số tối giản (a ∈ Z, b ∈ N∗ ) sao cho
b
a
f (x) = f1 (x) .
b
Tính chất 1.4 ([4]). Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức

nguyên bản.
Tính chất 1.5 ([4]). Nếu đa thức P (x) ∈ Z [x] có bậc lớn hơn 1 mà
không thuộc Z∗ [x] thì nó cũng không thuộc Q∗ [x].
Bổ đề 1.1. Cho đa thức P (x) ∈ Z [x] có bậc n, và a, b là hai số nguyên
.
khác nhau. Khi đó [P (a) − P (b)] .. (a − b) .

p
Bổ đề 1.2 ([4]). Chứng minh rằng nếu phân số tối giản , ((p, q) = 1)
q
là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
thì p là ước của a0 và q là ước của an .
Mệnh đề 1.1 ([7]). Nếu đa thức đa thức f (x) ∈ Z [x] có nghiệm số
p
hữu tỉ , ((p, q) = 1) thì qx − p là một nhân tử của đa thức f (x) ∈ Z [x].
q
Tính chất 1.6 (Tiêu chuẩn Eisentein). Cho đa thức

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
với các hệ số nguyên. Giả sử có ít nhất một cách chọn số nguyên tố p, thỏa
mãn các điều kiện:
(1) Hệ số cao nhất an không chia hết cho p;
(2) Tất cả các hệ số còn lại chia hết cho p;
(3) Hệ số tự do a0 chia hết cho p nhưng không chia hết cho p2 .
Khi đó đa thức f (x) không phân tích được thành tích các nhân tử
với bậc thấp hơn, với các hệ số hữu tỉ hay đa thức f (x) bất khả quy trong
Q [x].

8

1.3. BẤT ĐẲNG THỨC
Trong luận văn này, ta có sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc
như sau.
Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy [5]). Với mọi bộ số (xi ) , (yi ) ta
luôn có bất đẳng thức sau
2

n

xi y i
i=1

n

n

x2i

≤
i=1

yi2 .
i=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (xi ) và (yi ) tỉ lệ với nhau,
tức tồn tại cặp số thực α, β không đồng thời bằng 0, sao cho

αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Bất đẳng thức thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còn
gọi là bất đẳng thức Bunhiascopki, Cauchy - Schwarz hoặc Cauchy - Bunhiascopki).
Định lý 1.4 (Bất đẳng thức AM-GM [5]). Giả sử x1 , x2 , . . . , xn là các
số không âm. Khi đó

√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 x2 . . . xn ..
n

(1.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân, thường được gọi là bất đẳng thức AM - GM.


9

CHƯƠNG 2

XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ ĐẠI SỐ
Trong chương này, người viết trình bày một số bài toán xác định đa
thức theo một số yếu tố của đại số như là các tính chất nghiệm của đa thức,
đặc trưng số học, đặc trưng nội suy và đặc trưng hàm với các biến tự do, các
phép biến đổi đối số của hàm đa thức.

2.1. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG SỐ HỌC
Trong phần này, ta xét các bài toán xác định đa thức đại số theo một
số tính chất của số học như là tính chia hết, tính chia có dư, số nguyên tố,

ước của một số tự nhiên . . . Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản.
Định lý 2.1 ([4]). Giả sử A là một trường (A = R hoặc A = C) và
A [x] là vành các đa thức trên A. Với f (x) và g (x) là hai đa thức khác đa
thức không của vành A [x], khi đó luôn tồn tại cặp đa thức duy nhất q (x)
và r (x) thuộc A [x] sao cho

f (x) = g (x) q (x) + r (x) ,

với degr (x) < degg (x) .

