Bài giảng cơ học kết cấu 2

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP
BỘ MÔN: KẾT CẤU CÔNG TRÌNH

BÀI GIẢNG:

CƠ HỌC KẾT CẤU 21
MECHANICS OF STRUCTURES

Đà Nẵng 2016


Cơ học kết cấu 2

Mục lục

CHƢƠNG 5: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................1
5.1. CÁC KHÁI NIỆM ................................................................................................1
5.1.1. Hệ siêu tĩnh....................................................................................................1
5.1.2. Các tính chất của hệ siêu tĩnh .......................................................................1
5.1.3. Bậc siêu tĩnh ..................................................................................................3
5.2. NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHƢƠNG PHÁP LỰC .............................................4
5.2.1. Hệ cơ bản của phƣơng pháp lực ...................................................................4
5.2.2. Hệ phƣơng trình cơ bản của phƣơng pháp lực ..............................................6
5.2.3. Hệ phƣơng trình chính tắc của phƣơng pháp lực...........................................8
5.2.4. Xác định các hệ số của hệ phƣơng trình chính tắc ........................................9
5.2.5. Cách tìm nội lực trong hệ siêu tĩnh..............................................................11
VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................................................15
5.3. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH ..........................................17
5.3.1. Nguyên tắc chung ........................................................................................17

5.3.2. Cách sử dụng hệ cơ bản ...............................................................................17
5.4. KIỂM TRA KẾT QUẢ TÍNH TOÁN CỦA PHƢƠNG PHÁP LỰC...................20
5.4.1. Kiểm tra quá trình tính toán ........................................................................21
5.4.2. Kiểm tra kết quả cuối cùng..........................................................................22
5.5. MỘT SỐ ĐIỀU CẦN CHÚ Ý KHI TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẬC CAO ...............24
5.5.1. Các biện pháp nâng cao độ chính xác của kết quả tính toán .......................24
5.5.2. Các biện pháp làm giảm nhẹ khối lƣợng tính toán ......................................24
5.6. CÁCH VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HỆ ĐỐI XỨNG..............26
5.6.1. Biện pháp sử dụng cặp ẩn số đối xứng và phản xứng .................................26
5.6.2. Biện pháp biến đổi sơ đồ tính ......................................................................28
5.7. HỆ DÀN SIÊU TĨNH .........................................................................................34
5.7.1. Bậc siêu tĩnh ................................................................................................ 34
5.7.2. Hệ cơ bản và hệ phƣơng trình chính tắc .....................................................34
5.7.3. Xác định các hệ số của hệ phƣơng trình chính tắc ......................................34
5.7.4. Xác định lực dọc trong các thanh dàn .........................................................34
5.8. DẦM LIÊN TỤC.................................................................................................37
5.8.1. Phân tích hệ..................................................................................................37
5.8.2. Cách tính dầm liên tục bằng phƣơng pháp phƣơng trình ba mômen ..........37
5.8.3. Tính dầm liên tục bằng phƣơng pháp tiêu cự mômen.................................45
CHƢƠNG 6: PHƢƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ..............................................................50
6.1. KHÁI NIỆM .......................................................................................................50
6.1.1. Các giả thiết .................................................................................................50
6.1.2. Hệ xác định động và hệ siêu động ..............................................................50
6.1.3. Bậc siêu động ..............................................................................................51
6.2. CÁCH TÍNH HỆ SIÊU ĐỘNG CHỊU TẢI TRỌNG BẤT ĐỘNG .....................52
6.2.1. Hệ cơ bản của phƣơng pháp chuyển vị .......................................................52
6.2.2. Hệ phƣơng trình cơ bản của phƣơng pháp chuyển vị .................................53
6.2.3. Hệ phƣơng trình chính tắc của phƣơng pháp chuyển vị .............................54
6.2.4. Xác định các hệ số của hệ phƣơng trình chính tắc ......................................55
BẢNG TRA NỘI LỰC CHO MỘT SỐ PHẦN TỬ ...................................................56

VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ ...............................................................59
6.3. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU ĐỘNG ........................................61
6.3.1. Chuyển vị tại các nút ...................................................................................61
6.3.2. Chuyển vị tại các tiết diện bên trong phần tử..............................................61


Cơ học kết cấu 2

Mục lục

6.4. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐẦU THANH
THEO PHƢƠNG VUÔNG GÓC VỚI TRỤC THANH CÓ HỆ THANH ĐỨNG
KHÔNG SONG SONG .............................................................................................62
6.5. TÍNH HỆ CÓ NÚT KHÔNG CHUYỂN VỊ THẲNG CHỊU LỰC TẬP TRUNG
CHỈ ĐẶT Ở NÚT.......................................................................................................64
6.6. TÍNH HỆ SIÊU ĐỘNG CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG ....................................65
6.6.1. Đƣờng ảnh hƣởng cơ bản ............................................................................65
6.6.2. Hệ phƣơng trình chính tắc ...........................................................................65
6.6.3. Giải hệ phƣơng trình chính tắc ....................................................................65
6.6.4. Đƣờng ảnh hƣởng của phản lực, nội lực và chuyển vị ...............................65
CHƢƠNG 7: PHƢƠNG PHÁP HỖN HỢP VÀ PHƢƠNG PHÁP LIÊN HỢP ...........67
7.1. SO SÁNH PHƢƠNG PHÁP LỰC VÀ PHƢƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ - CÁCH
CHỌN PHƢƠNG PHÁP TÍNH .................................................................................67
7.2. PHƢƠNG PHÁP HỖN HỢP ..............................................................................68
7.3. PHƢƠNG PHÁP LIÊN HỢP ..............................................................................70
CHƢƠNG 8: PHƢƠNG PHÁP PHÂN PHỐI MÔMEN ..............................................73
(PHƢƠNG PHÁP H.CROSS) .......................................................................................73
8.1. KHÁI NIỆM .......................................................................................................73
8.1.1. Ƣu điểm .......................................................................................................73
8.1.2. Nhƣợc điểm .................................................................................................73

8.2. QUY ƢỚC CÁCH ĐỌC TÊN VÀ XÉT DẤU NỘI LỰC ...................................73
8.2.1. Quy ƣớc khi đọc tên của nội lực .................................................................73
8.2.2. Quy ƣớc dấu ................................................................................................ 74
8.3. SỰ PHÂN PHỐI MOMEN QUANH MỘT NÚT ...............................................74
8.4. CÁCH TÍNH HỆ CÓ NÚT KHÔNG CHUYỂN VỊ THẲNG.............................79
PHẦN BÀI TẬP ............................................................................................................85


