Nghiên cứu hiệu chỉnh hóa trong bài toán cân bằng

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ KIM NGỌC

NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Footer Page 1 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1


Header Page 2 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ KIM NGỌC

NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2009
Footer Page 2 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2


Header Page 3 of 16.

▼ô❝ ❧ô❝

▼ô❝ ❧ô❝

✶

▼ë ➤➬✉

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

✹

✶✳✶✳

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥

❝➞♥ ❜➺♥❣

✶✻

✷✳✶✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✷✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳

✷✺

❈❤➢➡♥❣ ✸✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳

✹✵

✸✳✶✳

❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✸✳✷✳

❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✽

❑Õt ❧✉❐♥

✺✸

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✺✹

Footer Page 3 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶

3


Header Page 4 of 16.

ở
t ó ề ứ ụ tr ọ ĩ tt ờ số
t í ệt ọ ọ s ọ q sự ệ
tế ễ t t t tổ qt ó ồ
trờ ợ r t tố t t tứ ế
t ù tế t s tr trò ợ t ó ứ
ụ tự tế rộ r ệ q ề t r tt
t t tết ớ sự t trể
ó ủ ĩ tt t ọ ứ ụ ủ t
ở rộ
ớ tệ ề t ột số
ệ ỉ t ồ ụ ụ
ết t ệ t


trớ ết ệ ết q t ề t ồ

ồ sẽ ợ ù ở s ế t ớ tệ ề
t trờ ợ r ủ ó P ợ sở
í tết sẽ ù ế ở s

trì ệ ỉ t ó

ế t ờ


ớ tệ sr

s tt t t ứ ớ
ợ trì tết tr
ể t t ợ sự ú ỡ ớ
t tì ủ ũ tỏ ò ết
s s ế t ủ ì
t t tr ộ t rờ
ọ ọ ọ ù ọ ớ
ọ t t ề ệ t ợ ộ í ệ ể

Footer Page 4 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


4


Header Page 5 of 16.

✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳
▼➷❝ ❞ï t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤ã tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉

sãt✱ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➭②
❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ✶✵✴✷✵✵✾
❍ä❝ ✈✐➟♥

❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ❑✐♠ ◆❣ä❝

Footer Page 5 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✸

5


Header Page 6 of 16.



t
ớ tệ ột số ệ ế tứ ề
t trờ ợ r ủ ó rớ t t qt
ột số ế tứ ề tí ồ sẽ ù ế tr ủ



ế tứ ị

tí ồ ó trò q trọ tr ệ ứ tí
ự tt t t ụ í í ủ

ột số ế tứ ề tí ồ ị ý ợ
ứ ó tể tr
í ệ

[4]

R t số tự Rn n ề

ị ĩ

ể

a, b tr nề

Rn
ờ t

q ể

a, b t ợ ể x tr Rn ó

x = a + (1 )b, R.
t

ố

a, b t ợ tt ể x tr Rn ó

x = a + (1 )b = (a b) + b, 0 1.
ị ĩ

A Rn ọ

ế ó ứ trọ

t ồ

t ố ể t ì tộ ó
í ụ

ì

1.1 t í ụ ề t ồ t ồ

Footer Page 6 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


6


Header Page 7 of 16.




ì

1.1. (a), (c) ồ (b), (d) ồ

ị ý

ồ ó ớ é é ợ é ộ é

ớ ột số é tổ ợ tế tí ứ ế
t ồ tr

Rn

A



B



tì t s ũ t ồ

a, A B := {x : x A, x B},
b, A + B := {x = a + b : a A, b B}.
ị ĩ

A Rn ợ ọ ó ế

x A, 0 x A.
ột ó ứ ể ố

0 Rn A Rn ợ ọ ó ồ ế

A ừ ó ừ t ồ tứ
1 x + 2 y A, x, y A, 1 , 2 0.
ị ĩ

t ồ

NC (x0 ) =


ột ó ồ ó

A Rn ể x0 clA

t Rn : t, x x0 0, x A

ó tế ủ

A t x0

A Rn t d = 0 ợ
ọ ù ủ A ế ớ ỗ x A ó

ị ĩ

t ồ rỗ

{x + d | 0} A.
ét



ọ ử ờ t s s ớ ột ù
ể t ì ủ

d t t từ ột

A ề trọ tr A õ r t A ị

Footer Page 7 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


7


Header Page 8 of 16.