Nếu r (x) = 0 ta nói f (x) chia hết cho g (x) hay g (x) chia hết f (x)
.
hay f (x) là bội của g (x) hay g (x) là ước của f (x). Ta kí hiệu f ..g, g/f .
Nhận xét 2.2. Từ định lí trên, nếu ta lấy đa thức f (x) chia cho đa
thức g (x) ta được thương là q (x) và phần dư r (x) với degr (x) < degg (x) .
Và từ f (x) = g (x) q (x) + r (x) suy ra f (x) − r (x) = g (x) q (x) . Vậy
.
[f (x) − r (x)] ..g (x) .
Định nghĩa 2.9 ( Nghiệm của đa thức). [[4]]Giả sử a ∈ A,

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

an = 0,

là đa thức tùy ý của vành A [x], phần tử

f (a) = an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0
có được bằng cách thay x bởi a được gọi là giá trị của f (x) tại a.
Nếu f (a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f (x). Bài toán tìm nghiệm

10

của f (x) trong A gọi là giải phương trình đại số bậc n

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
trong A với x là ẩn.
Định lý 2.2 ([4]). Giả sử A là một trường, a ∈ A và f (x) ∈ A [x]. Dư
số của phép chia f (x) cho x − a chính là f (a).
Hệ quả 2.5 ([4]). Giả sử A là một trường, a ∈ A và f ∈ A [x]. a là
nghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x) chia hết cho x − a.
Bài toán 2.1 ([7]). Tìm đa thức bậc ba f (x) sao cho f (x) chia hết
cho (x − 2) và f (x) chia cho x2 − 1 thì dư 2x.
Bài toán 2.2 ([7]). Xác định đa thức f (x) = 6x4 − 7x3 + ax2 + 3x + 2
chia hết cho x2 − x + b .
Bài toán 2.3. Tìm các cặp số a, b sao cho x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 là
bình phương của một đa thức.
Bài toán 2.4 ([4]). Xác định đa thức bậc n dạng

f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
biết rằng khi chia f (x) cho

(x − b1 ) ,

(x − b2 ) , . . . ,

(x − bn ) ,

(bi ∈ Z, bi = bj , i = j),

đều có chung số dư là m với m ∈ Z .
Bài toán 2.5. Xác định các đa thức P (x) với hệ số nguyên sao cho với
mọi số tự nhiên n thì P (n) luôn là ước tự nhiên của 2015.
Bài toán 2.6 ([4]). Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc lớn
hơn 1 với hệ số nguyên dương để m ∈ N∗ luôn luôn kéo theo P (m) là số
nguyên tố.

2.2. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO TÍNH CHẤT NGHIỆM
Trong phần này, ta xét các bài toán xác định đa thức đại số theo tính
chất các nghiệm của đa thức như là định lí Vieete, tính chất nghiệm thực,
nghiệm hữu tỉ của một đa thức. . . Ta nhắc lại một số kiến thức liên quan.


11

Định lý 2.3 (Định lí Vieete, [4]). a. Giả sử phương trình

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (an = 0) , (1)
có n nghiệm thực (hoặc phức) x1 , x2 , . . . , xn thì

an−1


E1 (x) = x1 + x2 + · · · + xn = −


an


an−2


E2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn =
an

.
.
.




n a0

 En (x) = x1 x . . . xn = (−1)
an
b. Ngược lại nếu các số x1 , x2 , . . . , xn thỏa mãn hệ trên thì chúng là
nghiệm của phương trình (1).
c. Các hàm E1 (x) , E2 (x) , . . . , En (x) được gọi là hàm (đa thức) đối
xứng sơ cấp Vieete bậc 1, 2, . . . , n tương ứng.
Nhận xét 2.3. Đặc biệt nếu đa thức có hệ số cao nhất là 1 (hay an = 1)
thì theo định lí Vieete ta có


 E1 (x) = x1 + x2 + . . . + xn = −an−1
E2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn = an−2

 ...
En (x) = x1 x . . . xn = (−1)n a0
Nhận xét 2.4. Định lí Vieete đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm
của đa thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó.

r
Mệnh đề 2.2. Nếu đa thức f (x) ∈ Z [x] có nghiệm số hữu tỉ với
s
(r, s) = 1 thì sx − r là một nhân tử của f (x) ∈ Z [x].
Định lý 2.4 ([7]). Cho đa thức f (x) ∈ R [x] có nghiệm x1 , x2 , . . . , xm
với bội tương ứng k1 , k2 , . . . , km . Khi đó tồn tại đa thức g (x) ∈ R [x] sao cho

f (x) = (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 . . . (x − xm )km g (x) .
Mệnh đề 2.3 ([7]). Cho đa thức f (x) ∈ R [x].
Nếu degf = n và ki là bội của nghiệm xi với i = 1, . . . , m thì

k1 + k2 + · · · + km ≤ n.