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

CHƢƠNG 5
TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC
5.1. CÁC KHÁI NIỆM
5.1.1. Hệ siêu tĩnh
1. Định nghĩa: Hệ siêu tĩnh là những hệ mà n ế u chỉ dùng các phƣơng trình
cân bằng tĩnh học thì chƣa đủ để xác định tất cả các thành phần phản lực và nội
lực trong hệ. Nói cách khác, đây là hệ “thừa” liên kết ngoài các liên kết cần thiết để
giữ cho hệ bất biến hình hoặc bất động đối với trái đất.
Để tính toán hệ siêu tĩnh cần thiết phải sử dụng thêm điều kiện động học và điều
kiện vật lý.
2. Ví dụ:
- Hệ AB trên (H.5.1.1a) là hệ tĩnh định vì có
thể xác định đƣợc ngay phản lực, nội lực bằng các
phƣơng trình cân bằng tĩnh học.
- Hệ CD trên (H.5.1.1b) là hệ siêu tĩnh vì chỉ với
3 phƣơng trình cân bằng tĩnh học thì chƣa thể xác định

H.5.1.1a

đƣợc 4 thành phần phản lực (VC, HC, MC, VD ) của hệ
nên cũng chƣa thể xác định đƣợc nội lực.
H.5.1.1b

5.1.2. Các tính chất của hệ siêu tĩnh
1. Tính chất 1:

Nội lực, biến dạng và chuyển vị trong hệ siêu tĩnh nói chung là nhỏ hơn so
với hệ có cùng kích thƣớc và tải trọng tác dụng.
Hệ tĩnh định

Hệ siêu tĩnh

H.5.1.2

M

max



H.5.1.3

ql 2
5 ql 4
, ymax  yC 
384 EJ
8

M

1

max



ql 2
1 ql 4
, ymax  yC 
12
384 EJ


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

* Nhận xét: Hệ siêu tĩnh chịu lực tốt hơn hệ tĩnh định cùng kích thƣớc và tải
trọng .
2. Tính chất 2: Trong hệ siêu tĩnh có xuất hiện nội lực do các nguyên nhân:
biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cƣỡng bức của các gối tựa và do chế tạo, lắp ráp
không chính xác gây ra.
a. Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ
Hệ tĩnh định

Hệ siêu tĩnh

H.5.1.5

H.5.1.4

Các liên kết không ngăn cản biến Các liên kết tại A, B ngăn cản biến
dạng của dầm nên không làm xuất dạng của dầm nên làm xuất hiện
hiện phản lực và nội lực.

phản lực và nội lực.

b. Nguyên nhân chuyển vị cƣỡng bức của các gối tựa:
Hệ tĩnh định

Hệ siêu tĩnh

H.5.1.6

H.5.1.7

Các liên kết không ngăn cản chuyển Các liên kết tại A, B có xu hƣớng ngăn
vị của gối B nên dần chỉ bị nghiêng đi cản chuyển vị tại gối C làm cho dầm bị
mà không biến dạng nên không xuất uốn nên làm xuất hiện phản lực và nội
hiện phản lực và nội lực.

lực.

c. Nguyên nhân chế tạo, lắp ráp không chính
xác: (H.5.1.8)
Dầm tĩnh định AB nếu đƣợc ráp thêm
thanh CD vào sẽ trở thành hệ siêu tĩnh. Nếu thanh
CD do chế tạo hụt 1 đoạn thì khi ráp vào, nó sẽ bị

kéo dãn ra đồng thời dầm AB sẽ bị uốn cong nên sẽ
làm phát sinh phản lực và nội lực trong hệ.

H.5.1.8

Khi thiết kế kết cấu siêu tĩnh cần đặc biệt chú ý
đến các nguyên nhân gây nội lực kể trên. Đôi khi có thể sử dụng tính chất này để tạo
2


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

sẵn trong hệ những nội lực và biến dạng ban đầu. Biện pháp này làm cho sự phân phối
nội lực trong các cấu kiện của công trình đƣợc hợp lí hơn, do đó tiết kiệm đƣợc vật
liệu.
3. Tính chất 3:
Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào độ cứng của các cấu kiện trong hệ (EJ,
FF, GF…).
Ví dụ:
- Hệ tĩnh định trên (H.5.1.9): Xác định các thành phần nội lực của hệ mà không
cần quan tâm đến độ cứng (EJ) của các cấu kiện.
- Hệ siêu tĩnh trên (H.5.1.10) & (H.5.1.11): Kết quả tính toán nội lực của 2 hệ
thay đổi vì độ cứng (EJ) của các cấu kiện khác nhau.

H.5.1.9

H.5.1.10

H.5.1.11

5.1.3. Bậc siêu tĩnh: Ký hiệu n.
1. Định nghĩa: Bậc siêu tĩnh là số các liên kết thừa (về mặt cấu tạo hình học)
tƣơng đƣơng với liên kết loại 1 ngoài số liên kết cần thiết để cho hệ bất biến hình.
2. Cách xác định:
a. Theo cơ học kết cấu 1
Có thể sử dụng các công thức liên hệ giữa số lƣợng các miếng cứng và các
liên kết giữa chúng trong phần cấu tạo hình học của hệ để xác định.
n = T + 2K + 3H + C – 3D

(Cho hệ bất kỳ có nối đất)

n = T + 2K + 3H – 3(D - 1)

(Cho hệ bất kỳ không nối đất)

n = D – 2M + C

(Cho hệ dàn có nối đất)

n = D – 2M + 3

(Cho hệ dàn không nối đất)

Ví dụ 1: Xác định bậc siêu tĩnh của hệ trên hình (H.5.1.12 & H.5.1.13)
H.5.1.13

H.5.1.12

3


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

- Hệ trên hình (H.5.1.9) có n = 0 + 2.0 + 3.0 + 4 – 3.1 = 1
- Hệ trên hình (H.5.1.10) có n = 11 – 2.6 + 3 = 2
b. Theo cơ học kết cấu 2
n = 3V – K

(5-1)

Trong đó: V là số chu vi kín
K là số liên kết khớp đơn giản của hệ
Ví dụ 2: Xác định bậc siêu tĩnh của các hệ cho trên hình vẽ bên dƣới.
H.5.1.15

