Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu
1.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Một số tính chất của không gian Banach .
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian
1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian

4
. . . . 4
. . . . 4
. . . . 5
. . . . 8

. . . . 11
Euclid 11
Banach 16

Chương 2. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn
điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử
nhiễu đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với ánh xạ
đối ngẫu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu
chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

23
23
27
30

30
33


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đỗ
Văn Lưu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người
đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết bản
luận văn này.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong
Đại học Thái Nguyên, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS. TS.
Nguyễn Thị Thu Thủy, đã truyền thụ kiến thức cho tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày
tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học –
Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cùng toàn thể
các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong
suốt thời gian học tập tại Trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8C
(khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện,
động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn

Lương Thị Thương


1

Bảng ký hiệu
R
N∗
Rn
H
X
Ω
C
∅
∀x
∃x
min f (x)
inf F (x)

trường số thực
tập các số tự nhiên khác 0
không gian Euclide n-chiều
không gian Hilbert thực
không gian Banach thực
tập con đóng lồi của X
tập con lồi đóng khác rỗng của X
tập rỗng
mọi x
tồn tại x
cực tiểu của hàm f (x)

infimum của tập {F (x) : x ∈ X}

x, y
x
xn → x
xn
x
T
I
IΩ
∂IΩ
D(T )
R(T )
Gr(T )
int C
f
∂f

tích vô hướng của hai vectơ x và y
chuẩn của véctơ x
xn hội tụ mạnh đến x
xn hội tụ yếu đến x
toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
toán tử đồng nhất trong H
hàm chỉ của tập Ω
dưới vi phân của hàm chỉ
miền xác định của toán tử T
miền giá trị của toán tử T
đồ thị của toán tử T
phần trong của tập hợp C

gradient của hàm f
dưới vi phân của hàm lồi f

x∈X


2

Mở đầu
Cho X là một không gian Banach thực. Ký hiệu X ∗ là không gian
liên hợp của X, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X, A : X →
X ∗ là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong
không gian Banach (viết tắt là VI(A, C)) được phát biểu như sau: Tìm
phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn:
x∗ ∈ C :

Ax∗ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(0.1)

Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa ra và nghiên cứu đầu
tiên bởi Stampacchia (xem [6]) vào những năm đầu của thập kỷ 60
trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng.
Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên
cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng
các kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ thuật. Mặc
dù đã có rất nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải bất đẳng
thức biến phân, nhưng việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng
hiệu quả của nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu.

Trong không gian Hilbert H, bất đẳng thức biến phân VI(A, C)
tương đương với bài toán điểm bất động:
x∗ = PC (x∗ − µAx∗ ),

(0.2)

ở đây PC là phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi đóng C của H và µ > 0
là hằng số tùy ý. Do đó, phương pháp chiếu và một số biến thể của
phương pháp có thể được dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1).
Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và hằng số
µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (0.2) là ánh xạ


3

co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
un+1 = PC (un − µA(un ))

(0.3)

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (0.1). Phương pháp
chiếu không dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để
khắc phục nhược điểm này, Yamada [7] đã đề xuất phương pháp lai
đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H.
Chú ý rằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nói
chung, là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, bài toán bất đẳng thức
biến phân VI(A, C), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh theo
nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu. Để giải bài toán này, chúng ta phải sử dụng những phương pháp

giải ổn định. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và
khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [4]
và các tài liệu trích dẫn). Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình
bày lại một số kết quả trong [4] về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân
đơn điệu trong không gian Banach.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu một
số khái niệm và tính chất về không gian Banach, không gian Hilbert,
ánh xạ đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Euclid và không gian Banach. Nội dung của chương này được tham
khảo trong các tài liệu [1]-[3].
Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn
điệu" nhằm giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến
phân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại và ánh xạ đối ngẫu
suy rộng, đồng thời trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh
theo nguyên lý độ lệch suy rộng. Nội dung của chương này tham khảo
từ tài liệu [4].


4

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Chương này trình bày khái niệm về không gian Banach, không gian
Hilbert; bất đẳng thức biến phân đơn điệu trong không gian Euclid và
không gian Banach; một số ví dụ về bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1]-[3].
1.1
1.1.1

Toán tử đơn điệu
Một số tính chất của không gian Banach

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên
hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là . , kí hiệu SX := {x ∈
X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X, kí hiệu
x∗ , x là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
chặt nếu với x, y ∈ SX , x = y suy ra
(1 − λ)x + λy < 1,

∀λ ∈ (0, 1).