12

Đặc biệt, khi

k1 + k2 + · · · + km = n
thì ta có phân tích đầy đủ theo các nghiệm x1 , x2 , . . . , xm (có thể trùng nhau)
của đa thức f (x) bậc n

f (x) = a0 (x − x1 ) (x − x2 ) . . . (x − xn ) , a0 ∈ R.
Bài toán 2.7 ([7]). Xác định đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c biết
rằng đa thức có ba nghiệm u, v, t và u3 , v 3 , t3 là ba nghiệm của phương trình

x3 + a3 x2 + b3 x + c3 = 0.
Bài toán 2.8 ([7]). Xác định đa thức P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1
biết đa thức có ít nhất một nghiệm thực và thỏa a2 + b2 + c2 bé nhất.
Bài toán 2.9 ([4]). Tìm các đa thức dạng

n

ak xk ,

P (x) =

ak ∈ {−1, 1} ,

∀k ∈ {0, 1, . . . , n}

k=0

có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.10 ([7]). Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈ Z (x) dạng

f (x) = n!xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + (−1)n n (n + 1)
có các nghiệm thực x1 , x2 , . . . , xn thỏa mãn xk ∈ [k, k + 1] , ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}.
Bài toán 2.11 ([7]). Với mỗi số nguyên tố p có n + 1 (n ∈ N ) chữ số

p = an an−1 . . . a1 a0
ta xét đa thức fp (x) ∈ Z [x] tương ứng dạng

fp (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .
Xác định tất cả các đa thức fp (x) như trên biết rằng nó có nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 2.12 ([1]). Xác định đa thức P (x) ∈ Z (x) không đồng nhất
√
√
không có bậc nhỏ nhất nhận x = 2 + 3 3 làm nghiệm.

13

2.3. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG HÀM VỚI
CÁC BIẾN TỰ DO
Bài toán xác định đa thức theo đặc trưng hàm với các biến tự do thực
chất là bài toán giải phương trình hàm trong lớp hàm đa thức với các cặp
biến tự do.
Phương pháp đặc biệt hóa là phương pháp thường hay sử dụng giải
phương trình hàm với cặp biến tự do. Trong phương pháp này, khi thay biến
x bởi các giá trị đặc biệt thì việc chọn các giá trị đặc biệt này đòi hỏi sự nhạy
cảm nhất mới giúp ta tìm được hàm đa thức f (x) từ một phương trình.
Một số kĩ thuật cần lưu ý khi giải phương trình hàm với các cặp biến tự do
là
(1) Nếu trong phương trình hàm có chứa x + y và x − y thì ta thường đặt
u = x + y và v = x − y .
(2) Nếu phương trình hàm chứa cặp biến tự do x, y và chứa nhiều ẩn hàm
chẳng hạn hàm f và g , ta thường tách biến theo x hoặc y để biểu diễn
hàm f theo g , sau đó thay vào phương trình hàm đã cho để đưa về còn
một ẩn hàm.
Bài toán 2.13 (Đề thi Olympic 30-4-2012, [1]). Tìm tất cả các cặp đa
thức f (x) , g (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện f (0) = g (0) = 1, g (1) = 2 và

f (x) − f (y) = (x − y) g (x + y) , ∀x, y ∈ R.
Bài toán 2.14 ([1]). Tìm tất cả đa thức f (x) ∈ R [x] bậc n thỏa mãn
điều kiện

f x2 − y 2 = f (x + y) f (x − y) , ∀x, y ∈ R.
Bài toán 2.15 ([1]). Tìm đa thức f (x) thỏa mãn

f (x) f (y) = f 2

x+y
2

− f2

x−y
2

, ∀x, y ∈ R.