ỉ

A ó ột ù

A Rn ù t 0 t t
ó ồ ó ồ ợ ọ ó ù ủ t A í ệ recA
ó d1 d2 ệt ế d1 = d2 , > 0 P ù
d ủ t A ợ ọ ự ủ A ế tồ t
tt ù ủ t ồ

ù ệt d1 d2 ủ A s d
ị ĩ

ột t ợ ủ ột số ữ ử

ó ợ ọ
ị ĩ

= 1 d1 +2 d2 , 1 , 2 > 0

t ồ ệ



ọ



ú ồ

B ủ ú ồ A ợ ọ ột ệ ủ

A ế ễ B ứ ột ể tr ủ ột t ó ủ A tì B
ứ t ó ủ A ứ

a, b A ế x = a + (1 )b B, 0 < < 1 a, b B
ột ệ ó tứ 0 ợ ọ ột ỉ ột ể ự


ệ ó tứ 1

ị ý

ọ t ồ ệ ứ trọ ột ờ t

ề ó ít t ột ỉ
ọ t ồ ệ

A ó ỉ t ợ ủ ể x ó
i v i +

x=
iI
tr ó

i = 1, i , j 0

j dj
jJ

ớ ọ

iI
ủ ủ

i, j

ò

vi

ỉ

dj



A

M, K t ồ rỗ ủ Rn M K
f : K ì K R {+} ó
a, f ệ tr M ớ số > 0 ế ớ ỗ

ị ĩ



x, y M t ó
f (x, y) + f (y, x)
b, f

ệ t

tr

xy

2

.

M ế ớ ọ x, y M t ó

f (x, y) + f (y, x) < 0.
Footer Page 8 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


8


Header Page 9 of 16.

c, f

tr

ệ

M ế ớ ỗ x, y M t ó
f (x, y) + f (y, x) 0.

d, f

tr

ệ

M ế ớ ỗ x, y M tì

f (x, y) 0 f (y, x) 0.
ị ĩ



f

ồ

ị tr t ồ

X Rn

ế

f x + (1 )y f (x) + (1 )f (y),
ớ t ì

x, y X số tự [0, 1]
f ồ t tr t ồ X ế
f x + (1 )y < f (x) + (1 )f (y),
ớ t ì

x, y X, x = y (0, 1)

f ồ ớ ệ số > 0 tr t ồ X ế
f x + (1 )y f (x) + (1 )f (y) (1 )
ớ t ì

xy

2

,

x, y X (0, 1)



f ợ ọ tự ồ tr t ồ X ế ớ R t ứ
ớ L (f ) = {x X : f (x) } t ồ
A g ồ tr t
ồ B ó s ồ tr t ồ A B
a, f + g, , 0,

ị ý



f

ồ tr t ồ

b, max(f, g).
ị í

1.1.3 ì ú tự ồ ột ồ ó tể

tụ t ột ể tr ề ị ủ ó ó
tụ t ọ ể tr ủ t ó t ị í s
ị ý

ột ồ ị tr t ồ

ể tr ủ t

A

tì tụ t ọ

A

Footer Page 9 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


9


Header Page 10 of 16.

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ❬✹❪

❈❤♦ ❤➭♠

f

❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐

A✳

❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ A ❝ã✿
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x .
◆Õ✉

f

❧å✐ ❝❤➷t✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐

A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ A ✈➭ x = y

t❛

❝ã✿

f (y) − f (x) > ∇f (x), y − x .
f ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤
x, y ∈ A t❛ ❝ã✿
◆Õ✉

✈í✐ ❤Ö sè

β > 0✱

❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐

f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x + β
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳ ❬✶❪

❈❤♦

f

A✳

y−x

❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐

2

.

❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣

A✳ ▼ét ➤✐Ó♠

x∗ ∈ A ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✿
min f (x)
x∈A

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❧➭ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ ❝ñ❛

f

tr➟♥

A✱ tø❝ ❧➭✿

∇f (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ A.
❚õ ➤Þ♥❤ ❧Ý

1.1.5 ✈➭ 1.1.6 ❝ã✿ ♥Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A t❤×

❜➭✐ t♦➳♥✿

min f (x)
x∈A

❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t✳

f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ▼ét ✈❡❝t♦
y ∗ ∈ Rn ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ f t➵✐ x∗ ∈ A ♥Õ✉✿
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❬✶❪

❈❤♦

f (x) ≥ f (x∗ ) + y ∗ , x − x∗ , ∀x ∈ A.
❚❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ y ∗ t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ∂f (x∗ )✳