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach thực X được gọi là không gian
có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu
X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử xn
x và sự hội
tụ chuẩn xn → x luôn kéo theo sự hội tụ mạnh xn − x → 0 .
Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian lồi địa phương và f : X →
R ∪ {±∞}. Khi đó,
(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x¯ ∈ X (với f (¯
x) < ∞),


5

nếu với mọi

> 0, tồn tại lân cận U của x¯ sao cho

f (¯
x) − ≤ f (y) ∀y ∈ U ;

(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục
dưới tại mọi x¯ ∈ X.
1.1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4 Cho H là không gian tuyến tính trên R, tích vô
hướng xác định trong H là một ánh xạ
., . : H × H −→ R
(x, y) −→ x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
2. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
3. λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R;
4. x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H.
Định nghĩa 1.1.5 Cặp (H, ., . ), trong đó H là một không gian tuyến
tính trên R, ., . là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền
Hilbert thực.
Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian tuyến
tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức
x =

x, x

∀x ∈ H.

(1.1)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ
đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì H được
gọi là không gian Hilbert thực.


6

Ví dụ 1.1.8 Không gian Rn là một không gian Hilbert với tích vô
hướng
n

x, y =

x k yk .
k=1

Trong đó
x = (x1 , x2 , . . . , xn ); y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn ,
và chuẩn cảm sinh
n
2

x

= x, x =

n

x2k .

xk xk =
k=1

k=1

Định nghĩa 1.1.9 Tập hợp C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Định nghĩa 1.1.10 Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy
hội tụ {xn } ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, nghĩa là với mọi {xn } ⊂ C
sao cho xn → x kéo theo x ∈ C.
Định lý 1.1.11 Nếu C là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert
H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 ∈ C sao cho
x0 ≤ x

với mọi x ∈ C.

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với mọi x, y ∈ C
ta có
x + y 2 + x − y 2 = 2( x + y )2 .
Do đó
x−y

2

= 2( x

2

+ y 2) − 4

Đặt d = inf x . Vì C là một tập lồi nên
x∈C
x+y
≥ d. Từ (1.2) ta có
2
x−y

2

≤ 2( x

2

x+y
2

2

.

(1.2)

x+y
∈ C, kéo theo
2

+ y 2 ) − 4d2 .

(1.3)


7

Từ đó, nếu x = y = d thì x = y. Suy ra, x0 trong định lý nếu tồn
tại là duy nhất. Từ tính chất của tập C ta trích ra một dãy {xn } các
phần tử của C sao cho
lim xn = d.
n→∞

Theo (1.3), với mỗi m, n ∈ N∗ , ta có
x n − yn

2

≤ 2( xn

2

+ yn 2 ) − 4d2 → 0 khi m, n → ∞.

Suy ra {xn } là dãy Cauchy trong không gian Hilbert H nên nó hội tụ
đến x0 ∈ H. Do C là một tập hợp đóng nên x0 ∈ C. Suy ra
x0 = lim xn = d.
n→∞

Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1.12 Nếu C là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert H

thì mỗi phần tử x ∈ H, tồn tại một phần tử duy nhất y ∈ C sao cho
x − y = ρ(x, C) = inf x − u .
u∈C

Chứng minh. Ta thấy tập x − C = {x − u : u ∈ C} là một tập đóng
trong H. Theo Định lí 1.1.11, tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ C sao
cho x − y ≤ x − u với mọi u ∈ C hay
x − y = ρ(x, C) = inf x − u .
u∈C

Hệ quả được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.13 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi
là
(i) hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu xn −x → 0
khi n → ∞.
(ii) hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn
khi n → ∞ với mọi y ∈ H.

x, nếu xn , y → x, y

Nhận xét 1.1.14 Trong không gian Hilbert H:
(a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không
đúng.


8

(b) Nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện
xn → x và xn
x, thì xn → x khi n → ∞.