Bài toán 2.16 (MONDOVA-2004; Algerial MO-2011, [1]). Tìm tất cả
các đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện

f x3 − f y 3 = x2 + xy + y 2 [f (x) − f (y)] , ∀x, y ∈ R.


14

Bài toán 2.17 (Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 2011, [1]). Tìm
tất cả các đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện

(x − y) f (x + y) − (x + y) f (x − y) = 4xy x2 − y 2 , ∀x, y ∈ R.
Bài toán 2.18 (Bangladesh MO - 2012, [1]). Tìm tất cả các đa thức
f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện

f x2 − y 2 = (x − y) [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R.
2.4. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC BỞI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ
Bài toán 2.19. Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều
kiện

f (x) f x2 = f 2015x3 + 2016x2 , ∀x ∈ R.
Bài toán 2.20 ([1]). Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều
kiện

(x − 1) f (x + 1) − (x + 2) f (x) = 0, ∀x ∈ R.
Bài toán 2.21 ([4]). Cho a, b ∈ R+ . Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈
R [x] thỏa mãn điều kiện

xP (x − a) = (x − b) P (x) , ∀x ∈ R.
Bài toán 2.22 (Việt Nam, 2006, [1]). Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈
R [x] thỏa mãn điều kiện

P x2 + x [3P (x) + P (−x)] = P 2 (x) + 2x2 , ∀x ∈ R.
Bài toán 2.23. Cho số nguyên dương k . Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈
R [x] thỏa mãn điều kiện

(x − 2015)k P (x) = (x − 2016)k P (x + 1) , ∀x ∈ R.
Bài toán 2.24 (Olympic Moldova - 2014, [1]). Tìm tất cả các đa thức
P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện

x3 + 3x2 + 3x + 2 P (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x − 2 P (x) , ∀x ∈ R.


15

2.5. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG NỘI SUY
Bài toán 2.25 (Bài toán nội suy Lagrange, [6]). Cho bộ n số thực phân
biệt x1 , x2 , . . . , xn và bộ n số thực bất kì a1 , a2 , . . . , an . Tìm tất cả các đa
thức P (x) có degP (x) ≤ n − 1 và thỏa mãn điều kiện

P (xk ) = ak ∈ R với k = 1, . . . , n.
Nhận xét 2.5. Đa thức f (x) ∈ R [x] thực có bậc không quá n hoàn
toàn được xác định khi biết n giá trị f (xk ) , (k = 1 . . . n) với bộ n số thực
phân biệt x1 , x2 , . . . , xn cho trước.
Bài toán 2.26. Xác định đa thức bậc năm f (x) ∈ R [x] biết

f (0) = 1, f (1) = 2, f (−1) = −2, f (2) = 37, f (−2) = 43 và f (3) = 262.
Bài toán 2.27 ([4]). Tìm tất cả các đa thức P (x) có bậc nhỏ thua n
n

và thỏa mãn điều kiện

(−1)k Cnk P (k) = 0.

k=0

Bài toán 2.28 ([1]). Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn
điều kiện

P (2015) = 2017, P (x) =

P (x2 + 1) − 3 + 2, ∀x ≥ 0.

Bài toán 2.29 ([1]). Tìm tất cả các đa thức P (x) với các hệ số nguyên
không âm và không lớn hơn 8 và P (9) = 32078.
Bài toán 2.30 ([4]). Chứng minh rằng tồn tại đa thức P (x) bậc n với
hệ số nguyên sao cho

P (x) −

1
1 9
1
<
, ∀x ∈
,
.
2
1000
10 10

Bài toán 2.31 ([4]). Cho hai số nguyên dương p, q . Chứng minh rằng
tồn tại đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên sao cho

P (x) −

p
1
< 2 với mọi x ∈
q
q

1 3
,
2q 2q

.