∂f (x∗ ) ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ t❤➢ê♥❣ ❝❤ø❛ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ó♠✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ∂f (x∗ )
❝❤Ø ❝❤ø❛ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f ❦❤➯ ✈✐ t➵✐ x∗ ✳

❚❐♣

Footer Page 10 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✽

10


Header Page 11 of 16.

f (x) = x t ọ ể x = 0 f (x) =
t x = 0 f (x) = {y : x y, x , y}

í ụ

x

1

x

D Rn , D = , f : D R ột ể
x D ợ ọ ự tể ị ủ f tr D ế tồ t ột
ở U ủ x s f (x ) f (x), x D U ể x ợ ọ
ự tể tệt ố ủ f tr D ế f (x ) f (x), x D
ị ĩ

ị ý

a,



ọ ể ự tể ị ủ ột ồ tr

ột t ồ ề ể ự tể tệt ố

b, ế x
0 f (x )

ể ự tể ủ ồ

ị ý

f

tr t ồ

D



x intD

tì

ự ủ ột ồ ế ó tr ột t ồ ó

ể ự ờ ũ t t ột ể ự



t trờ ợ r

t ó ý ĩ q trọ tr tế ề ĩ ự
tự tễ ữ t sự ở rộ ủ ề
t t tố t t tứ ế t
s ì í ó ớ t ợ ề
t ọ q t ứ P sẽ ớ tệ t ọ ủ
t ột số t t ớ t
ộ ủ ế ủ ợ t tr
r t ộ t tết
tr

[2]

K t ồ ó rỗ

Rn

ị ĩ



f : K ì K R t f (x, x) =

0, x K ó t ợ t ể s

ì

x K s f (x , y) 0, y K.

Footer Page 11 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




11


Header Page 12 of 16.

❍➭♠ sè

f t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
❜➺♥❣ tr➟♥ K ✳

❤➭♠ ❝➞♥

◆❤➢ ➤➲ ♥ã✐ ë tr➟♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
❉➢í✐ ➤➞② t❛ tr×♥❤ ❜➭② sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ❦❤➳❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

❈❤♦

❬✷❪

J : K → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱

❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠
◆Õ✉ t❛ ➤➷t

x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ J(x∗ ) ≤ J(y), ∀y ∈ K.

✭✶✳✷✮

f (x, y) := J(y) − J(x) ✈í✐ ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t➢➡♥❣

➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.2) ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

t❛ ❝ã✿

J(x∗ ) ≤ J(y), ∀y ∈ K.
▼➷t ❦❤➳❝✱

f (x, y) = J(y) − J(x), ∀x, y ∈ K.
❉♦ ➤ã✱

f (x∗ , y) = J(y) − J(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ K.

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿

❱❐②

f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿

f (x∗ , y) = J(y) − J(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ K
⇒ J(y) ≥ J(x∗ ), ∀y ∈ K.
❱❐②

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.2)✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t

Footer Page 12 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✵

❬✷❪

12


Header Page 13 of 16.

n

❈❤♦

T : K → 2R ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ tõ ♠ét ➤✐Ó♠ ✈➭♦ ♠ét t❐♣ ❤î♣
s❛♦ ❝❤♦ T (x) ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ ∀x ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t

❚×♠

x∗ ∈ K, ξ ∗ ∈ T (x∗ ) s❛♦ ❝❤♦ ξ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K

◆Õ✉ t❛ ➤➷t
❜➺♥❣

➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
✭✶✳✸✮

f (x, y) := maxξ∈T (x) ξ, y − x , ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥

(1.1) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.3) ♥➟♥ ❝ã✿
ξ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K, ξ ∗ ∈ T (x∗ ).

▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿

f (x∗ , y) = ∗max∗ ξ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.
ξ ∈T (x )

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1)✳

❱❐②

◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) ♥➟♥
f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K.

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿

f (x∗ , y) = ∗max∗ ξ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.
ξ ∈T (x )

❱❐②

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.3)✳

• ◆Õ✉ T ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ❧➭
❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ s❛✉✿
❚×♠

x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ T (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.

✭✶✳✹✮

◆Õ✉ t❛ ➤➷t

f (x, y) := T (x), y − x , ∀x, y ∈ K t❤× ✈í✐ ❝➳❝❤ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ♥❤➢
tr➟♥ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.4) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥

❈❤♦

❬✷❪

K ⊆ Rn ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ K ∗ = {x ∈ Rn | x, y ≥ 0, ∀y ∈ K}

❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ❝ù❝ ❝ñ❛ ♥ã♥

K✳

Footer Page 13 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✶

13


Header Page 14 of 16.