H.5.1.14

- Hệ trên hình (H.5.1.14) có n = 3.1 – 2 = 1
- Hệ trên hình (H.5.1.15) có n = 3.3 – 6 = 3
* Chú ý: Cần quan niệm trái đất là 1 chu vi hở (miếng
cứng tĩnh định) trong biểu thức (5 - 1)
Ví dụ 3:
+ Nếu quan niệm trái đất là một chu vi kín: (H.5.1.16)
V = 4; K = 0  n = 3.4 = 12

H.5.1.16

 Đây là quan niệm sai, vì nếu xóa hệ đã cho vẫn còn
1 chu vi kín.
+ Do đó phải quan niệm trái đất là một chu vi hở
(H.5.1.17)
V = 3; K = 0  n = 33 = 9
5.2. NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHƢƠNG PHÁP LỰC
H.5.1.17

5.2.1. Hệ cơ bản của phƣơng pháp lực

Để tính hệ siêu tĩnh, ta không tính trực tiếp trên hệ đó ( vì số phƣơng trình nhỏ
hơn số ẩn) mà tính trên một hệ thay thế khác cho phép dễ dàng xác định nội lực. Hệ
thay thế này là hệ bất biến hình đƣợc suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ
một số hay tất cả các liên kết thừa gọi là hệ cơ bản.
* Khi tạo hệ cơ bản của phƣơng pháp lực cần loại bỏ liên kết nghĩa là đƣa từ
liên kết bậc cao xuống liên kết bậc thấp hơn.
Ví dụ:
4


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

1. Liên kết nối đất:
Loại bỏ liên kết
ngăn cản chuyển vị xoay
Loại bỏ liên kết
ngăn cản chuyển vị ngang

( Liên kết mo men )

Loại bỏ liên kết
ngăn cản chuyển vị xoay

2. Liên kết nối giữa các miếng cứng:
Loại bỏ liên kết

Loại bỏ liên kết

ngăn cản chuyển vị xoay

ngăn cản chuyển vị đứng

* Chú ý:
+ Nếu loại bỏ một số các liên kết thừa thì hệ cơ bản là hệ siêu tĩnh bậc thấp
hơn.
+ Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản sẽ là hệ tĩnh định.
* Yêu cầu của hệ cơ bản:
+ Phải là hệ bất biến hình.
+ Hệ cơ bản phải cho phép xác định đƣợc nội lực một cách dễ dàng và thuận
tiện cho tính toán.
Ví dụ 4:
Lập hệ cơ bản phƣơng pháp lực của hệ siêu tĩnh trên hình (H.5.2.1)
Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh n = 3. Với hệ cơ bản là tĩnh định có thể đƣợc tạo
nhƣ trên các hình (H.5.2.2,3,4).

H.5.2.1

H.5.2.2

H.5.2.3

H.5.2.4

H.5.2.5

H.5.2.6

5


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

Hệ trên hình (H.5.2.5) & (H.5.2.6) là hệ BH & hệ BHTT nên không đƣợc sử
dụng làm hệ cơ bản.
* Nhận xét: Với một hệ siêu tĩnh đã cho, có thể có rất nhiều hệ cơ bản đƣợc tạo
ra.
5.2.2. Hệ phƣơng trình cơ bản của phƣơng pháp lực
Khi tính hệ siêu tĩnh, ta không tính trực tiếp trên hệ đó mà tính hệ cơ bản của
nó. Tuy nhiên, hệ cơ bản và hệ ban đầu là có sự khác nhau. Để hệ cơ bản làm việc
giống hệ siêu tĩnh ban đầu ta cần so sánh và bổ sung thêm các điều kiện.
Ta đi so sánh hệ siêu tĩnh (H.5.2.7) và hệ cơ bản của nó (H.5.2.8)
Hệ tĩnh định

Hệ siêu tĩnh

H.5.2.8

H.5.2.7

- Về mặt phản lực: Tại C tồn tại 2 thành - Về mặt phản lực: Tại C không tồn tại
phần phản lực {VC, HC}
phản lực.
- Về mặt chuyển vị: Tại C không có - Về mặt chuyển vị: Tại C tồn tại 3
thành phần chuyển vị (đứng, ngang và
chuyển vị đứng và ngang.
xoay).
Vậy để cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu thì trên hệ cơ bản
cần:
+ Đặt thêm vào C các lực (X1, X2) tƣơng đƣơng thay thế (HC, VC).
+ Thiết lập điều kiện chuyển vị tại C do (X1, X2, P, t, Z) gây ra bằng không.
x C( X1, X2, P,t,Z) = 0
y C( X1, X2, P,t,Z) = 0
C(X1, X2, P,t,Z) = 0
Thay các ký hiệu:
xC gọi là X1 (chuyển vị theo phƣơng X1)
yC gọi là X2 (chuyển vị theo phƣơng X2)
6


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

Điều kiện đƣợc viết lại:
X1 = X2 = 0 (trong hệ cơ bản)

hay:
X1( X1, X2, P,t,Z) = 0
X2(X1, X2, P,t,Z) = 0
* Tổng quát: Cho hệ siêu tĩnh chịu các nguyên nhân: tải trọng (P), biến thiên
nhiệt độ (t), chuyển vị cƣỡng bức tại các gối tựa (Z) và chọn hệ cơ bản bằng cách
loại bỏ n liên kết thừa. Để hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu, trên hệ cơ
bản cần:
+ Đặt thêm các lực (X1, X2,....., Xn) tƣơng ứng vị trí và phƣơng các liên kết bị
loại bỏ, có chiều tùy ý. Những lực này chƣa biết và giữ vai trò ẩn số.
+ Thiết lập điều kiện chuyển vị tƣơng ứng vị trí và phƣơng các liên kết bị loại
bỏ do các nguyên nhân (X1, X2..... Xn, P, t, Z) = 0 (chính xác hơn là bằng nhƣ trên
hệ siêu tĩnh ban đầu). Điều kiện này có thể viết dƣới dạng:
X1(X1, X2, X3, …, Xn, P,t,Z) = 0
X2( X1, X2, X3, …, Xn, P,t,Z) = 0
(5-2)

……
Xn( X1, X2, X3, …, Xn, P,t,Z) = 0

Hệ (5-2) gọi là hệ phƣơng trình cơ bản của phƣơng pháp lực. Các ẩn số cần tìm là
các lực X1, X2……..Xn. Do vậy phƣơng pháp tính toán hệ phẳng siêu tĩnh này gọi là
phƣơng pháp lực.
* Chú ý:
- Nếu tạo hệ cơ bản bằng cách
loại bỏ liên kết giữa miếng cứng và
H.5.2.10
H.5.2.9
miếng cứng thì trên hệ cơ bản phải đặt
vào những cặp lực trực đối nhau tại các liên kết bị loại bỏ và điều kiện chuyển vị
chính là chuyển vị tƣơng đối giữa 2 tiết diện 2 bên liên kết bị loại bỏ bằng không.

