Đề kiểm tra HSG lớp 12 vòng 2- môn Toán

Trờng THPT Hà Văn Mao
H.Bá Th ớc T.Thanh Hóa
Đề thi chọn đội dự tuyển học sinh giỏi
môn Toán
Năm học 2008 2009
Ngày thi: 30/09/2008
Thời gian làm bài: 180 phút
***********
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số
( )
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
(1), m là tham số.
1. Xét chiều biến thiên của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tính khoảng cách giữa
hai điểm đó.
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phơng trình
sin 2 4 3cos 2 5sin cosx x x x
+ = + +
2. Giải hệ phơng trình:
( )
2

1 1 2 1 5
1 8
x y x
y y x x

=



+ + =

Câu 3. (4 điểm)
1. Cho hai số thực dơng x, y thỏa mãn
1x y+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )
2
2
1 1
A x y
x y

= + + +
ữ

2. Giải bất phơng trình:
2 2 3
2
1 6

10
2
x x x
A A C
x
+
(Với
k
n
A
là chỉnh hợp chập k của n phần
tử,
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử; k, n là các số tự nhiên và
0 k n

)
Câu 4. (2 điểm) Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm

(
)
2 2 4 2 2
4 4 16 4 4x x x m x x m + + = + + + +
Câu 5. (6 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, các cạnh bên đều
bằng
3
. Gọi M, N là trung điểm của AB và AC, I là trung điểm BC, H là trung điểm SI.
1. Chứng minh: AH(SBC).

2. Dựng thiết diện tạo thành do mặt phẳng cắt hình chóp, biết rằng qua MN và
(SBC). Tính diện tích thiết diện.
-----------------Hết---------------------