Chủ đề 2 Đại lượng ngẫu nhiên một số luật phân phối thông dụng

TRƯỜNG CAO ĐẲNG Y TẾ CẦN THƠ
Lớp: CĐĐD9F
Nhóm 1
Chủ đề 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN & MỘT SỐ LUẬT
PHÂN PHỐI
Giáo viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Đỗ Phú Vinh
Ths. Võ Thị Hiếu

Cần Thơ, ngày 27 tháng 2 năm 2017


Đặt vấn đề
I.

Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên và phân loại đại
lượng ngẫu nhiên

II. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
III. Một số luật phân phối rời rạc thông dụng
IV. Một số luật phân phối liên tục thông dụng



I.   Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên và phân loại đại lượng
ngẫu nhiên:

1.

Khái niệm:

•. Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ thuộc
vào các yếu tố ngẫu nhiên. Đặc biệt với mọi giá trị thực R: “X nhận
giá trị nhỏ hơn bằng x”, ký hiệu {X}, là một biến cố ngẫu nhiên.

•. Nói cách khác, đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là một đại
lượng có thể nhận giá trị này hay giá trị khác phụ thuộc vào phép
thử.

•. Ký hiệu: X, Y, Z,...


Ví dụ

1)

Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi.
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể

nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.

2)

Một hộp bị đồng chất có 10 viên trong đó có 6 viên đỏ và 4 viên xanh. Bốc
ngẫu nhiên 5 viên.
X là số bi đỏ có trong 5 viên lấy ra, Y là số bi xanh trong 5 viên lấy ra .

X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4,5)
Y là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4)

2. Phân loại:
a)

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

 Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là hữu
hạn hoặc
đếm được.

- Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc khi tung.
- Số tai nạn giao thông trong một ngày ở một vùng.
Ví dụ


b)

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập các giá trị của nó là một

khoảng (hay một đoạn) trên trục số thực.

Ví dụ

- Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó.
- Chiều cao của con người.
- Thời gian sống của một loại cây trồng.


3. Quy luật phân phối xác suất của định luật ngẫu nhiên

•. Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, trước hết ta phải biết đại lượng ngẫu
nhiên ấy có thể nhận các giá trị nào. Nhưng mặt khác ta phải biết nó nhận
các giá trị trên với xác suất tương ứng là bao nhiêu.

•. Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có
thể có của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là
quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.

•. Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên ta có
thể dùng: bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm
mật độ xác suất.


a)

Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất
của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị
có thể có là x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn. Bảng
phân phối xác suất của X có dạng:

Trong đó các xác suất pi (i = 1, 2, …, n) phải thoả mãn các điều kiện:
và


   Điều kiện thứ nhất là hiển nhiên vì theo tính chất của xác suất, còn điều
kiện thứ hai là do các biến cố (X = x1), (X =x2), …, (X = xn) tạo nên một nhóm
biến cố đầy đủ, nên tổng xác suất của chúng bằng một.

b)

Hàm mật độ xác suất:
Hàm mật độ f(x) của ĐLNN liên tục X là một hàm không âm xác định trên

toàn trục số sao cho

 

)Tính chất:

f(x)0 ,

P(a X b) =

,


nghĩa hàm mật độ:

Ý
 

- Từ định nghĩa của hàm mật độ, ta có P(x X x + ) f(x)
- Xác suất để X nhận giá trị thuộc lân cận khá bé (x, x + ) gần như tỷ lệ với
f(x).

c)

Hàm phân phối xác suất:

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X tại R xác định như sau:

•) Nếu X là ĐLNN rời rạc thì F(x) =
•) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f(t) thì F(x) =

 

F(x) = P(X)


 
Ví dụ

Gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp.
- Hàm phân phối F(x) là:
F(x) =


- Đồ thị F(x):


  Tính chất:


 Ý nghĩa: Từ định nghĩa của hàm phân phối xác suất ta thấy hàm F(x) phản
ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của xác suất của điểm x. Giá
trị của hàm F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân
phối trong khoảng (-

II.
1.

Các tham số đặc trưng của ĐLNN
Kỳ vọng:

. Định nghĩa: Kỳ vọng của ĐLNN X, kí hiệu là E(X) được xác định bởi:
- Nếu X là ĐLNN rời rạc có luật phân phối thì X
X

có kỳ vọng:

P

 

E(X) =

- Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất y = f(x) thì

 

E(X) =


  Ý nghĩa: Kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất hay là giá trị trọng tâm của

ĐLNN, dùng kỳ vọng để xác định vị trí của phân bố

 Tính chất:
i) Với C là một hằng số và X là ĐLNN tùy ý, ta có
E(C) = C

và

E(CX) = C E(X)

ii) Với X và Y là hai ĐLNN tùy ý, ta có:
E(XY) = E(X) E(Y)

iii) Nếu X và Y là hai DDLNN độc lập, nghĩa là:
P[(X = )(Y = )] = P(X = ).P(Y = )