Ví dụ 5 : Hệ cơ bản (H.5.2.9) của hệ trên hình (H.5.2.10)
- Trƣờng hợp liên kết trong hệ chịu chuyển vị cƣỡng bức và khi tạo hệ cơ bản
ta loại bỏ liên kết này. Ví dụ xét hệ siêu tĩnh trên hình (H.5.2.11) và hệ cơ bản của
nó trên hình (H.5.2.12).

7


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

H.5.2.11

H.5.2.12

H.5.2.13

Lúc này chuyển vị tại B theo phƣơng X1 sẽ bằng chuyển vị cƣỡng bức. Hệ
phƣơng trình cơ bản sẽ là:
X1(X1, P, t, Z) = - a.
Lấy dấu âm trƣớc a khi X1 ngƣợc chiều chuyển vị cƣỡng bức.
- Cũng trong trƣờng hợp chuyển vị cƣỡng bức nhƣng nếu tạo hệ cơ bản bằng
cách bỏ liên kết này, ví dụ hệ cơ bản tạo trên hình (H.5.2.13).
Có thể xem đây là trƣờng hợp loại bỏ liên kết giữa miếng cứng và miếng
cứng nên trên hệ cơ bản ta đặt thêm cặp X1. Dù rằng tại tiết diện bị cắt m, n có tồn
tại chuyển vị do liên kết bị chuyển vị cƣỡng bức nhƣng chuyển vị tƣơng đối của
chúng theo phƣơng X1 vẫn bằng không nên hệ phƣơng trình cơ bản:
X1(X1, P t, Z) = 0
5.2.3. Hệ phƣơng trình chính tắc của phƣơng pháp lực

Xét phƣơng trình thứ k của hệ phƣơng trình cơ bản:
Xk(X1, X2.... Xn, P, t, Z) = 0
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, khai triển:
Xk(X1) + Xk(X2) + ... Xk(Xn) + Xk(P) + Xk(t)+ Xk(Z) = 0
Gọi km là chuyển vị tƣơng ứng với vị trí và phƣơng Xk do riêng X m  1 gây ra
trên hệ cơ bản, ta có Xk(Xm) = km.Xm
Gọi kP, kt, kZ lần lƣợt là chuyển vị tƣơng ứng vị trí và phƣơng Xk do riêng P,
t, Z gây ra trên hệ cơ bản, ta có:
Xk(P) = kP, Xk(t) = kt, Xk(Z) = kZ
Cho m = 1, n và thay tất cả vào, ta đƣợc:
k1X1 + k2X2 + ...+ knXn + kP + kt + kZ = 0
Cho k = 1, n ta đƣợc hệ phƣơng trình:

8


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

 11 X 1   12 X 2  ...   1n X n  1P  1t  1z = 0

 21 X1   22 X 2  ...   2n X n  2 P  2t  2 z = 0

(5-3)

……

 n1 X1   n 2 X 2  ...   nn X n  nP  nt  nz = 0
Hệ phƣơng trình (5-3) gọi là hệ phƣơng trình chính tắc của phƣơng pháp lực

với các ẩn số (X1,X2,...,Xn).
Trong đó:
kk gọi là hệ số chính, kk > 0
km (k m) gọi là hệ số phụ, km = mk
kp, kt, kZ là các số hạng tự do.
Ví dụ 6 : Chọn hệ cơ bản và viết phƣơng trình chính tắc cho hệ dầm siêu tĩnh bậc
1 nhƣ sau:
q=1,2kN/m
A

q=1,2kN/m

q=1,2kN/m
B

A

3m

3m

B

A

X1

3m

X1

Hệ siêu tĩnh bậc 1
Phƣơng trình chính tắc

Hệ cơ bản 1
11X1  1P  0

Hệ cơ bản 2
11X1  1P  0

5.2.4. Xác định các hệ số của hệ phƣơng trình chính tắc
1. Hệ số chính và phụ: (kk, km
+ Tạo trạng thái "m": tính hệ cơ bản chịu nguyên nhân X m  1. Xác định nội lực
M m, N m , Qm .

+ Tạo trạng thái "k": đặt lực X k  1 tƣơng ứng phƣơng và vị trí của lực Xk trên
hệ cơ bản. Xác định nội lực M k , N k , Q k . Áp dụng công thức Maxwell-Morh:
 km    M k .

Q
Mm
Nm
.ds    N k .
.ds    .Q k . m .ds
EJ
EF
GF

(5-4)
Q

Mk
Nk
 kk    M k .
.ds    N k .
.ds    .Q k . k .ds
EJ
EF
GF

Nếu cho phép áp dụng phép "nhân biểu đồ" Vêrêxaghin:

        

 km  M m . M k  N m . N k  Q m . Q k
9

(5-5)


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

        

 kk  M k . M k  N k . N k  Qk . Qk

Trong đó:
-  M k  ,  Qk  ,  N k  : Các biểu đồ nội lực do riêng lực không thứ nguyên X k  1
gây ra trong hệ cơ bản.

-  M m  ,  Qm  ,  N m  : Các biểu đồ nội lực do riêng lực không thứ nguyên X m  1
gây ra trong hệ cơ bản.
2. Số hạng tự do
a. Do tải trọng: (kP)
+ Trạng thái "m":
Tính hệ cơ bản chịu tải trọng. Xác định nội lực: MoP, NoP, QoP
+ Trạng thái "k": tƣơng tự lúc xác định km.
Áp dụng công thức Maxwell-Morh:
 kP    M k .

M p0
EJ

.ds    N k .

N p0
EF

.ds    .Q k .