Từ nhận xét này, ta thấy không gian Hilbert là không gian có tính
chất E-S.
Định nghĩa 1.1.15 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của
không gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H đều tồn tại
phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) = inf x − y .
y∈C

Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x
lên C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC (x)
được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.16 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H. Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric
từ H lên C khi và chỉ khi
x − PC (x), y − PC (y) ≤ 0 x ∈ H, y ∈ C.
Nhận xét 1.1.17 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi
π
α là góc tạo bởi các véctơ x − PC (x) và y − PC (y), thì α ≥ .
2
1.1.3

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.1.18 Cho A : X → 2Y là các ánh xạ từ tập X vào tập
hợp gồm các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói A là
ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, A(x) là một tập
con của Y (A(x) có thể là tập rỗng).
Nếu với mọi x ∈ X, tập A(x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói A
là ánh xạ đơn trị từ X vào Y và được kí hiệu A : X → Y .

∗

Định nghĩa 1.1.19 Cho X là không gian Banach, T : X → 2X là
toán tử đơn trị. Ký hiệu miền hữu hiệu của T là D(T ), miền giá trị


9

của T là R(T ) và đồ thị của T là GrT. Theo định nghĩa, ta có
D(T ) = domT := {x ∈ X : T x = ∅};
R(T ) := {y ∈ X ∗ : y = T x, x ∈ D(T )};
GrT := {(x, y) ∈ X × X ∗ : y ∈ T x, x ∈ X}.
Định nghĩa 1.1.20 Một tập G ⊆ X × X ∗ được gọi là đơn diệu nếu
bất đẳng thức
f − g, x − y ≥ 0
thỏa mãn với mọi cặp (x, f ) và (y, g) của G.
∗

Định nghĩa 1.1.21 Toán tử T : X → 2X được gọi là
(i) đơn điệu nếu đồ thị của nó là một tập đơn điệu, nghĩa là với mọi
x, y ∈ D(T ) ta có
f − g, x − y ≥ 0 ∀f ∈ T x, ∀g ∈ T y.
(ii) đơn điệu chặt nếu đẳng thức trong bất đẳng thức trên chỉ thỏa
mãn khi x = y.
(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥
0), γ(0) = 0 sao cho bất đẳng thức
f − g, x − y ≥ γ( x − y ) ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay,
thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(A). Nếu γ(t) = ct2 , ở đây c là một
hằng số dương thì A là một toán tử đơn điệu mạnh.
Trong trường hợp toán tử T : X → X ∗ đơn trị thì ta có định nghĩa

sau.
Định nghĩa 1.1.22 Toán tử T : X → X ∗ được gọi là đơn điệu nếu
T x − T y, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(T ).
Ví dụ 1.1.23 Ví dụ đơn giản nhất về các toán tử đơn điệu là các toán
tử tuyến tính và đơn trị. Chẳng hạn, nếu H là một không gian Hillbert
thực và T : H → H ∗ ≡ H là một ánh xạ tuyến tính thì T là đơn điệu
khi và chỉ khi T là toán tử dương, nghĩa là T x, x ≥ 0, với mọi x ∈ H.


10

Ví dụ 1.1.24 Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R.
Một hàm ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử đơn điệu khi và chỉ khi ϕ là
một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông thường.
Thật vậy, nếu ϕ là một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông
thường thì
∀t1 , t2 ∈ D, t1 < t2 ⇒ ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 )
hay
[ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )](t2 − t1 ) ≥ 0 ∀t1 , t2 ∈ D.
Định nghĩa 1.1.25 Toán tử T được gọi là
(i) hemi-liên tục trên X nếu T (x + ty)
x, y ∈ X;

T x khi t → 0+ với mọi

(ii) demi-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra T xn

T x khi n → ∞.

Một toán tử demi-liên tục thì hemi-liên tục. Nếu T là toán tử đơn

điệu thì chiều ngược lại cũng đúng.
Định nghĩa 1.1.26 Một toán tử đơn điệu T được gọi là đơn điệu cực
đại nếu đồ thị Gr(T ) = {(x, y) : y ∈ T x} không chứa thực sự trong đồ
thị của toán tử đơn điệu khác.
Mệnh đề 1.1.27 Cho toán tử đơn điệu T trên H, T là đơn điệu cực
đại khi và chỉ khi R(I + T ) = H.
Định nghĩa 1.1.28 Cho ϕ là một hàm lồi trên X. Một phần tử w ∈
X ∗ thỏa mãn bất đẳng thức
ϕ(y) ≥ ϕ(x) + w, y − x

∀y ∈ X,

(1.4)

được gọi là dưới vi phân của hàm ϕ tại điểm x.
∗

Định nghĩa 1.1.29 Một toán tử ∂ϕ : X → 2X được gọi là dưới vi
phân của hàm ϕ khi và chỉ khi (1.4) được thỏa mãn với w ∈ ∂ϕ(x).
∗

Định lý 1.1.30 Dưới vi phân ∂ϕ : X → 2X của một hàm lồi chính
thường nửa liên tục dưới ϕ : X → R là một toán tử đơn điệu cực đại.