Bài toán 2.32. Tồn tại hay không một đa thức P (x) hệ số nguyên

thỏa mãn
P (2015) = 2014 và P (2013) = 2011.


16

Bài toán 2.33 (Phần Lan 2009, [7]). Cho đa thức P (x) hệ số nguyên
thỏa mãn P (4) = 3 và P (3) = 4. Tồn tại hay không số nguyên x sao cho
P (x) = x.


17

CHƯƠNG 3

XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH
Trong phần này, ta xét các dạng toán xác định đa thức theo một số yếu
tố của giải tích như các tính chất giới hạn và liên tục, vi phân và tích phân
của hàm đa thức. . .

3.1. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG GIỚI HẠN,
LIÊN TỤC
Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức liên quan về tính giới hạn và
liên tục của hàm đa thức.
Định nghĩa 3.10 (Giới hạn của dãy số thực, [2]). Cho dãy số thực
{un }. Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {un } nếu với mọi ε > 0 cho
trước bao giờ cũng tồn tại một số n0 (phụ thuộc ε)sao cho với mọi n > n0
ta đều có |un − a| < ε.
Khi đó ta nói rằng dãy {un } hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn a và ta
viết

un → a (n → ∞) hay lim un = a.
n→∞

Ta có thể viết lại định nghĩa như sau

lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 (ε) sao cho ∀n > n0 ta có |un − a| < ε.

n→∞

Định lý 3.1 (Nguyên lí hội tụ Cauchy, [2]). Dãy số thực {un } hội tụ
khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản, tức là khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃n0 sao cho ∀n, m > n0 ta có |un − um | < ε.
Bổ đề 3.3. Cho dãy {un } với un = 1 +
dãy {un } phân kỳ.

1
1
+ · · · + . Chứng minh rằng
2
n

Định nghĩa 3.11 (Giới hạn của hàm số, [2]). Cho tập con A ⊂ R, f :
A → R, và a là điểm tụ của tập A. Khi đó số thực l được gọi là giới hạn của
hàm số f (x) tại điểm a nếu


18

∀ε > 0, ∃δ (a, ε) , ∀x ∈ A sao cho 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − l| < ε.
Kí hiệu lim f (x) = l hay f (x) → l khi x → a.
x→∞

Định nghĩa 3.12 ( Hàm liên tục, [2]). Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số
f : A → R và điểm x0 ∈ A. Nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn
tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi x ∈ {x ∈ A| |x − x0 | < ε} ta
đều có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại điểm x0 .
Nếu f liên tục tại mọi điểm thì ta nói f liên tục trên A.
Nếu f không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f gián đoạn tại x0 hay x0
là điểm gián đoạn của hàm f .
Nhận xét 3.6 (Tính giới hạn và liên tục của hàm đa thức thực, [7]).
Cho f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) . Ta
có các nhận xét sau:
(1) Hàm đa thức f (x) liên tục trên R.
(2) Với an > 0 thì lim f (x) = +∞ và với an < 0 thì lim f (x) = −∞.
x→+∞

x→+∞

(3) Với n chẵn và an > 0 hoặc n lẻ và an < 0 thì lim f (x) = +∞.
x→−∞

(4) Với n chẵn và an < 0 hoặc n lẻ và an > 0 thì lim f (x) = −∞.
x→−∞

Định lý 3.2 (Định lí Bolzano-Cauchy thứ nhất, [2]). Giả sử hàm f :
[a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b] và f (a) f (b) < 0. Khi đó tồn tại c ∈ (a, b)
sao cho f (c) = 0.
Bài toán 3.34 (Olympic 30-4, [9]). Có tồn tại hay không hai đa thức

P (x) , Q (x) ∈ R [x] sao cho

P (n)
1
1
= 1 + + · · · + , ∀n ∈ N∗ .
Q (n)
2
n
Bài toán 3.35 (International Zhautykov Olympiad 2012, [7]). Cho c là
số thực và P (x) , R (x) , Q (x) là 3 đa thức với hệ số thực sao cho

P [Q (x)] + P [R (x)] = c với mọi x ∈ R.
Chứng minh rằng P (x) là đa thức hằng hoặc R (x) + Q (x) là đa thức hằng.