Q p0
GF

.ds

(5-6)

Trong đó: MoP, NoP, QoP – Biểu thức giải tích của momen uốn, lực dọc, lực cắt do
riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.
Nếu cho phép áp dụng phép "nhân biểu đồ" Vêrêxaghin:

 

 

 

kP  M k .  M p0   N k .  N p0   Qk .  Qp0 

(5-7)

0
0
0
Trong đó:  M p  ,  N p  ,  Qp  – Các biểu đồ momen uốn, lực dọc, lực cắt do riêng

tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.
b. Do biến thiên nhiệt độ: (kt)
+ Trạng thái "m": là hệ cơ bản chịu nguyên nhân biến thiên nhiệt độ. Nếu hệ cơ
bản là tĩnh định, nguyên nhân này sẽ không gây ra nội lực. Công thức thiết lập dƣới
đây chỉ xét cho trƣờng hợp này.
+ Trạng thái "k": tƣơng tự lúc xác định km
Áp dụng công thức Maxwell-Morh:
 kt   


h

(t2 m  t1m ) M k .ds     .tcm .N k .ds

Nếu cho phép áp dụng phép "nhân biểu đồ" Vêrêxaghin:

10

(5-8)


Cơ học kết cấu 2

Chương 5


 kt   (t2 m  t1m )( M k )   .tcm .( N k )
h

(5-9)

Trong đó:
-   M k  ,   N k  : Diện tích biểu đồ momen uốn, lực dọc do riêng lực không thứ
nguyên X k  1 gây ra trong hệ cơ bản.
- t2m, t1m và tcm là biến thiên nhiệt độ thớ dƣới, thớ trên và thớ giữa của thanh.
-  : Hệ số dãn nở dài vì nhiệt của vật liệu.
c. Do chuyển vị cƣỡng bức của các gối tựa: (kZ)
- Trạng thái "m": là hệ cơ bản chịu nguyên nhân là chuyển vị cƣỡng bức của các
gối tựa. Nếu hệ cơ bản là tĩnh định, nguyên nhân này không gây ra nội lực. Công
thức thiết lập dƣới đây chỉ xét cho trƣờng hợp này.
- Trạng thái "k": tƣơng tự khi xác định km, nhƣng chỉ xác định R jk
Áp dụng công thức Maxwell-Morh:
 kZ   R jk .Z j

(5-10)

Trong đó:
- Zj : Chuyển vị cƣỡng bức cho biết tại liên kết thứ J của hệ siêu tĩnh.
- R jk : Phản lực tai liên kết J do lực X k  1 gây ra trong hệ cơ bản.
* Chú ý:
- Đối với hệ khung dầm: có thể bỏ qua biến dạng trƣợt và biến dạng dọc trục,
do vậy:

  

 

 km  M m . M k ;  kP  M m .M p0 

- Đối với hệ dàn: Lập bảng
5.2.5. Cách tìm nội lực trong hệ siêu tĩnh
1. Cách tính trực tiếp
Sau khi giải hệ phƣơng trình chính tắc xác định các ẩn số Xk (k = 1, n ), ta xem
chúng nhƣ các ngoại lực tác dụng lên hệ cơ bản cùng với các nguyên nhân tác dụng
lên hệ siêu tĩnh ban đầu. Giải hệ cơ bản chịu các nguyên nhân này sẽ tìm đƣợc các nội
lực của hệ. Vì hệ cơ bản thƣờng là hệ tĩnh định nên có thể sử dụng các phƣơng
pháp đã biết để tìm nội lực.
2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng
Xét 1 đại lƣợng nghiên cứu S nào đó (nội lực, phản lực, chuyển vị, biểu đồ nội
lực...). Theo cách tính trực tiếp nói trên, ta có thể thay thế việc xác định S trên hệ
11


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

siêu tĩnh bằng cách xác định đại lƣợng S trên hệ cơ bản chịu nguyên nhân tác
dụng lên hệ siêu tĩnh ban đầu và các lực Xk đồng thời tác dụng.
S = S(X1, X2,... Xn, P, t, Z )
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:
S = S(X1) + S(X2) + ... S(Xn) + S(P) + S(t) + S(Z)
Gọi S k là đại lƣợng S do riêng X k  1 gây ra trên hệ cơ bản, ta có:
S(Xk) = S k .Xk
Với SoP , S o t , S oZ lần lƣợt là đại lƣợng S do riêng P, t, Z gây ra trên hệ cơ bản :
S(P) = ( S P0 ), S(t) = ( S t0 ), S(Z) = ( S Z0 )
Cho k = 1, n thay tất cả vào ta đƣợc:
S = S 1 .X1 + S 2 .X2 +…+ S n .Xn + S P0 + S t0 + S Z0

(5-11)

* Chú ý:
0
0
0
Đại lƣợng S có thể đƣợc xác định ngay nếu có sẵn SK ; SP ; St ; SZ

- Nếu đại lƣợng S là phản lực hay nội lực và hệ cơ bản là tĩnh định thì các đại
lƣợng S P0 , S t0 , S Z0 sẽ không tồn tại.
Sau đây ta sẽ vận dụng biểu thức (5-11) để vẽ các biểu đồ nội lực.
a. Biểu đồ mômen uốn (M)
Đối với những hệ dầm và khung gồm những thanh thẳng, trong các bƣớc tính
toán trung gian, ngƣời ta thƣờng bỏ qua ảnh hƣởng của lực dọc và lực cắt đến
chuyển vị. Do đó, khi xác định các hệ số ngƣời ta không vẽ các biểu đồ (Q), (N) mà

chỉ vẽ biểu đồ mômen (M). Trong những trƣờng hợp này, biểu đồ mômen của hệ
đƣợc vẽ theo biểu thức (5-11) là tiện lợi nhất. Thay đại lƣợng S bằng biểu đồ (M) ta
đƣợc:
M = ( M 1 ).X1 + ( M 2 ).X2 +…+ ( M n ) .Xn + ( M o P ) + ( M ot ) + ( M o Z ) (5-12)
b. Biểu đồ lực cắt (Q)
Nhƣ phân tích trên, sẽ không thuân lợi nếu vẽ biểu đồ (Q) theo biểu thức (511). Sau đây sẽ trình bày cách vẽ biểu đồ lực cắt theo biểu đồ (M) đã vẽ. Để tiện lợi
cho việc áp dụng, ta đi thiết lập công thức tổng quát xác định lực cắt ở 2 đầu 1 đoạn
thanh thẳng ab tách ra từ hệ chịu tải trọng phân bố liên tục hƣớng theo 1 phƣơng bất
kỳ và có qui luật bất kỳ nhƣ trên hình vẽ (H.5.2.14).
tr

ph

Tải trọng tác dụng đƣợc mô tả trên (H.5.2.14). Trong đó q, M , M đã biết,
12


Cơ học kết cấu 2
tr

tr

ph

Chương 5

ph

Q , N , Q , N chƣa biết, giả thiết có chiều dƣơng theo vị trí ngƣời quan sát nhìn
sao cho tải trọng phân bố q hƣớng xuống.