11

Định nghĩa 1.1.31 Cho Ω là một tập con lồi đóng khác rỗng của X.
Hàm chỉ của tập Ω được định nghĩa bởi


0,
nếu x ∈ Ω
IΩ (x) =
+∞, nếu x ∈
/ Ω.
Chú ý rằng, hàm IΩ là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục
∗
dưới. Ánh xạ dưới vi phân ∂IΩ : X → 2X xác định bởi



θX ∗ , nếu x ∈ intΩ
∂IΩ (x) =

∅,



λJx,

nếu x ∈
/Ω

nếu x ∈ ∂Ω, λ ≥ 0,

là một toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.1.32 Toán tử đơn điệu, hemi-liên tục T : X → X ∗ với
D(T ) = X là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.1.33 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là toán tử bức nếu
lim

x →+∞

Ax, x
= ∞ ∀x ∈ X.
x
∗

Định nghĩa 1.1.34 Ánh xạ J : X → 2X được gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của X nếu
J(x) := {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x 2 , x∗ = x }.
Trong trường hợp J đơn trị thì ta kí hiệu là j : X → X ∗ .
Định lý 1.1.35 Nếu intD(A) = ∅, thì toán tử đơn điệu cực đại A :
∗
X → 2X bị chặn dưới tại điểm biên của miền hữu hiệu của toán tử
A. Hơn nữa, hạng của A nửa tuyến tính tại điểm đó.
1.2
1.2.1

Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid

Trong mục này ta luôn giả thiết Rn là không gian Euclid với tích vô
hướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi ., . và . .


12

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và A : C → Rn
là một ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational

inequality) hữu hạn chiều VI(A, C) với ánh xạ phi tuyến đơn trị A
được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho

A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.5)

Ví dụ 1.2.2 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm
phần tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn
f (x0 ) = min f (x).
x∈[a,b]

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:
(i) Nếu x0 ∈ (a, b) thì f (x0 ) = 0;
(ii) Nếu x0 = a thì f (x0 ) ≥ 0;
(iii) Nếu x0 = b thì f (x0 ) ≤ 0.
Những phát biểu trên được tổng hợp thành
f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],
đây là một bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.2.3 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi
đóng C của không gian Euclid n chiều Rn . Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa
mãn
f (x∗ ) = min f (x).
x∈C

Giả sử x0 là điểm cực tiểu cần tìm và x là phần tử tùy ý thuộc C. Vì
C là tập hợp lồi nên
(1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) ∈ C,

0 ≤ t ≤ 1.

Hàm
Φ(t) = f x0 + t(x − x0 ) ,

0 ≤ t ≤ 1,


13

đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, từ Ví dụ 1.2.2
Φ (0) = f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Như vậy điểm x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân
x0 ∈ C :

f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.

Nếu tập C bị chặn thì điểm x0 tồn tại duy nhất.
Bài toán cực trị được đặc trưng bởi việc tìm giá trị cực đại hoặc cực
tiểu cho hàm mục tiêu trong trường hợp bài toán có ràng buộc với tập
ràng buộc được cho trước. Hàm mục tiêu của bài toán cực trị có thể
là hàm biểu diễn doanh thu, chi phí, . . . trong khi đó tập ràng buộc có
thể là tập biểu thị chi phí hoặc nguồn nguyên liệu hạn chế, các ràng
buộc không âm trên các biến, . . . . Thông thường, một bài toán cực
trị chỉ có một hàm mục tiêu duy nhất. Cả bài toán cực trị không ràng
buộc và có ràng buộc đều có thể biểu diễn được dưới dạng bất đẳng
thức biến phân.
Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và hàm f là khả vi liên tục trên
một tập mở U ⊂ Rn chứa C. Bài toán cực trị, ký hiệu là OP(f, C)
(optimization problem), được phát biểu như sau:

Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C,
hay dưới dạng ngắn gọn hơn
min → {f (x) | x ∈ C}.