❈❤♦ ➳♥❤ ①➵

T : K → Rn ❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã✱

❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥

➤➢î❝ ♣❤➳t

x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ T (x∗ ) ∈ K ✈➭ T (x∗ ), x∗ = 0.

✭✶✳✺✮

❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠
◆Õ✉ t❛ ➤➷t

f (x, y) := T (x), y − x , ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥
(1.5) sÏ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.5) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
T (x∗ ) ∈ K ✈➭ T (x∗ ), x∗ = 0.

▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿

f (x∗ , y) = T (x∗ ), y − x∗
= T (x∗ ), y − T (x∗ ), x∗
= T (x∗ ), y ≥ 0, ∀y ∈ K.
x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) t❛ ❝ã✿
❱❐②

f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿

f (x∗ , y) = T (x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ K.
K ❧➭ ♥ã♥ ♥➟♥ 0 ∈ K ✈➭ 2x∗ ∈ K ✳ ❚r♦♥❣ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ♥Õ✉ ❧✃②

y = 0 ∈ K ❝ã T (x∗ ), −x∗ ≥ 0 ❤❛② T (x∗ ), x∗ ≤ 0✱ ❝ß♥ ♥Õ✉ ❧✃②
y = 2x∗ ∈ K t❛ ❝ã T (x∗ ), 2x∗ − x∗ ≥ 0 ❤❛② T (x∗ ), x∗ ≥ 0✳❱❐②
❉♦

T (x∗ ), x∗ = 0✳
❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞♦

0 ≤ T (x∗ ), y − x∗ = T (x∗ ), y − t(x∗ ), x∗ = T (x∗ ), y , ∀y ∈ K.
T (x∗ ), y ≥ 0, ∀y ∈ K ♥➟♥ T (x∗ ) ∈ K ✳ ❉♦ ➤ã✱ x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ (1.5)✳

❉♦

❈❤ó ý

❑❤✐

K ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ (1.4)

Footer Page 14 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✷

14


Header Page 15 of 16.

í t ù tế

(1.5)

t ể t ộ t

T

: Rn 2R ớ K T (x) t t ồ rỗ ớ x K

ó

t ể t ộ t

ì
ế t t




n

ợ t ể s

x K s x T (x )



f (x, y) := maxT (x) x , y x , x, y K tì t

(1.1) t ớ t ể t ộ (1.6)

t sử

x K ệ ủ (1.6)
T (x ) = x .

t t t t ó

f (x , y) = x T (x ), y x , y K.
x K ệ ủ (1.1)
ợ x K ệ ủ (1.1)

ó

f (x , y) 0, y K.
t ó

f (x , y) = x T (x ), y x , y K.
ọ

y = T (x ) K t ó
f (x , y) = x T (x ), T (x ) x 0, y K


x T (x ) 0, y K

x T (x ) 0, y K
x = T (x ), y K.

x K ệ ủ (1.6)

ế T trị tì t ể t ộ t trở t
t ể t ộ rr s
ì

x K s x = T (x ).

Footer Page 15 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




15


Header Page 16 of 16.

ế t t

f (x, y) := x T (x), y x , x, y K tì ớ
tr ỉ r ợ r t (1.7) t ớ t

t s tr trò ợ t



I = {1, 2, . . . , p} t ỉ số ữ t pờ

Ki t ồ rỗ ủ Rni t ế ợ ủ ờ tứ i
fi : K1 ì . . . ì Kp R trớ tổ tt ủ ờ tứ
i ế ợ ủ ữ ờ ớ i I


x = (x1 , . . . , xp ) K1 ì . . . Kp y = (y1 , . . . , yp ) K1 ì . . . Kp
ị ĩ t x[yi ] K1 ì . . . ì Kp s

x , j = i
j
x[yi ]j =
y , j = i
i

t

K = K1 ì . . . ì Kp

ó

t s

ì

ợ t ể s

x K s fi (x ) fi (x [yi ]), i I, y K.

ể t

(1.8) ọ ể s ề ý ĩ tế ể

ó r t ì ố tủ ọ r ỏ ể
tr ố tủ ò ữ ể
tì ố tủ r ỏ ể sẽ ị t tệt
ế t t f

p

: KìK R ợ ị ở f (x, y) :=

{fi (x[yi ]) fi (x)}
i=1

ớ

x, y K tì t s (1.8) t ớ t
(1.1)

t sử

x K ệ ủ t (1.8)

fi (x ) fi (x [yi ]), i I, yi Ki
fi (x [yi ]) fi (x ) 0, i I, yi Ki
p

fi (x [yi ]) fi (x ) 0, y K.

i=1

Footer Page 16 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


16


Header Page 17 of 16.