Từ các điều kiện cân bằng mômen với điểm b
và a, ta suy ra:
ph
tr
Qtr = M  M cos  q cos 

l

Qph = M

ph

M
l

(5-13)
tr

cos   q cos 

Trong đó:
q: là hợp lực của tải phân bố q trên đoạn

H.5.2.14

thanh ab.

l,  l: lần lƣợt là khoảng cách từ hợp lực q đến đầu trái và phải của thanh ab
theo phƣơng nằm ngang.
Nếu tải trọng tác dụng lên thanh ab là phân bố đều:

q = const thì q = ql,   

l
2

Thay vào biểu thức (5-13):
ph
tr
Qtr = M  M cos   l .ql cos 

l

Q = M
ph

ph

2

 M tr cos  - l .ql.cos 

l
2

(5-14)

Nếu trên đoạn thanh ab không chịu tải trọng: q = 0 thì q= 0. Thay vào biểu
thức (5-13):
ph
tr

Qtr = Qph = M  M cos 

(5-15)

l

Sau khi xác định đƣợc lực cắt từ hai đầu mỗi đoạn thanh cũng chính là tại các
tiết diện đặc trƣng, tiến hành vẽ biểu đồ lực cắt dựa vào dạng đƣờng của nó nhƣ trong
phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định.
c. Biểu đồ lực dọc:
Cũng tƣơng tự cho biểu đồ (Q), biểu đồ lực dọc (N) đƣợc vẽ bằng cách suy ra
từ biểu đồ lực cắt. Cách thực hiện nhƣ sau:
Tách và xét cân bằng hình chiếu cho mỗi nút của hệ sao cho tại mỗi nút có
không quá 2 lực dọc chƣa biết. Khi khảo sát cân bằng, ngoài tải trọng tác dụng lên
nút còn có nội lực tại các đầu thanh quy tụ vào nút bao gồm: mômen uốn (đã biết
13


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

nhƣng không cần quan tâm), lực cắt (đã biết, lấy trên biểu đồ lực cắt), lực dọc (chƣa
biết, giả thiết có chiều dƣơng)
Ngoài ra, khi xác định lực dọc cũng có thể vận dụng mối quan hệ giữa lực dọc
tại hai đầu thanh từ điều kiện của thanh đƣợc vẽ trên hình (H.5.2.14).
Nph = Ntr q .sin  (5-16)
Từ phƣơng trình (5-16) cho thấy nếu trên đoạn thanh không chịu tải trọng
hoặc tải trọng tác dụng vuông góc với trục thanh thì lực dọc tại 2 đầu sẽ bằng nhau và
cùng gây kéo hoặc gây nén.

Sau khi xác định đƣợc lực dọc tại 2 đầu mỗi đoạn thanh, tiến hành vẽ biểu đồ lực
dọc nhƣ trong phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định.

14


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG PHÁP LỰC
* Ví dụ: Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình (H.5.2.15). Cho biết độ cứng trong
thanh đứng là EJ, trong thanh ngang là 2EJ. Chỉ xét ảnh hƣởng của biến dạng uốn.
1. Bậc siêu tĩnh:
n = 3V - K = 3.1 - 1 = 2

H.5.2.15

H.5.2.16

2. Hệ cơ bản và hệ phƣơng trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: tạo trên hình vẽ (H.5.2.16).
- Hệ phƣơng trình chính tắc:
11 X1 12 X 2 1 P 0
 21 X1  22 X 2 2 P 0
3. Xác định các hệ số của hệ phƣơng trình chính tắc:
-Vẽ các biểu đồ (M1 ),(M 2 ),( M Po )

H.5.2.17

H.5.2.18

- Xác định các hệ số:
1 1
2  1
14
.1.4.
.1

1.4.1



2 EJ  2
3  EJ
3EJ
1
1 1
2
224
 22  ( M 2 ).( M 2 ) 
 4.4.4  2.  .4.4. .4 
2 EJ
EJ  2
3  3EJ
1  1
12
 1  1

12   21  ( M1 ).( M 2 ) 


.1.4.4


.4.4.1


 EJ  2

2 EJ  2
EJ
1  1
1
2
1
28
1 p  ( M1 ).( M po ) 
 .96.4. .1  .6.4.   

2 EJ  2
3
3
2
EJ

11  ( M1 ).( M1 ) 

15

H.5.2.19

Cơ học kết cấu 2

Chương 5

 2 p  ( M 2 ).( M po ) 

1 1
2
2  864
 1 1
.96.4.4  .6.4.4 
.96.4. .4 


2 EJ  2
3
3  EJ
 EJ  2

Thay vào phƣơng trình chính tắc:
12
28
 14
 3EJ X 1  EJ X 2  EJ  0
 X  40, 49
 1

 12 X  224 X  864  0  X 2  18, 08

 EJ 1 3EJ 2 EJ

4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
a. Mômen: (M )  (M1 ). X1  (M 2 ). X 2  (M Po ) , kết quả trên hình vẽ (H.5.2.22).