(1.6)

Kí hiệu S † là tập nghiệm của bài toán (1.6). Tính lồi của hàm f trong
(1.6) đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của tập
S † . Điều này cũng tương tự như tính đơn điệu khi ta xét đến tính chất
tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Ta nhắc lại một số
định nghĩa về tính chất lồi của hàm số như sau.
Định nghĩa 1.2.4 Cho W và V là các tập con lồi trong Rn , W ⊆ V
và cho hàm f : V → R là hàm khả vi. Hàm f được gọi là
(a) lồi mạnh trên W nếu với hằng số τ > 0, với mỗi cặp u, v ∈ W và


14

α ∈ [0, 1] ta có
f αu + (1 − α)v ≤ αf (u) + (1 − α)f (v) − 0.5α(1 − α)τ u − v 2 ;
(b) lồi chặt trên W nếu với mỗi u, v ∈ W, u = v và α ∈ (0, 1) thì
f αu + (1 − α)v < αf (u) + (1 − α)f (v);
(c) lồi trên W nếu với mỗi cặp u, v ∈ W và α ∈ [0, 1] ta có
f αu + (1 − α)v ≤ αf (u) + (1 − α)f (v).
Khẳng định sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên:
(a) ⇒ (b) ⇒ (c).
Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng.
Sau đây là mối liên hệ giữa tính lồi của hàm số và tính đơn điệu của
gradient của chúng.
Mệnh đề 1.2.5 Cho W là tập con lồi và mở của V trong Rn . Hàm

khả vi f : V → R là lồi mạnh với hằng số τ (tương ứng, lồi chặt và
lồi) trên W nếu và chỉ nếu ánh xạ gradient f : U → Rn là đơn điệu
mạnh với hằng số τ (tương ứng, đơn điệu chặt và đơn điệu) trên W .
Một số tính chất cơ bản của một hàm lồi khả vi được trình bày
trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.6 Cho U là một tập con mở của tập C trong Rn . Hàm
f : C → R là hàm lồi khả vi trên U khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U ta có
f (y) ≥ f (x) +

f (x), y − x

∀y ∈ U.

Ta có nguyên lý cực tiểu cho bài toán cực trị OP(f, C) như sau:
Mệnh đề 1.2.7 Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f trên C thì
f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.7)

Chú ý 1.2.8 Nếu f là hàm lồi thì cực tiểu địa phương x∗ sẽ trở thành
cực tiểu toàn cục của f trên C.


15

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ của bài toán OP(f, C) và
VI(A, C).
Định lý 1.2.9 Giả sử hàm f : C → R là hàm khả vi. Khi đó
(i) S † ⊆ S tức là, mỗi nghiệm của bài toán (1.6) là nghiệm của bài
toán (1.5) với

A(x) = f (x);
(1.8)
(ii) nếu f là hàm lồi và A xác định bởi (1.8), thì S ⊆ S † . Khi đó,
S = S †.
Chứng minh. Khẳng định (ii) được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề
1.2.6. Ta chứng minh khẳng định (i). Giả sử ngược lại, tồn tại một
điểm x∗ ∈ S † \ S, tức là tồn tại một điểm y ∈ C sao cho
f (x∗ ), y − x∗ < 0.
Khi đó, với α > 0 đủ bé ta có yα = x∗ + α(y − x∗ ) = αy + (1 − α)x∗ ∈ C
và
f (yα ) = f (x∗ ) + α f (x∗ ), y − x∗ + o(α) ≤ f (x∗ ),
điều này có nghĩa là x∗ không phải là nghiệm của bài toán cực trị (1.6),
điều này mâu thuẫn với giả thiết của (i).
Từ Định lý 1.2.9 suy ra, bài toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương
với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(A, C) với A = f .
Tuy nhiên, bất đẳng thức biến phân thể hiện điều kiện tối ưu của bài
toán cực trị có thêm một vài tính chất so với bất đẳng thức biến phân
thông thường. Cụ thể, nếu ma trận A là đối xứng, thì với mọi v cố
định, tồn tại hàm số khả vi
1

A y + τ (x − y) , x − y dτ

f (x) =
0

sao cho (1.8) thỏa mãn. Mà ma trận Jacobian A của hàm A trong
(1.5) nói chung là không đối xứng. Do vậy, bài toán bất đẳng thức biến
phân bao hàm bài toán cực trị nhưng bất đẳng thức biến phân biểu
diễn dưới dạng bài toán cực trị chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xác