19

3.2. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG VI PHÂN
Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức liên quan đến phép tính vi phân
của hàm đa thức một biến.
Định nghĩa 3.13 (Hàm khả vi, [2]). Xét hàm số y = f (x) xác định
trong một lân cận U điểm x0 ∈ R. Cho x0 một số gia ∆x khá bé sao cho
x0 + ∆x ∈ U . Khi đó số ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia của
hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x0 .
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
Nếu tỉ số
=
có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0

∆x
∆x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0 được kí hiệu
là f (x0 ) với

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
.
∆x→0
∆x
Khi đó, ta nói rằng hàm f khả vi tại x0 .
f (x0 ) = lim

Định nghĩa 3.14 ([2]). Cho U là tập hợp mở trong R, f : U → R là
một hàm xác định trên U . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại
mọi điểm của U . Khi đó hàm số

f :U →R
x → f (x)
được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U .
Nhận xét 3.7 (Tính khả vi của hàm đa thức [7]). Giả sử f (x) ∈ R [x],
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) .
Khi đó, hàm đa thức f (x) khả vi trên R và có
f (x) = nan xn−1 + (n − 1) an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 ,
f (x) = n (n − 1) an xn−2 + (n − 1) (n − 2) an−1 xn−3 + · · · + 6a3 x + 2a2 ,
n!
an xn−k + · · · + k!ak ,
f k (x) =
(n − k)!
...
f (n) (x) = n!an .

Nhận xét 3.8 ([7]). Nếu f (x) ∈ R [x] và deg f = n, ∀n ∈ N∗ thì

deg f = n − 1, deg f = n − 2, . . . , deg f (k) = n − k, deg f (n) = 0.


20

Bổ đề 3.4 ([7]). Chứng minh rằng phương trình hệ số thực có bậc lẻ
luôn luôn có nghiệm.
Định lý 3.3 ([7]). Cho f (x) ∈ R [x] và deg f = n, ∀n ∈ N∗ .
α là nghiệm bội k của f (x) khi và chỉ khi

f (α) = f (α) = · · · = f (k−1) (α) = 0 và f (k) (α) = 0.
Nhận xét 3.9 ([7]). Cho f (x) ∈ R [x] và deg f = n, ∀n ∈ N∗ .
Nếu f (x) có nghiệm bội k > 1 thì f (x) có nghiệm bội k − 1.
Bài toán 3.36. Xác định đa thức f (x) = 2x4 + ax3 + bx2 + ax − b với
a, b ∈ R biết đa thức chia hết cho (x − 1)2 .
Bài toán 3.37 ([7]). Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn hệ thức

f (2x) = f (x) f (x).
Bài toán 3.38 ([1]). Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn hệ thức

f (3x) = f (x) f (x) f (x) .
Bài toán 3.39 (Olympic Toán sinh viên toàn quốc 2005, [7]). Chứng
minh rằng không tồn tại đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện

P (x) > P (x), ∀x ∈ R
và P (x) > P (x), ∀x ∈ R.
Bài toán 3.40 (Bài toán nội suy Taylor, [6]). Cho các số thực x0 và
a0 , a1 , . . . , an . Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈ R [x] có bậc không quá n và

thỏa mãn các điều kiện

P (k) (x0 ) = ak với k = 0, 1, . . . , n.
Bài toán 3.41 ([6]). Cho hai số phân biệt x0 và x1 . Tìm tất cả các đa
thức P (x) ∈ R [x] có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) và thỏa mãn điều kiện

P (x0 ) = 1 và P (k) (x1 ) = 0 với k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .
Bài toán 3.42. Cho hai số phân biệt x0 và x1 . Tìm tất cả các đa thức
P (x) có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) thỏa mãn điều kiện

P (x0 ) = 1, P (x0 ) = 1 và P (k) (x1 ) = 0 với k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .


21

3.3. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN
Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức liên quan đến phép tính tích
phân của hàm đa thức thực một biến.
Định nghĩa 3.15 ([2]). Cho hàm số f xác định trên một khoảng bất
kì U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong tập số
thực).
Hàm khả vi F trên U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kì
đó nếu F (x) = f (x) với mọi x ∈ U.
Định lý 3.4 ([2]). Nếu trong khoảng bất kì U của hàm f có nguyên
hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm của f trong U xác định
sai khác nhau một hằng số cộng.
Định nghĩa 3.16. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên
khoảng bất kì U được gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và
kí hiệu là f (x)dx.
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U , theo định lí (3.4) ta có

f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R.
Định nghĩa 3.17 (Tích phân xác định, [2]). Ta nói họ tổng tích phân
{σf (T, ξ)} có giới hạn I ∈ R khi d (T ) → 0 nếu cho trước ε > 0 bé tùy ý cho
trước thì luôn tồn tại một số δ (ε) sao cho với mọi T ∈ P (∆) với d (T ) < δ
và với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có |σf (T, ξ) − I| < ε. Khi đó, ta viết.

lim σf (T, ξ) = I.

d(T )→∞

Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f
trên đoạn ∆ với hai đầu mút a, b và kí hiệu
b

I=

f (x)dx.
a

Và khi đó, hàm f được gọi là khả tích theo nghĩa Riemann trên đoạn

∆.
Nhận xét 3.10 ([2]). Từ định nghĩa của tích phân xác định, ta có các
tính chất sau.


22
a

•

f (x)dx = 0, ∀a ∈ R.
a
b

•

a

f (x)dx = − f (x)dx.
a

b

Định nghĩa 3.18 (Công thức Newton-Leibniz, [2]). Giả sử f : [a, b] →
R là một hàm liên tục.
x

Khi đó, hàm F (x) =

f (t) dt là một nguyên hàm của f (x) trong [a, b].
a

Do đó, nếu Φ là một nguyên hàm khác của f trong [a, b] thì ta có

x

f (t) dt với x ∈ [a, b] .

Φ (x) = F (x) + C =
a
a

f (t) dt + C = C.

Với x = a ta có Φ (a) =
a

Như vậy,
x

Φ (x) =

x

f (t) dt = Φ (x) − Φ (a) .

f (t) dt + Φ (a) hay
a

a

Cho x = b ta có công thức Newton-Leibniz
b

f (t) dt = Φ (b) − Φ (a) .
a

Thông thường, ta kí hiệu Φ (x) |ba = Φ (b) − Φ (a).

Khi đó công thức công thức Newton-Leibniz có thể viết là
b

f (t) dt = Φ (t) |ba = Φ (b) − Φ (a) .
a

Nhận xét 3.11 ([7]). Giả sử f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 +
· · · + a1 x + a0 , (an = 0) .
Khi đó, hàm đa thức f (x) khả tích trên R và có họ nguyên hàm
an n+1 an−1 n
F (x) = f (x)dx =
x
+
x + · · · + a0 x + C với C ∈ R.
n+1
n


23

Bài toán 3.43 (Bài toán nội suy Newton, [6]). Cho hai bộ số thực
(x0 , x1 , . . . , xn ) và (a0 , a1 , . . . , an ). Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈ R [x] có
bậc không quá n thỏa mãn điều kiện

P (k) (xk ) = ak , với k = 0, 1, . . . , n.
Nhận xét 3.12. Từ bài toán (3.43), đa thức P (x) hoàn toàn được xác
định nếu biết P (k) (xk ) = ak với hai bộ (x0 , x1 , . . . , xn ) và (a0 , a1 , . . . , an )
cho trước.
Bài toán 3.44. Xác định các đa thức f (x) ∈ R [x] bậc 4 thỏa mãn
điều kiện

f (n) (n + 1) = (−1)n n2 − 5n + 6 với n = 0, 1, 2, 3, 4.