H.5.2.20

H.5.2.21

H.5.2.22

b. Lực cắt: Đƣợc vẽ bằng cách suy ra từ (M)
- Trên đoạn AB: q = 0
Qtr  Q ph 

-

Trên đoạn BC: q = const

Qtr 

M ph  M tr 1
23, 68  31,83 1
 qnl 
 .3.4  7,88
l
2
4
2

Q ph 

-

M ph  M tr 31,83  40, 49

 18, 08
l
4

M ph  M tr 1
23, 68  31,83 1
 qnl 
 .3.4  19,88
l
2
4
2

Trên đoạn CD: q = 0

Qtr  Q ph 

M ph  M tr 0  23, 68

 5,92
l
4

Dựng các tung độ vừa tính và vẽ biểu đồ (Q) nhƣ trên hình vẽ (H5.2.23)

c. Lực dọc: Suy ra từ các biểu đồ lực cắt (Q):
- Tách nút B:
 X  0  N1  Q2  P  5,92
 Y  0  N2  Q1  7,88

- Tách C:
 X  0  N3  Q4  5,92
 Y  0  N 4  Q3  19,88

Kết quả biểu đồ (N) đƣợc vẽ trên hình vẽ (H.5.2.24)
16


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

H.5.2.24

H.5.2.23

5.3. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH
5.3.1. Nguyên tắc chung
Công thức tính chuyển vị Maxwell-Morh là công thức tổng quát áp dụng cho cả
hệ tĩnh định và hệ siêu tĩnh. Trong công thức này, ta phải tính hệ với 2 trạng thái:
- Trạng thái "m": là trạng thái ban đầu của hệ.
- Trạng thái "k": đƣợc tạo ra bằng cách đặt lực Pk = 1 tƣơng ứng với vị trí và
phƣơng chuyển vị ở trên sơ đồ tính ban đầu của hệ.
Chẳng hạn, để xác định chuyển vị ngang tại C của hệ trên hình (H.5.3.1)
- Ở trạng thái "m" ta tính hệ siêu tĩnh ban đầu (H.5.3.2)

- Ở trạng thái "k" ta tính hệ siêu tĩnh đó 1 lần nữa do Pk = 1 gây ra (H.5.3.3)

H.5.3.1

H.5.3.2

H.5.3.3

Sau khi tính giải nội lực, thực
hiện công thức Morh hoặc nhân biểu
đồ Vêrêxaghin sẽ đƣợc kết quả.
* Nhận xét: Ta phải tính hệ siêu
tĩnh 2 lần, khối lƣợng tính toán nặng nề.
5.3.2. Cách sử dụng hệ cơ bản
Không mất tính tổng quát, ta
phân tích cho bài toán xác định

H.5.3.4

H.5.3.5

chuyển vị của hệ trên hình (H.5.3.1). Giả sử chọn hệ cơ bản của nó trên hình (H.5.3.4).
(X1, X2, X3) là nghiệm của hệ phƣơng trình chính tắc.

17


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

Khi giải hệ trên hình (H.5.3.1) bằng hệ cơ bản trên hình (H.5.3.4) thì 2 hệ
này là tƣơng đƣơng nhau. Nghĩa là nội lực, biến dạng và chuyển vị của 2 hệ là nhƣ
nhau. Ta thử đi tìm chuyển vị trên hệ cơ bản. Để tìm chuyển vị trên hình (H.5.3.4), ở
trạng thái "m" ta cũng cần phải giải tìm X1, X2, X3, nghĩa là tƣơng đƣơng với trạng thái
"m" trên (H.5.3.2). Tuy nhiên ở trạng thái "k" đƣợc tạo ra trên (H.5.3.5) thì tính khá dễ
dàng vì là hệ tĩnh định. Lúc này, nội lực ở trạng thái “k” đƣợc ký hiệu: M k , N k , Q k .
Vậy, khi tính chuyển vị trong hệ siêu tĩnh, ta tạo trạng thái k trên hệ cơ bản thay vì
trên hệ siêu tĩnh ban đầu. Biểu thức Maxwell-Morh trong trƣờng hợp hệ chịu các nguyên
nhân (P, t, Z):
0

 km

0

0

Q .Q
M k .M m
N k .N m
 
.ds   
.ds    . k m .ds EJ
EF
GF

-



h

R

0
jk

.Z j

(5-17)

(t2 m  t1m ) M k .ds     .tcm .N k .ds
0

0

Nếu cho phép áp dụng "nhân biểu đồ" Vêrêxaghin và các đại lƣợng ,
h, t 2 m , t 1 m , t c m = const trên từng đoạn:

        

 km  M m . M k0  N m . N k0  Q m . Qk0 +



 h (t

 t1m )( M k )   .tcm .( N k ) (5-18)
0

2m

0

* Chú ý:
- Các đại lƣợng xác định ở trạng thái "k" có ký hiệu chỉ số không kèm theo là
biểu thị cho việc tạo trên hệ cơ bản.
- Vì có nhiều cách tạo hệ cơ bản nên trạng thái "k" sẽ có nhiều sơ đồ tính, ta nên
chọn hệ cơ bản để tạo sao cho việc tính toán và nhân biểu đồ đƣợc dễ dàng.
Ví dụ 7: Vẽ các biểu đồ nội lực và xác định chuyển vị đứng tại k (H.5.3.6).Biết
các tiết diện hình chữ nhật, chiều cao h = 0,4m, độ cứng EJ không đổi. Vật liệu của
khung có hệ số dãn nở vì nhiệt là α = αo.

H.5.3.6

H.5.3.7

1. Xác định bậc siêu tĩnh: n = 3V - K = 3.3 - 7 = 2
2. Hệ cơ bản và hệ phƣơng trình chính tắc:
18


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

- Hệ cơ bản: tạo trên hình vẽ (H.5.3.7)
- Hệ phƣơng trình chính tắc:
11 X 1  12 X 2  1t  0


 21 X 1   22 X 2   2 t  0
3. Xác định hệ số 11 , 12   21 ,  22 , số hạng tự do 1t ,  2 t :
- Cho X1 = 1, vẽ biểu đồ nội lực ( M1 ) , ( N1 ) (H.5.3.8 & H.5.3.10).

H.5.3.8

H.5.3.9

  

1 1
2
1 1
2
144
. .6.6. .6 
. .6.6. .6 
EJ 2
3
EJ 2
3
EJ
- Cho X2 = 1, vẽ biểu đồ nội lực ( M 2 ) , ( N 2 ) (H.5.3.9 & H.5.3.11)
1 1
2
1
5
 22  M 2 M 2 
. .1.6. .1 
.1.3.1 

EJ 2
3
EJ
EJ
1 1
2
12
 21  12  M 1 M 2 
. .6.6. .1 
EJ 2
3
EJ

11  M 1 M 1 

  

  