định dương đặt lên ma trận Jacobian A(x) được thỏa mãn. Vậy có
thể khẳng định bất đẳng thức biến phân là bài toán tổng quát hơn bài


16

toán cực trị theo nghĩa nó bao gồm cả trường hợp ma trận Jacobian
của A(x) là bất đối xứng.
1.2.2

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian
∗
liên hợp của của X, A : X → 2X là một toán tử đơn điệu cực đại với
miền xác định D(A) và J : X → X ∗ là một ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc. Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau: Tìm x ∈ Ω sao cho
Ax − f, y − x ≥ 0 ∀y ∈ Ω,

(1.9)

trong đó Ω ⊆ D(A) là một tập con lồi đóng của X. Sau đây là hai
định nghĩa về nghiệm của bài toán này.
Định nghĩa 1.2.10 Phần tử x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (1.9) nếu tồn tại một phần tử z 0 ∈ Ax0 sao cho
z 0 − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω.

(1.10)

Một nghiệm x0 thỏa mãn (1.10) cũng được gọi là nghiệm cổ điển của

bất đẳng thức biến phân (1.9).
Định nghĩa 1.2.11 Một phần tử x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (1.9) nếu
z − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay.

(1.11)

Bổ đề 1.2.12 Nếu x0 ∈ Ω là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(1.9) được định nghĩa bởi bất đẳng thức (1.10) thì nó cũng thỏa mãn
bất đẳng thức (1.11).
Chứng minh. Vì A là toán tử đơn điệu nên
z − z 0 , y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay,
trong đó z 0 ∈ Ax0 và thỏa mãn (1.10). Khi đó
z − f, y − x0 + f − z 0 , y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay.
Kết hợp với (1.10) ta được (1.11).


17

Bổ đề 1.2.13 Nếu Ω ⊆ D(A) và nếu intΩ = ∅ hoặc intD(A) ∩ Ω = ∅
thì Định nghĩa 1.2.10 và Định nghĩa 1.2.11 là tương đương.
Chứng minh. Giả sử x0 ∈ Ω là một nghiệm của bài toán (1.9) được
định nghĩa bởi (1.10) và ∂IΩ là dưới vi phân của hàm chỉ IΩ của tập
Ω. Vì θX ∗ ∈ ∂IΩ x với mọi x ∈ Ω và ∂IΩ là toán tử đơn điệu cực đại
nên ta có
η, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀η ∈ ∂IΩ y.
(1.12)
Kết hợp (1.11) với (1.12) ta được
z + η − f, y − x0 ≥ 0 ∀z ∈ Ay, ∀y ∈ Ω, ∀η ∈ ∂IΩ y.

(1.13)

∗

Ta có z + η ∈ By, trong đó B = A + ∂IΩ : X → 2X là toán tử đơn
điệu cực đại và D(B) = Ω vì điều kiện Ω ⊆ D(A). Từ (1.13) suy ra
f ∈ Bx0 . Mặt khác tồn tại phần tử z 0 ∈ Ax0 và η 0 ∈ ∂IΩ x0 sao cho
f = z 0 + η 0 . Do đó
z + η 0 − f, y − x0 = 0 ∀y ∈ Ω.

(1.14)

Từ đẳng thức này suy ra
z − f, y − x0 = η 0 , x0 − y .
Mặt khác, vì Ω là tập con lồi đóng của X nên ∂IΩ là nón pháp tuyến
ngoài của Ω và
η 0 , x0 − y ≥ 0 ∀y ∈ Ω.
Do đó
z 0 − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω,
nghĩa là ta có (1.10). Chiều ngược lại được suy ra từ Bổ đề 1.2.12.
∗

Bổ đề 1.2.14 Nếu A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại với
D(A) = Ω thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.9) trong Định
nghĩa 1.2.10 tương đương với phương trình toán tử
Ax = f.