,


Ví dụ

 

Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với
hàm mật độ xác suất như sau:
F(x) =
Tính hàm phân bố xác suất và tìm tuổi thọ trung bình của loài côn trùng trên.
Giải: Vì 4 ⇒ k=
Vậy hàm phân bố xác suất sẽ là:
F(x) =
Tuổi thọ trung bình là:

EX = = (tháng)



2.  Phương sai:

.Định nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu D(X) (hay Var(X)) , là đại
lượng không âm được xác định bởi:

.Công thức tính:

 

D(X) =

Từ công thức định nghĩa phương sai, ta rút ra được công thức tương đương khác:

•

Nếu X là ĐLNN rời rạc thì D(X) =D(X) =

•

Nếu X là ĐLNN liên tục thì

 

D(X) =

chất:

 Tính
 
a) D(X) 0

b) Với C là một hằng số và X là một ĐLNN tùy ý, ta có:
D(X) = 0

và

D(CX) = .D(X)

c) Nếu X và Y là hai ĐLNN phân phối độc lập nhau thì
D(XY) = D(X) D(Y)

 Ý nghĩa
- Phương sai của biến ngẫu nhiên X dùng để đo mức độ phân tán của các giá trị
của X xung quanh giá trị trung bình EX của nó.
- Var(X) nhỏ thì mức độ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn.
- Var(X) càng lớn thì độ phân tán càng cao.


 

Ví dụ

Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với
hàm mật độ xác suất như sau:
F(x) =

Tính phương sai của biến ngẫu nhiên?
Giải:

=
⇒ DX = E - (E = - = ⇒=


3.
 

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của ĐLNN X được kí hiệu là và được xác định bởi =

Khái niệm độ lệch chuẩn giải quyết vấn đề đơn vị đo. Kì vọng E(X) của ĐLNN X có đơn
vị đo = đơn vị đo của X, còn phương sai D(X) có đơn vị đo = bình phương đơn vị đo của
X. Suy ra, độ lệch chuẩn có đơn vị đo = đơn vị đo của X.

4.

Mode

Tham số mode của ĐLNN X có n giá trị được viết là Mod(X) và được hiểu là một giá trị
của X có khả năng xảy ra cao nhất, còn được gọi là giá trị tin chắc nhất.
+ Nếu X là ĐLNN rời rạc thì Mod(X) = có xác suất lớn nhất (với 0
+ Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì Mod(X)= sao cho f(x) đạt giá trị lớn
nhất tại x=




III.  Một số luật phân phối rời rạc thông dụng

1.

Phân phối nhị thức B(n;p)

.Định nghĩa:
ĐLNN rời rạc X = {0, 1, 2,...,n} được gọi là có phân phối nhị thức nếu tồn tại số p (0;1) sao cho:

 

Trong đó: q = 1-p; k = 0,1,2,...,n

.Ký hiệu: X
.Đặc trưng:
E(X) = np
D(X) = npq
Mod X = np-q+1

hoặc X


 
Ví dụ

Một người trồng 100 cây, xác suất cây chết là 0.02. Gọi X là số cây chết. Tính xác suất có từ 3 đến 4
cây chết, trung bình số cây chết và phương sai của X.

Giải:
Xác suất có từ 3 đến 5 cây chết:

P(3 X 5) = P(3) + P(4) + P(5)
=. +.
= 0.2725
Trung bình số cây chết: E(X) = np = 100.0,02 = 2
Phương sai của X: D(X) = npq = 100.0,02.(1-0.02) = 1.96



2.   Phân phối Poisson P(a)

.Định nghĩa:
ĐLNN rời rạc X = {0, 1, 2,...,n,..} được gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại số > 0 sao cho:

.Kí hiệu: X P( hoặc X P(

.Đặc trưng:
E(X) = D(X) =
Mod X = -1


 

Ví dụ

Quan sát 5 phút thấy có 18 người ghé vào một đại lí bưu điện. Tìm xác suất trong 7 phút có 25 người
vào đại lí bưu điện đó.
Giải:
5p ⟶ 18 người
7p ⟶ = 25,2 người

⇒ =25,2
Gọi X = {số người đến} => X P(25,2)

⇒ Xác suất để 7p có 25 khách là:


3.
   Phân phối siêu bội H(N;M;n)
.Định nghĩa:
ĐLNN rời rạc X = {0, 1, 2,...,n} được gọi là có phân phối siêu bội nếu tồn tại các số tự nhiên N, M
sao cho
N và:
Trong đó: k = 0,1,2,...,n

.Ký hiệu: X

hoặc X

.Đặc trưng:
E(X) = np
D(X) = npq
Trong đó p = ; q = 1-p