H.5.3.11

H.5.3.10

- Áp dụng công thức tính 1t ,  2 t


1
1
1t   (t2 m  t1m ).( M 1 )    tcm .( N 1 )  o (30  50)( .6.6  .6.6)
h

 o .40.(1.3  1.6)  1680 o

 2 t  



0, 4

(t2 m  t1m ).( M 2 )    tcm .( N 2 ) 

h
 o .40.(1/ 6).6  260 o

Trong đó: t2m = 300C, t1m = 500C, tcm =
- Áp dụng phƣơng trình
19

o

2

2

1
(30  50).( 6.1  1.3)
0, 4
2

1
(30  50)  400 C

2


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

12
144
 EJ X 1  EJ X 2  1680 0  0  X 1  9,17 EJ  0


 X 2  30 EJ  0
 12 X  5 X  260  0
1
2
0
 EJ
EJ

4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
a. Mômen (H.5.3.12): (M t )  (M1 ) X 1  (M 2 ) X 2
b. Biểu đồ lực cắt và lực dọc: tƣơng tự nhƣ ở ví dụ trên. Kết quả trên hình
vẽ (H.5.3.13 & H.5.3.14)

H.5.3.12

H.5.3.13

H.5.3.14

5. Xác định chuyển vị đứng tại k:
- Trạng thái "m": Biểu đồ mômen (Mm) đã vẽ ở trên.
- Trạng thái "k": vẽ (M ko ),( Nko ) trên 1 hệ cơ bản chọn nhƣ trên hình (H.5.3.15&
H.5.3.16)

H.5.3.15

H.5.3.16

- Xác định chuyển vị đứng tại k:

 

yk  M m .  M k0    R jko Z jm  


h

(t2 m  t1m )(M ko )   tcm( N ko )

1  85, 02.6 2
1,5.1,5   o
1,5
. 
. .1,5 
.30  
(30  50)( .7,5)   o .40.(0, 25.6)
EJ 
2

3
2
2
 0, 4
288,81

 221, 25 o
EJ

5.4. KIỂM TRA KẾT QUẢ TÍNH TOÁN CỦA PHƢƠNG PHÁP LỰC
Do phải thực hiện nhiều phép tính trung gian khi giải hệ siêu tĩnh nên dễ mắc
phải những sai số lớn hoặc sai lầm trong kết quả cuối cùng. Để tránh những sai số lớn
ta phải chính xác các phép tính trung gian. Do vậy để tránh sai lầm ta cần kiểm tra kết
quả.

20


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

5.4.1. Kiểm tra quá trình tính toán
1. Kiểm tra các biểu đồ đơn vị ( M k ) và biểu đồ ( M p0 )
Vận dụng liên hệ vi phân và điều kiện cân bằng của từng bộ phận đƣợc tách ra
để kiểm tra.
Vẽ biểu đồ ( M s ) do các lực X1 = X2 = … = Xn = 1 đồng thời tác dụng lên hệ cơ
bản gây ra. Kiểm tra mối quan hệ:

M   M   M   ...  M 

s

1

2

(5-19)

n

2. Kiểm tra các hệ số: (km)

M M   
s

K

k1

  k 2  ...   kn   ki

M M    
n

s

(5-20)

n

K

k 1 m1

km

Chứng minh các điều kiện kiểm tra:
- Theo ý nghĩa của biểu đồ ( M S ) và các biểu đồ ( M k ) nên theo nguyên lý
cộng tác dụng, điều kiện (5-19) phải thỏa mãn.
- Thay (5-19) vào 2 điều kiện bên dƣới và khai triển sẽ có 2 điều kiện (5-20).
3. Kiểm tra các số hạng tự do
a. Kiểm tra: (kP)
Biểu thức kiểm tra:

M M

0

s

P



n

   kP

(5-21)

k 1

Thay ( M S ) từ điều kiện (5-19) vào và triển khai ta đƣợc điều kiện (5-21).
b. Kiểm tra: (kt)
Biểu thức kiểm tra:
n


.
t
.

(
N
)

.(
t

t
).

(
M
)

S
S
 c
 2 1

  kt

h

(5-22)

k 1

Trong đó (M S ) , ( N S ) lần lƣợt là diện tích của biểu đồ mômen và lực dọc do
X1 = X2 = … = Xn = 1 đồng thời tác dụng lên hệ cơ bản gây ra. Theo nguyên lý cộng
tác dụng:
(M S )  (M 1 )  (M 2 )  ...  (M n )
( N S )  ( N 1 )  ( N 2 )  ...  ( N n )

Thay vào ta sẽ chứng minh đƣợc điều kiện (5-23)
21

(5-23)


Cơ học kết cấu 2

Chương 5

c. Kiểm tra: kZ)
Biểu thức kiểm tra:
n

  R js .Z jm    kZ

(5-24)

k 1

Trong đó R js là phản lực tại liên kết j do X1 = X2 = … = Xn = 1 đồng thời tác
dụng lên hệ cơ bản gây ra.
Chứng minh tƣơng tự đẳng thức trên.
d. Kiểm tra việc giải hệ phƣơng trình chính tắc:
Do việc làm tròn số khi tính toán giải hệ phƣơng trình chính tắc nên khi thay thế
ngƣợc các lực Xk đã tìm đƣợc vào thì các phƣơng trình thƣờng khác không.
Ngƣời ta đánh giá sai số của mỗi phƣơng trình dƣới dạng sai số tƣơng đối


A B
.100%   
A

(5-25)

Trong đó: A, B là tập hợp các số liệu của mỗi phƣơng trình cần kiểm tra
dƣới dạng A – B, [] sai số tƣơng đối cho phép.
5.4.2. Kiểm tra kết quả cuối cùng
Biểu thức kiểm tra:

M M     
M M       
k

kt

(5-26)

kZ

m

kt

kZ

Chứng minh điều kiện kiểm tra:
 k1 . X 1   k 2 . X 2  ...   kn . X n   kP   kt   kZ  0

     
    
 M X  M X  ...  M X  M     
 M 
 M M     
M M        chứng minh tƣơng tự.

 M k M 1 X 1  M k M 2 X 2  ...  M k M n X n  M k M P0    kt   kZ
k

1

k

m

2

1

kt

kt

n

2

n

0
P

kt

kZ

kZ

kZ

Ví dụ 8: Vẽ biểu đồ mômen và kiểm tra lại kết quả tính của hệ trên
(H.5.4.1).Cho độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const.
1. Bậc siêu tĩnh n = 2
2. Hệ cơ bản đƣợc tạo trên hình (H.5.4.2).
3. Các hệ số đƣợc xác định:
11  ( M1 ).(M1 ) 

1 2a.2a 2
8a3
. .2a 
EJ 2 3
3EJ
22