(1.15)

Chứng minh. Một nghiệm x0 của phương trình (1.15) với toán tử đơn

điệu cực đại A, được định nghĩa bởi f ∈ Ax0 thỏa mãn Định nghĩa


18

1.2.10. Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9). Bây
giờ giả sử x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) trong
Định nghĩa 1.2.10. Khi đó theo Bổ đề 1.2.12 thì x0 thỏa mãn (1.11).
Vì A là một toán tử đơn điệu cực đại và D(A) = Ω, từ (1.11) và từ
(i) trong Định lý 1.2.9 suy ra f ∈ Ax0 . Vậy x0 là nghiệm của phương
trình toán tử Ax = f.
∗

Bổ đề 1.2.15 Nếu A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại với
D(A) ⊆ X, Ω ⊆ D(A) là một tập lồi đóng và x0 ∈ intΩ, thì
z − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ Ω, ∀z ∈ Ax,

(1.16)

suy ra f ∈ Ax0 . Chiều ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Cho tùy ý v ∈ X. Phần tử xt = x0 + tv ∈ Ω cho t > 0
đủ nhỏ vì x0 ∈ intΩ. Do đó xt → x0 khi t → 0. Vì toán tử A có giới
hạn địa phương tại x0 nên ta có yt
y, trong đó yt ∈ Axt . Từ (1.16)
ta suy ra
yt − f, xt − x0 ≥ 0
hoặc
yt − f, v ≥ 0 ∀v ∈ X.
Cho t → 0 ta có
y − f, v ≥ 0 ∀v ∈ X.

Điều này có nghĩa là y = f. Toán tử đơn điệu cực đại A là demi-đóng,
suy ra y ∈ Ax0 . Do đó f ∈ Ax0 . Chiều ngược lại được suy ra trực tiếp
từ tính đơn điệu của A.
∗

Bổ đề 1.2.16 Cho A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại. Cho
Ω ⊂ D(A) là một tập lồi, đóng. Cho ∂IΩ là dưới vi phân của hàm chỉ
IΩ của tập Ω. Nếu intΩ = ∅ thì nghiệm x0 ∈ Ω của bất đẳng thức biến
phân (1.9) là một nghiệm thỏa mãn
f ∈ Ax0 + ∂IΩ (x0 ).

(1.17)

Chiều ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Cho x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(1.9) trong Định nghĩa 1.2.10. Khi đó (1.10) và (1.11) là thỏa mãn. Xây
∗
dựng hàm chỉ IΩ (x) cho tập Ω và tìm dưới vi phân ∂IΩ : Ω ⊂ X → 2X .


19

Từ định nghĩa của ∂IΩ , ta có
u, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀u ∈ ∂IΩ (y).
Do đó, (1.11) có dạng
z + u − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay, ∀u ∈ ∂IΩ (y).
Từ Định lý 1.1.32, sử dụng điều kiện intΩ = ∅ hoặc intD(A) ∩ Ω =
∅ ta suy ra f − z 0 ∈ ∂IΩ (x0 ) là một toán tử đơn điệu cực đại với
D(A + ∂IΩ ) = Ω, điều này suy ra
f ∈ Ax0 + ∂IΩ (x0 ).

Bây giờ từ (1.16) cố định với x0 ∈ Ω. Khi đó tồn tại một phần tử
z 0 ∈ Ax0 sao cho f − z 0 ∈ ∂IΩ (x0 ). Do đó, ta có thể viết lại bất đẳng
thức thành
z 0 − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω.
Vậy x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9).
Định lý 1.2.17 Với điều kiện của Bổ đề 1.2.16, tập nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (1.9) là tập lồi và đóng nếu nó khác rỗng.
Chú ý rằng nếu toán tử đơn điệu cực đại A là đơn điệu chặt thì
nghiệm x0 của bất đẳng thức biến phân (1.9) là duy nhất. Thật vậy,
giả sử bằng phản chứng x1 cũng là nghiệm của (1.9). Khi đó x0 và x1
thỏa mãn (1.10), vì vậy với z 0 ∈ Ax0 và z 1 ∈ Ax1 tương ứng, ta có
z 0 − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω,
và
z 1 − f, y − x1 ≥ 0 ∀y ∈ Ω.
Ta suy ra
z 0 − f, x1 − x0 ≥ 0,
và
z 1 − f, x0 − x1 ≥ 0.


20

Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta suy ra
z 1 − z 0 , x0 − x1 ≥ 0.
Vì A là toán tử đơn điệu nên
z 0 − z 1 , x0 − x1 = 0,
điều này mâu thuẫn với giả thiết x0 = x1 .
Từ Bổ đề 1.2.16, việc giải bất đẳng thức biến phân (1.9) với toán
tử đơn điệu cực đại A và việc giải phương trình Ax + ∂IΩ (x) = f với
toán tử đơn điệu cực đại A + ∂IΩ là tương đương.