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t ❝ã✿

f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.9)✳
❱❐②
❉♦

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K.

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t ❝ã✿
p

{fi (x∗ [yi ]) − fi (x∗ )} ≥ 0, ∀i ∈ K, ∀y ∈ K.
i=1

❉♦

x∗ ∈ K ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.8) ♥➟♥ ∃i0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦✿
fi (x∗ ) > fi (x∗ [yi ]), ∀yi ∈ Ki .

❚❛ ❧✃②

x∗ [yj ] = x∗ , ∀j = i0 s✉② r❛
fi (x∗ [yj ]) − fi (x∗ ) = 0, ∀j = i0 .

❑Õt ❤î♣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ s✉② r❛
p

fi (x∗ [yi ]) − fi (x∗ ) < 0, ♠➞✉ t❤✉➱♥✳
i=1

❱❐②

x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.8)✳

❑Õt ❧✉❐♥ ❝❤➢➡♥❣

❈❤➢➡♥❣ ♥➭② tr➢í❝ t✐➟♥ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ sÏ
❞ï♥❣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❞➵♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝ñ❛
❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ♣❤ï ❤î♣ ❝❤Ø r❛ sù
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❣✐÷❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥
❜➺♥❣ ◆❛s❤✳

Footer Page 17 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✺

17


Header Page 18 of 16.

❈❤➢➡♥❣ ✷

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣
❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ t❤ù❝ t✐Ô♥ ❧í♥✱ ❞♦ ➤ã ✈✐Ö❝ t×♠ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ ❜➭✐
t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ r✃t ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ ①❡♠ tr♦♥❣

✷✳✶✳

[2], [5]✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ➤Ó ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳ ❬✷❪ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

➤➢î❝ ♣❤➳t

❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠

x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ : f (y, x∗ ) ≤ 0, ∀y ∈ K.

✭✷✳✶✮

❚r♦♥❣ ➤ã✱

f : K × K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ t❤♦➯ ♠➲♥✿
a, f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ✱

b, f (x, .) : K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈í✐ ∀x ∈ K ✳
❱í✐ ♠ç✐ x ∈ K ➤➷t Lf (x) = {y ∈ K | f (x, y) ≤ 0}✳ ❘â r➭♥❣✱ x∗ ∈ K ❧➭
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ (2.1) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x∗ ∈
Lf (y).
y∈K

➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ❝❤Ø r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶✳ ❬✷❪

❚❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ t❐♣

♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳

Footer Page 18 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✶✻

18


Header Page 19 of 16.

ứ

x

K ệ ủ t ố y K,

[0, 1] t ị ĩ z K s
z := y + (1 )x .
ớ ỗ

[0, 1] t ó
(b)

(a)

0 =f (z , z ) = f (z , y + (1 )x )f (z , y) + (1 )f (z , x ).


x ệ ủ t ố
x
Lf (y) =
{x K | f (y, x) 0}
yK

yK

y = z ớ [0, 1] t ó f (z , x ) 0
ó [0, 1], y K từ (2.1) t ó
0 f (z , y) f (y + (1 )x , y) = f (x + (y x ), y)




0 tí tụ ủ f
0 f (x , y), y K

x ệ ủ t ó ề ứ
ét



ệ ề ủ ị í

2.1.1 ú t N = 1
K = [0, 2] í ệ S1 t ệ ủ t ố S2 t
ệ ủ t ó

a, f (x, y) = (x y)2 S1 = , S2 = [0, 2] S1

S2

b, f (x, y) = max{0, | x y | 1} S1 = {1}, S2 = [0, 2] S1 S2
f ệ ĩ x, y K : f (x, y) 0 f (y, x) 0

ệ ề ủ 2.1.1 ú ó t ố t
ó ù t ệ
ó tt t ế

2.1 s ể t ố

2.1
0
0
ớ k = 0, x K r0 = x

t t ế

ớ



xk rk

(i) ị ĩ
Footer Page 19 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


19


Header Page 20 of 16.

Kk = {x K : x rk + 1}.

(2.1a)

(ii) ì y k Kk ó tí t
max f (y, xk )
yKk

ớ

k

f (y k , xk ),

(2.1b)

{ k }k0 [0, +] t lim

k+

k

= 0

(iii) í xk+1
xk+1 = xk + tk PLf (yk ) (xk ) xk ,

(2.1c)

PLf (yk ) (xk ) é ế trự ủ xk Lf (yk )

Lf (yk ) = {x K | f (y k , x) 0} t ồ {tk }k0 [, 2 ] ớ
[0, 1]
tr ó

(iv) í rk t q
rk+1 = max{rk ,
trở ề

xk+1 }

(2.1d)

(i) ủ ớ

ệ ề

t t ế

2.1 ợ ị ú

ứ

ứ (2.1b) ú t từ tứ (2.1a) (2.1d) t ó
Kk Kk+1 , k N.
x0 r0 + 1 s r x0 K0 x0 Kk , k N
t t ó ọ Kk rỗ t tí


x0 K

tụ ủ

f f (., y k ) t ự tr Kk ì tồ t yk Kk t



max f (y, xk )
yKk

k

f (y k , xk ).

ứ (2.1c) ú t tí ồ ủ f (y k , .) tí ồ ủ
t t rỗ

Lf (y k ) = {x K | f (y k , x) 0}
Footer Page 20 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


20


Header Page 21 of 16.

❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✳ ❉♦ ➤ã✱

xk+1 = xk + tk PLf (yk ) (xk ) − xk

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳
❱❐② ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✷✳ ❬✷❪

●✐➯ sö r➺♥❣✿

+∞

Lf (y k ) = ∅,

✭✷✳✸✮

k=0
t❤×✿

+∞

∗

a, ∀x ∈
b,
c,

Lf (y k ) ❞➲② { xk − x∗ }k≥0

k=0
k
❉➲② {x }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥✳
lim
xk+1 − xk =

k→+∞

❦❤➠♥❣ t➝♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❤é✐ tô✳

0.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤

a, ❈❤♦ x∗ ∈

+∞

Lf (y k )✱ tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.1c) ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ 2.1 t❛ ❝ã

k=0

x

k+1

k

= x + tk PLf (yk ) (xk ) − xk ❞♦ ➤ã✿
xk+1 − x∗

2

= xk + tk [PLf (yk ) (xk ) − xk ] − x∗
= xk − x∗

2

+ tk 2

2

PLf (yk ) (xk ) − xk

2

✭✷✳✹✮

+ 2 tk xk − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk .
❚❛ ❧➵✐ ❝ã✿

2 tk xk − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk =
= 2 tk xk − PLf (yk ) (xk ) + PLf (yk ) (xk ) − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk
= −2 tk

xk − PLf (yk ) (xk )

2

+2 tk PLf (yk ) (xk ) − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk .
✭✷✳✺✮

❚õ

(2.4) ✈➭ (2.5) t❛ ❝ã✿
xk+1 − x∗

2

= xk − x∗
− 2 tk

2

+ tk 2

PLf (yk ) (xk ) − xk

xk − PLf (yk ) (xk )

2

2

−
✭✷✳✻✮

+

+ 2 tk PLf (yk ) (xk ) − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk .
Footer Page 21 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✾

21

Header Page 22 of 16.

❉♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ trù❝ ❣✐❛♦ ✈➭
❝ï♥❣ ❝ñ❛

x∗ ∈ Lf (y k ) ♥➟♥ sè ❤➵♥❣ ❝✉è✐

(2.6) ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣✱ tø❝ ❧➭✿
2 tk PLf (yk ) (xk ) − x∗ , PLf (yk ) (xk ) − xk ≤ 0.

❚õ

✭✷✳✼✮

(2.6), (2.7) ✈➭ ∀k ∈ N t❛ s✉② r❛✿
xk+1 − x∗

2

≤ xk − x∗

2

+ tk 2

PLf (yk ) (xk ) − xk

xk − PLf (yk ) (xk )

− 2 tk

2

−tk (2 − tk )

≤ xk − x∗

2

.

= x −x

−

2

∗

k

2

k

x − PLf

(y k )

k

2

(x )

✭✷✳✽✮

{ xk − x∗ }k≥0 ❦❤➠♥❣ t➝♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❤é✐ tô✳
b, ❚❤❡♦ ❦Õt q✉➯ a, t❛ ❝ã ❞➲② { xk − x∗ }k≥0 ❤é✐ tô✳
▼➷t ❦❤➳❝✱ xk = xk − x∗ + x∗ ≤ xk − x∗ + x∗ ✳
❱❐② ❞➲②

⇒ {xk }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥✳
c, ❚❛ ✈✐Õt ❧➵✐ (2.8) ❞➵♥❣✿
tk (2 − tk )

xk − PLf (yk ) (xk )