∗

Định lý 1.2.18 Giả sử A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại và
là toán tử bức, Ω là một tập lồi đóng trong D(A) và intΩ = ∅ hoặc
intD(A) ∩ Ω = ∅. Khi đó bất đẳng thức (1.9) có ít nhất một nghiệm
với mọi f ∈ X ∗ .
∗

Định lý 1.2.19 Cho A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại, một
tập Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.18 và tồn tại một số
r > 0 sao cho với mọi y thỏa mãn y ≥ r, y ∈ D(A) ∩ Ω, ta có bất
đẳng thức sau đúng:
z − f, y ≥ 0 ∀z ∈ Ay, f ∈ X ∗ .

(1.18)

Khi đó tồn tại ít nhất một nghiệm x của bất đẳng thức biến phân (1.9)
với x ≤ r.
∗

Định lý 1.2.20 Giả sử A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại, Ω
thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.18 thì bất đẳng thức biến phân
hiệu chỉnh
Ax + αJx − f, y − x ≥ 0 ∀y ∈ Ω, x ∈ Ω,

(1.19)

có duy nhất nghiệm với mọi α > 0 và với mọi f ∈ X ∗ .
Một nghiệm xα thỏa mãn (1.19) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
bất đẳng thức biến phân (1.9).

Định lý 1.2.21 (Mazur) Một tập lồi đóng bất kỳ trong không gian
Banach là tập đóng yếu.


21

Sau đây là một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân.
1) Cho ϕ : X → R là phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới,
∗
∂ϕ : X → 2X là dưới vi phân, nó là toán tử đơn điệu cực đại theo
Định lý 1.1.30. Cho Ω là một tập lồi đóng, Ω ⊆ D(∂ϕ). Xét bài toán
tìm
min{ϕ(y) | y ∈ Ω}.
(1.20)
Giả thiết bài toán này là giải được.
Bổ đề 1.2.22 Hàm lồi ϕ : X → R đạt cực tiểu tại điểm x ∈ D(∂ϕ)
khi và chỉ khi θX ∗ ∈ ∂ϕ(x).
Chứng minh. Theo định nghĩa dưới vi phân, nếu θX ∗ ∈ ∂ϕ(x) thì ta
có ϕ(y) ≥ ϕ(x), nghĩa là
ϕ(x) = min{ϕ(y) | y ∈ X}.

(1.21)

Giả sử (1.21) thỏa mãn. Khi đó, ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0, ∀y ∈ X. Theo định
nghĩa dưới vi phân, suy ra θX ∗ ∈ ∂ϕ(x).
Định lý 1.2.23 Nếu intΩ = ∅ hoặc intD(∂ϕ) ∩ Ω = ∅, thì bài toán
(1.9) tương đương với bất đẳng thức biến phân
∂ϕ(x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ Ω, x ∈ Ω.

(1.22)

Chứng minh. Cho x0 là một nghiệm của (1.22). Khi đó, theo định
nghĩa của dưới vi phân tại điểm x0 , ta có
ϕ(y) − ϕ(x0 ) ≥ ∂ϕ(x0 ), y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω.
Điều đó có nghĩa là ϕ(y) ≥ ϕ(x0 ) với mọi y ∈ Ω. Do đó, x0 là một
nghiệm của bài toán (1.19).
Bây giờ giả sử x0 là một nghiệm của bài toán (1.19). Xây dựng hàm
Φ(y) = ϕ(y) + IΩ (y), trong đó IΩ (y) là hàm chỉ của tập Ω. Do đó, dưới
vi phân ∂Φ = ∂ϕ + ∂IΩ và D(∂Φ) = Ω. Rõ ràng Φ đạt cực tiểu tại
x0 ∈ Ω. Khi đó, từ Bổ đề 1.2.22 ta có θX ∗ = ∂ϕ(x0 ) + ∂IΩ (x0 ). Kết
luận của Định lí suy ra từ Bổ đề 1.2.16.
2) Cho X1 và X2 là các không gian Banach thực phản xạ với các
không gian đối ngẫu của nó là X1∗ và X2∗ . Cho hàm Φ(u, v) : X1 ×X2 →
R lồi chính thường nửa liên tục dưới đối với u và lõm nửa liên tục trên