2

≤ xk − x∗

2

xk+1 − x∗

−

2

. ✭✷✳✾✮

❱×

0 < α ≤ tk ≤ 2 − α ✈í✐ 0 < α < 1 t❛ ❝ã 0 < α(2 − α) ≤ tk (2 − tk )✳
❚õ (2.9) t❛ s✉② r❛✿
α(2 − α)
❚õ

xk − PLf (yk ) (xk )

2

≤ xk − x∗

2

xk+1 − x∗

−

2

. ✭✷✳✶✵✮

(2.10)✱ 0 < α(2 − α) ✈➭ tÝ♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ { xk − x∗ }k≥0 t❛ ❝ã✿
lim {xk − PLf (yk ) (xk )} = 0.

k→+∞

✭✷✳✶✶✮

❉♦ ➤ã✱

xk+1 − xk
lim
= 0.
k→+∞
tk
❱× 0 < α ≤ tk ≤ 2−α ♥➟♥ (xk+1 −xk ) → 0 ❦❤✐ k → +∞✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ❬✸❪

●✐➯ sö✿

i, ❉➲② {xk }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥✱
ii, lim
xk+1 − xk = 0.
k→+∞

❑❤✐ ➤ã✱ ❞➲②

{xk }k≥0

❤é✐ tô tí✐ ♥❣❤✐Ö♠

Footer Page 22 of 16.

x∗

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷✵

❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳

22


Header Page 23 of 16.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤

k+1
k
• ❉♦ xk+1 = xk + tk PLf (yk ) (xk ) − xk ⇒ x t − x = PLf (yk ) (xk ) − xk ✳
k

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt

ii, t❛ s✉② r❛✿
lim {xk − PLf (yk ) (xk )} = 0.

k→+∞

• ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ {y k }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥❄
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã ❞➲② {xk }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❞♦ ✈❐② ∃ r > 0 s❛♦ ❝❤♦✿
xk ≤ r, ∀k ∈ N✳
❚õ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.1d) ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐Õ✉ 2.1✿ rk+1 = max{rk , xk+1 } t❛

❝ã✿

rk = max{ x0 , . . . , xk }.
❉♦ ➤ã✱ rk

≤ r, ∀k ∈ N✳

▲➵✐ tõ

(2.1a) t❛ ❝ã Kk = {x ∈ K : x ≤ rk + 1} ♥➟♥ Kk ⊂ B(0, r + 1)✳
❚õ (2.1b) t❛ ❝ã max f (y, xk ) − k ≤ f (y k , xk ), y k ∈ Kk , ∀k ∈ N, ❞♦ ✈❐②✿
y∈Kk

y k ≤ r + 1.
❉♦ ➤ã✱

{y k }k≥0 ❜Þ ❝❤➷♥✳

• ●✐➯ sö x ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❞➲② {xk }k≥0 ⊂ K ✱ ✈í✐ K ➤ã♥❣✱ x ∈ K ✳
❚å♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ {xkn }kn ≥0 ❝ñ❛ ❞➲② {xk }k≥0 t❤♦➯ ♠➲♥✿
lim xkn = x.

kn →+∞

{y kn }kn ≥0 ❝ò♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥
❝ñ❛ ❞➲② {y kn }kn ≥0 ❤é✐ tô✱ ❣✐➯ sö ❤é✐ tô tí✐ y ✱ tø❝ ❧➭✿

❚➢➡♥❣ ø♥❣ t❛ ①Ðt ❞➲② ❝♦♥

{y knp }knp ≥0

lim y knp = y.

knp →+∞

➜Ó ❝❤♦ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉

y knp ≡ y kn ✱ t❛ ❝ò♥❣ ❧➭♠ t➢➡♥❣ tù ✈í✐ xknp ✱ t❛

xknp ≡ xkn ✳
• ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f (y, x) = 0?

❦Ý ❤✐Ö✉

❚❤❐t ✈❐②✱ tõ tr➟♥ ❝ã

lim {xk −PLf (yk ) (xk )} = 0 ♥➟♥ lim PLf (yk ) (xk ) = x.

k→+∞

k→+∞

Footer Page 23 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷✶

23

Header Page 24 of 16.

❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛

f ♥➟♥ s✉② r❛✿

f (y, x) = f

lim y kn , lim PLf (ykn ) (xkn )

kn →+∞

kn →+∞

kn

✭✷✳✶✷✮

kn

= lim f y , PLf (ykn ) (x ) ≤ 0.
kn →+∞

PLf (ykn ) (xkn ) ∈ Lf (y kn ) = {x ∈ K | f (y kn , x) ≤ 0}.
❚õ (2.1a), (2.1d) ❝ã xk ∈ Kk , ∀k ∈ N✳
❚r♦♥❣ ➤ã✱

❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

2.1.1 ✈➭ (2.1b)✱ ✈í✐ ∀k ∈ N t❛ ❝ã✿

0 = f (xk , xk ) ≤ max f (y, xk ) ≤ f (y k , xk ) +
y∈Kk

❉♦

lim

k→+∞

k

✭✷✳✶✸✮

k.

= 0 ✈➭ f ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ tõ (2.12) s✉② r❛✿
0 ≤ lim {f (y kn , xkn ) +
kn →+∞

kn }

= f ( lim y kn , lim xkn ) + lim
kn →+∞

kn →+∞

kn →+∞

✭✷✳✶✹✮

kn

= f (y, x).
❑Õt ❤î♣

(2.12), (2.14) s✉② r❛✿
✭✷✳✶✺✮

f (y, x) = 0.

• ❱í✐ ♠ä✐ 0 < δ < 1, x ∈ intB(0, r∗ + 1 − δ) ∩ K, ✈í✐ r∗ = sup rk ?
❉♦ rk ❜Þ ❝❤➷♥ ♥➟♥ r ∗

k∈N

= sup rk ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✳
k∈N
∗

❱í✐

0 < δ < 1 ①Ðt B(0, r + 1 − δ) ≡ B(δ)
❚õ (2.1d) ❝ã xk ≤ r k ≤ r ∗ < r ∗ +1−δ, ∀k ∈ N✱ ♥➟♥ s✉② r❛ x ∈ intB(δ).
x ∈ intB(0, r∗ + 1 − δ) ∩ K ✳
• ❈❤♦ B(δ) = B(δ) ∩ K ✱ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (EPδ ) ✈í✐ ❤➭♠ f ✈➭ t❐♣
❝❤✃♣ ♥❤❐♥ B(δ)✿

❱❐②

❚×♠

x ∈ (EPδ ) t❤♦➯ ♠➲♥ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ B(δ)

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿

x ∈ B(δ)

(EPδ )

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

(EPδ )✱

✈í✐

0 < δ < 1✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ❞➲②

{rk }k∈N ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠✿ rk ≤ rk+1 ✳ ❈❤ä♥ k0 ∈ N t❤♦➯ ♠➲♥

Footer Page 24 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷✷

24


Header Page 25 of 16.

rk0 ≥ r∗ − δ ✳ ❑❤✐ ➤ã✿
r∗ + 1 − δ ≤ rk + 1, ∀k ≥ k0 .
❉♦ ➤ã✱

B(δ) ⊂ Kk , ∀k ≥ k0 .
▲✃②

z ∈ B(δ)✱ t❛ ❝ã z ∈ Kk , ∀k ≥ k0 ✳ ❱× ✈❐②✱
f (z, xk ) ≤ max f (y, xk ) ≤ f (y k , xk ) +
y∈Kk

❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛

k,

∀k ≥ k0 .

✭✷✳✶✻✮

f ✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.14), (2.15), (2.16) t❛ ❝ã✿

f (z, x) = f (z, lim xkn )
kn →+∞

= lim f (z, xkn )
kn →+∞

✭✷✳✶✼✮

(2.16)

≤

kn

kn

lim {f (y , x ) +

kn →+∞

kn }

= f (y, x) = 0.
❚ø❝ ❧➭✱
✭✷✳✶✽✮

f (z, x) ≤ 0, ∀z ∈ B(δ).
❚õ

(2.18)✱ ❞♦ x ∈ K ✱ ✈í✐ ♠ç✐ 0 < δ < 1 t❛ ❝ã✿
x∈

Lf (z).
x∈B(δ)

❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý

2.1.1 s✉② r❛ x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (EP δ ) ✈í✐ 0 < δ < 1✳

• x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ 1.1❄
❈❤♦ x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (EPδ )✱ tø❝ ❧➭ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ B(δ)✳
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ã f (x, x) = 0✳
❚õ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤

x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❧å✐✿
min f (x, y).

✭✷✳✶✾✮

y∈B(δ)

❍➭♠

g : Rn → R ∪ {+∞} ❝ã ❞➵♥❣✿

f (x, y) s✐ y ∈ K,
g(y) =
+∞
s✐ y ∈ K.

Footer Page 25 of 16.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷✸

25